專題1-6圓錐曲線中的10個(gè)?？级?jí)結(jié)論與模型（原卷版）

專題1-6圓錐曲線中的10個(gè)?？级?jí)結(jié)論與模型導(dǎo)語(yǔ)：每當(dāng)談到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們總是避不開這樣一個(gè)話題，教材上沒(méi)有、但考試要考，而且是有效的解題利器，那就是——二級(jí)結(jié)論其實(shí)以上想依靠現(xiàn)推來(lái)解題的想法不過(guò)是在偷懶，很多非常實(shí)用的二級(jí)結(jié)論的推導(dǎo)需要極其巧妙的手法，在高度緊張的環(huán)境中，著實(shí)很難想到，不如就先記住并熟練掌握。再者，高考題越來(lái)越新、越來(lái)越活，很多題放在那里你都不一定知道該用什么結(jié)論，更何況你如果不熟練呢？不過(guò)話說(shuō)回來(lái)，并不是說(shuō)記憶就夠了，也并不是在抹黑理解與應(yīng)用，我只想說(shuō)死記硬背其實(shí)是第一步，千萬(wàn)不要忽視.TOC\o"1-3"\n\h\z\u知識(shí)點(diǎn)梳理題型一點(diǎn)差法與第三定義（常規(guī)篇）題型二點(diǎn)差法（提高篇）題型三橢圓與雙曲線第三定義（提高篇）題型四拋物線焦半徑與焦點(diǎn)弦結(jié)論題型五焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成定比題型六雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓模型題型七阿基米德三角形題型八橢圓雙曲線焦點(diǎn)弦與焦半徑公式題型九橢圓雙曲線大題·面積相關(guān)問(wèn)題（韋達(dá)化處理與弦長(zhǎng)公式）題型十平移+齊次化解決定點(diǎn)與斜率和積定值問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)梳理一、點(diǎn)差法（弦中點(diǎn)） 橢圓垂徑定理：已知A,B是橢圓上任意2點(diǎn)，且弦不平行軸，M為線段AB中點(diǎn)，則有證明（點(diǎn)差法）：設(shè)，，則，，，∵A，B在橢圓上，代入A，B坐標(biāo)得① ②兩式相減得：，整理得∴二、橢圓雙曲線第三定義 那么點(diǎn)差法是不是只能解決同時(shí)與中點(diǎn)和斜率有關(guān)的問(wèn)題呢?其實(shí)不然．其實(shí)點(diǎn)差法的內(nèi)核還是“設(shè)而不求、整體代換”的思想，建立的是曲線上兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)和差之間的聯(lián)系，這其實(shí)也是第三定義的體現(xiàn).第三定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的斜率乘積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓或雙曲線(不含兩個(gè)頂點(diǎn))．其中兩定點(diǎn)分別為橢圓或雙曲線的頂點(diǎn)．當(dāng)常數(shù)大于－1小于0時(shí)為橢圓，此時(shí)；當(dāng)常數(shù)大于0時(shí)為雙曲線，此時(shí)．【第三定義推廣】：平面內(nèi)與兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，的斜率乘積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓或雙曲線．當(dāng)常數(shù)大于－1小于0時(shí)為橢圓，此時(shí)；當(dāng)常數(shù)大于0時(shí)為雙曲線，此時(shí)．【證明】是橢圓上的一組對(duì)稱點(diǎn)，P為橢圓上任意點(diǎn)，則有 證明（點(diǎn)差法）：設(shè)，，，，，∵P，A在橢圓上，代入坐標(biāo)得① ②兩式相減得：，整理得∴法二：通過(guò)橢圓的垂徑定理轉(zhuǎn)換 中點(diǎn)弦和第三定義本質(zhì)上是一樣的三、拋物線的焦點(diǎn)弦常見(jiàn)結(jié)論：設(shè)AB是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，若，，則

(1)(2)焦半徑，(α為弦AB的與x軸夾角)(3)弦長(zhǎng)(α為弦AB的傾斜角)．(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(5)通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)度等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦．(6)（定值）.(7)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.

四、焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成定比若AB是過(guò)焦點(diǎn)的弦，且，則（其中θ不是傾斜角，而是AB與焦點(diǎn)所在軸的夾角，拋物線離心率為1）五、阿基米德三角形（1）阿基米德焦點(diǎn)三角形性質(zhì)（弦AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)）性質(zhì)1：MF⊥AB性質(zhì)2：MA⊥MB性質(zhì)3：MN∥x軸性質(zhì)4：S△ABM最小值為p2對(duì)于點(diǎn)A，B:①拋物線焦點(diǎn)弦與拋物線的交點(diǎn)②由準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)M③過(guò)焦點(diǎn)弦的一個(gè)端點(diǎn)所作的切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)④過(guò)焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)所作兩條切線的交點(diǎn)滿足以上①③或①④或②③或②④的三個(gè)點(diǎn)所組成的三角形即為“底邊過(guò)焦點(diǎn)的阿基米德三角形”（2）阿基米德三角形一般性質(zhì)（弦AB不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)）【性質(zhì)1】阿基米德三角形底邊上的中線PM平行于拋物對(duì)稱軸．【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)定點(diǎn)拋物線內(nèi)部的定點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡為直線記，，，M為弦AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線內(nèi)部的定點(diǎn)半代入得出切線PA，PB的方程，再得出則，則，下略【性質(zhì)3】若P點(diǎn)軌跡為直線，且該直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，則定點(diǎn).設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，半代入得出切點(diǎn)弦AB的直線方程，進(jìn)而得出定點(diǎn)C的坐標(biāo)【性質(zhì)4】阿基米德三角形的面積的最大值為.【性質(zhì)5】，六、橢圓，雙曲線焦半徑與焦點(diǎn)弦?jiàn)A角公式已知雙曲線，求出2種情況下的焦半徑,以及焦點(diǎn)弦 情況1：：AB兩點(diǎn)同一支上，直線AB與x軸夾角為α，，情況2：AB兩點(diǎn)不在同一支上，直線AB與x軸夾角為β，，

題型一點(diǎn)差法與第三定義（常規(guī)篇）（2023上·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P是C上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，直線PA，PB的斜率之積為________已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓與，兩點(diǎn)．若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．（2022上·廣東深圳·高二?？计谀┮阎獧E圓,直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值.已知P是橢圓E：，若A，B是E上兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值．已知橢圓的焦距為6，橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.題型二點(diǎn)差法（提高篇）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為（），那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．，或題型三橢圓與雙曲線第三定義（提高篇）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，拋物線與雙曲線交于兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，則為.已知，是橢圓的左右頂點(diǎn)，是雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，直線，分別交橢圓于另外的點(diǎn)，．若直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為．已知、是橢圓與雙曲線的公共頂點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，，交橢圓于，.若過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓外，P，Q在橢圓上，且P是線段AQ的中點(diǎn)．若直線PQ，PF的斜率之積為，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．題型四拋物線焦半徑與焦點(diǎn)弦結(jié)論已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是.已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)F的弦交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且有，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)C，作A到準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，p的值為． （多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），則（

）A． B．弦AB的長(zhǎng)度最小值為lC．以AF為直徑的圓與y軸相切 D．以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切已知是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，最小值為________，直線過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為時(shí)（點(diǎn)在第一象限），________，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則最大值為_______.已知拋物線EQy\S\UP6(2)＝16x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則__________；的最小值為__________.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線，直線與C交A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為 .題型五焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成定比已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于A，B兩點(diǎn)．若的面積是面積的2倍，則的離心率為．

已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于，，，兩點(diǎn)，且，則；若直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，滿足，則．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于A，B兩點(diǎn)（A在B點(diǎn)左側(cè)）．若=．題型六雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓模型雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，右支上有一點(diǎn)M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為．已知點(diǎn)分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線的右支第一象限于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為1，則直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．重慶市巴蜀中學(xué)2023屆高考適應(yīng)性月考（七）數(shù)學(xué)試題已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若內(nèi)切圓與內(nèi)切圓的半徑的乘積為，則雙曲線的離心率為 （）A．B．C．D．（多選）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，過(guò)的直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，記和的內(nèi)切圓半徑分別為和，則（

）A．和的內(nèi)切圓圓心的連線與軸垂直B．為定值C．若，則的離心率D．若，則的漸近線方程為題型七阿基米德三角形（黃岡中學(xué)月考）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線交C于A,B兩點(diǎn),分別以A,B為切點(diǎn)作C的切線，，若與交于點(diǎn)P，且滿足，則|AB|=( )A.5 B.6 C.7 D.8（武漢市武昌區(qū)五月質(zhì)檢）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與交于A，B兩點(diǎn)，C在A處的切線與C的準(zhǔn)線交于P點(diǎn)，連接BP．若|PF|＝3，則的最小值為_____已知點(diǎn)，從拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)引拋物線的兩條切線，，且，為切點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值是（

）A． B． C．2 D．3（成都七中月考）過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，又直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，那么=.（多選）過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），M為線段AB的中點(diǎn).M在拋物線的準(zhǔn)線l上的射影為點(diǎn)N，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小值為4 B.C.△NAB面積的最小值為6 D.若直線AB的斜率為，則（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線與交于、兩點(diǎn)，且，，若過(guò)點(diǎn)、分別作的兩條切線交于點(diǎn)，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（2024屆·廣東省四校第一次聯(lián)考）過(guò)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別為,又點(diǎn)在直線上的射影為，則焦點(diǎn)與連線的斜率取值范圍是.（2023·深圳市二模）（多選）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)拋物線C上不同的兩點(diǎn)A，B分別作C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為P，AB的中點(diǎn)為Q，則（

）A．軸 B． C． D．題型八橢圓雙曲線焦點(diǎn)弦與焦半徑公式已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為.若關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上，且直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則__________.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，若存在點(diǎn)使成立，則的取值范圍為.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作其中一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是___________.2023屆·山東省新高考3月聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)過(guò)雙曲線的左、右焦點(diǎn)作兩條相互平行的弦，其中在雙曲線的左支上，在軸上方，則的最小值為．當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，四邊形的面積為．（提示：參考焦半徑公式與焦點(diǎn)弦公式）2023屆·青島三模T8——2個(gè)二級(jí)結(jié)論已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)C的右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為W，，則離心率e＝________；的周長(zhǎng)等于12，則a＝________．題型九橢圓雙曲線大題·面積相關(guān)問(wèn)題（韋達(dá)化處理與弦長(zhǎng)公式）已知橢圓C：的離心率為，且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l（不過(guò)原點(diǎn)O）與C交于AB，兩點(diǎn)，求面積的最大值．已知橢圓：（）的焦距為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與軸相交于點(diǎn)，與橢圓相交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的離心率；(2)若，求的值.（2023上·福建龍巖·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，點(diǎn)M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B﹐滿足．若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2023上·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的不同的兩點(diǎn)，其中為原點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)若，求面積的最小值.

已知橢圓：，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求的方程；(2)若斜率存在且不為0的直線經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)F，且與C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，證明：直線BD過(guò)x軸上的定點(diǎn).（2023上·湖北·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)，，．(1)求雙曲線的方程；(2)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．

（2023上·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的面積最大值.題型十平移+齊次化解決定點(diǎn)與斜率和積定值問(wèn)題已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)