經(jīng)濟數(shù)學（第三版） 課件 第一章 經(jīng)濟中常用函數(shù)的描述

第一章

經(jīng)濟中常用函數(shù)的描述目

錄CONTENTS1市場需求問題及解決方案MarketdemandproblemsandSolutions2使用MathStudio繪制函數(shù)圖像Drawingfunctionimagesusingmathstudio3常用經(jīng)濟函數(shù)Commoneconomicfunction4進一步學習的數(shù)學知識：函數(shù)Furthermathematicsknowledge:function市場需求問題及解決方案MarketdemandproblemsandSolutions1一、問題引入某城市滴滴快車收費標準如下(1)小趙7:30坐車6公里，時間35分鐘，產(chǎn)生的費用是多少？(2)小趙22:00后坐車6公里，時間20分鐘，產(chǎn)生的費用是多少？(3)小趙22:00后坐車16公里，時間42分鐘，產(chǎn)生的費用又是多少？時間里程費（12公里以內(nèi)）里程費（12公里以外）工時費05:00~22:001.6元/公里

0.30元/分鐘22:00~次日05:001.9元/公里

全天

2.6元/公里引例一、問題引入小趙坐車費用:里程費

+工時費里程長，空置率高

→有了遠途費.具體：里程→里程費；

工時→工時費，抽象：變量x→變量y問題分析

比較問題(1)和問題(2)：分析問題(3)22:00后交通更順暢，總費用更低。進一步思考二、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義設X和Y是兩個集合，如果對于每一個

，按照對應法則f

,都有唯一的

與之對應，則稱X

和Y

之間存在一個函數(shù)關系f,一般記為二、函數(shù)的概念2.函數(shù)關系的表示法（1）解析法（2）表格法涵義函數(shù)關系y=f(x)(GDP與年份的關系,單位:億美元)集合年份2004200520062007200820092010XGDP19316223442680134022430264996459847Y表1-1中國2004年~2010年GDP與年份的關系二、函數(shù)的概念（3）圖像法正切函數(shù)的圖像函數(shù)圖像2.函數(shù)關系的表示法圖1-1正切函數(shù)圖像

圖1-2的圖像三、函數(shù)關系的建立例1.1某企業(yè)組裝某產(chǎn)品每日最多100套，其中組裝場地、組織設備占用費用為11300元，每套產(chǎn)品組裝人員計件工資10元、半成品成本1000元、材料費用10元，電費2元，試建立該企業(yè)產(chǎn)品的日生產(chǎn)成本函數(shù).1.推演公式法

解

固定成本為組裝場地、組織設備占用費用11300元，每套產(chǎn)品增加的成本為10+1000+10+2=1022元.如果每日生產(chǎn)的產(chǎn)量為x套，則日生產(chǎn)產(chǎn)品的總成本為生產(chǎn)100套的成本為113500元,于是,

三、函數(shù)關系的建立車費y與里程數(shù)x

之間可以建立函數(shù)關系式如：設快車的平均車速v=48公里/小時時間里程費（12公里以內(nèi)）里程費（12公里以外）工時費05:00~22:001.6元/公里

0.30元/分鐘22:00~次日05:001.9元/公里

全天

2.6元/公里引例時間里程數(shù)時長22:00到次日05:00

x推演公式法是建立函數(shù)關系的主要方法,使用推演公式法可得到三、函數(shù)關系的建立整理,得則車費y與里程數(shù)x的分段函數(shù)模型如下:里程費工時費12公里里程費12公里外的里程費工時費像這種對于自變量x的不同取值范圍,函數(shù)f(x)有不同的解析式,則稱這種函數(shù)為分段函數(shù).三、函數(shù)關系的建立2．數(shù)據(jù)對應法例1.2建立函數(shù)的數(shù)值關系.解隨著n不斷增大，E(n)將趨向于一個無理常數(shù)e，稱為自然對數(shù)的底，如表1-2.表1-2自然對數(shù)底e的推演n1234510100100010000……E(n)22.2502.3702.4412.4882.5942.7052.7172.718……三、函數(shù)關系的建立3.趨勢模擬法例1.3某學校10年間在校學生數(shù)和教學經(jīng)費如表1-3所示，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出在校學生數(shù)與教學經(jīng)費的函數(shù)關系圖像，并作出簡單解釋.

表1-3在校學生數(shù)和教學經(jīng)費數(shù)據(jù)表年份199920002001200220032004200520062007在校學生(人)5000600070008000900010000110001200013000教學經(jīng)費(萬元)100011001200140020002600270028002850三、函數(shù)關系的建立3.趨勢模擬法解

用描點畫圖法,如圖1-3所示.

圖1-3在校學生數(shù)與教學經(jīng)費的函數(shù)關系三、函數(shù)關系的建立3.趨勢模擬法

分析:

從圖1-2看出，學生規(guī)模的擴大，教學經(jīng)費從緩慢增加到快速增加再到緩慢增加.

通過觀察生均教學經(jīng)費表(如表1-4)和趨勢圖(如圖1-4)，生均教學經(jīng)費是由下降走向上升又走向下降的，8000人左右是比較好的規(guī)模，

可以預計，13000人之后還會出現(xiàn)一個相對好的規(guī)模.這就是最佳規(guī)模，產(chǎn)生的效益叫規(guī)模經(jīng)濟.三、函數(shù)關系的建立表1-4在校學生數(shù)與生均教學經(jīng)費數(shù)據(jù)表年份199920002001200220032004200520062007在校學生（人）5000600070008000900010000110001200013000生均教學經(jīng)費(元/人)200018331714175022222600245523332192

圖1-4生均教學經(jīng)費隨規(guī)模變化趨勢圖四、初等函數(shù)基本初等函數(shù)復合函數(shù)初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)四、初等函數(shù)2.復合函數(shù)

是與構成的復合函數(shù)指出下列復合函數(shù)的復合過程復合函數(shù)的分解是由外到內(nèi)，逐層進行。例1.4(1)(2)

函數(shù)由和u=3x復合而成.解

函數(shù)y=ln(2x-1)由y=lnu和u=2x-1

復合而成.解四、初等函數(shù)指出下列復合函數(shù)的復合過程再看兩個例題例1.5

(1)(2)

函數(shù)解

函數(shù)解正確地分解復合函數(shù)很關鍵，它是后續(xù)課程比如復合函數(shù)求導等的基礎。復合而成由2.復合函數(shù)四、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復合而構成的并且只用一個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)．如函數(shù)

是復合函數(shù),當然也就是初等函數(shù)；

再比如是分段函數(shù)，但它可用一個解析式表示，所以它是初等函數(shù)。3.初等函數(shù)四、初等函數(shù)使用MathStudio繪制函數(shù)圖像Drawingfunctionimagesusingmathstudio2一、MathStudio軟件簡介MathStudio是一款可用于PC終端和移動終端的功能強大的數(shù)學計算工具.軟件支持常用的數(shù)學計算、解方程、求導、微分、積分、求極限、畫函數(shù)圖像等，是數(shù)學學習的很好的輔助工具.MathStudio界面簡潔，操作簡單，整個界面分為菜單區(qū)、指令區(qū)、功能區(qū)、鍵盤區(qū)，如圖1-5.一、MathStudio軟件簡介圖1-5MathStudio界面

菜單區(qū)包含Main、Catalog、Opinions和Search四個組，分別介紹如下.一、MathStudio軟件簡介Main：主要操作界面，所有計算、繪圖、腳本編寫等操作都在這里進行；Catalog：函數(shù)目錄，在這里可以找到你需要的函數(shù)，如圖1-6；Opinions：設置選項，可進行桌面顯示和數(shù)學輸出格式等設置，如圖1-7；Search：搜索，指令區(qū)所有指令都可在這里找到，并可設置是否顯示指令.圖1-6Catalog函數(shù)目錄圖1-7Opinions設置選項二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像1.使用Plot函數(shù)繪制直角坐標系下函數(shù)圖像

在指令框輸入函數(shù)表達式，然后點擊功能區(qū)的Plot鍵即可繪制函數(shù)圖像.點擊顏色設置還可以改變圖形顯示的顏色，點擊顯示類型設置可以切換圖形的顯示方式.例1.6使用Plot函數(shù)繪制下列函數(shù)圖像.(1),(2).解(1)在指令框輸入sin(x)，然后點擊功能區(qū)的Plot鍵，得到函數(shù)y=sinx的圖像如圖1-8.二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像圖1-8繪制y=sinx的圖像二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像函數(shù)y=sinx圖像右側有顯示類型設置和顏色設置的選項，如圖1-9.圖1-9圖像類型設置和顏色設置選項二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像(2)在指令框輸入x^2，然后點擊功能區(qū)的Plot鍵，圖像出來后再點擊顏色設置，選擇紅色，如圖1-10.圖1-10繪制的圖像二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像2.使用繪圖鍵盤繪制各種函數(shù)圖像

將MathStudio界面底部主鍵盤向下滑動即可切換至繪圖鍵盤,點擊按鍵選擇繪圖類型,如圖1-11,接下來我們介紹兩種繪圖類型.圖1-11繪圖鍵盤二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像(1)用Parametric函數(shù)繪制參數(shù)方程的圖形，在指令框輸入x和y關于參數(shù)

u

的方程，然后點擊功能區(qū)的Parametric鍵即可,如圖1-12.圖1-12繪制參數(shù)方程的圖像二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像(2)用Polar函數(shù)繪制極坐標系下函數(shù)圖像，在指令框輸入關于變量r和的極坐標方程，然后點擊功能區(qū)的Polar鍵即可，如圖1-13.圖1-13繪制極坐標系下函數(shù)圖像常用經(jīng)濟函數(shù)Commoneconomicfunctions3一、需求函數(shù)和供給函數(shù)消費者的需求關系→需求函數(shù)q=f(p)

,減函數(shù)生產(chǎn)者的供給關系→

供給函數(shù)

q=g(p),增函數(shù)q:商品數(shù)量p:商品價格供給函數(shù)示意圖

需求函數(shù)示意圖當市場價格高于均衡價格時，將出現(xiàn)供過于求的現(xiàn)象；當市場價格低于均衡價格時，將出現(xiàn)供不應求的現(xiàn)象.市場均衡價格示意圖二、成本、收入和利潤函數(shù)平均成本是指單位產(chǎn)品所分攤的成本生產(chǎn)某產(chǎn)品時為消耗的生產(chǎn)要素所支付的費用.總成本=固定成本+可變成本成本平均成本收入函數(shù)R=R(q)：收入R是銷售量q的函數(shù)總收入為也可寫為其中價格函數(shù)是需求函數(shù)的反函數(shù)收入函數(shù)二、成本、收入和利潤函數(shù)總收入函數(shù)R(q)與總成本函數(shù)C(q)的差值，記作L(q).當R－C>0時,生產(chǎn)者盈利；當R－C<0時,生產(chǎn)者虧損；當R－C=0時,生產(chǎn)者盈虧平衡.利潤函數(shù)二、成本、收入和利潤函數(shù)例1.7解

生產(chǎn)某產(chǎn)品，固定成本為200元，每多生產(chǎn)1件產(chǎn)品，成本增加10元，該產(chǎn)品的需求函數(shù)為，試計算該產(chǎn)品的總成本、平均成本、收入和利潤?？偝杀竞瘮?shù):收入函數(shù):若將收入R表示為關于產(chǎn)量q的函數(shù),則利潤函數(shù):,同理，若將利潤L表示為關于產(chǎn)量q的函數(shù)，則

平均成本函數(shù):二、成本、收入和利潤函數(shù)

某經(jīng)銷商以每件100元的價格批發(fā)某種品牌的襯衫，如果客戶一次購買20件以上但不超過50件，則超出20件的部分以8折優(yōu)惠.如果客戶一次購買超過50件，則超出50件的部分以7折優(yōu)惠.試把一次成交的銷售收入R表示成銷售量q的函數(shù).例1.8解依題意可得，當時，；當時，當時，于是，收入函數(shù)R(q)可表示為二、成本、收入和利潤函數(shù)進一步學習的數(shù)學知識:函數(shù)Furthermathematicsknowledge:function4一、函數(shù)的性態(tài)單調(diào)性奇偶性有界性周期性函數(shù)的性質包括一、函數(shù)的性態(tài)（1）單調(diào)性

f(x)

在區(qū)間I上有定義，若，恒有是增函數(shù)

f(x)

在區(qū)間I上有定義，若，恒有是減函數(shù)（2）奇偶性一、函數(shù)的性態(tài)對于任意,若f(－x)=f(x)

恒成立f(x)

為偶函數(shù)；對于任意,若f(－x)=－f(x)

恒成立f(x)為奇函數(shù)．偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖像關于原點對稱.一、函數(shù)的性態(tài)（3）有界性若f(x)在I上有定義，，有成立則f(x)在I

上有界，否則稱無界。有界函數(shù)的圖像必介于兩條平行于x軸的直線y=M與y=－M之間。一、函數(shù)的性態(tài)

周期為（4）周期性