導數(shù)大題練習題答案

導數(shù)練習題〔B〕答案1．〔此題總分值12分〕函數(shù)的圖象如下圖．〔I〕求的值；〔II〕假設函數(shù)在處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；〔III〕在〔II〕的條件下，函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求的取值范圍．解：函數(shù)的導函數(shù)為…………〔2分〕〔I〕由圖可知函數(shù)的圖象過點〔0，3〕，且得…………〔4分〕〔II〕依題意且解得所以…………〔8分〕〔III〕．可轉化為：有三個不等實根，即：與軸有三個交點；，+0-0+增極大值減極小值增．…………〔10分〕當且僅當時，有三個交點，故而，為所求．…………〔12分〕2．〔本小題總分值12分〕函數(shù)．〔I〕求函數(shù)的單調區(qū)間；〔II〕函數(shù)的圖象的在處切線的斜率為假設函數(shù)在區(qū)間〔1，3〕上不是單調函數(shù)，求m的取值范圍．解：〔I〕 〔2分〕當當當a=1時，不是單調函數(shù) 〔5分〕〔II〕〔6分〕 〔8分〕〔10分〕 〔12分〕3．〔本小題總分值14分〕函數(shù)的圖象經過坐標原點，且在處取得極大值．〔I〕求實數(shù)的取值范圍；〔II〕假設方程恰好有兩個不同的根，求的解析式；〔III〕對于〔II〕中的函數(shù)，對任意，求證：．解：〔I〕 由，因為當時取得極大值， 所以，所以；…………〔4分〕〔II〕由下表：+0-0-遞增極大值遞減極小值遞增 依題意得：，解得： 所以函數(shù)的解析式是：…………〔10分〕〔III〕對任意的實數(shù)都有 在區(qū)間[-2，2]有： 函數(shù)上的最大值與最小值的差等于81， 所以．…………〔14分〕4．〔本小題總分值12分〕常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，．〔I〕寫出的單調遞增區(qū)間，并證明；〔II〕討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)．解：〔I〕，得的單調遞增區(qū)間是，…………〔2分〕∵，∴，∴，即．…………〔4分〕〔II〕，由，得，列表-0+單調遞減極小值單調遞增當時，函數(shù)取極小值，無極大值．…………〔6分〕由〔I〕，∵，∴，∴，…………〔8分〕〔i〕當，即時，函數(shù)在區(qū)間不存在零點〔ii〕當，即時假設，即時，函數(shù)在區(qū)間不存在零點假設，即時，函數(shù)在區(qū)間存在一個零點；假設，即時，函數(shù)在區(qū)間存在兩個零點；綜上所述，在上，我們有結論：當時，函數(shù)無零點；當時，函數(shù)有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點．…………〔12分〕5．〔本小題總分值14分〕函數(shù)．〔I〕當時，求函數(shù)的最大值；〔II〕假設函數(shù)沒有零點，求實數(shù)的取值范圍；解：〔I〕當時，定義域為〔1，+〕，令，………………〔2分〕∵當，當，∴內是增函數(shù)，上是減函數(shù)∴當時，取最大值………………〔4分〕〔II〕①當，函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有公共點，∴函數(shù)有零點，不合要求；………………〔8分〕②當，………………〔6分〕令，∵，∴內是增函數(shù)，上是減函數(shù)，∴的最大值是，∵函數(shù)沒有零點，∴，，因此，假設函數(shù)沒有零點，那么實數(shù)的取值范圍．………………〔10分〕6．〔本小題總分值12分〕是函數(shù)的一個極值點〔〕．〔I〕求實數(shù)的值；〔II〕求函數(shù)在的最大值和最小值．解：〔I〕由可得……〔4分〕∵是函數(shù)的一個極值點，∴∴，解得……………〔6分〕〔II〕由，得在遞增，在遞增，由，得在在遞減∴是在的最小值；……………〔8分〕，∵∴在的最大值是．……………〔12分〕7．〔本小題總分值14分〕函數(shù)〔I〕當a=18時，求函數(shù)的單調區(qū)間；〔II〕求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．解：〔Ⅰ〕， 2分 由得，解得或 注意到，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是〔4，+∞〕 由得，解得-2＜＜4， 注意到，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是. 綜上所述，函數(shù)的單調增區(qū)間是〔4，+∞〕，單調減區(qū)間是 6分〔Ⅱ〕在時， 所以， 設 當時，有△=16+4×2， 此時，所以，在上單調遞增， 所以 8分 當時，△=， 令，即，解得或； 令，即， 解得. ①假設≥，即≥時，在區(qū)間單調遞減，所以. ②假設，即時間，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增， 所以. ③假設≤，即≤2時，在區(qū)間單調遞增， 所以 綜上所述，當≥2時，； 當時，； 當≤時， 14分8．〔本小題總分值12分〕函數(shù)在上不具有單調性．〔I〕求實數(shù)的取值范圍；〔II〕假設是的導函數(shù)，設，試證明：對任意兩個不相等正數(shù)，不等式恒成立．解：〔I〕，………………〔2分〕∵在上不具有單調性，∴在上有正也有負也有0，即二次函數(shù)在上有零點………………〔4分〕∵是對稱軸是，開口向上的拋物線，∴的實數(shù)的取值范圍………………〔6分〕〔II〕由〔I〕，方法1：，∵，∴，…………〔8分〕設，在是減函數(shù)，在增函數(shù)，當時，取最小值∴從而，∴，函數(shù)是增函數(shù)，是兩個不相等正數(shù)，不妨設，那么∴，∵，∴∴，即………………〔12分〕方法2：、是曲線上任意兩相異點，，，………〔8分〕設，令，，由，得由得在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在處取極小值，，∴所以即………………〔12分〕9．〔本小題總分值12分〕函數(shù)〔I〕討論函數(shù)的單調性；〔II〕證明：假設〔1〕的定義域為，2分〔i〕假設，那么故在單調增加．〔ii〕假設單調減少，在〔0，a-1〕，單調增加．〔iii〕假設單調增加．〔II〕考慮函數(shù)由由于，從而當時有故，當時，有10．〔本小題總分值14分〕函數(shù)．〔I〕假設函數(shù)在區(qū)間上都是單調函數(shù)且它們的單調性相同，求實數(shù)的取值范圍；〔II〕假設，設，求證：當時，不等式成立．解：〔I〕，……………〔2分〕∵函數(shù)在區(qū)間上都是單調函數(shù)且它們的單調性相同，∴當時，恒成立，……………〔4分〕即恒成立，∴在時恒成立，或在時恒成立，∵，∴或………………〔6分〕〔II〕，∵定義域是，，即∴在是增函數(shù)，在實際減函數(shù)，在是增函數(shù)∴當時，取極大值，當時，取極小值，………………〔8分〕∵，∴………………〔10分〕設，那么，∴，∵，∴∴在是增函數(shù)，∴∴在也是增函數(shù)………………〔12分〕∴，即，而，∴∴當時，不等式成立．………………〔14分〕11．〔本小題總分值12分〕設曲線：〔〕，表示導函數(shù)．〔I〕求函數(shù)的極值；〔II〕對于曲線上的不同兩點，，，求證：存在唯一的，使直線的斜率等于．解：〔I〕，得當變化時，與變化情況如下表：＋0－單調遞增極大值單調遞減∴當時，取得極大值，沒有極小值；…………〔4分〕〔II〕〔方法1〕∵，∴，∴即，設，，是的增函數(shù)，∵，∴；，，是的增函數(shù)，∵，∴，∴函數(shù)在內有零點，…………〔10分〕又∵，函數(shù)在是增函數(shù)，∴函數(shù)在內有唯一零點，命題成立…………〔12分〕〔方法2〕∵，∴，即，，且唯一設，那么，再設，，∴∴在是增函數(shù)∴，同理∴方程在有解…………〔10分〕∵一次函數(shù)在是增函數(shù)∴方程在有唯一解，命題成立………〔12分〕注：僅用函數(shù)單調性說明，沒有去證明曲線不存在拐點，不給分．12．〔本小題總分值14分〕定義，〔I〕令函數(shù)，寫出函數(shù)的定義域；〔II〕令函數(shù)的圖象為曲線C，假設存在實數(shù)b使得曲線C在處有斜率為－8的切線，求實數(shù)的取值范圍；〔III〕當且時，求證．解：〔I〕，即……〔2分〕得函數(shù)的定義域是，……〔4分〕〔II〕設曲線處有斜率為－8的切線，又由題設①②③∴存在實數(shù)b使得有解，……〔6分〕①②③由①得代入③得，有解，……〔8分〕方法1：，因為，所以，當時，存在實數(shù)，使得曲線