6.3.5平面向量的數(shù)量積講義-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

平面向量的數(shù)量積【知識梳理】一、兩向量的夾角與垂直1.夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).當(dāng)θ＝0時，a與b同向；當(dāng)θ＝π時，a與b反向.2.垂直：如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，則稱a與b垂直，記作a⊥b.二、向量數(shù)量積的定義非零向量a，b的夾角為θ，數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積等于0.三、投影向量在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則eq\o(OM1,\s\up6(→))與e，a，θ之間的關(guān)系為eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.四、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a∥b時，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a與b同向，,－|a||b|，a與b反向.))特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.五、平面向量數(shù)量積的運算律1.a·b＝b·a(交換律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解實向量的數(shù)量積的物理意義，能夠計算兩個向量的數(shù)量積掌握向量數(shù)量積的運算律與常用公式數(shù)形結(jié)合解決向量綜合問題【例題分析】例1.（1）若與是相反向量，且=3，則等于（）A．9 B．0 C．3 D．9（2）已知向量、滿足，與的夾角為，則（）A． B． C． D．鞏固.若的夾角為，則___________.例2.已知向量與的夾角為120°，||＝2，||＝3，求：（1）(＋)·(－)；（2）|－|．鞏固.若平面向量，滿足，，，則___________．已知向量與滿足，，與的夾角大小為60°，則______．已知向量，滿足，，，則與的夾角為__________.例3.已知，且，則向量在向量上的投影向量的模等于________．鞏固.已知向量，，若，則向量在方向上的投影為______.例4.已知為邊長為2的正方形的邊DC上任一點，則的最大值為（）A．4 B．6 C．8 D．10鞏固.設(shè)圓C半徑為r，若A，B兩點都是⊙C上的動點，求的最大值．【課時訓(xùn)練】一、單選題1．下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．42．若，則的值不可能是（）A．0 B． C．2 D．33．若，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．4．已知均為單位向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．5．已知，則（）A．1 B． C．2 D．或26．已知，的夾角為，則以為鄰邊的平行四邊形的一條對角線長為（）A．15 B． C．14 D．167．若向量，滿足且，則（）A．4 B．3 C．2 D．08．已知，如果，那么的值為（）A． B． C． D．9．若向量滿足：則（）A．2 B． C．1 D．10．在同一平面內(nèi)，線段為圓的直徑，動點滿足，則點與圓的位置關(guān)系是（）A．點在圓外部 B．點在圓上 C．點在圓內(nèi)部 D．不確定11．在邊長為1的等邊三角形中，設(shè)，則（）A． B．0 C． D．3二、填空題12．已知兩個單位向量的夾角為，若向量，則_____________.13．已知，是與方向相同的單位向量，若在上的投影向量為，則_____________.14．已知為一個單位向量，與的夾角是.若在上的投影向量為，則_____________.15．已知，且，則與的夾角的取值范圍是__________.16．已知，，則與的夾角為.17．已知向量與的夾角為，且，