第1講函數(shù)的圖象與性質

第1講函數(shù)的圖象與性質真題感悟2.(2019·全國Ⅲ卷)設f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調遞減，則(

)答案

C3.(2019·全國Ⅱ卷)已知f(x)是奇函數(shù)，且當x<0時，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，則a＝________.解析依題意得，當x>0時，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a＝8.解得a＝－3.答案－31.函數(shù)的圖象(1)對于函數(shù)的圖象要會作圖、識圖和用圖，作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對稱變換.(2)在研究函數(shù)性質特別是單調性、值域、零點時，要注意結合其圖象研究.(3)函數(shù)圖象的對稱性①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱；②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則y＝f(x)的圖象關于點(a，0)對稱.考點整合2.函數(shù)的性質(1)單調性：單調性是函數(shù)在其定義域上的局部性質.證明函數(shù)的單調性時，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號和下結論.復合函數(shù)的單調性遵循“同增異減”的原則.(2)奇偶性：①若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)＝f(－x).②若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內，則f(0)＝0.③奇函數(shù)在關于原點對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性，偶函數(shù)在關于原點對稱的單調區(qū)間內有相反的單調性.(3)周期性：①若y＝f(x)對x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，則y＝f(x)是周期為2a的周期函數(shù).②若y＝f(x)是偶函數(shù)，其圖象又關于直線x＝a對稱，則f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù).③若y＝f(x)是奇函數(shù)，其圖象又關于直線x＝a對稱，則f(x)是周期為4|a|的周期函數(shù).易錯提醒

錯用集合運算符號致誤：函數(shù)的多個單調區(qū)間若不連續(xù)，不能用符號“∪”連接，可用“和”或“，”連接.熱點一函數(shù)及其表示答案

(1)D

(2)D探究提高1.(1)給出解析式的函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的集合，只需構建不等式(組)求解即可.(2)抽象函數(shù)：根據(jù)f(g(x))中g(x)的范圍與f(x)中x的范圍相同求解.2.對于分段函數(shù)的求值問題，必須依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函數(shù)求值時，應遵循先內后外的原則.【訓練1】(1)(2019·全國Ⅱ卷)設f(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝ex－1，則當x<0時，f(x)＝(

) A.e－x－1 B.e－x＋1 C.－e－x－1 D.－e－x＋1解析(1)依題意得，當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.(2)令m＝f(a)，則f(m)＝4.當m>0時，由2m＝4，得m＝2.當m≤0時，由－m2－2m＋1＝4知方程無解.故f(a)＝2.①當a>0時，由2a＝2，得a＝1.②當a≤0時，由－a2－2a＋1＝2，解得a＝－1.綜上可知a＝1或a＝－1.答案

(1)D

(2)±1所以f(x)是奇函數(shù)，排除選項C.答案

(1)B

(2)D(2)作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上單調遞增，需滿足a≥4或a＋1≤2.因此a≥4或a≤1.探究提高1.已知函數(shù)的解析式，判斷其圖象的關鍵是由函數(shù)解析式明確函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等，以及函數(shù)圖象上的特殊點，根據(jù)這些性質對函數(shù)圖象進行具體分析判斷.2.(1)運用函數(shù)圖象解決問題時，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內容，熟悉圖象所能夠表達的函數(shù)的性質.(2)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質，因此，函數(shù)性質的確定與應用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結合研究.(2)若當x∈(1，2)時，函數(shù)y＝(x－1)2的圖象始終在函數(shù)y＝logax的圖象的下方，則實數(shù)a的取值范圍是________.(2)如圖，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y＝(x－1)2和y＝logax的圖象.答案

(1)B

(2)(1，2]熱點三函數(shù)的性質與應用角度1函數(shù)的奇偶性、周期性則ln(1＋4x2－a2x2)＝0恒成立，因此a＝±2.(2)法一

∵f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(4＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函數(shù)，且一個周期為4，又f(0)＝0，知f(2)＝f(0)，f(4)＝f(0)＝0，由f(1)＝2，知f(－1)＝－2，則f(3)＝f(－1)＝－2，從而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故選C.答案

(1)A

(2)C角度2函數(shù)的單調性與最值(2)由題意易知f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|).所以f(c)>f(|a|)>f(b).又由題意知，f(a)＝f(|a|)，所以f(c)>f(a)>f(b).答案

(1)D

(2)C探究提高1.利用函數(shù)的奇偶性和周期性可以轉化函數(shù)的解析式、圖象和性質，把不在已知區(qū)間上的問題，轉化到已知區(qū)間上求解.2.函數(shù)單調性應用：可以比較大小、求函數(shù)最值、解不等式、證明方程根的唯一性.【訓練3】(1)(2019·衡水調研)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋5)＝f(x－3)，如果當x∈[0，4)時，f(x)＝log2(x＋2)，則f(766)＝(

) A.－3 B.－3 C.－2 D.2 (2)(2019·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝|ln(x－1)|，滿足f(a)>f(4－a)，則實數(shù)a的取值范圍是(

) A.(1，2) B.(2，3) C.(1，3) D.(2，4)解析

(1)由f(x＋5)＝f(x－3)，得f(x＋8)＝f(x).∴函數(shù)y＝f(x)是周期為8的函數(shù).又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且x∈[0，4)時，f(x)＝log2(x＋2)∴f(766)＝f(96×8－2)＝f(－2)＝f(2)＝log24＝2.故ln(－a2＋4a－3)<0，又1<a<3，解得1<a<2，當2≤a<3時，1<4－a≤2，若f(a)>f(4－a)，則ln(a－1)>－ln(3－a)，即ln(－a2＋4a－3)>0，又2≤a<3，解為空集.綜上可知，a的取值范圍是(1，2).答案

(1)D

(2)A