湖南省永州市藍(lán)山縣2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含解析）

藍(lán)山縣2023年下期期中質(zhì)量檢測試卷八年級數(shù)學(xué)滿分：120分時量：120分鐘一、選擇題（共10個小題，每小題3分，共30分）1．下列式子中是分式的是（

）A． B． C． D．2．下列給出的線段中能組成三角形的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，3．下列分式的變形正確的是（

）A． B． C． D．4．若有意義，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角度數(shù)為（）A．30° B．60° C．90° D．120°或60°6．如圖，已知，下列添加的條件不能使的是（）A． B． C． D．7．如圖，小明不慎將一塊三角形形的玻璃碎成的四塊（圖中所標(biāo)1、2、3、4），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來大小一樣的三角形玻璃？應(yīng)該帶第哪塊去（

）

A．1 B．2 C．3 D．48．如圖，在中，若，是邊上的高，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．9．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是的中線上的動點(diǎn)，且，則的最小值是（

）

A．4 B．6 C．8 D．1010．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，交ED的延長線于點(diǎn)F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，給出下列四個結(jié)論：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正確的結(jié)論共有（）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題（每題3分，共18分）11．把與通分，其最簡公分母．12．計算：=；13．《九章算術(shù)》中有一道關(guān)于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到里遠(yuǎn)的城市，所需時間比規(guī)定時間多1天；若改為快馬派送，則所需時間比規(guī)定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時間，設(shè)規(guī)定時間為x天，則可列出正確的方程為．14．如圖，，的周長為12，且，則的周長為．

15．如圖，在△ABC中，CD是它的角平分線，DE⊥AC于點(diǎn)E．若BC＝6cm，DE＝2cm，則△BCD的面積為cm216．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線對稱，E，F(xiàn)分別是邊和上的點(diǎn)．，與交于點(diǎn)G．交于點(diǎn)H．下列四個結(jié)論中：①；②；③；④為等邊三角形．所有正確的結(jié)論的序號是．三、解答題（本大題9個小題，共72分）17．化簡：．18．解分式方程：．19．先化簡，再求值：，然后m從1、2、3三個數(shù)中選取一個你喜歡的數(shù)代入求值．20．關(guān)于x的方程會產(chǎn)生增根，求m的值．21．完成下面的推理說明：已知：如圖，，分別平分和．求證：．證明：∵分別平分和（已知），∴______，______．（角平分線的定義）．∵（已知），∴（______）．∴（等量代換）．∴（等式的性質(zhì)）．∴（______）．22．如圖點(diǎn)C、E、F、B在同一直線上，點(diǎn)A、D在異側(cè)，，，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．23．疫情期間，某校根據(jù)政府防控要求用4000元購買了一批口罩，兩天后勤人員發(fā)現(xiàn)口罩?jǐn)?shù)量不多了，學(xué)校決定再次用5000元購買一批口罩作為備用，后勤人員發(fā)現(xiàn)這時每只口罩價格漲了1元，結(jié)果兩次購買口罩的數(shù)量相同．(1)學(xué)校兩次購買口罩的單價分別是多少元？(2)學(xué)校兩次共購買口罩多少只？24．如圖在四邊形中，，是的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且．(1)說明的理由；(2)連接，那么與的位置關(guān)系是，請說明理由．25．在中，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．

(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①；②．(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．答案與解析1．D【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【詳解】解：A、是整式，故選項不符合題意；B、是整式，故此選項不符合題意；C、是整式，故選項不符合題意；D、是分式，故選項符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的定義，在解答此題時要注意分式是形式定義，只要是分母中含有未知數(shù)的式子即為分式．2．B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，逐一比較兩條較小邊的和與最大邊的大小即可得答案．【詳解】A．，不能構(gòu)成三角形，故該選項不符合題意，B．，能構(gòu)成三角形，故該選項符合題意，C．，不能構(gòu)成三角形，故該選項符合題意，D．，不能構(gòu)成三角形，故該選項不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)．3．C【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、與不一定相等，變形錯誤，不符合題意；B、與不一定相等，變形錯誤，不符合題意；C、，變形正確，符合題意；D、，變形錯誤，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，熟知分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】本題考查了分式有意義：即分母不為0，據(jù)此即可作答．【詳解】解：依題意，∵有意義∴解得故選：D5．D【詳解】解：當(dāng)頂角為鈍角時，如圖1，可求得其頂角的鄰補(bǔ)角為60°，則頂角為120°；

當(dāng)頂角為銳角時，如圖2，可求得其頂角為60°；

綜上可知該等腰三角形的頂角為120°或60°．故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩腰相等及直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】根據(jù)全等三角形的判定條件逐一判斷即可．【詳解】解：A、由，，添加條件，可以由證明，故此選項不符合題意；B、由，，添加條件，可以由證明，故此選項不符合題意；C、由，，添加條件，即，可以由證明，故此選項不符合題意；D、由，，添加條件，不可以由證明，故此選項符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定條件有等等．7．D【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：分別分析圖中所標(biāo)1、2、3、4與原來的三角形玻璃有哪些角和邊是相同的，結(jié)合全等三角形的判定方法進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A、1號只有一個角與原來的三角形玻璃相等，故不能配一塊與原來大小一樣的三角形玻璃，故該選項是錯誤的；B、2號沒有角和沒有邊與原來的三角形玻璃相等，故不能配一塊與原來大小一樣的三角形玻璃，故該選項是錯誤的；C、3號沒有角和沒有邊與原來的三角形玻璃相等，故不能配一塊與原來大小一樣的三角形玻璃，故該選項是錯誤的；D、4號有兩個角和夾邊與原來的三角形玻璃相等，即，故能配一塊與原來大小一樣的三角形玻璃，故該選項是正確的；故選：D8．B【分析】在中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出∠C的度數(shù)，結(jié)合是邊上的高，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：在中，，，∴，∴，∴．∵是邊上的高，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，牢記“三角形內(nèi)角和是180°”是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】要求的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化，的值，從而找出其最小值求解即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，是邊上的中線，∴，∴是的垂直平分線，作點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)F，連接，

∴，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，此時最短，即就是的最小值．∵是等邊三角形，E是邊的中點(diǎn)，∴F是的中點(diǎn)，∴是的中線，∴，即的最小值為8，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．A【詳解】解：∵，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分線，∴BD=CD，AD⊥BC，故②，③正確，在△CDE與△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正確；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正確．故選A．11．##【分析】確定最簡公分母的方法是：①取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；②凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式；③同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．【詳解】解：與的最簡公分母為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡公分母的定義，熟練掌握最簡公分母的定義是解答本題的關(guān)鍵．通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．12．-【分析】首先通分，然后再根據(jù)同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減進(jìn)行計算即可．【詳解】解：=-．故答案為：-．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的加減，關(guān)鍵是先確定好最簡公分母，通分后化為同分母后計算．13．【分析】本題考查分式方程解決應(yīng)用題，根據(jù)速度關(guān)系列方程求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，故答案為：．14．15【分析】由，的周長為12，可得，的周長為12，即，根據(jù)的周長為，計算求解即可．【詳解】解：∵，的周長為12，∴，的周長為12，即，∴的周長為，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．15．6【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)計算即可；【詳解】作，∵CD是角平分線，DE⊥AC，∴，又∵BC＝6cm，∴；故答案是6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．16．①②④【分析】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，正確作出輔助線是解決此題關(guān)鍵．①直接根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可；②延長至，使，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論；③證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則；④連接，根據(jù)全等三角形的判定方法及性質(zhì)可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定可得結(jié)論．【詳解】解：①在和中，，∴，故①正確；②延長至，使，由①知，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線對稱，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故②正確；③連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，而不一定等于，故③錯誤；④連接，∵，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，故④正確，故答案為：①②④．17．1．【分析】首先約分，然后根據(jù)同分母分式加減法法則，算出結(jié)果即可．【詳解】解：原式====1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡和同分分母分式的加法，解答關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．18．無解【分析】先把分式方程變形成整式方程，求解后再檢驗即可．【詳解】解：去分母得：1?x+2(x-2)=?1，去括號得：1?x+2x-4=?1，解得：x=2，經(jīng)檢驗x=2是增根，所以分式方程無解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟是解決本題的關(guān)鍵．注意解分式方程必須檢驗．19．，2【分析】本題考查了分式化簡求值，先化簡括號內(nèi)，得，根據(jù)分式除法法則進(jìn)行計算化簡，得，考慮分式有意義，即可作答．【詳解】解：∵∴即原式20．或【分析】分式方程去分母化為整式方程，使得分式方程分母為0的整式方程的根為分式方程的增根；原方程化為，由或，得增根為或，代入求得m．【詳解】解：去分母得：由分式方程有增根，得到或，即或，把代入方程得：，解得：，把代入方程得：，解得：，故當(dāng)或時，方程有增根．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的求解，增根的定義，理解分式方程增根的定義是解題的關(guān)鍵．21．；；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】本題利用角平分線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)求解，主要在于練習(xí)幾何證明題的書寫格式．解答此類要判定兩直線平行的題，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的關(guān)系．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得，，又因為，所以有，等量代換可知，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可證明．【詳解】證明：∵分別平分和（已知），∴，，（角平分線的定義），∵（已知），∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴（等量代換），∴（等式的性質(zhì)）．∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．22．(1)見解析(2)．【分析】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得；（2）結(jié)合（1）得出，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，，∴．23．(1)學(xué)校第一次購買口罩的單價為4元，第二次購買口罩的單價為5元；(2)學(xué)校兩次共購買口罩只．【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用．（1）設(shè)學(xué)校第一次購買口罩的單價為元，則第二次購買口罩的單價為元，兩次購買口罩的數(shù)量相同列出分式方程，解方程即可；（2）由（1）的結(jié)果列式計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)學(xué)校第一次購買口罩的單價為元，則第二次購買口罩的單價為元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，且符合題意，則，答：學(xué)校第一次購買口罩的單價為4元，第二次購買口罩的單價為5元；（2）解：兩次購買口罩為（只），答：學(xué)校兩次共購買口罩只．24．(1)見解析(2)，理由見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由，得出，因為是的中點(diǎn)，得，即可得出結(jié)論；（2）可證，從而有，再通過（1）中全等知，由等腰三角形三線合一即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，是的中點(diǎn)，，在和中，，，（2）解：，理由：如圖，∵，∵，，，由（1）知：，，．2