專題2.3 勾股定理與幾何綜合（壓軸題專項講練）（浙教版）（原卷版）

專題2.3勾股定理與幾何綜合【典例1】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒（1）出發(fā)2s后，求△ABP的周長；（2）求出t為何值時，△BCP為等腰三角形；（3）當(dāng)點P運動到△ABC任意一條角平分線上時（不與頂點A、B、C重合），直接寫出t的值．【思路點撥】（1）利用勾股定理得出AC=8cm，進而表示出AP的長，由勾股定理求出PB，進而得出答案；（2）利用分類討論的思想和等腰三角形的特點及三角形的面積求出答案；（3）分三種情況討論，當(dāng)點P恰好在∠ABC的角平分線上時，利用角平分線的性質(zhì)以及勾股定理得出方程，解方程即可；當(dāng)點P恰好在∠ACB的角平分線上時，利用面積法求得PBPA=34，據(jù)此可求解；當(dāng)點【解題過程】（1）解：∵∠C=90°，AB=10cm∴由勾股定理得AC=10由題意得，出發(fā)2秒后，則CP=2cm，那么AP=6∵∠C=90°，∴由勾股定理得PB=210∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=6+10+210（2）解：若P在邊AC上時，BC=CP=6cm此時用的時間為6s，故t=6s時若P在AB邊上時，有三種情況：①BP=CB=6cm此時AP=4cm，P運動的路程為12所以用的時間為12s，故t=12s時②若CP=BC=6cm，過C作斜邊AB的高CD，根據(jù)面積法，12∴CD=4.8cm根據(jù)勾股定理求得BD=6所以P運動的路程為18-2×3.6=10.8cm∴所以用的時間為10.8s，故t=10.8s時③若BP=CP時，則∠PCB=∠PBC，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC，∴PA=PB=5cm∴P的路程為13cm所以時間為13s，故t=13s時∴t為6s或10.8s或12s或13s時（3）解：點P恰好在∠ABC的角平分線上時，如圖所示，過點P作PG⊥AB于點G，∴PG=PC．在Rt△BPC與Rt△BPG中，∴Rt△BPC≌∴BG=BC=6cm∴AG=10-6=4cm設(shè)PC=x，則PA=(8-x)，在RtΔAPG中，即x2解得：x=3，∴當(dāng)t=3s時，點P恰好在∠ABC當(dāng)點P恰好在∠ACB的角平分線上時，作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．∵PC平分∠ACB，∴PE=PF，∴SΔ∴PA=4∴P的路程為967∴當(dāng)t=967s時，點P當(dāng)點P恰好在∠BAC的角平分線上，過P作PH⊥AB，

∵點P恰好在∠BAC的角平分線上，且∠C=90°，∴CP=HP，∴△ACP≌△AHP，∴AH=AC=8cm設(shè)CP=a，則BP=6-a，∴RtΔBHP中，B即22解得a=8∴P的路程為24-8∴當(dāng)t=643s時，點P綜上所述，滿足條件的t的值為3s或967s或1．（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）已知△ABC與△ABD在同一平面內(nèi)，點C，D不關(guān)于AB對稱，∠ABC=∠ABD=30°，AB=2，AC=AD=2，則CD長為（

A．2或3-1 B．2或C．3-1或3+1 D．22．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，過點A作AD⊥BA交BC于點D，過點D作DE⊥BC交AC于點E，則AE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，三角形紙片ABC中，點D是BC邊上一點，連接AD，把△ABD沿著直線AD翻折，得到△AED，DE交AC于點G，連接BE交AD于點F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面積為92，則BD2A．13 B．12 C．11 D．104．（2023春·八年級單元測試）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分別為射線BE、A．4 B．6 C．8 D．105．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在等腰RtΔABC中，∠C=90°，AB=8，點D和E分別是BC和AB上兩點，連接DE，將△BDE沿DE折疊，得到△B'DE，點B'恰好落在AC的中點處，DE與A．22 B．10 C．51066．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在紙片ΔABC中，AB=AC=12，∠B=30°，折疊紙片，使點B落在AC的中點D處，折痕為EF，則A．4935 B．103 C．113 D7．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，A點坐標為0，2，B是x軸上一點．以AB為腰，作等腰直角三角形ABC，∠ABC=90°，連接OC，則AC+OC的最小值為8．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，長方形ABCD中，AB=5,AD=6，點P是射線AD上一點，將△ABP沿BP折疊得到△A'BP，點A'恰好落在BC的垂直平分線l上（直線l也是AD的垂直平分線），線段9．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在ΔABC中，BD平分∠ABC，∠A=3∠C，10．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，長方形ABCD中，AD=3，AB=5，點E為射線DC上一動點(不與D重合)，將△ADE沿AE折疊得到△D'AE，連接D'B11．（2023秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，DE平分∠ADC，交AC與點E，EF⊥AB于點F，且交AD-于點G，若AG=2,BC=12，則AF=12．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝50cm，BC＝30cm，AC＝40cm．（1）求證：∠ACB＝90°（2）求AB邊上的高．（3）點D從點B出發(fā)在線段AB上以2cm/s的速度向終點A運動，設(shè)點D的運動時間為t（s）．①BD的長用含t的代數(shù)式表示為．②當(dāng)△BCD為等腰三角形時，直接寫出t的值．13．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，ΔABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A-B-C-A運動，設(shè)運動時間為t秒t>0（1）點P運動結(jié)束，運動時間t=______；（2）當(dāng)點P到邊AB、AC的距離相等時，求此時t的值；（3）在點P運動過程中，是否存在t的值，使得△ACP為等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．14．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，動點P從點C出發(fā)，按C-A-B-C的路徑運動（回到C點停止），且速度為每秒3個單位，設(shè)出發(fā)時間為t秒．（1）求BC邊上的高線AE的長與AC邊上的高線BD的長；（2）當(dāng)CP⊥AB時,求t的值；（3）若△ACP是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的t的值．15．（2023秋·湖南衡陽·八年級校考期末）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°,AB=5,BC=3，點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿路線A→C→B→A運動．設(shè)點P的運動時間為t秒．（1）AC=_________；當(dāng)點P在AC上時，CP=_________（用含t的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若點P在∠ABC的角平分線上，求t的值；（3）在整個運動過程中，當(dāng)△BCP是等腰三角形時，求t的值．16．（2023秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA=22，點D是射線AB上一點，連接CD，在CD右側(cè)

作∠DCE=90°，且CE=CD，連接AE，已知（1）如圖1，當(dāng)點D在線段AB上時，①求∠CAE的度數(shù)；②求線段CD的長；（2）當(dāng)點D在線段AB的延長線上時，其他條件不變，請在圖2中畫出圖形，并直接寫出∠CAE的度數(shù)和CD的長．17．（2023秋·福建莆田·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B、C在x軸上，∠ABO=30°，AB=2，OB=OC．（1）如圖1，求點A、B、C的坐標；（2）如圖2，若點D在第一象限且滿足AD=AC，∠DAC=90°，線段BD交y軸于點G，求線段BG的長；（3）如圖3，在（2）的條件下，若在第四象限有一點E，滿足∠BEC=∠BDC．請?zhí)骄緽E、CE、AE之間的數(shù)量關(guān)系．18．（2023秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）已知∠AOB=∠COD=90°，OA=OB=10，OC=OD=8（1）如圖1，連接AC、BD，問AC與BD相等嗎？并說明理由．（2）若將△COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2，當(dāng)點C恰好在AB邊上時，請寫出AC、BC、OC（3）若△COD繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠AOC=15°時，直線CD與直線AO交于點F，求AF19．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）定義：在任意△ABC中，如果一個內(nèi)角度數(shù)的2倍與另一個內(nèi)角度數(shù)的和為90°，那么稱此三角形為“倍角互余三角形”．（1）【基礎(chǔ)鞏固】若△ABC是“倍角互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，則∠B=________°；（2）【嘗試應(yīng)用】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為線段BC上一點，若∠CAD與∠CAB互余．求證：△ABD是“倍角互余三角形”（3）【拓展提高】如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，試問在邊BC上是否存在點E，使得△ABE是“倍角互余三角形”？若存在，請求出BE20．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）定義：若三角形滿足：兩邊的平方和與這兩邊乘積的差等于第三邊的平方，則稱這個三角形為“類勾股三角形”．如圖1在△ABC中，AB2+AC2-AB?AC=BC（1）等邊三角形一定是“類勾股三角形”，是___________________命題（填真或假）．（2）若Rt△ABC中，∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a，且b>a，若△ABC是“類勾股三角形”，求∠B（3）如圖2，在等邊三角形ABC的邊AC,BC上各取一點D，E，且AD<CD,AE,BD相交于點F，BG是△BEF的高，若△BGF是“類勾股三角形”，且BG>FG．①求證：AD=CE．②連結(jié)CG，若∠GCB=∠ABD，那么線段AG,EF,CD能否構(gòu)成一個“類勾股三角形”？若能，請證明；若不能，請說明理由．21．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）問題背景：如圖1，某車間生產(chǎn)了一個豎直放在地面上的零件AB，過點A搭了一個支架AC，測得支架AC與地面成60°角，即∠ACB=60°；在AC的中點D處固定了一個激光掃描儀，需要對零件AB進行掃描，已知掃描光線的張角恒為60°，即∠EDF=60°．問題提出：數(shù)學(xué)興趣小組針對這個裝置進行探究，研究零件AB邊上的被掃描部分（即線段EF），和未掃到的部分（即線段AE和線段BF）之間的數(shù)量關(guān)系．問題解決：（1）先考慮特殊情況：①如果點E剛好和點A重合，或者點B剛好和點F重合時，AE+BF________EF（填“>”，“<”或“=”）；②當(dāng)點E位于特殊位置，比如當(dāng)∠ADE=30°時，AE+BF________EF（填“>”或“<”）；（2）特殊到一般：猜想：如圖2，當(dāng)0°<∠ADE<60°時，AE+BF________EF，證明你所得到的結(jié)論：（3）研究特殊關(guān)系：如果BF2+E22．（2023春·八年級單元測試）【問題探究】如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，連接BD，CE交于點F，試猜想BD與CE的大