導(dǎo)函數(shù)大題類型總結(jié)(完整版)

【對分類討論的考查】【例1】〔2023西城一模〕設(shè)且≠0，函數(shù).〔1〕當(dāng)時，求曲線在〔3，〕處切線的斜率；〔2〕求函數(shù)的極值點(diǎn)?！究偨Y(jié)】解決這類問題，我們應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：函數(shù)的定義域；當(dāng)對原函數(shù)求導(dǎo)時，如果導(dǎo)函數(shù)化簡完以后時一個二次函數(shù)且為形如或時，這時一般地就是用“十字交叉〞法把導(dǎo)函數(shù)等于零的根求出來〔偶爾不能利用十字交叉求出這個二次函數(shù)的根，這時只能利用二次函數(shù)的對稱軸或者求根公式把這個方程的根求出來〔詳見2023海淀二模文科試題〕；〔注：形如形式的導(dǎo)函數(shù)，一般的采用變量分類的方法去處理，如2023石景山一模〕因為我們所要討論的極值問題，極值點(diǎn)問題，函數(shù)的單調(diào)性問題都是在函數(shù)的定義域里面討論的，所以這時要分類討論導(dǎo)函數(shù)等于零的根在不在這個定義域內(nèi)，如果在定義域內(nèi)，那么解出來的這個方程的兩個根那個大，那個小，這時就要分類討論。分類討論時，第一步應(yīng)該先把函數(shù)的定義域標(biāo)在數(shù)軸上，然后把導(dǎo)函數(shù)等于零的根標(biāo)在數(shù)軸上，然后再討論兩個根那個大，那個小，在不在區(qū)間里面等等。變式與拓展：【1】(2023北京豐臺第一學(xué)期期末文)函數(shù)．〔Ⅰ〕假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行，求a的值；〔Ⅱ〕求函數(shù)的極值．【2】〔2023北京考試院調(diào)研試題文〕設(shè)，函數(shù)．〔Ⅰ〕假設(shè)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；〔Ⅱ〕求函數(shù)在上的最小值.【3】〔2023北京宣武一模文〕函數(shù)〔I〕假設(shè)x=1為的極值點(diǎn)，求a的值；〔II〕假設(shè)的圖象在點(diǎn)〔1，〕處的切線方程為，求在區(qū)間[-2，4]上的最大值；〔III〕當(dāng)時，假設(shè)在區(qū)間〔-1，1〕上不單調(diào)，求a的取值范圍.【例2】〔2023西城一?！澈瘮?shù).〔Ⅰ〕求函數(shù)的極值點(diǎn)；〔Ⅱ〕假設(shè)直線過點(diǎn)，并且與曲線相切，求直線的方程；〔Ⅲ〕設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.〔其中為自然對數(shù)的底數(shù)〕【總結(jié)】解決這類問題，就是首先求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)等于零的值，然后再把函數(shù)的定義域畫在數(shù)軸上，然后分別得討論導(dǎo)數(shù)等于的自變量在各個小區(qū)間上的最值即可。變式與拓展：【1】〔2023北京朝陽一模〕函數(shù)，.〔Ⅰ〕假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線，求的值；〔Ⅱ〕求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【2】〔2023北京文〕函數(shù). 〔Ⅰ〕求的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕求在區(qū)間[0,1]上的最小值.【3】〔2023北京東城二模文〕函數(shù)()．〔Ⅰ〕假設(shè)，求證：在上是增函數(shù)；〔Ⅱ〕求在上的最小值?！纠?】〔2023海淀二模文〕函數(shù)〔=1\*ROMANI〕假設(shè)，求函數(shù)的解析式；〔=2\*ROMANII〕假設(shè)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【總結(jié)】解決這類問題一般的有如下兩種方法：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得對稱軸，然后再讓對稱軸和函數(shù)的區(qū)間的左右端點(diǎn)處比擬大小，然后分別求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在每一小區(qū)間上的最值；首先判斷導(dǎo)函數(shù)的判別式，然后再用求根公式求出導(dǎo)函數(shù)的兩個根〔有時候不一定是兩個根〕，然后再讓這兩個根和區(qū)間的兩個端點(diǎn)處比，然后再求出導(dǎo)函數(shù)的最值即可。變式與拓展：【1】〔2023北京海淀二模理〕函數(shù)，其中a為常數(shù)，且.〔Ⅰ〕假設(shè)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；〔Ⅱ〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【對變量分類法的考查】〔參數(shù)別離〕【例4】〔2023石景山一模〕函數(shù)〔Ⅰ〕假設(shè)的解析式；〔Ⅱ〕假設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【總結(jié)】解決這類問題，就是想方法把含有參數(shù)的變量移到不等式的一邊去，然后再利用均值不等式或者新構(gòu)造一個函數(shù)，然后再求這個函數(shù)的最值即可。同時要注意運(yùn)用均值不等式的條件：一正，二定，三相等。變式與拓展：【1】〔2023東城第一學(xué)期期末文〕函數(shù)．〔Ⅰ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；〔Ⅱ〕假設(shè)對于任意，恒成立，求的取值范圍．【文科生選做】〔2023東城第一學(xué)期期末理〕函數(shù)．〔Ⅰ〕求函數(shù)在上的最小值；〔Ⅱ〕假設(shè)存在〔為自然對數(shù)的底數(shù)，且〕使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【2】〔2023北京東城二模文〕函數(shù)．〔Ⅰ〕假設(shè)函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求的取值范圍；〔Ⅱ〕設(shè)〔〕，求證：．(注：此題第一學(xué)期期末以前只做第一問)【3】〔2023北京宣武二模文〕函數(shù)．〔Ⅰ〕當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；〔Ⅱ〕假設(shè)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式與拓展：【對函數(shù)在某個區(qū)間上是不是單調(diào)函數(shù)的考查】【例5】〔2023東城一?！澈瘮?shù)，且．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅲ〕設(shè)函數(shù)，假設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【例6】(2023清華附中高三第二學(xué)期開學(xué)考試題)〔2023浙江〕函數(shù)．〔I〕假設(shè)函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是，求的值；〔II〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍．【總結(jié)】解決這類單調(diào)還是不單調(diào)的問題，我們一般的有如下三種方法：第一：如果這個函數(shù)在某一個區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，就是求這個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在這個區(qū)間上得最小值，然后再讓最小值大于零即可，反之亦然；第二：假設(shè)一個函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，但是這個導(dǎo)函數(shù)等于零的根很容易求解，那么只需這個根的落在區(qū)間內(nèi)即可；第三：假設(shè)一個函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，但是這個導(dǎo)函數(shù)等于零的根很不容易求解，那么這時只能利用函數(shù)的零點(diǎn)定理求解。變式與拓展：【1】〔2023北京宣武一模文〕函數(shù)〔I〕假設(shè)x=1為的極值點(diǎn)，求a的值；〔II〕假設(shè)的圖象在點(diǎn)〔1，〕處的切線方程為，求在區(qū)間[-2，4]上的最大值；〔III〕當(dāng)時，假設(shè)在區(qū)間〔-1，1〕上不單調(diào)，求a的取值范圍.【2】(2023昌平二模理)函數(shù)〔〕.〔Ⅰ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ〕函數(shù)的圖像在處的切線的斜率為假設(shè)函數(shù)，在區(qū)間〔1，3〕上不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。(2023北京東城普通校第一次聯(lián)考)函數(shù)，．〔Ⅰ〕討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．【對恒成立問題的考查】【對形如型問題恒成立的考查】【例7】〔2023崇文一模文〕函數(shù)〔〕．〔Ⅰ〕求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；〔Ⅱ〕當(dāng)時，假設(shè)對有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【總結(jié)】求解關(guān)于這類問題，就是求函數(shù)在區(qū)間上得最大值即可，最大值都小于等于,那么對于任意的，那么都有。變式與拓展：〔2023北京順義一模〕函數(shù),在時取得極值.〔1〕求的值及的單調(diào)區(qū)間;〔2〕假設(shè)對任意，恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【2】〔2023北京崇文二模文〕函數(shù)在與處都取得極值．〔Ⅰ〕求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕假設(shè)對，不等式恒成立，求的取值范圍.【對形如型問題恒成立的考查】【例8】〔2023清華附中高三模擬〕，當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【總結(jié)】解決這類問題，就是構(gòu)造新函數(shù)，這時只需求函數(shù)的最大值，讓最大值即可。也就是想方法把問題轉(zhuǎn)化為這種情況?！纠?】〔2023東城第一學(xué)期期末文〕函數(shù)．〔Ⅰ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；〔Ⅱ〕假設(shè)對于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【總結(jié)】解決這類在區(qū)間恒成立問題，首先觀察在區(qū)間上是否恒為正或者恒為負(fù)，想方法把除過去，即變?yōu)椤沧⒁猓哼@時要大于零，否那么變?yōu)椤?，然后把轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，然后再求函數(shù)的最大值即可。在一般情況下，求的最值有兩種方法：第一，就是利用均值不等式法；第二，就是利用求導(dǎo)函數(shù)的方法。變式與拓展：【1】(福建省三明市2023年高三三校聯(lián)考文科)函數(shù)，〔1〕求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；〔2〕假設(shè)不等式在區(qū)間〔0,+上恒成立，求的取值范圍；【2】(天津十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)2023年高三聯(lián)考一理)設(shè)函數(shù)，，其中．〔Ⅰ〕假設(shè)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；〔Ⅱ〕是否存在負(fù)數(shù)，使對一切正數(shù)都成立？假設(shè)存在，求出的取值范圍；假設(shè)不存在，請說明理由?！参目粕x做〕〔2023天津市河西區(qū)一模文〕定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù),,其中.設(shè)兩曲線,有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同.〔I〕用表示,并求的最大值；〔II〕求證:.【2】〔2023北京延慶一?！澈瘮?shù).〔Ⅰ〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間〔其中〕上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；〔Ⅱ〕如果當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；【對形如型恒成立問題的考查】【例10】〔2023西城第一學(xué)期期末〕函數(shù).(Ⅰ)假設(shè)，求曲線在處切線的斜率；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅲ〕設(shè)，假設(shè)對任意，均存在，使得，求的取值范圍.【總結(jié)】求解形如這類問題，就是求出函數(shù)在區(qū)間上得最大值，再求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，然后這個最大值小于這個最大值即可。變式與拓展：【1】〔2023東城一模理〕函數(shù)．〔Ⅰ〕求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；〔Ⅱ〕證明：對任意，都有成立．【對形如型函數(shù)的考查】(2023江蘇揚(yáng)州第一學(xué)期期末)假設(shè)函數(shù)滿足：對于任意的都有恒成立，那么的取值范圍是．【總結(jié)】解決這類問題就是求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，然后再讓最大值減去最小值即可。變式與拓展：〔2023北京石景山一?！澈瘮?shù)，在點(diǎn)處的切線方程為．〔Ⅰ〕求函數(shù)的解析式；〔Ⅱ〕假設(shè)對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有，求實(shí)數(shù)的最小值；〔Ⅲ〕假設(shè)過點(diǎn)，可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【對形如型恒成立問題的考查】〔2023遼寧〕函數(shù)〔Ⅰ〕討論函數(shù)的單調(diào)性；〔Ⅱ〕證明：假設(shè)，那么對任意x，x，xx，有?！究偨Y(jié)】解決形如型的問題，一般的我們通過如下方法來解決：不妨假設(shè)，那么原不等式可以轉(zhuǎn)化為，即，即證為增函數(shù)即可。變式與拓展：〔四川省雅安市2023屆高三第三次診斷性考試?yán)砜啤辰o出以下四個函數(shù)：①；②；③；④其中滿足：“對任意，都有〞的函數(shù)序號是?！埠鲜￠L沙等四縣市2023年3月高三調(diào)研理科〕函數(shù)，為正常數(shù)．〔1〕假設(shè)，且，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；〔2〕假設(shè)，且對任意，，都有，求的的取值范圍．〔2023北京東城普通校第一次聯(lián)考〕函數(shù)，〔Ⅰ〕假設(shè)是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，求；〔Ⅱ〕討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅲ〕假設(shè)對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.【對存在性問題的考查】【例11】〔2023海淀一?！澈瘮?shù)，〔Ⅰ〕假設(shè)，求函數(shù)的極值；〔Ⅱ〕設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)假設(shè)在〔〕上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.思考：假設(shè)在〔〕上對于任意的一點(diǎn)，使得恒成立，求的取值范圍.〔如何求解〕【總結(jié)】求解這類存在性問題，其實(shí)是和“對于任意的一點(diǎn)，使得恒成立，就是求的最大值〞正好相反，這時就是求函數(shù)的最小值。變式與拓展：【1】〔2023北京西城一?！澈瘮?shù)其中?！?〕假設(shè)函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；〔2〕當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；并確定此時是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，請說明理由?！?】〔2023朝陽一模〕函數(shù)，．〔Ⅰ〕假設(shè)函數(shù)在處取得極值，試求的值，并求在點(diǎn)處的切線方程；〔Ⅱ〕設(shè)，假設(shè)函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍．【3】〔2023東城第一學(xué)期期末理〕函數(shù)．〔Ⅰ〕求函數(shù)在上的最小值；〔Ⅱ〕假設(shè)存在〔為自然對數(shù)的底數(shù)，且〕使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【4】(2023浙江杭州第一次質(zhì)檢)函數(shù).〔I〕假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為4，求實(shí)數(shù)的值；〔II〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！緦τ袥]有極值的考查】【例12】〔2023北京文〕設(shè)定函數(shù)，且方程的兩個根分別為1，4?！并瘛钞?dāng)a=3且曲線過原點(diǎn)時，求的解析式；〔Ⅱ〕假設(shè)在無極值點(diǎn)，求a的取值范圍?！究偨Y(jié)】處理這類問題，一般的我們有兩種方法。第一種，如果函數(shù)的定義域是，那么只需讓函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的〔如果這個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)的話〕；第二種，如果函數(shù)的定義域是，只需利用函數(shù)的零點(diǎn)定理求解即可。變式與拓展：【1】(2023昌平二模文)設(shè)函數(shù)〔Ⅰ〕假設(shè)函數(shù)在處取得極小值是，求的值;〔Ⅱ〕求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;〔Ⅲ〕假設(shè)函數(shù)在上有且只有一個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.【2】〔2007山東〕設(shè)函數(shù)，其中．證明：當(dāng)時，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個極值點(diǎn)，并求出極值．【對函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的考查】【例13】〔2023北京密云一模文〕函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有極值為，〔Ⅰ〕求函數(shù)的解析式；〔Ⅱ〕假設(shè)有3個解，求的取值范圍?！究偨Y(jié)】解決這類問題，一般的分為兩種情況：第一種，當(dāng)函數(shù)的定義域為時，就是求出函數(shù)的極大值和極小值，然后當(dāng)實(shí)數(shù)在極大值和極小值之間時，方程有三個解；當(dāng)為函數(shù)的極大值或者極小值時，方程正好有兩個解；當(dāng)小于函數(shù)的極小值或大于函數(shù)的極大值時，方程正好有一個解；第二種，當(dāng)函數(shù)的定義域為時，解決這類問題一般的都需要分類討論，甚至有的時候還需要用到函數(shù)的零點(diǎn)定理去求解。變式與拓展：【1】(江西省九校2023年高三聯(lián)合考試文科)函數(shù)假設(shè)函數(shù)上有3個零點(diǎn)，那么m的取值范圍為〔〕 A．〔-24,8〕 B．〔-24,1] C．[1,8] D．[1,8〕〔注：理科生做〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間[—1，1]上沒有零點(diǎn)，那么函數(shù)的遞減區(qū)間是?！?】〔2023北京密云一模〕是函數(shù)的一個極值點(diǎn).〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕求函