廣東省汕頭市外砂中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

廣東省汕頭市外砂中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

71

1.已知函數(shù)f(x)=cos(4x-3)+2cos2(2x),將函數(shù)y二f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫

坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移"T個(gè)單位，得到函數(shù)

尸g(x)的圖象，則函數(shù)尸g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為()

兀冗717T兀2兀兀3兀

A.[-T,T]B.[-T,T]c.[T,亍]D.[T,-]

參考答案：

B

【考點(diǎn)】函數(shù)尸Asin(3X+4))的圖象變換.

【分析】先利用和差角公式和降次升角公式，化簡函數(shù)f(x)的解析式，再根據(jù)函數(shù)圖象

的周期變換及相位變換法則，求出函數(shù)y二g(x)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性

質(zhì)，可得答案.

TT

【解答】解：函數(shù)f(x)=cos(4x-3)+2cos2(2x)

兀

二cos(4x-3)+cos4x+l

1返

=2cos4x+2sin4x+cos4x+l

M3,

=2sin4x+2cos4x+l

_71

=V3sin(4x+3)+1,

將函數(shù)廠f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變,

可得：y=V3sin(2x+3)+1的圖象，

7T_

再將所得函數(shù)圖象向右平移飛"個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)=V3sin(2x)+1的圖象,

兀兀兀兀

由2x￡[-2+2kn，2+2kn],k《Z得：x￡[-4+kn,4+kn],k￡Z,

7T7T

當(dāng)k=0時(shí)，[-一丁，彳]是函數(shù)y=g(x)的一個(gè)單凋遞增區(qū)間，

故選：B.

2.已知'2券是兩條不同直線,是三個(gè)不同平面，則下列命題正確的是

A.若雁〃a/〃a,則桁//%B.若aJ?九2則a〃尸

c,若加〃a,加〃-，則a〃戶口.若附JLa,附■La,則用〃行

參考答案：

D

^=log1|x+l|

3.函數(shù)5的單調(diào)遞增區(qū)間

為

A.(-小°)

B.(f-l)

c(-oo,-l)U(-1.0)D.

(-OO-l)U(-l.-KO)

參考答案：

B

a,a》b

*

4.對于任意實(shí)數(shù)a,b,定義max{a,b}=b,a<b,已知在［-2,2］上的偶函數(shù)f(x)

滿足當(dāng)0WxW2時(shí)，f(x)=max{2x-1,2*^}若方程￡(x)-mx+l=0恰有兩個(gè)根，則m

的取值范圍是()

A.[-2,-eln2)U(eln2,2]B.[-eln2,0)U(0,eln2]

C.[-2,0)U(0,2]D.[-e,-2)U(2,e]

參考答案：

A

【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.

【專題】新定義；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)條件先求出當(dāng)0WxW2時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式，然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求

出函數(shù)在[-2,2]上解析式，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的相交問題，結(jié)

合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率進(jìn)行求解即可.

【解答】解：當(dāng)1WXW2時(shí)，2X-1>2-x,此時(shí)f(x)=2=l,

當(dāng)OWxWl時(shí)，2X-l<2-x,此時(shí)f(x)=2-x,

2~x,

即f(x)=〔2X-l,l<x<2,

若-2WxW-1,則1W-xW2,此時(shí)f(-x)=2-x-1,

Vf(x)是偶函數(shù)，

Af(x)=f(-x)=2-x-1,-2WxW-l.

若-IWXWO,則OW-xWl,此時(shí)f(-x)=2-x,

Vf(x)是偶函數(shù)，

f(x)=f(-x)=2-x,-IWXWO.

作出函數(shù)f(x)的圖象如圖：

由f(x)-mx+l=O得f(x)=mx-1,

設(shè)g(x)=mx-1,

則當(dāng)m=0時(shí)，f(x)與g(x)沒有交點(diǎn)，此時(shí)不滿足條件.

當(dāng)m>0時(shí)，當(dāng)x=l,f(1)=1,當(dāng)x=2時(shí)，f(2)=3,

當(dāng)直線經(jīng)過A(1,1)時(shí)，此時(shí)m-1=1,則m=2,此時(shí)g(x)=2x-l,

g(2)=3,即直線g(x)=2x-l經(jīng)過A,C點(diǎn)，此時(shí)兩個(gè)曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，

當(dāng)直線y=mx-1與f(x)=2*-1相切時(shí)，

設(shè)切點(diǎn)為(k,n),

貝Uf'(k)=2kln2,且2、l=n,

則切線方程為y-n=2」n2(x-k),

BPy=(2kln2)x-k2kln2+2k-1,

即2kln2=m,且-k2k52+2卜-1=-1,

即2111n2=m,且-k2111n2+2k=0,

2kln2=m,且-kln2+l=0,

1

即kln2=l,解得k=ln2=log2e,

log-e

貝ijm=2“In2=eln2,

此時(shí)直線和f(x)只有一個(gè)交點(diǎn)，

若時(shí)兩個(gè)曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則eln2VmW2,

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性知當(dāng)m<0時(shí)，-2Wm<eln2,

綜上m的取值范圍是[-2,-eln2)U(eln2,2],

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)的交

點(diǎn)問題，借助導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

――)1

5.若"X展開式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為512,則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值是

4-846.84Q-

36D.36

參考答案：

B

6.一個(gè)棱錐的三視圖如右圖所示，則它的體積為()

3

B.2

參考答案:

A

7.2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)某項(xiàng)目參賽領(lǐng)導(dǎo)小組要從甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中

選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中甲、乙只能從事

前三項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有()

A.18種B.36種C.48種D.72種

參考答案：

D

8.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若對任意實(shí)數(shù)x都有

x"f'(x)>2xf(-x),則不等式x2f(x)<(3x-1)2f(1-3x)的解集是()

A.(4,+8)B.(0,4)C.(“，4)D.(-8,4)U(4,

4-oo)

參考答案：

C

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.

【分析】f(X)是定義在R上的奇函數(shù)，可得：f(-X)=-f(x).對任意正實(shí)數(shù)x滿

足xf'(x)>2f(-x),可得：xf'(x)+2f(x)>0,設(shè)g(x)=x2f(x),可得

g1(x)>0.可得函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.即可得出.

【解答】解：(x)是定義在R上的奇函數(shù)，；.f(-x)=-f(x).

對任意正實(shí)數(shù)x滿足xf'(x)>2f(-x),

.'.xf'(x)+2f(x)>0,

設(shè)g(x)=x2f(x)，

.*.gz(x)=2xf(x)+x2f,(x)>0.

函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又g(0)=0,g(-x)=x2f(-x)=-g(x),

函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，

???g(x)是R上的增函數(shù).

,不等式x?f(x)<(3x-1)2f(1-3x)

.,.g(x)<g(1-3x),

.*.x<1-3x,

解得X<I.

1

不等式(f(x)<(3x-1)2f(1-3x)的解集為：(-8,W).

故選：C.

x-jr>0

則z=2r-3y的最大值為()

11

AA

A.3B.2c.2D.3

參考答案：

C

l+l

10.若【為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)--1+4在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第

四象限

參考答案：

D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

‘2x-y》0

11.若乂，y滿足【4x+4y<9,則z=2x+y的最大值為

參考答案：

1

【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.

【專題】作圖題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)

解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

'2x-y>0

【解答】解：由約束條件l?+4y<9作出可行域如圖，

聯(lián)立l《x+4尸9,解得A(^^)，

化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z,

由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+z過A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為8|.

27|

故答案為：-引.

【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

12.已知正四棱柱的一條對角線長為新，且與底面所成的角的余弦值為3,則該

正四棱柱的體積是

參考答案:

答案：2.

/+/?*=6

,Q_yl2a_-751

COS&=—=(

解析：由題意，76-■■,1"=工，n0=a%=2

13.若函數(shù)//=J-卜+H是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)4=_。

參考答案：

0

14.棱長為1的正方體ABCDAIBIGA中，點(diǎn)M、N分別在線段A的、8G上運(yùn)動(dòng)（不包括

線段端點(diǎn)），且AM=8M以下結(jié)論：①dA'MN；②若點(diǎn)M、N分別為線段A囪、BG

的中點(diǎn)，則由線MN與AB｝確定的平面在正方體ABCD-AiBCQi上的截面為等邊三角形;

1

③四面體MBCN的體積的最大值為24；④直線。M與直線4N的夾角為定值.其中正確

的結(jié)論為.（填序號）

參考答案:

①②③

【分析】

①作NEJ_BC,MFA.AB,垂足分別為E,F,可得四邊形MNEF是矩形，可得MN〃FE,

利用441，面AC,可得結(jié)論成立；

②截面為△45C,為等邊三角形，故正確.

V—jShar-O—A(1—X)i?—

③設(shè)胸=皿"則J>=3dM-BCN=624,故③成立；

x

④設(shè)函G,當(dāng)31接近于o時(shí)，直線4M與直線4N的夾角接近于父，當(dāng)A接近于1

x

時(shí)，夾角接近于工，故④不正確；

【詳解】①作NE_LBC,MFA.AB,垂足分別為E,尸，?.?AM=BN,.,.四邊

形MNEF是矩形，C.MN//FE,?.?44|_1面4(7,EF?面AC,：.AA[±EF,：.AAt±MN,故

①正確；

②點(diǎn)M、N分別為線段48、8cl的中點(diǎn)，則由線MN與A?確定的平面在正方體43。9-

A山iGG上的截面為△ABC，為等邊三角形，故②正確.

③設(shè)則%?JOr=1*>>Dd/BCN，又AMMBNaGn1^,

亭，〃…=(1)AB=IT,,—=豹2或

-I(1-X)<—1=-

BCN=624,當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)取得最大值，故③成立；

④設(shè)皿^當(dāng)31接近于0時(shí)，直線*1與直線4N的夾角近似于直線M和直線

X

型的夾角，接近于不，當(dāng)A接近于1時(shí)，直線**與直線4N的夾角近似于直線斗,

X

和直線4G的夾角，接近于故④不正確；

綜上可知，正確的結(jié)論為①②③

故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、垂直，考查點(diǎn)到面的距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的

能力，屬于中檔題.

lim

15.對于|q|Vl（q為公比）的無窮等比數(shù)列｛&J（即項(xiàng)數(shù)是無窮項(xiàng)），我們定義rtf"”

.al

lim------

（其中權(quán)是數(shù)列｛劣｝的前n項(xiàng)的和）為它的各項(xiàng)的和，記為S,即5=八一85“二1-口，則循

0B

環(huán)小數(shù)0.72的分?jǐn)?shù)形式是—.

參考答案:

8

11

【考點(diǎn)】數(shù)列的極限.

【專題】計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列.

3）

lim------*,

【分析】利用S=n+8S“=l-q,即可求出循環(huán)小數(shù)0.72的分?jǐn)?shù)形式.

72

碗

..72"iT8

----91—---

【解答】解：0.72=100+100+???+=100=11,

8

故答案為：U.

【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的極限，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).

16.已知樣本7,8,9,x,y的平均數(shù)是9,且孫=110,則此樣本的方差

是?

參考答案：

2

依題可得x+y=21,不妨設(shè)解得x=10,y=ll,

25一片+（-毋+（-以

所以方差為5=2.

'x+"2,

12x-y^A,

17.若實(shí)數(shù)XJ滿足不等式組Ix-?20,貝修=〃+3了的最小值是

參考答案:

4

2z2

做出不等式對應(yīng)的可行域，由z=&+3了得"33,作直線“3,平移直線

22z2,z

y=--xy=~-x+-z\Ny---x+-

3,由圖象可知當(dāng)直線33經(jīng)過點(diǎn)外2,0,)時(shí)，直線-33的截距

最小，此時(shí)Z最小，最小為z=2x+3y=2x2+0=4。如圖

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(本小題滿分12分)

/（X）=—+bxJ-3aJx（a*0)

已知函數(shù)在x=a處取得極值.

(I)求。；

(II)設(shè)函數(shù)g(x)=2/-知'a)-6a1如果g(x)在開區(qū)間(OR上存在極小值，求

實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案:

解(1)f\x)=-x--Ibx-3a-

由題意知/㈤=一不-聚a—=0=>5=2a:，=二

a

(2)由已知可得g(.x)=2?/-3CD:Z-12azx-3a:

貝IIw'(<)=6??-6ax-12az=6(.v-a)(x-?q)

令g'(w)=0,得?:=々或=-2a

若久》D,則當(dāng)工<一二螳或.Y>c時(shí)，g\x)>0；

當(dāng)一2av：工<：々時(shí)，gr(x)<0

所以當(dāng)K=a時(shí)，gG.有極小值，

/.0<a<1

若々<0,則當(dāng)螳或>一二，時(shí),/⑶>0：

當(dāng)setc一二色時(shí)，g'\x)<0

所以當(dāng).=-二療時(shí)，g(。有極小值，

0<-2L7<1.'*>a<0

所以當(dāng)二-：<a.：：。或0<a，：：1時(shí)，冬11在開區(qū)間(OJJ上存在極小值。

略

19.設(shè)A」#“，=°),B=W+2(a+l>+a3-l=0)

(1)若AuB=8,求實(shí)數(shù)a的值；(2)若4cB=8,求實(shí)數(shù)a的值。

參考答案：

l)a=l(2)4=1或4￡-1

20.已知i^ABC中，內(nèi)角A.B.C的對邊分別為a,b,c,若

m=(2a-c,cosQ.?=(i.eosS),且

(I)求角B的大小；

a+c

(II)求b的取值范圍.

參考答案：

(I)W//M,(2a-c)co?5=icosC-------------2分

由正弦定理(2sin4-sinC)cosB=sinBcosC---------------------------4分

_1_n

COS5=—、B=—

2,Bne(/oA.力，3------------------------------------------6分

(ID由正弦定理bsmB3-------------7分

管=2血"令--------------------------------------------

.，入2不、.7T5〃"、

46(0,—)^+-6(-,一)

3,66610分

12分

略

/W

21.記函數(shù)Vx+