畫法幾何學(xué)課件

第1章緒論1.2投影法1.1畫法幾何學(xué)的任務(wù)12本課程的學(xué)習(xí)目的和任務(wù)3

本課程的學(xué)習(xí)方法1本學(xué)科的研究對象11.1畫法幾何學(xué)的任務(wù)1本學(xué)科的研究對象

工程圖樣是工程技術(shù)界中表達(dá)和交流技術(shù)思想的一項重要工具，是工業(yè)生產(chǎn)中的重要技術(shù)文件。設(shè)計部門用它來表達(dá)設(shè)計意圖，制造部門就根據(jù)它來加工生產(chǎn)。因此，把“圖樣”比喻為工程界的“技術(shù)語言”----工程界的共同語言。

本學(xué)科是一門研究圖示法和圖解法以及根據(jù)工程技術(shù)的規(guī)定和知識（包括計算機繪圖知識）來繪制和閱讀工程圖樣的科學(xué)。4

在工程技術(shù)中，按一定的投影方法和有關(guān)規(guī)定，把物體的形狀、大小、材料及有關(guān)技術(shù)說明，用數(shù)字、文字和符號表達(dá)在圖紙上或存貯在磁盤等介質(zhì)上的圖，稱為工程圖樣。工程圖樣

本課程是研究如何根據(jù)投影理論和國標(biāo)及各種繪圖方式的有關(guān)規(guī)定，繪制并閱讀工程圖樣的一門課程。是高等工業(yè)院校的一門必修的重要技術(shù)基礎(chǔ)課。2本課程的學(xué)習(xí)目的和任務(wù)

本課程是高等工科院校中一門既有理論，又有實踐的重要技術(shù)基礎(chǔ)課。其目的是培養(yǎng)學(xué)生具有繪圖、看圖和空間想象能力。其主要任務(wù)是：（1）學(xué)習(xí)投影法（主要是正投影法）的基礎(chǔ)理論及其應(yīng)用；（2）培養(yǎng)空間形體的圖示表達(dá)能力；（3）培養(yǎng)繪制和閱讀工程圖樣（主要是機械圖樣）的基本能力；（4）培養(yǎng)空間幾何問題的圖解能力；（5）培養(yǎng)空間形象思維能力和空間分析能力；（6）培養(yǎng)計算機繪圖的初步能力*。3本課程的學(xué)習(xí)方法1.理論聯(lián)系實際，更多地注意如何在具體操作時運用這些理論和原則。2.注意空間形體與其投影之間的相互聯(lián)系，“由物到圖，再從圖到物”進(jìn)行反復(fù)研究和思考。3.認(rèn)真聽課，及時復(fù)習(xí)，獨立完成業(yè)。4.勤于練習(xí)，多看、多畫、多想。5.繪圖過程中，要耐心細(xì)致、一絲不茍。1.2投影法1.2.1中心投影法1.2.2平行投影法1.2.3投影規(guī)律投影法投影中心投影面投影線空間點投影SBAba投射線通過物體，向選定的平面進(jìn)行投射，并在該面上得到圖形的方法——投影法。1.2.1中心投影法abcdABCDS特點：投影光線交于一點。

投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差。投影特性物體位置改變，投影大小也改變。投射線物體投影面投影投射中心1.2.2平行投影法斜投影法ABCDcabd特點：投影光線相互平行。1.2.2平行投影法正投影法ABCDabcd特點：投影光線相互平行且垂直投影面。投影特性投影：大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)度量性較好。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。斜投影法正投影法投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法畫透視圖畫斜軸測圖畫工程圖樣及正軸測圖從屬性ⅠⅡ1.2.3投影規(guī)律平行性積聚性真實性類似性1.2.4常用的工程圖1.多面正投影圖

典型的多面視圖的示例--三視圖。真實地表達(dá)了零件的內(nèi)外部結(jié)構(gòu)和形狀，配以尺寸標(biāo)注和其它技術(shù)要求后，完全滿足了機械加工的要求。2.軸測圖

它的優(yōu)點是直觀性較好，但度量性差，作圖較繁。因此，在工程上常用作插圖，以彌補多面正投影圖直觀性差的缺點。日期日期153.437.384.50.0220H7h620H7h620H7h620H7h61230.0245H7r745H7r71109165G3/816H7k6AAA-A123456789101112131415技術(shù)要求

1.齒輪安裝后用手轉(zhuǎn)動傳動齒輪軸時,應(yīng)靈活。

2.兩齒輪輪齒的嚙合面應(yīng)占齒長的

3/4以上。數(shù)量審核姓名73序號21654名稱11109812重量比例（圖號）合肥工業(yè)大學(xué)材料m=2.5,Z=20齒輪油泵01-06GB/T6701-0201-0101-03GB/T119Q235Q235Q235傳動齒輪軸銷A5

18左端蓋齒輪軸泵體墊片44511451紙12m=3,Z=9m=3,Z=9δ=1軸套壓緊螺母右端蓋密封圈01-0701-0901-1011Q235橡膠11354501-11GB/T93GB/T6170GB/T70.1GB/T1096螺母M12

1.5墊圈12傳動齒輪65Mn1145135螺釘M6

16鍵

4

10135451213141501-08代號備注齒輪油泵裝配圖齒輪油泵3.標(biāo)高投影圖

曲面的標(biāo)高投影曲面的標(biāo)高投影圖4.透視圖

透視圖是根據(jù)中心投影法繪制的，它和人的眼睛實際上看的形象一樣，所以圖立體感較強。但由于不能真實地度量出物體的大小且作圖繁瑣，目前多在建筑工程上使用。28第2章點的投影2.1點在一個投影面上的投影2.2點在兩投影面體系中的投影2.3點在三投影面體系中的投影2.4點的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系2.5特殊位置的點2.6兩點的相對位置及重影點Pb

●●AP

過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。B3●B2●B1●

點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。2.1點在一個投影面上的投影a

●物體的單面投影圖影投方向結(jié)論：利用單面投影圖無法確定物體的空間形狀2.2點在兩投影面體系中的投影

投影面正面投影面（簡稱正面或V面）水平投影面（簡稱水平面或H面）投影軸

ox軸

V面與H面的交線（簡稱x軸）HVOX兩個投影面互相垂直1.兩投影面體系的建立2.空間點A在兩個投影面上的投影a點A的水平投影a

點A的正面投影●●●XOVHAaa

xa注意：

空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。VH●●●XOVHAaa

4.點的投影規(guī)律:（1）a

a⊥OX軸（2）aax

a

axxa=Aa

（A到V面的距離）=Aa（A到H面的距離）a

a●●aX3.投影面展開省略不畫繞X軸下旋轉(zhuǎn)90o不動5.其他分角內(nèi)點的投影HXVOOX分角ⅠⅡⅢⅣ點的正面投影OX的上方OX的上方OX的下方OX的下方點的水平投影OX的下方OX的上方OX的上方OX的下方

注意：位于各分角內(nèi)點的兩面投影其連線總是垂直O(jiān)X軸，且投影點到OX軸之間的距離分別反映空間點到對應(yīng)投影面的距離。

HWV2.3點在三投影面體系中的投影1.三面投影體系的建立正面投影面--V面水平投影面--H面?zhèn)让嫱队懊?-W面2.投影軸OXZOX軸

V面與H面的交線OZ軸

V面與W面的交線OY軸

H面與W面的交線三個投影面互相垂直Y三面投影體系將空間分為八個分角。3.空間點A在三面投影體系中的投影a點A的水平投影a'點A的正面投影a

點A的側(cè)面投影●●●●XZOVHWAaa

a

xaazayY如：空間點AHWV●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay繞Z軸向右旋轉(zhuǎn)90o繞X軸向下旋轉(zhuǎn)90o不動4.投影面展開aa●x●●azZaa

yayaXYH

YWO

省略不畫●●●●XYZOVHWAaa

a

5.點的投影規(guī)律:（1）a

a⊥OX軸（2）aax=

a

ax=xaazay●●YWZaza

XYHayWOaaxayHa

●

a

a

⊥OZ軸=y=Aa

（A到V面的距離）a

az=x=Aa

（A到W面的距離）a

ay=z=Aa

（A到H面的距離）a

aza

ay=例：已知點A的兩個投影a,a

,求第三●a

●●a

aaxaz解法一:通過作45°線使a

az=aax解法二:用圓規(guī)直接量取a

az=aaxZOXYWYHYHYW投影a"。aza

●●●a

aaxZOXYHYW2.4點的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系A(chǔ)a′a″aaxayazVHWOXYZXa′a″aOaxayazZayYHYWHWxyzxyzy例：求點A(40,20,30)的三面投影XOaxazZYHYWayHayW40203020已知點A:X坐標(biāo)=40毫米；

Y坐標(biāo)=20毫米；

Z坐標(biāo)=30毫米。a″a′a空間點的重建法(a)坐標(biāo)法(b)逆投影線法已知點A的坐標(biāo)或投影，在大腦中進(jìn)行……2.5特殊位置的點OXb

bc

cC=c

ca

ba

aXOVHA=aB=b

2.6兩點的相對位置及重影點

兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：x坐標(biāo)大的在左

y坐標(biāo)大的在前z坐標(biāo)大的在上A點在B點之前、之右、之上。b

aa

a

b

b●●●●●●XYHYWZo1.兩點的相對位置O比較A、B兩點的相對坐標(biāo)△x△xz△z△y△△yA點在B點之右A點在B點之后A點在B點之上()a

cc

2.重影點

空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點?！瘛瘛馻

a

c

被擋住的投影加()A、C為哪個投影面的重影點呢？A、C為H面的重影點ZXYWOYH●●()a

bA、B為水平投影面的重影點●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay●●●b

Bb

(b)●b

●●●a

a

b

ZXYWOYH●●d

(c

)cdCDa(b)a

b

ABa

b

a(b)d

(c

)cdA、B為水平投影面的重影點C、D為正面投影面的重影點a[例題1]

已知點A的正面與側(cè)面投影，求點A的水平投影。[例題2]

已知點A在點B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求點A的投影。a

a

a985本章結(jié)束第5章直線與平面及兩平面的相對位置5.1平行問題

5.2相交問題5.3垂直問題5.4綜合問題分析及解法基本要求（一）平行問題

1．熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；

2．熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。（二）相交問題

1．熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。

2．熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。

3．掌握利用重影點判別投影可見性的方法。（三）垂直問題

掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。（四）點、線、面綜合題

1．熟練掌握點、線、面的基本作圖方法；

2．能對一般畫法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。

直線與平面平行

兩平面平行5.1平行問題⒈

直線與平面平行DBCAP若：AB∥CD則：AB∥P

若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。幾何條件：有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。fg

f

g結(jié)論：直線AB不平行于定平面[例1]

試判斷直線AB是否平行于定平面n

●●a

c

b

m

abcmn[例2]過M點作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解d

dX正平線[例3]過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。唯一解c

●●b

a

m

abcmnn

d

dXb

a

af

fb[例4]

試過點K作水平線AB平行于ΔCDE平面直線與特殊位置平面平行

當(dāng)平面為投影面的垂直面時，只要平面有積聚性的投影和直線的同面投影平行，或直線也為該投影面的垂線，則直線與平面必定平行。⒉

兩平面平行

若一個平面內(nèi)的相交二直線與另一個平面內(nèi)的相交二直線對應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。

判別兩已知平面是否相互平行；過一點作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。幾何條件：

兩平面平行的作圖問題有：兩平面平行①若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。ⅠⅡⅢAB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ；

則：P∥Q②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。兩特殊位置平面平行c

f

b

d

e

a

abcdefXf

g

abcdefga

b

c

d

e

X兩特殊位置平面平行兩一般位置平面平行acebb

a

d

dfc

f

e

khk

h

OXm

m由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。[例1]

判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行，

已知AB∥CD∥EF∥MH[例2]

試判斷兩平面是否平行m

n

mnr

rss

結(jié)論：兩平面平行em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k[例3]

已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面。[例4]

試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因為PH平行SH，所以兩平面平行

直線與平面相交

兩平面相交5.2相交問題

直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。1.

直線與平面相交要討論的問題：(1)求直線與平面的交點。

(2)判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。

我們將分別討論一般位置的直線與平面或至少有一個處于特殊位置的情況?！瘛?.

兩平面相交

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：①

求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個共有點。⑵確定一個共有點及交線的方向。

②

判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。5.2.1特殊位置線面相交直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性特殊位置直線與一般位置平面相交1.直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交點可直接求出。b

ba

acc

m

mnn

k

k2.判斷直線的可見性特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。kb

ba

acc

m

mn

nk

例1求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性?？臻g及投影分析:

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。①

求交點②

判別可見性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見。

還可通過重影點判別可見性。⑴

平面為特殊位置abcmnc

n

b

a

m

k

●k●1

(2

)2●1●●Xkm(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵

直線為特殊位置空間及投影分析:

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①

求交點②

判別可見性

點Ⅰ位于平面上，在前，點Ⅱ位于MN上，在后，故k

1

為不可見。k

●2●1●●1

(2

)X()k21k'2'1'例2求鉛垂線EF與一般位置平面△ABC的交點并判別

其可見性。5.2.2一般位置平面與特殊位置

平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題，由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交線可直接求出。

1.求交線

2.判斷平面的可見性1.求交線MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

2.判斷平面的可見性2.判斷平面的可見性abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)●例3求兩平面的交線

MN并判別可見性。⑴空間及投影分析：①

求交線②

判別可見性

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。m●n●

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。

還可通過重影點判別可見性a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●空間及投影分析：

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點m、n即為兩個共有點的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。①

求交線②

判別可見性

點Ⅰ在MC上，點Ⅱ在FH上，點Ⅰ在前，點Ⅱ在后，故m

c

可見。作圖X211'(2')m′●●●n′●●bc

d

e

f

a

b

acdef⑶投影分析

N點的水平投影n位于Δdef

的外面，說明點N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個圖形內(nèi)。

所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。m●k●k

●nn'●①

求交線②

判別可見性作圖●m

●ΔDEF的正面投影積聚5.2.3直線與一般位置平面相交以正垂面為輔助平面求線面交點

示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點

示意圖判別可見性

示意圖1

2

QV21kk

步驟：1．過EF作正垂平面Q。2．求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點K。示意圖以正垂面為輔助平面求直線EF與ΔABC平面的交點ABCQ過EF作正垂面QEF以正垂面為輔助平面求線面交點示意圖ⅠⅡ2PH1

步驟：1．過EF作鉛垂平面P。2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點K。k

k2

示意圖以鉛垂面為輔助平面求直線EF與ΔABC平面的交點1過EF作鉛垂面P以鉛垂面為輔助平面求線面交點示意圖FCABPEFKEⅠⅡf

e

e直線EF與平面

ABC相交，判別可見性。利用重影點判別可見性124

3

（

）kk

(3)4示意圖(

)2

1

3

ⅠⅡⅢ1

(2

)(4)3利用重影點判別可見性Ⅳ直線EF與平面

ABC相交，判別可見性。示意圖5.2.4兩一般位置平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。兩一般位置平面相交求交線判別可見性兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點的方法，作出兩平面的兩個共有點K、E。ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2．連接兩個共有點，畫出交線KE。示意圖例4求兩平面的交線兩一般位置平面相交求交線的方法示意圖

利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性3

4

()34

21()1

2

5.2.5綜合性問題解法試過K點作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。綜合性問題解法

綜合性問題解法

綜合性問題解法

例5

過已知點K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH分析m

n

h

hnmPV1

12

21．過點K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點H。3．連接KH，KH即為所求。作圖

直線與平面垂直

兩平面互相垂直5.3垂直問題5.3.1直線與平面垂直VHPAKLDCBE幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO定理2：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線（逆）的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXOa

cac

nn

mf

d

b

dbfm

例6

平面由

BDF給定，試過定點M作平面的垂線。h

hh

hh

hkk

SVk

kPVk

kQH例7

試過定點K作特殊位置平面的法線。e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例8

平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN

是否垂直于定平面。例9

試過點N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，與H面的夾角為45°。n

nXO平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為補角。HPAKFDCBEf

分析

直徑任取NM|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

nXO作圖過程幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。PAB5.3.2兩平面垂直

反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。ABⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠABg

ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfgXO例10

平面由

BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面g

h

a

chac

kk

b

bgf

fd

d結(jié)論：兩平面不平行XO例11

試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面

是否垂直。

5.4.1空間幾何元素定位問題

5.4.2空間幾何元素度量問題5.4綜合問題分析及解法

5.4.3綜合問題解題舉例求解綜合問題主要包括：

平行、相交、及垂直等問題側(cè)重于探求每一個單個問題的投影特性、作圖原理與方法。而實際問題是綜合性的，涉及多項內(nèi)容，需要多種作圖方法才能解決。綜合問題解題的一般步驟：

1.分析題意

2.明確所求結(jié)果，找出解題方法

3.擬定解題步驟空間幾何元素的定位問題（交點、交線）空間幾何元素的度量問題（如距離、角度）。5.4.1空間幾何元素定位問題c

g

h

e

f

d

cefghdXO例12

已知三條直線CD、EF和GH，求作一直線AB與

CD平行，并且與EF、GH均相交。分析

所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，并且與交叉直線EF、GH相交。ABCDHGEF作圖過程k

kc

g

h

e

f

d

cefghdXOPV11

2

2aa

bb

例13

試過定點A作直線與已知直線EF正交。EQ分析FAK

過已知點A作平面垂直于已知直線EF，并交于點K，連接AK，AK即為所求。作圖2

11

22

1a

efaf

e

1

2PVk

k5.4.2空間幾何元素度量問題度量問題—是解決距離和角度的度量問題，主要基礎(chǔ)是根據(jù)直角投影定理作平面的垂線或直線的垂面，并求其實長或?qū)嵭巍?/p>

1.距離的度量點到點之間的距離.

求二點之間線段的實長（直角三角形法）。

點到直線之間的距離.過點作平面垂直于直線，求出垂足，再求出點與垂足之間的線段實長。

點到平面之間的距離.過點作平面的垂線，求出垂足，

..再求出點與垂足之間的線段實長。

直線與直線平行之間的距離直線與交叉直線之間的距離直線與平面平行之間的距離平面與平面平行之間的距離過一直線上任一點作另一直線的垂線，余下方法同點到直線的距離。包含一直線作一平面平行于另一直線，在另一直線上任取一點，過點作平面的垂線，求出垂足，再求出點與垂足之間的線段實長。過直線上任一點作平面的垂線。方法同點到平面的距離。過一平面上任一點作另一平面的垂線。余下方法同點到平面的距離。PQPPDBPPBPKAKALCKLLABKLABKCDELF例14

求點C到直線AB的距離。c

a

b

cabXO分析PABCK

過C點作直線AB的垂線CK一定在過C點并且與AB垂直的平面P內(nèi)，過C點作一平面與直線AB垂直，求出該平面與AB的交點K，最后求出垂線CK的實長即為所求。作圖過程c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距離PV例15

求兩平行直線AB和CD的距離。c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距離PVd

d例16

求Ｍ點到△ABC平面的距離。

作出垂線后，用輔助平面法求出垂線與△ＡＢＣ平面的交點（即垂足），再用直角三角形法求出線段的實長即可。hfe

bm

b

a

c

ach

所求距離

MK實長k

kXOef

mcc

a

b

abXOdd

例17

求交叉兩直線AB和CD的公垂線。分析LKABDCGHEFP

過一條直線CD作平面P平行于另一條直線AB，在過點A作平面P的垂線AH，求出垂足點E；在平面P上過點E作直線EF∥AB與直線CD交于點K；過點K作直線KL∥AH交AB于L點，KL即為所求的公垂線。作圖過程gg1

122

h343

4

eefkklflcc

a

b

abXOdd

hPH2.角度的度量兩相交直線間的夾角直線與平面的夾角兩平面間的夾角PABCEF任作一直線分別與兩相交直線相交，構(gòu)成三角形，求三角形的實形（分別求出三邊的實長），夾角即可求得。兩相交直線間的夾角

PCAB直線和它在平面上的投影所夾的銳角，稱為直線與面的夾角。過直線上任一點角度作平面的垂線，求出直線與垂線的夾角（方法同兩相交直線的夾角）的余角，余角即為所求。此法又稱余角法。直線與平面的夾角?

PQ兩平面間的夾角兩平面間的夾角就是兩平面二面角的平面角。在空間任取一點，分別作二平面的垂線，求出二垂線間的夾角(方法同兩相交直線間的夾角)的補角，補角即為所求。此法又稱補角法。?

BCA例18

求直線ＤＥ與△ＡＢＣ平面的夾角θ作∠ＥＤＦ的余角θ，即為所求直線ＤＥ與△ＡＢＣ平面的夾角。ＥＦf

XObee

b

a

c

acd

dＤＦＦＤＥ

?fdfef本章結(jié)束第六章投影變換§6-1概述§6-2換面法基本要求

基本要求（1）掌握換面法的基本原理和換面法作圖的投影變換規(guī)律。（2）掌握用換面法求線段實長、平面圖形實形及其對投影面的傾角基本作圖方法。（3）掌握用換面法解決一般空間幾何元素間的定位和度量問題。6.1概述

當(dāng)直線或平面相對于投影面處于特殊位置（平行或垂直）時，它們的投影反映線段的實長、平面的實形及其與投影面的傾角，當(dāng)它們處于垂直位置時，其中有一投影具有積聚性。當(dāng)直線或平面和投影面處于一般位置時，則它們的投影就不具備上述的特性。投影變換就是將直線或平面從一般位置變換為和投影面平行或垂直的位置，以簡便地解決它們的定位和度量問題。a

abb

兩點之間距離a

abb

c

c三角形實形a

abb

c

cdd

直線與平面的交點a

b

c

d

abcd

兩平面夾角6.2換面法6.2.1換面法的基本概念6.2.2點的投影變換規(guī)律6.2.3直線的換面6.2.4平面的換面

換面法—空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面來代替舊的投影面，使對新投影面的相對位置變成有利解題的位置，然后找出其在新投影面上的投影。6.2.1換面法的基本概念a1

c1

b1

V1X1X1V/H

體系變?yōu)閂1/H

體系c1

b1

a1

bcab

a

c

X1.新投影體系的建立V1/H

體系稱為新投影體系；V/H

體系為舊投影體系。V1稱為新投影面；V稱為舊投影面；H稱為不變投影面。X1稱為新投影軸；X稱為舊投影軸。新投影面的選擇必須符合以下兩個基本條件：(1)新投影面必須和空間幾何元素處于有利解題的位置。(2)新投影面必須垂直于于原投影體系中的一個不變投影面。2.新投影面的選擇原則V1HV1∥ABC1.點的一次變換X1V1a1

6.2.2點的投影變換規(guī)律V/H

V1/H

a1

a

XVHaVHXX1V1a1

X1HV1a

Aa變換V面時點的投影作圖V1a1

（1）點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。（2）點的新投影到新投影軸的距離等于點的舊投影到舊投影軸的距離。2.點的投影變換規(guī)律H1X1點在V/H1體系中的投影X1H1Va1a1V/H

體系變?yōu)閂/H1

體系V/H1

體系稱為新投影體系；V/H

體系為舊投影體系。X1稱為新投影軸；X稱為舊投影軸。H1稱為新投影面；H稱為舊投影面；V稱為不變投影面。a23.點的兩次變換X2H2V12X2a2V/H

V1/H

V1/H2

新投影不變投影舊投影新軸舊軸第一次變換時的舊、不變、新投影值得提醒的是:在多次變換中，必須遵照交替換面的原則。V/H

V1/H

V1/H2

V3/H2

V/H

V/H1

V2/H1

V2/H3

如:V1X11.將一般位置直線變換為投影面的平行線

a1

b1

a1

b1

X1V1H6.2.3直線的換面將一般位置直線變換為V1面的平行線一次換面即可[例題1]

將一般位置直線變換為H1面的平行線X1H1Va1b1

X1H1Va1b12.將投影面平行線變換為投影面的垂直線

b

b1X1a1b1一次換面即可3.將一般位置直線變換為投影面的垂直線V1X1a1

b1

2a2b2需要二次換面X2一般位置直線變換為投影面垂直線的作圖X2H2V1a2b2X1HV1a1

b1

[例題2]

求點C到直線AB的距離空間分析c'2作圖c1b1a1X2H1V2H1X1Vkk'k1b'2a'2距離k'2c1k1∥

X2[例題3]求兩平行直線AB與CD間的距離X2H2V1a

aXVHb

ba2b2X1HV1a1

b1

提示a

aXb

bcdc

d

VHX2H2V1a

aXVHb

ba2b2X1HV1a1

b1

作圖cdc

d

c2d2d1

c1

距離2

1

1'12'11222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b'1a'1d'1c'121b

[例題4]

求交叉兩直線AB與CD的公垂線ABH2Ⅱ∥H2ⅠⅠⅡABⅡCDⅠH2ABⅡDCⅠ1222c2d21222c2d2a

c

XVHb

bac1.將一般位置平面變換為

投影面的垂直面

cdd

DX1H1a1c1b1d1

d

X1H1Vd

b1a1c1d16.2.4平面的換面一次換面即可k1X1H1Vb1a1c1d1s1[例題5]

求點S到平面ABC的距離距離Nd

dX1VH1k1e1b1a1c1d1有兩解e

e

[例題6]已知E到平面ABC的距離為N，求E點的正面投影e

。HACXVc

b

a

B2.將投影面垂直面變換為投影面的平行面V1c1

b1

a1

X1X1V1c1

a1

b1

一次換面即可aba1

c1

b1

X1d

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2

X2V2H13.將一般位置平面變換為投影面的平行面

實形需要二次換面[例題7]

已知E點在平面ABC上，距離A、B為15，求點E的投影。d

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2

X2V2H11515ee

e1e2

有兩解本章結(jié)束172第7章常見曲線曲面的畫法7.3

單葉雙曲回轉(zhuǎn)面7.1螺旋線7.2螺旋面7.4柱狀面7.5錐狀面7.6雙曲拋物面1737.1螺旋線

當(dāng)一個動點沿著一直線等速移動，而該直線同時繞與它平行的一軸線等速旋轉(zhuǎn)時，動點的軌跡就是一根圓柱螺旋線。1.圓柱螺旋線的形成1742.螺旋線的畫法1757.2正螺旋柱狀面1.正螺旋柱狀面的形成

正螺旋柱狀面的兩條曲導(dǎo)線皆為圓柱螺旋線，連續(xù)運動的直母線始終垂直于圓柱軸線。2.

正螺旋柱狀面的畫法（1）畫出兩條曲導(dǎo)線（圓柱螺旋線）；（2）作出直母線的兩面投影；（3）作出該曲面上各素線的投影。3.

正螺旋柱狀面的應(yīng)用的例子1761．正螺旋柱狀面的形成177

2.正螺旋柱狀面的畫法1783.正螺旋柱狀面應(yīng)用的例子螺旋扶手螺旋樓梯1797.3單葉雙曲回轉(zhuǎn)面1.單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的形成

單葉雙曲回轉(zhuǎn)面是由直母線繞與它交叉的軸線旋轉(zhuǎn)而形成。2.單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的畫法（1）畫出回轉(zhuǎn)軸及直導(dǎo)線的兩面投影；（2）作出輪廓線頂圓和底圓的兩面投影：（3）作出若干素線及外視轉(zhuǎn)向線的投影。180

2.單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的畫法

1817.4柱狀面1.柱狀面的形成

一直母線沿兩條曲導(dǎo)線連續(xù)運動，同時始終平行于一導(dǎo)平面，這樣形成的曲面稱為柱狀面2.柱狀面的畫法（1）畫出兩條曲導(dǎo)線的兩面投影；（2）作出直母線的兩面投影：（3）作出該曲面上各素線的投影。182P1．柱狀面的形成導(dǎo)平面曲導(dǎo)線曲導(dǎo)線1832.柱狀面的畫法1847.5錐狀面1.錐狀面的形成

一直母線沿一直導(dǎo)線和曲導(dǎo)線連續(xù)運動，同時始終平行于一導(dǎo)平面，這樣形成的曲面稱為錐狀面。2.錐狀面的畫法（1）畫出一直導(dǎo)線和曲導(dǎo)線的兩面投影；（2）作出直母線的兩面投影：（3）作出該曲面上各素線的投影。1851．錐狀面的形成P導(dǎo)平面曲導(dǎo)線直導(dǎo)線1862.錐狀面的畫法1877.6雙曲拋物面1.雙曲拋物面的形成

一直母線沿兩交叉直導(dǎo)線連續(xù)運動，同時始終平行于一導(dǎo)平面，其運動軌跡稱為雙曲拋物面。2.雙曲拋物面的畫法（1）畫出兩條直導(dǎo)線的兩面投影；（2）作出直母線的兩面投影：（3）作出該曲面上各素線的投影。3.雙曲拋物面的截交線1881.雙曲拋物面的形成P導(dǎo)平面直導(dǎo)線直導(dǎo)線直母線1892.雙曲拋物面的畫法1903.雙曲拋物面的截交線本章結(jié)束8.2平面立體8.3回轉(zhuǎn)體

第8章立體的投影8.1立體的三面投影

常見的基本立體平面立體曲面立體棱柱棱錐圓柱圓錐圓球圓環(huán)

8.1立體的三面投影8.1.1立體的投影8.1.2三面投影與三視圖8.1.3三視圖之間的對應(yīng)關(guān)系VWH8.1.1立體的投影

立體的投影，實質(zhì)上是構(gòu)成該立體的所有表面的投影總和。

用正投影法繪制的物體的投影圖稱為視圖。8.1.2三面投影與三視圖(1)視圖的概念主視圖—立體的正面投影俯視圖—立體的水平投影左視圖—立體的側(cè)面投影(2）三視圖的投影規(guī)律三等關(guān)系主俯視圖長對正主左視圖高平齊俯左視圖寬相等長高寬寬長對正寬相等高平齊

---無軸投影圖8.1.3三視圖之間的方位對應(yīng)關(guān)系主視圖反映：上、下、左、右俯視圖反映：前、后、左、右左視圖反映：上、下、前、后上下左右后前上下前后左右上下左右前后8.2平面立體8.2.1

棱柱8.2.2

棱錐平面立體側(cè)表面的交線稱為棱線若平面立體所有棱線互相平行，稱為棱柱若平面立體所有棱線交于一點，稱為棱錐棱錐體平面立體：是由若干個平面圖形所圍成的幾何體，如棱柱體、棱錐體等。

棱柱體

是平面立體各表面投影的集合----由直線段組成的封閉圖形。

平面立體的投影200

由兩個底面和六個側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。1.六棱柱8.2.1棱柱（1）六棱柱的投影視圖---無軸投影圖202(2)棱柱表面上取點a

a(a

)(b

)bb

點的可見性判別：

若點所在的平面的投影可見，點的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。c

c

c（1）三棱柱的視圖

由兩個底面和三個側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。2.三棱柱

三棱柱的兩底面為水平面，在俯視圖中反映實形。其余三個側(cè)棱面都是鉛垂面，水平投影積聚，與三角形的邊重合。

點的可見性判別：

若點所在的平面的投影可見，點的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。

由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取點與在平面上取點的方法相同。

mk

k

km

用相對坐標(biāo)，量取坐標(biāo)差的方法在表面取點。m

（2）三棱柱表面的點3.五棱柱的視圖8.2.2棱錐1.棱錐的組成

由一個底面和若干側(cè)棱面組成。側(cè)棱線交于有限遠(yuǎn)的一點——錐頂。s

Basa’cs

bCASb”(c”)a”c’b’

棱錐處于圖示位置時,其底面ABC是水平面，在俯視圖上反映實形。側(cè)棱面SAC為側(cè)垂面，另兩個側(cè)棱面為一般位置平面。2.棱錐的投影三視圖s(c

)s

a

ac

b

b

cs

ba

3.棱錐表面上取點2

2

23(3

)3

ⅡBCASmm

N1ⅠM1

n

n1

8.3.1圓柱8.3.2圓錐8.3.3圓球8.3.4圓環(huán)8.3回轉(zhuǎn)體工程中常見的曲面立體,是回轉(zhuǎn)體。

直母線生成的回轉(zhuǎn)曲面稱為直線回轉(zhuǎn)面如:圓柱面、圓錐面等。

回轉(zhuǎn)曲面是由母線(直線或曲線)繞定軸線作回轉(zhuǎn)運動生成的。

曲母線生成的回轉(zhuǎn)曲面稱為曲線回轉(zhuǎn)面如:圓球面、圓環(huán)面等?；剞D(zhuǎn)體的表面主要由回轉(zhuǎn)曲面構(gòu)成。表面由曲面或曲面和平面構(gòu)成的立體稱為曲面立體?；剞D(zhuǎn)體（面）的形成回轉(zhuǎn)面的術(shù)語OO頂圓素線赤道圓喉圓緯圓底圓母線軸線8.3.1圓柱圓柱的形成

圓柱面上與軸線平行的任一直線稱為圓柱面的素線。1.圓柱體的組成

由圓柱面和上下兩底圓組成。

圓柱面是由直母線AA1繞與之平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。2.圓柱的投影

圓柱面的俯視圖積聚成一個圓，在另兩個視圖上分別以兩個方向的外形輪廓線的投影表示。其上下底圓為水平面,在俯視圖上反映實形，在另兩個視圖上分別積聚成為一直線。（1）分析圓柱輪廓線的投影一（1）分析圓柱輪廓線的投影二（2）圓柱投影對V面可見性的判別前半面可見后半面不可見曲面的可見性的判斷輪廓線的投影是判斷曲面可見性的依據(jù)（3）圓柱投影對W面可見性的判別左半面可見右半面不可見曲面的可見性的判斷3.圓柱表面上取點()A(D)Cc”

輪廓線的投影是判斷曲面可見性的依據(jù)()B利用積聚性先求出水平投影a’c’4.圓柱面上的曲線曲線投影的求法是先求出線段上一系列點的投影；然后，再將這些點的投影依次光滑地連接起來。

利用積聚性先求出側(cè)面投影注意求出特殊位置的點（A、C）

----特殊點圓錐的形成8.3.2圓錐圓錐面是由直母線SA繞與它相交的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。1.圓錐體的組成由圓錐面和底圓組成。

S稱為錐頂，圓錐面上過錐頂?shù)娜我恢本€稱為圓錐面的素線。SAOO12.圓錐的投影

如圖示位置，俯視圖為一圓。另兩個視圖為等腰三角形，三角形的底邊為圓錐底圓的投影，兩腰分別為圓錐面不同方向的兩條輪廓素線的投影。(1)圓錐的投影特點輪廓線的投影底圓的投影(2)圓錐可見性的判別—V面前半面可見后半面不可見曲面的可見性的判斷。注意：輪廓線的投影與曲面的可見性的判斷(3)圓錐可見性的判別—W面左半面可見右半面不可見曲面的可見性的判斷。3.圓錐表面上取點輔助素線法輔助圓法Aaa

如何取圓的半徑？圓錐表面上特殊位置的取點例：a

a

b

ba

b

4.圓錐面上的曲線

求曲線上一系列點的投影；注意：特殊點然后，再將這些點的投影依次光滑地連接起來。

圓球的形成8.3.3圓球1.圓球的形成

球是由球面圍成的。球面可看作圓繞其直徑為軸線旋轉(zhuǎn)而成。2.圓球的投影三個視圖均為與圓球的直徑相等的圓，它們分別是圓球三個方向輪廓素線的投影。（1）圓球的投影特點圓球的輪廓線的投影（2）圓球可見性的判別3.圓球表面上取點采用輔助圓法求圓球面上的點圓的半徑？(c

)(b)bb

a

a圓球面上特殊點的求法A為一般點；例：

c

a

(c)B、C為特殊點。4.圓球面上的曲線采用輔助圓法求圓球面上的線注意：特殊點注意：特殊點采用輔助圓法求圓球面上的線4.圓球面上的曲線

一圓母線繞其所在平面內(nèi)的一條軸線作回轉(zhuǎn)而成。8.3.4圓環(huán)

點擊圖片播放動畫1.圓環(huán)的畫法2.圓環(huán)的投影特點

主視圖是極限位置素線和內(nèi)、外環(huán)分圓的投影；俯視圖是上、下環(huán)面的投影；左視圖與主視圖相同。3.圓環(huán)投影可見性的判別由前向后看，此部分可見由上向下看，此部分可見圓環(huán)面上的輔助圓m1'24.圓環(huán)表面上取點m'（n'）12'

采用輔助圓法求圓環(huán)面上的點或線本章結(jié)束9.1

平面與平面立體相交9.2

平面與曲面立體相交——求截交線第9章平面與立體相交9.3

平面與組合體相交9.1平面與平面立體相交截平面斷面斷面的邊界線是：截平面與立體表面的交線——截交線。一、平面立體的截交線平面立體的截交線是截平面與平面立體表面的交線。二、平面立體截交線的性質(zhì)三、平面立體截交線的求法1.棱柱上截交線的求法作圖方法:1求棱線與截平面的共有點2連線3根據(jù)可見性處理輪廓線1?2?1?2?2?2?2?7?7?5?6?5?6?12345673?4?3?4?求截交線的實質(zhì)是求兩平面的交線[例題1]求六棱柱被截切后的水平投影和側(cè)面投影[例題2]求立體截割后的投影[例題3]

求立體截割后的投影7"11"8"87111"2"10"5"6"9"4"3"961（3）2（4）105ⅠⅪⅡⅨⅩⅣⅢ1'（2'）8'3'（4'）10'（5'）9'11'（6'）（7'）2．棱錐上截交線的求法[例題4]求如圖所示三棱錐被正垂面所截切，求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。

s’a’b’c’c”a”b”sPvs”abc[例題4]求如圖所示三棱錐被正垂面所截切，求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。

s’a’b’c’c”a”b”sPvs”(1)求Pv與s’a’、s’b’、s’c’的交點1’、2’、3’為截平面與各棱線的交點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。1’2’3’(2)根據(jù)線上取點的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(3)連接各點的同面投影即等截交線的三個投影。(4)補全棱線的投影。3”具體步驟如下：abc1’2’3’(4’)1”3”4”1243[例題5]求三棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影yy[例題6]

求立體切割后的投影23541

11

6

6

5

4

3

2

6ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4

（5

）2

（3

）[例題7]求三棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影截交線截平面截交線截平面9.2平面與曲面立體相交一、截交線的性質(zhì)：

截交線的形狀取決于曲面立體表面的形狀及截平面與曲面立體軸線的相對位置。

截交線都是封閉的平面圖形。

截交線是截平面與曲面立體表面的共有線。二、求平面與曲面立體截交線的一般步驟

⒈空間及投影分析☆分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置，以便確定截交線的形狀?！罘治鼋仄矫媾c投影面的相對位置，明確截交

線的投影特性，如積聚性、類似性等。找出截交線的已知投影，予見未知投影。⒉畫出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時，其作圖步驟為：☆將各點光滑地連接起來，并判斷截交線的可見性。☆先找特殊點，補充中間點。三、具體的作圖步驟四、截交線上的特殊點極限點轉(zhuǎn)向點特征點結(jié)合點矩形橢圓圓9.2.1平面與圓柱相交

截平面垂直于圓柱軸線，截交線為垂直于軸線的圓

截平面平行于圓柱軸線，截交線為平行于軸線的兩條直線

截平面傾斜于圓柱軸線，截交線為橢圓9.2.1平面與圓柱相交[例1]求圓柱被截切后的側(cè)面投影分析：截平面與圓柱軸線斜交，截交線為橢圓。作圖方法:1.求特殊點1’1”12’2”23”4”342.適當(dāng)求一般點3’4’3.連線4.處理輪廓線作圖方法:表面取點法注意:當(dāng)截平面與圓柱軸線交線交角為45°時，截交線投影為圓。[例2]

求圓柱截交線11'1"5"4"8'8"83254ⅥⅦⅢⅡⅣⅤⅠⅧ4'5'2'3'2"3"解題步驟1．分析截平面為正垂面，截交線的側(cè)面投影為圓，水平投影為橢圓；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3．求出若干個一般點Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。766'7'6"7"[例3]

求圓柱截交線解題步驟1．分析側(cè)面投影為圓的一部分，截交線的水平投影為橢圓的一部分；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

；3．求出若干個一般點Ⅳ、Ⅴ

；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。3453'3"4'5'5'4'1'2'2"1"12[例4]求圓柱被截切后的水平投影和側(cè)面投影

該圓柱被側(cè)平面截切后,側(cè)面投影為矩形;被水平面截切后，水平投影為圓。輪廓線要不要？分析:[例5]求切口圓柱的水平投影和側(cè)面投影解題步驟1分析截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3求出若干個一般點Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。[例6]

求截切圓柱的水平投影和側(cè)面投影解題步驟1分析截交線的水平投影為圓的一部分，側(cè)面投影為矩形；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點，作出截交線并判別可見性；4整理輪廓線。ⅠⅡⅢⅣ[例7]

求圓柱截交線解題步驟1．分析截交線為矩形、橢圓及圓和直線的組合；截交線的水平投影為已知，側(cè)面投影為矩形、橢圓和直線的組合；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ

、

Ⅲ

、Ⅳ；3．求一般點Ⅴ；4．順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。3'31'122'4'455'3"2"5"1"4"yyyyyy[例8]

想象出物體及其側(cè)面投影的形狀作圖步驟如下：（1）先作出完整基本形體的三面投影圖。平面與圓柱相交（2）然后作出槽口三面投影圖。(3)作出穿孔的三面投影圖。QP[例9]補畫側(cè)面投影★空間及投影分析★求截交線★分析圓柱體輪廓素線的投影截平面與體的相對位置截平面與投影面的相對位置●●解題步驟：

同一立體被多個平面截切，要逐個截平面進(jìn)行截交線的分析和作圖?！瘛瘛瘛瘛瘛馵例10]補畫側(cè)面投影[例11]補畫側(cè)面投影虛實分界點[例12]補畫正面投影9.2.2平面與圓錐相交圓橢圓三角形雙曲線加直線段拋物線加直線段

截平面垂直于圓錐軸線，截交線為垂直于軸線的圓。截平面平行于圓錐軸線，或截平面傾斜于截平面過錐頂，截交線為兩相交直線。平面截圓錐（一）截平面平行于圓錐軸線，或截平面傾斜于圓錐軸線，且b<f

，截交線為雙曲線。截平面傾斜于圓錐軸線，且b>f，截交線為橢圓。截平面傾斜于圓錐軸線，且b=f，截交線為拋物線。平面截圓錐（二）求圓錐截交線上點的方法素線法緯圓法分析：截平面過錐頂,截交線為三角形。[例題1]求圓錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影作圖：[例題2]

求圓錐截交線解題步驟1．分析截平面為正平面，截交線為雙曲線；截交線的水平投影和側(cè)面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實形；2．求出截交線上的特殊點A、B

；3．求出一般點C

；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。a"a'acbb"b'c"c'最低點B最低點B最高點A一般點C[例題3]

求圓錐截交線解題步驟1．分析截平面為正垂面，截交線為橢圓；截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．求出一般點Ⅴ；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。3'33[例題4]

求圓錐截交線a2314"5"1"1'a'2"3"2'3'544'5'解題步驟1．分析截平面為正垂面?zhèn)绕矫妫亟痪€為部分橢圓和梯形的組合；其水平投影為部分橢圓和直線的組合，側(cè)面投影為部分橢圓和梯形的組合；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、

Ⅱ、Ⅲ

；3．出一般點Ⅳ、Ⅴ

；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。[例題5]

分析圓錐切割后截交線投影的形式[例題6]

分析并想象出圓錐穿孔后的投影1’(2)’(4)’3’(6)’5’(8)’7’9’(10)’2”1”433”4”655”6”(12)’11’11”12”787”8”91010”9”1112[例題7]已知立體的正面投影，試完成H、W兩面投影分析：

截交線有五段組成。作圖:

1.求特殊點；2.求一般點；（略）3.連線，整理輪廓線。圓9.2.3平面與圓球相交截平面截圓球，截交線為圓。平面截圓球緯圓法在圓球表面上取若干個緯圓，并求出這些緯圓與截平面的交點。求圓球截交線上點的方法分析:

球面被側(cè)平面截切，側(cè)面投影為圓；球面被水平面截切，水平面投影為圓。輪廓線要不要?輪廓線怎樣處理?[例1]

求圓球被截切后的水平投影和側(cè)面投影[例2]求圓球截交線解題步驟1．分析截平面為正垂面，截交線為圓；截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；3．求出若干個一般點A、B、C、D；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。1"2"123"4"34565"6"787"8"a"b"c"d"bacd2'1'3'4'5'6'7'8'a'bc'd'22"1[例3]求圓球截交線解題步驟1．分析截平面為兩個側(cè)平面和一個水平面，截交線為圓弧和直線的組合；截交線的水平投影和側(cè)面投影均為圓弧和直線的組合；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、

Ⅱ；3．求出各段圓??；4．判別可見性，整理輪廓線。33'3"1'2'

水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。

兩個側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。[例4]求圓球截交線[例4]求圓球截交線[例5]求圓球截交線[例6]分析并想象出圓球穿孔后的投影9.3平面與組合體相交[例題1]

分析并想象出物體的投影[例題2]