專題4.3 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）【八大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

專題4.3一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一次函數(shù)的平移問(wèn)題】 1【題型2一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題】 3【題型3應(yīng)用一次函數(shù)解決有關(guān)最值問(wèn)題】 7【題型4一次函數(shù)中的對(duì)稱性問(wèn)題】 12【題型5根據(jù)兩直線的平行關(guān)系求解析式】 15【題型6根據(jù)兩直線的交點(diǎn)位置求解】 18【題型7一次函數(shù)的圖象與幾何圖形的綜合】 21【題型8一次函數(shù)的有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題】 27【題型1一次函數(shù)的平移問(wèn)題】【例1】（2023春·安徽馬鞍山·八年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谥校⒅本€y=kx+b向左平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到直線y=2x，則（

）A．k=2，b=-8 B．k=-2，b=2 C．k=1，b=-4 D．k=2，b=4【答案】A【分析】根據(jù)直線y=kx+b向左平移2個(gè)單位，變?yōu)閥=k+2x+b，再向上平移4個(gè)單位，變?yōu)閥=kx+2+b+4，然后結(jié)合得到直線y=2x，即可解出【詳解】解：直線y=kx+b向左平移2個(gè)單位，變?yōu)閥=k+2再向上平移4個(gè)單位，變?yōu)閥=kx+2∵得到直線y=2x，∴k=2，2k+b+4=0，∴k=2，b=-8，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像平移變換，熟練掌握?qǐng)D象左加右減，上加下減的變換規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一次函數(shù)y=x-6的圖象是由一次函數(shù)y=x+3的圖象（）得到的A．向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移9個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向下平移9個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【分析】據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律即可求解．【詳解】解：一次函數(shù)y=x-6的圖象可以由一次函數(shù)y=x+3的圖象向下平移9個(gè)單位得到，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象與幾何變換．平移后解析式有這樣一個(gè)規(guī)律“左加右減，上加下減”．關(guān)鍵是要搞清楚平移前后的解析式有什么關(guān)系．【變式1-2】（2023春·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y=2x+b沿y軸向上平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則b的值為．【答案】-3【分析】根據(jù)平移規(guī)律得到平移后的直線為y=2x+b+3，然后把0，【詳解】解：將直線y=2x+b沿x軸向上平移3個(gè)單位后得到y(tǒng)=2x+b+3，∵經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴0=b+3，解得b=-3，故答案為：-3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確把握變換規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y2的圖象是由一次函數(shù)y1的圖象平移得到，它們的部分自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值如表所示，則m的值是（xm02y5-1ty9n-1A．-3 B．-2 C．-1 D．1【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行，則一次項(xiàng)系數(shù)相同可設(shè)設(shè)函數(shù)y1的解析式為y=kx+a，函數(shù)y2的解析式為y=kx+b，把0，-1代入y=kx+a得：a=-1，把2，-1代入y=kx+b得：2k+b=-1，進(jìn)而得到函數(shù)y1的解析式為y=kx-1，函數(shù)y2的解析式為y=kx-1-2k，把m，5代入y=kx-1得：mk-1=5，把【詳解】解：設(shè)函數(shù)y1的解析式為y=kx+a，函數(shù)y2的解析式為把0，-1代入y=kx+a得：∴函數(shù)y1的解析式為y=kx-1把2，-1代入y=kx+b得：∴b=-1-2k，∴函數(shù)y2的解析式為y=kx-1-2k把m，5代入y=kx-1得：把m，9代入y=kx-1-2k得：∴5-2k=9，解得k=-2，∴-2m-1=5，解得m=-3，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的平移問(wèn)題，熟知兩直線平行，一次項(xiàng)系數(shù)相同是解題的關(guān)鍵．【題型2一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題】【例2】（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線y=kx-2k+3（k為常數(shù)，k<0）與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，則A．-1 B．1 C．0 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖像與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，可用含k的式子分別表示出【詳解】解：y=kx-2k+3，∴當(dāng)y=0時(shí)，x=2k-3k，當(dāng)x=0時(shí)，∴OA=-3k+2=∴2OA故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校?？计谥校┮粭l直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0,2，與x軸交于點(diǎn)B，且△AOB的面積為4，則直線AB的解析式為

【答案】y=±【分析】設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A點(diǎn)代入解析式，求出b的值，再根據(jù)△AOB的面積為4，求出OB=4,根據(jù)點(diǎn)B在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況求解出解析式即可．【詳解】解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0,2，即OA=2∴b=2，∵S∴1∴OB=4，∴當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，B4,0∴當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，B-4,0當(dāng)直線經(jīng)過(guò)B4,00=4k+2，解得k=-1∴解析式為y=-1當(dāng)直線經(jīng)過(guò)B-4,00=-4k+2，解得k=1∴解析式為y=1故答案為：y=±1【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)面積求出OB的長(zhǎng)，B點(diǎn)在原點(diǎn)左右兩種情況進(jìn)行計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線l1：y=-x-b分別與x，y軸交于A6,0、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線l2交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，且OB:OC=3:1，直線BC

【答案】y=3x+6【分析】根據(jù)點(diǎn)A在直線l1：y=-x-b，求出b的值，繼而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)OB:OC=3:1，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的函數(shù)解析式：y=kx+bk≠0，把B，C兩點(diǎn)代入y=kx+bk≠0，解出k【詳解】∵點(diǎn)A6,0在直線l1：∴-6-b=0，解得：b=-6，∴直線l1：y=-x+6當(dāng)x=0時(shí)，y=6，∴B0,6，OB=6∵OB:OC=3:1，∴OC=2，∵點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸，∴C-2,0∴設(shè)直線BC的函數(shù)解析式：y=kx+bk≠0∴b=60=-2x+b解得：k=3b=6∴直線BC的函數(shù)解析式為：y=3x+6，故答案為：y=3x+6．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式．【變式2-3】（2023春·遼寧營(yíng)口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線y=23x+2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為m-4,12m，點(diǎn)Q在△ABO的內(nèi)部（不包括△ABO的邊），且

【答案】5【分析】首先根據(jù)直線AB的解析式求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由Q在△ABO的內(nèi)部(不包括△ABO的邊)，得出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于A點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)大于0小于B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，列出不等式，求出m的取值范圍，從而求出m的整數(shù)值與和．【詳解】∵直線y=23x+2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A∴A-3,0，B∵點(diǎn)Q在△ABO的內(nèi)部(不包括△ABO的邊)，∴-3<m-4<00<12∵m為整數(shù)，∴m=2或3，∴滿足條件的m所有值的和為2+3=5，故答案為：5【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)直線的解析式，求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．【題型3應(yīng)用一次函數(shù)解決有關(guān)最值問(wèn)題】【例3】（2023春·湖北黃岡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知A0,2，B3,5，點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)PA+PB取最小值時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為【答案】6【分析】首先通過(guò)軸對(duì)稱變換，得到A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'0,-2，然后根據(jù)PA+PB=PA'+PB≤A'B得到當(dāng)點(diǎn)A'，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB【詳解】如圖，

∵A0,2∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'∴PA+PB=PA連接A'B交x軸于點(diǎn)∴當(dāng)點(diǎn)A'，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB取最小值，即A∵B3,5，A∴設(shè)A'B所在直線的表達(dá)式為∴b=-23k+b=5，解得b=-2∴A'B∴當(dāng)y=0時(shí)，即0=7解得x=6∴點(diǎn)P坐標(biāo)為67故答案為：67【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱變換求最短距離問(wèn)題，構(gòu)造點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'【變式3-1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A（1，1）、B（3，2），且P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則使△ABP的周長(zhǎng)為最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】5【分析】做點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB'與x【詳解】解：做點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB'∵A1,1,B設(shè)AB'∴1=k+b解得k=-所以AB'令y=0，則x=∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為5故答案為：53【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，根據(jù)題意找到使周長(zhǎng)最短的P點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在正數(shù)M，函數(shù)值y都滿足y≤M，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)．其中，M的最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值．若函數(shù)y=2x+1（a≤x≤b，且a≠b）中，y的最大值是2，邊界值小于3，則a應(yīng)滿足的條件是【答案】-2<a<【分析】根據(jù)2>0可知函數(shù)y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y隨x的增大而增大，再根據(jù)函數(shù)增減性可知當(dāng)x=a時(shí)函數(shù)值為邊界值，然后由邊界值小于3列關(guān)于a的不等式求解即可．【詳解】解：∵2>0∴函數(shù)y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y隨x的增大而增大∴當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)y=2x+1的函數(shù)值為邊界值，∵邊界值小于3∴-3<2a+1<2，解得：-2<a<1故答案為：-2<a<1【點(diǎn)睛】本題主要考查了閱讀理解、一次函數(shù)的增減性、解不等式等知識(shí)點(diǎn)，理解“邊界值”的定義成為解答本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·遼寧阜新·八年級(jí)阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC為格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-2,0)．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是；(2)請(qǐng)作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A'B'C'(點(diǎn)A與點(diǎn)A'對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)B(3)y軸上存在點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．【答案】(1)-5,4，-1,2(2)見(jiàn)解析(3)0，73【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，找到A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A',B（3）找到C關(guān)于y軸的對(duì)稱軸點(diǎn)C1(1,2)，連接AC1，交y軸于點(diǎn)P，進(jìn)而求得直線【詳解】（1）解：如圖，A(-5,4)，C(-1,2)．故答案為：(-5,4)，(-1,2)；（2）如圖，△A

（3）如圖，點(diǎn)P即為所求．作C關(guān)于y軸的對(duì)稱軸點(diǎn)C1(1,2)，連接AC1，交y軸于點(diǎn)∵A(-5,4)，C1(1,2)，設(shè)直線AC∴-5k+b=4解得：k=-∴直線AC1的解析式為當(dāng)x=0時(shí)，y=7∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,7

故答案為：(0,7【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，畫(huà)軸對(duì)稱圖形，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最值問(wèn)題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型4一次函數(shù)中的對(duì)稱性問(wèn)題】【例4】（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一次函數(shù)y=kx-5和y=2x+b（k、b為常數(shù)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則k，b的值分別為（

）A．k=2,b=5 B．k=-2,b=5 C．k=2,b=-5 D．k=-2,b=-5【答案】D【分析】先求出y=kx-5與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入y=2x+b即可求出b的值，再求出y=2x+b與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得出y=kx-5與x軸交點(diǎn)，將其代入y=kx-5即可求出k的值．【詳解】解：把x=0代入y=kx-5得：y=-5，∴一次函數(shù)y=kx-5與y軸相交于0,-5，∵一次函數(shù)y=kx-5和y=2x+b（k、b為常數(shù)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴y=2x+b與y軸相交于0,-5，把0,-5代入y=2x+b得b=-5，∴一次函數(shù)y=kx-5和y=2x-5的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，把y=0代入y=2x-5得：0=2x-5，解得：x=5∴y=2x-5與x軸相交于52∴一次函數(shù)y=kx-5與x軸相交于-5把-52,0解得：k=-2，綜上：k=-2,b=-5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，以及關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【變式4-1】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于一次函數(shù)y=2x﹣1，y=﹣2x+1的圖象，下列說(shuō)法正確的是（）A．關(guān)于直線y=﹣x對(duì)稱B．關(guān)于x軸對(duì)稱C．關(guān)于y軸對(duì)稱D．關(guān)于直線y=x對(duì)稱【答案】B【詳解】試題分析：由y=﹣2x+1=﹣（2x﹣1）得到﹣y=2x﹣1，即可判斷一次函數(shù)y=2x﹣1，y=﹣2x+1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱．解：∵y=﹣2x+1=﹣（2x﹣1），∴﹣y=2x﹣1，∴一次函數(shù)y=2x﹣1，y=﹣2x+1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故選B．考點(diǎn)：一次函數(shù)的圖象．【變式4-2】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1與l2關(guān)于直線y=1對(duì)稱，若直線l1的表達(dá)式為y=-2x+3，則直線l2與A．(0,12) B．(0,23)【答案】D【分析】先求解y=-2x+3與x,y軸的交點(diǎn)B,A坐標(biāo)，再求解A關(guān)于y=1的對(duì)稱點(diǎn)A'【詳解】解：如圖，∵y=-2x+3，令x=0,y=3,令y=0,x=3∴A(0,3),B(3作A,B關(guān)于直線y=1對(duì)稱的點(diǎn)A∵直線l1與l2關(guān)于直線y=1對(duì)稱，即上圖中的直線AB與直線A'∴x∴y∴A所以直線l2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,-1).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是求解一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形，軸對(duì)稱的坐標(biāo)變化，掌握數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·陜西商洛·八年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，直線y=-3x+b與直線y=kx-1關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則k，b的值分別為（

）A．k=-3，b=11 B．k=3，b=11 C．k=13，b=1D．k=-【答案】B【分析】根據(jù)直線y=－3x＋b與直線y=kx－1關(guān)于直線x=2對(duì)稱，可知這兩條直線上的點(diǎn)也關(guān)于直線x=2對(duì)稱，然后根據(jù)直線y=kx－1上的定點(diǎn)(0，－1)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)(4，－1)可以求出b的值，然后根據(jù)直線y=－3x＋11與直線x=2的交點(diǎn)為：(2，5)也在直線y=kx－1，即可求出k的值．【詳解】解：∵直線y=－3x＋b與直線y=kx－1關(guān)于直線x=2對(duì)稱，∴這兩條直線上的點(diǎn)也關(guān)于直線x=2對(duì)稱，∵直線y=kx－1必過(guò)點(diǎn)(0，－1)，∴點(diǎn)(0，－1)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)(4，－1)在直線y=－3x＋b上，∴－1=－3×4＋b，解得：b=11，∴直線y=－3x＋b即為：y=－3x＋11，∵直線y=－3x＋11與直線x=2的交點(diǎn)為：(2，5)，∴點(diǎn)(2，5)一定在直線y=kx－1上，∴5=2k－1，解得：k=3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法一次函數(shù)的解析式和軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)兩條直線的位置關(guān)系探究】直線（）與（）的位置關(guān)系：（1）兩直線平行且（2）兩直線相交（3）兩直線重合且（4）兩直線垂直【題型5根據(jù)兩直線的平行關(guān)系求解析式】【例5】（2023春·湖北·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）P(m，n)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|m|≤1，|n|≤1，過(guò)P點(diǎn)作直線PQ與y=-2x平行，交y軸Q(0，b)．當(dāng)P點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求A．3 B．2 C．1 D．4【答案】A【分析】設(shè)過(guò)PQ的直線的解析式為y=-2x+a，將Q(0，b)代入得，a=b，則y=-2x+b，將P(m，n)代入得，b=2m+n，即b=2m+n最大時(shí)，【詳解】解：設(shè)過(guò)PQ的直線的解析式為y=-2x+a，將Q(0，b)代入得，∴y=-2x+b，將P(m，n)代入得，∴b=2m+n最大時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為1，∴b=2m+n最大為b=3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的平移．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式5-1】（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知某一次函數(shù)的圖像與直線y=-3x+1平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,2，則這個(gè)一次函數(shù)的解析式為【答案】y=-3x+5【分析】根據(jù)互相平行的兩直線解析式的k值相等設(shè)出一次函數(shù)的解析式，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式求解即可．【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+bk≠0∵一次函數(shù)的圖像與直線y=-3x+1平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,2∴k=-3，∴-3×1+b=2，∴b=5，∴這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=-3x+5．故答案為：y=-3x+5．【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線相交或平行問(wèn)題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．熟記平行直線的解析式的k值相等并設(shè)出一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·上海浦東新·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)M的坐標(biāo)為3,2，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸向上移動(dòng)，同時(shí)過(guò)點(diǎn)P的直線l也隨之上下平移，且直線l與直線y=-x平行，如果點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，如果點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒，那么t的值為

【答案】2或3/3或2【分析】過(guò)點(diǎn)M作MF⊥直線l，交y軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，與直線l相交于點(diǎn)A，則點(diǎn)E、F為點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)直線l的解析式為y=-x+b，由直線l與直線y=-x平行可得∠OPA=45°，即可證明△MDE與△OEF均為等腰直角三角形，進(jìn)而可求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出MF和ME的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入y=-x+b可求出b值，即可得點(diǎn)P坐標(biāo)，即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥直線l，交y軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，與直線l相交于點(diǎn)A，則點(diǎn)E、F為點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上的對(duì)稱點(diǎn)．

∵直線l與直線y=-x平行，∴設(shè)直線l解析式為y=-x+b，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，則OD=3，MD=2，∵直線l的解析式為y=-x+b，∴∠OPD=45°，∴∠OFE=∠OEF=45°，∴△MDE與△OEF均為等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E(1，0)，F(xiàn)(0，-1)．∵M(jìn)(3，2)，F(xiàn)(0，-1)，∴線段MF中點(diǎn)坐標(biāo)為(32，12∵直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)(32，12∴12=-32解得：b=2，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，2)，∴t=2．∵M(jìn)(3，2)，E(1，0)，∴線段ME中點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)．直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)(2，1)，∴1=-2+b，解得：b=3，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，3)，∴t=3．∴點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)t=2時(shí)，落在y軸上，當(dāng)t=3時(shí)，落在x軸上．故答案為：2或3．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與幾何變換．注意在x軸、y軸上均有點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)，不要漏解；其次注意點(diǎn)E、F坐標(biāo)以及線段中點(diǎn)坐標(biāo)的求法．【變式5-3】（2023春·廣西北海·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(-1,2)，B(2,3)，如果函數(shù)y=kx-1的圖象與線段AB的延長(zhǎng)線相交（交點(diǎn)不包括點(diǎn)B），則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【答案】1【分析】先求出直線AB的解析式，找出兩臨界點(diǎn)即可得出答案．【詳解】解：設(shè)AB的解析式為：y=kx+b；將A(-1,2)，B(2,3)代入可得2k+b=3-k+b=2解得：k=當(dāng)y=kx-1與直線AB平行，此時(shí)k=1當(dāng)y=kx-1過(guò)B(2,3)時(shí)，2k-1=3，則k=2，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是：1【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，有一定難度，關(guān)鍵是找出兩臨界條件．【題型6根據(jù)兩直線的交點(diǎn)位置求解】【例6】（2014·陜西·八年級(jí)專題練習(xí)）若一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象與一次函數(shù)y＝mx＋n的圖象相交，且交點(diǎn)在x軸上，則a、b、m、n滿足的關(guān)系式是．【答案】an=bm.【分析】根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出y＝ax＋b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-ba，0），然后根據(jù)兩直線相交將其坐標(biāo)代入y＝mx＋n【詳解】當(dāng)y=0時(shí)，0＝ax＋b，解得：x∴y＝ax＋b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-ba，將其代入y＝mx＋n中可得：m×整理可得：an即a、b、m、n滿足的關(guān)系式為：.故答案為：an【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.【變式6-1】（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)一次函數(shù)y=k1x+5k1A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】?jī)蓚€(gè)函數(shù)的圖象各經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，再根據(jù)k1【詳解】解：一次函數(shù)y=k1x+5經(jīng)過(guò)定點(diǎn)0,5，一次函數(shù)y=結(jié)合k1則它們的交點(diǎn)一定在第一象限，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象，正確畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l1經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)P（m，2m），直線l2：y＝mx+2m﹣3（m≠0）．(1)求證：點(diǎn)（﹣2，﹣3）在直線l2上；(2)當(dāng)m＝2時(shí)，請(qǐng)判斷直線l1與l2是否相交？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)直線l1與l2不相交【分析】（1）將所給點(diǎn)代入直線l2（2）求出l1解析式與l【詳解】（1）把x＝﹣2代入y＝mx+2m﹣3得，y＝﹣2m+2m﹣3＝﹣3，∴點(diǎn)（﹣2，﹣3）在直線l2上；（2）∵直線l1經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)P（m，2m），∴直線l1為y＝2x，當(dāng)m＝2時(shí)，則直線l2：y＝2x+1，∵x的系數(shù)相同，∴直線l1與l2不相交．【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中的直線解析式求法、點(diǎn)是否在直線上的判斷、兩直線是否相交，掌握這些是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0）和（0，2）．（1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若直線y=nx與該一次函數(shù)的圖象相交，且交點(diǎn)在第三象限，直接寫(xiě)出n的取值范圍．【答案】（1）y=2x+2；（2）0<n<2．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得；（2）先根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的圖象相交可得n≠2，再聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)“交點(diǎn)在第三象限”建立不等式，解不等式即可得．【詳解】解：（1）設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b(k≠0)，由題意，將點(diǎn)(-1,0)和(0,2)代入得：-k+b=0b=2，解得k=2則這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x+2；（2）∵直線y=nx與一次函數(shù)y=2x+2的圖象相交，∴n≠2，聯(lián)立y=2x+2y=nx解得x=2n-2y=∵這兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)在第三象限，∴2n-2<0①解不等式①得：n<2，因?yàn)?n-2<0，要使2nn-2綜上，n的取值范圍是0<n<2．【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．【題型7一次函數(shù)的圖象與幾何圖形的綜合】【例7】（2023春·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a，0)，B(4，b)滿足關(guān)系式(a＋3)2＋b-7＝0，AB交y軸于點(diǎn)C，(1)①a=，b=，三角形AOB的面積=；②求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P在y軸上，且三角形PAB的面積為21，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若(2)中點(diǎn)P在y軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)P在AP左側(cè)作∠APQ=∠PAB，PQ交x軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QR∥PB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．【答案】(1)①a=﹣3；b=7；212；②C（0，3(2)P（0，9）或（0，﹣3）(3)R（﹣5，2）【分析】（1）①根據(jù)2次方與算術(shù)平方根的非負(fù)性之間求a、b的值即可；利用三角形面積公式直接求△AOB的面積即可；②用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，然后求出圖象與y的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）設(shè)點(diǎn)P（0，y），根據(jù)S△APC+S△BPC=S△APB列出方程，解方程即可；（3）設(shè)點(diǎn)Q（x，0），根據(jù)∠APQ=∠PAB，得出PQ∥AB，根據(jù)S△APB=S△AQB列出關(guān)于x的方程，解方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)平移得出點(diǎn)R的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：①∵(a＋3)2＋b-7＝0，∴a+3=0，b-7=0，解得：a=﹣3，b=7；∵A（﹣3，0），B（4，7），∴S△AOB=12×3×7=故答案為：﹣3；7；212②設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：-3k+b=04k+b=7，解得：k=1∴直線AB的解析式為y=x+3，把x=0代入得：y=3，∴C（0，3）．（2）設(shè)點(diǎn)P（0，y），由S△APC+S△BPC=S△APB得，12解得，y=9或﹣3，∴P（0，9）或（0，﹣3）；（3）設(shè)點(diǎn)Q（x，0），∵∠APQ=∠PAB，∴PQ∥AB，∴S△APB=S△AQB，∴12解得：x=﹣9，∴Q（﹣9，0），∵QR∥BC，PQ∥AB，∴可由平移得R（﹣5，2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方、算術(shù)平方根的非負(fù)性，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的計(jì)算，平移的性質(zhì)，熟練掌握平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A1，2，B5，2．若一次函數(shù)y=kx-2k≠0的圖象經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，且與x，y

【答案】5【分析】先根據(jù)A1,2，B5,2求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出一次函數(shù)的解析式，再求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即可計(jì)算【詳解】解：∵正方形ABCD的頂點(diǎn)A1,2，B∴BC=AB=5-1=4，∴C5,6∵一次函數(shù)y=kx-2k≠0的圖象經(jīng)過(guò)C∴6=5k-2，解得k=8∴一次函數(shù)為y=8令y=0，則85解得x=5∴M5令x=0，則y=-2，∴N0,-2∴OM=54，∴△OMN的面積=1【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．【變式7-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，C(0,5)、D(a,5)，A、B在x軸上，連接AC、CD、BC，點(diǎn)(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出AB與CD的位置關(guān)系；(2)請(qǐng)應(yīng)用（1）中結(jié)論求證：∠ACB=∠CED；(3)連接AE，若點(diǎn)A-52【答案】(1)AB∥CD，證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)10．【分析】（1）根據(jù)縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)的連線平行于x軸，即可證明AB∥CD；（2）根據(jù)∠CAB=∠D和平行線的性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和定理即可證明；（3）設(shè)CE的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)S△ACE（1）解：AB∥CD，證明：∵C(0,5)、D(a,5)，C、∴CD平行x軸，即AB∥CD；（2）證明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB，∵∠CAB=∠D，∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DCE+∠CED=180°，∴∠ACB=∠CED；（3）設(shè)CE的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，代入點(diǎn)C（0，5），E（2，1），得：5=b1=2k+b解得：b=5k=-2∴CE的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+5，當(dāng)y=0時(shí)，x=52即點(diǎn)B（52，0），AB=5∴S△ACE=S【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-34x+m分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、A，其中B點(diǎn)坐標(biāo)為（12，0）．直線y=38(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)．(2)求△BOC的面積．(3)點(diǎn)D為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，與直線OC交于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，線段DE的長(zhǎng)度為d．①求d與t的函數(shù)解析式(寫(xiě)出自變量的取值范圍)．②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，以DE為邊在DE的左側(cè)作正方形DEPQ，若以點(diǎn)H（12，t）、G（1，t）為端點(diǎn)的線段與正方形DEPQ的邊只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍【答案】(1)（0，9）(2)18(3)①當(dāng)x＜8時(shí)，d=-98t+9；當(dāng)x＞8【分析】（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式可求直線AB解析式，即可求點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）聯(lián)立方程組可求點(diǎn)C坐標(biāo)，即可求解；（3）由題意列出不等式組，可求解．【詳解】（1）解：∵直線y=-34x+m，y＝-34x+m與y軸交于點(diǎn)B∴0＝-34×12+∴m＝9，∴直線AB的解析式為：y=-3當(dāng)x＝0時(shí)，y＝9，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，9）；（2）解：由題意可得：y=3解得：x=8y=3∴點(diǎn)C（8，3），∴△BOC的面積=12×12×3＝（3）解：①如圖，∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，∴點(diǎn)D（t，-34t+9），點(diǎn)E（t，當(dāng)t＜8時(shí)，d＝-3當(dāng)t＞8時(shí)，d＝38②∵以點(diǎn)H（12，t）、G（1，t）為端點(diǎn)的線段與正方形DEPQ∴12≤t≤1或-9∴12≤t≤1或76【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形的面積公式，不等式組的應(yīng)用，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解