機(jī)械制圖課件

第1章制圖的基本知識與技能1.1繪圖工具與用品1.2制圖國家標(biāo)準(zhǔn)的基本規(guī)定1.3常用幾何圖形的畫法1.4繪圖的方法與步驟1.1

繪圖工具與用品1.1.1繪圖工具1.1.2繪圖用品一、圖板、丁字尺、三角板圖板用來固定和鋪放圖紙，丁字尺用來畫水平線。一、圖板、丁字尺、三角板丁字尺與三角板配合畫垂直線（1）圖板、丁字尺、三角板丁字尺與三角板配合畫傾斜線（1）圖板、丁字尺、三角板用三角板和丁字尺配合可畫出15°倍角的斜線用兩塊三角板配合可畫出平行線

（2）繪圖儀器圓規(guī)用于畫圓及圓弧。圓規(guī)的一條腿是活動的，當(dāng)把鉛芯插腳更換為鋼針插腳即為分規(guī)。畫圓前應(yīng)將圓規(guī)鋼針的臺肩調(diào)整到與鉛芯的端部平齊。斜面形鉛芯，用來打底稿，鉛芯長出芯套6~8mm。柱狀形鉛芯，用來加粗圖線。

（2）繪圖儀器（2）繪圖儀器分規(guī)——用來量取尺寸和等分線段或圓弧量取線段等分線段曲線板——用來繪制非圓曲線（3）曲線板曲線板的連接方法：從曲線起點(diǎn)開始，至少要通過曲線上的3～4個點(diǎn)，并沿曲線板描繪這一段曲線，用同樣的方法選取第二段曲線。但在曲線相接處，應(yīng)有一段曲線重合。1.1.2

繪圖用品繪圖用品包括繪圖紙、繪圖鉛筆及其他繪圖用品

鉛筆按鉛芯的軟、硬程度可分為B型和H型兩類，“B”表示軟，“H”表示硬。1.1.2

繪圖用品1.2

制圖國家標(biāo)準(zhǔn)的基本規(guī)定1.2.1圖紙幅面和格式1.2.2比例1.2.3字體1.2.4圖線1.2.5尺寸注法1.2.1

圖紙幅面和格式（1）圖紙幅面A0A1A2A3A4（2）圖框1.2.1

圖紙幅面和格式aLB標(biāo)題欄圖框線（3）標(biāo)題欄1.2.1

圖紙幅面和格式

學(xué)生建議采用下列所示的標(biāo)題欄：

標(biāo)題欄用以說明圖樣的名稱、圖號、零件材料、設(shè)計單位及有關(guān)人員的簽名等內(nèi)容。1.2.2

比例

圖樣的比例是指：圖形與實(shí)際機(jī)件相應(yīng)要素的線性尺寸之比。

圖樣的比例應(yīng)根據(jù)圖樣的用途與被繪對象的復(fù)雜程度從國標(biāo)從中選用。注意：尺寸應(yīng)按實(shí)際大小注寫，與比例無關(guān)。1.2.2

比例用不同比例繪制的圖：6040402560404025604025401:11:22:11.2.3

字體字體號數(shù)字體的號數(shù)即為字體的高度h，應(yīng)從下列系列中選用：2.5、3.5、5、7、10、14、20mm。字寬要求圖樣上所書寫的漢字、數(shù)字、字母等必須做到：筆畫清晰，字體端正，排列整齊，間隔均勻。字體要求漢字字體高度不小于3.5mm，字體寬度一般為字體高度的0.7倍。hh/√2漢字示例如下：1.2.3

字體長仿宋字體的書寫要領(lǐng)：長仿宋字的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：橫平豎直注意起落結(jié)構(gòu)勻稱填滿方格數(shù)字與字母分類

字母和數(shù)字分為A型和B型。A型字體的筆畫寬度為字高的1/14，B型字體筆畫寬度為字高的1/10。字母和數(shù)字可寫成斜體或直體，但全圖要統(tǒng)一。斜體字字頭向右傾斜，與水平基準(zhǔn)線成75°。在同一圖樣上只允許選用一種型式的字體。1.2.3

字體1.2.4

圖線（1）圖線的線型及線寬130可見輪廓線粗實(shí)線移出斷面輪廓線粗實(shí)線尺寸線細(xì)實(shí)線重合斷面的輪廓線細(xì)實(shí)線剖面符號細(xì)實(shí)線不可見輪廓線虛線軸線點(diǎn)畫線視圖和剖視的分界線波浪線相鄰輔助件輪廓雙點(diǎn)畫線極限位置的輪廓線雙點(diǎn)畫線斷裂處的邊界線雙折線細(xì)實(shí)線尺寸界線對稱中心線和軌跡線點(diǎn)畫線1.2.4

圖線1.2.5

尺寸注法（1）基本規(guī)則①機(jī)件的真實(shí)大小應(yīng)以圖樣上所注的尺寸數(shù)值為依據(jù)，與圖形比例及繪圖準(zhǔn)確度無關(guān)；②圖樣中的尺寸，以毫米為單位時，不需標(biāo)注計量單位的代號或名稱。若采用其他單位時，則必須注明相應(yīng)計量單位的代號或名稱；③圖樣中所標(biāo)注的尺寸，為該圖樣所示機(jī)件的最后完工尺寸，否則應(yīng)另加說明；④機(jī)件的每一尺寸，在圖樣上一般只標(biāo)注一次，并應(yīng)標(biāo)注在反映該結(jié)構(gòu)最清晰的圖形上。（2）尺寸數(shù)字、尺寸線和尺寸界線

一個完整的尺寸應(yīng)包括尺寸界線、尺寸線（含箭頭或斜線）和尺寸數(shù)字三個基本要素。30尺寸界線：用細(xì)實(shí)線繪制，由圖形的輪廓線、軸線、或?qū)ΨQ中心線引出；一般與尺寸線垂直，必要時可傾斜，超出尺寸箭頭約2~3mm。尺寸線：用細(xì)實(shí)線繪制，并與被注長度平行，不能用其他圖線代替。尺寸線終端的兩種形式：1.2.5

尺寸注法

尺寸數(shù)字的書寫方向，按下圖規(guī)定注寫：

若尺寸數(shù)字在30°斜線區(qū)內(nèi)，宜按下面形式注寫：（2）尺寸數(shù)字、尺寸線和尺寸界限20202020202020202020161630°30°1.2.5

尺寸注法（2）尺寸數(shù)字、尺寸線和尺寸界線角度數(shù)字一般注寫在尺寸線的中斷處角度數(shù)字一律注寫成水平方向必要時也可引出旁注1.2.5

尺寸注法（2）尺寸數(shù)字、尺寸線和尺寸界線圓的直徑和圓弧半徑的尺寸線應(yīng)通過圓心，其終端應(yīng)畫成箭頭。1.2.5

尺寸注法（2）尺寸數(shù)字、尺寸線和尺寸界線

當(dāng)采用箭頭或注寫數(shù)字位置不夠時，允許用圓點(diǎn)（或斜線）代替箭頭。1.2.5

尺寸注法1.3

常用幾何圖形的畫法1.3.1等分作圖1.3.2斜度和錐度1.3.3圓弧連接1.3.4圓弧的切線1.3.5平面圖形的尺寸分析和線段分析1.3.1

等分作圖（1）等分線段AB

等分已知線段AB成五等分：1.3.1

等分作圖（2）等分圓周與作正多邊形三等分圓周和作正三邊形六等分圓周和作正六邊形1.3.1

等分作圖（2）等分圓周與作正多邊形五等分圓周和作圓的內(nèi)接正五邊形MBOAR作圖步驟：①

找OA的中點(diǎn)：以A為圓心，R為半徑畫圓弧，在圓周上得兩交點(diǎn)，作兩點(diǎn)的連線與OA相交于M，即為OA的中點(diǎn)；R②

以M圓心，MB為半徑畫圓弧，在AO的延長線上得交點(diǎn)N；N③

以BN為半徑，在圓周上截得五個交點(diǎn)，即為五個等分點(diǎn)；④

連接五個等分點(diǎn)，即為所求。1.3.2

斜度和錐度（1）斜度LHα30°h斜度是指一平面（或一直線）對另一平面（或一直線）的傾斜程度。斜度=tanα=H/L斜度符號的書寫格式1:51:5斜度的標(biāo)注方法注意：

斜度符號的方向應(yīng)與斜度的傾斜方向一致1.3.2

斜度和錐度（1）斜度斜度1:5斜度的作圖步驟:ABCD①按給定條件作出非傾斜部分的輪廓；②過A點(diǎn)作水平線,用分規(guī)任取一個單位長度AB,并使AC=5AB；③過C點(diǎn)作垂線，并取CD=AB；④連AD即完成該斜面的投影。1.3.2

斜度和錐度（2）錐度錐度是圓錐的底面直徑與高度之比。Ll2αdD2.5h1.4h1:3錐度D/L=(D-d)/l=2tanα錐度符號的書寫格式錐度的標(biāo)注方法注意：

錐度符號的方向應(yīng)與錐度的傾斜方向一致1.3.3

圓弧連接

使直線與圓弧相切或圓弧與圓弧相切來光滑連接圖線，稱為圓弧連接。

為了使線段能準(zhǔn)確連接，作圖時，必須先求出連接弧的圓心和切點(diǎn)的位置。已知線段已知線段連接線段連接點(diǎn)連接點(diǎn)R1.3.3

圓弧連接（1）兩已知直線用圓弧連接RR作圖步驟：①

分別作二直線相距為R的平行線，交點(diǎn)即為連接圓弧的圓心O

；②

過O點(diǎn)作兩條直線的垂線，垂足即為切點(diǎn)；③

以O(shè)為圓心，R為半徑，連接即可。④

加深圖線。作圖原理ROR1.3.3

圓弧連接（2）兩已知圓弧用半徑為R的連接圓弧連接外切——連接圓弧和已知圓弧的圓心在連接圓弧的兩側(cè)。ORRO1R2R1O2R2+RR1+RR1O1O2R2RR1+RR2+R作圖步驟：①

以O(shè)1為圓心，R1+R的距離為半徑畫圓弧，以O(shè)2為圓心，R2+R的距離為半徑畫圓弧，兩圓弧的交點(diǎn)即為連接圓弧的圓心O；②連接OO1和OO2與已知圓弧交M、N點(diǎn),即切點(diǎn)；MN③以O(shè)為圓心，R為半徑，連接MN即可。R1R1+RR2R2+ROMN④加深圖線。作圖原理1.3.3

圓弧連接內(nèi)切——連接圓弧和已知圓弧的圓心在連接圓弧的同側(cè)。R-R2R-R2R-R1R2OR1R-R1R-R2R-R1NM作圖步驟：①以O(shè)1為圓心，R-R1的距離為半徑畫圓弧，以O(shè)2為圓心，R-R2的距離為半徑畫圓弧，兩圓弧的交點(diǎn)即為連接圓弧的圓心O；②

連接OO1和OO2與已知圓弧交M、N點(diǎn),即切點(diǎn)；③

以O(shè)為圓心，R為半徑，連接MN，加深圖線。R-R1R1R2O2O1R1R2RO2O1R1R2R-R2OMN作圖原理（2）兩已知圓弧用半徑為R的連接圓弧連接1.3.3

圓弧連接例：用半徑為R的圓弧光滑連接直線和圓弧。R2-RRO2R2R1O1RR+R1R1R2-RR+R1R21.3.5

平面圖形的尺寸分析和線段分析（1）平面圖形的尺寸分析①定形尺寸②定位尺寸

確定平面圖形的線段長度、圓的直徑、圓弧半徑及角度等尺寸，稱為定形尺寸。

用于確定線段、圓心等在平面圖形中所處位置的尺寸，稱為定位尺寸。③

尺寸基準(zhǔn)

標(biāo)注定位尺寸的起始點(diǎn)稱為尺寸基準(zhǔn)。1.3.5

平面圖形的尺寸分析和線段分析（2）平面圖形的線段分析①已知線段②中間線段

具有定形尺寸和兩個方向定位尺寸的線段稱已知線段。

具有定形尺寸和一個方向定位尺寸的線段稱中間線段。③

連接線段

具有定形尺寸，沒有定位尺寸的線段，稱為連接線段。1.3.5

平面圖形的尺寸分析和線段分析（3）平面圖形的作圖步驟①分析圖形，根據(jù)所注尺寸確定哪些是已知線段、哪些是中間線段、哪些是連接線段。②

畫基準(zhǔn)線及各已知線段。③

根據(jù)尺寸條件及連接方法畫出各中間線段。④

根據(jù)各種連接方法畫出各連接線段。R71(23+48)R27(23+4)R36(40-4)1.3.5

平面圖形的尺寸分析和線段分析R90(48+42)R80(20+60)例：起重鉤的作圖步驟R60(40+20)42601.4繪圖方法及步驟（1）準(zhǔn)備工作①擦凈繪圖工具及儀器；磨削好鉛筆及筆芯；清理桌面洗凈雙手。②

對圖樣進(jìn)行尺寸分析和線段分析。③

根據(jù)圖形大小和復(fù)雜程度，選取比例和圖紙幅面，將圖紙固定在適當(dāng)位置。（2）畫底稿（用H或2H鉛筆及圓規(guī)畫細(xì)線）①畫圖框、標(biāo)題欄；②

畫出基準(zhǔn)線、對稱中心線、軸線等；③

先畫平面圖形的主要輪廓線，再畫圖形的細(xì)小結(jié)構(gòu)；1.4繪圖方法及步驟④

畫出尺寸界線、尺寸線、箭頭，標(biāo)出數(shù)字（一次成型）；⑤

檢查校核正確無誤。2.1投影的基本知識2.2點(diǎn)的投影2.3直線的投影2.4平面的投影第2章點(diǎn)、直線、平面的投影2.5直線、平面之間的相對位置2.1

投影的基本知識2.1.1投影的概念2.1.2投影法分類2.1.3正投影的基本特性2.1.2

投影的概念什么是投影？投影中心投射線物體投影投影面

投影就是物體受到光線照射在平面上投影下影子的自然現(xiàn)象。2.1.1

投影的概念什么是投影法？

投影法是從點(diǎn)光源發(fā)出的光線照射物體，在平面上產(chǎn)生影子的概念抽象出來的一種圖示方法，投影不是整塊黑影，而是這樣的一種投影圖：將幾何形體上被光線照射到的輪廓線用實(shí)線畫出，而被自身遮擋沒被光線照射到的輪廓線用虛線畫出2.1.2

投影法分類投影法平行投影法投影法的分類中心投影法斜投影法正投影法投射線匯交于投射中心投射線互相平行中心投影法平行投影法投射線與投影面傾斜投射線與投影面垂直斜投影法正投影法本課程重點(diǎn)介紹2.1.3

正投影的基本特性abABH在該面上的投影ab反映空間直線AB的真實(shí)長度。即：ab=ABABCabcH在該面上的投影△abc反映空間平面△ABC的真實(shí)形狀。即：△abc≌

△ABC（1）實(shí)形性

直線段或平面圖形與投影面平行時，其投影反映實(shí)長或?qū)嵭巍?.1.3

正投影的基本特性（2）積聚性

直線段或平面圖形與投影面垂直時，其投影積聚為點(diǎn)或直線。HCDc（d）DEFdefH在該面上的投影cd積聚為一個點(diǎn)。在該面上的投影△def積聚為一條直線。2.1.3

正投影的基本特性（3）類似性

直線段或平面圖形傾斜于投影面時，直線段的投影變短但仍然是直線，而平面圖形的正投影為比原形狀小的類似形。EFefαHKLMklmH在該面上的投影長度變短，ef=EFcosα。在該面上的投影△klm面積變小。2.1.3正投影的基本特性

空間兩條平行的直線，其同面投影也一定平行。

直線上的點(diǎn)，其投影也一定位于直線的同面投影上。

兩平行直線的實(shí)際長度之比與其各同面投影長度之比相等；直線上的點(diǎn)將直線段分為兩線段，這兩線段的實(shí)際長度之比與其投影長度之比相等。（4）平行性（5）從屬性（6）等比性2.2

點(diǎn)的投影2.2.1點(diǎn)的三面投影2.2.2點(diǎn)的投影與坐標(biāo)2.2.3點(diǎn)的相對位置AaHB★

若已知一個空間點(diǎn)，則在給定的投影面上，可以得到該點(diǎn)唯一的投影?！?/p>

若已知點(diǎn)的一個投影，則不能確定該點(diǎn)的空間位置。(b)2.2

點(diǎn)的投影點(diǎn)的單面投影2.2.1

點(diǎn)的三面投影點(diǎn)的三面投影的形成正投影法：投射線互相平行，且與投影面垂直投影時，要構(gòu)成“人—物體—投影面”的關(guān)系，且點(diǎn)在三投影面體系中的位置不能改變。90°90°

在V面上得到的投影叫正面投影，用a’表示

在H面上得到的投影叫水平投影，用a表示

在W面上得到的投影叫側(cè)面投影，用a”表示投影面的展開2.2.1

點(diǎn)的三面投影90°90°2.2.2

點(diǎn)的投影與坐標(biāo)OXZa’aa”aXaZYWaYWYHaYH點(diǎn)的投影特性:（1）點(diǎn)的正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸，即：aa’⊥OX；（2）點(diǎn)的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸，即：a’a”⊥OZ；（3）點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ軸的距離，即：aaX=a”aZ；投影與坐標(biāo)的關(guān)系:2.2.2

點(diǎn)的投影與坐標(biāo)

點(diǎn)的投影與投影軸的距離，反映該點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是該點(diǎn)與相應(yīng)的投影面的距離。a’aZ=aaYH=aXO=Aa”=xAaaX=a”aZ=aYO=

Aa’=yAa’aX=a”aYH=aZO=

Aa=zA怎樣描述A點(diǎn)在三投影面體系中的位置？A點(diǎn)到W面的距離：A點(diǎn)到V面的距離：A點(diǎn)到H面的距離：A（XA，YA，ZA）2.2.2

點(diǎn)的投影與坐標(biāo)[例2-1]已知A點(diǎn)的正面投影a’和水平投影a，求點(diǎn)A的側(cè)面投影a”。a”●●a’aaxazaz解法一:解法二:a

通過作45°轉(zhuǎn)折線使a

az=aax用圓規(guī)畫圓弧轉(zhuǎn)角使a

az=aaxxzyHywa

aaxzxyHyw●2.2.2

點(diǎn)的投影與坐標(biāo)[例2-2]已知點(diǎn)B距V、H、W三個投影面分別為10、20、15，求B點(diǎn)的三面投影。XbYbZb作圖步驟:①

找出與三個坐標(biāo)的對應(yīng)值;②

在投影圖的三個投影軸上截出坐標(biāo)值;③

推平行線畫出投影線;④

畫點(diǎn),并標(biāo)出相應(yīng)的字母。bb’b”15

1、兩點(diǎn)的相對位置確定：空間兩點(diǎn)的相對位置由兩點(diǎn)相對于投影面的距離決定，即由兩點(diǎn)的坐標(biāo)值決定，因此，比較兩點(diǎn)各坐標(biāo)的大小，就可判定兩點(diǎn)的相對位置。2.2.3點(diǎn)的相對位置2.2.3點(diǎn)的相對位置例2-3

如圖所示，試判斷點(diǎn)B相對于點(diǎn)A的空間位置。X坐標(biāo)值確定兩點(diǎn)的左右位置大者為左，小者為右；XA<XBY坐標(biāo)值確定兩點(diǎn)的前后位置大者為前，小者為后；YA<YBZ坐標(biāo)值確定兩點(diǎn)的上下位置大者為上，小者為下；ZA>ZBzBzAxBxAyAyB結(jié)論:B點(diǎn)在A點(diǎn)的左、前、下方。2、重影點(diǎn)的投影

若空間兩點(diǎn)或多點(diǎn)位于垂直于某一投影面的同一條投影線上時，則兩點(diǎn)或多點(diǎn)在這個投影面上的投影便互相重合，這兩點(diǎn)或多點(diǎn)就稱為該投影面的重影點(diǎn)。H面上的重影點(diǎn)上者可見，下者不可見。V面上的重影點(diǎn)前者可見，后者不可見。W面上的重影點(diǎn)左者可見，右者不可見。YB-YAZA-ZBXB-XA（）B點(diǎn)在A點(diǎn)的正下方，或者說A點(diǎn)在B點(diǎn)的正上方。2.2.3

點(diǎn)的相對位置[例]已知A點(diǎn)到V面、H面、W面的距離分別為30、10、25，B點(diǎn)在A點(diǎn)的右15、后20、上25，求A、B兩點(diǎn)的三面投影。作圖步驟：①

分析A點(diǎn)；②

求A點(diǎn)的三面投影；③

分析B點(diǎn)；XAYAZA④

求B點(diǎn)的三面投影；X坐標(biāo)差Y坐標(biāo)差Z坐標(biāo)差2.3

直線的投影2.3.1直線的三面投影2.3.2各種位置直線的投影特性2.3.3直線上的點(diǎn)2.3.4兩直線的相對位置2.3.1

直線的三面投影

求直線AB的三面投影圖時，可分別作出兩端點(diǎn)A、B的三面投影，然后將其同面投影連接起來即得直線AB的三面投影圖。直線按與投影面的相對位置不同分為三類：一般位置直線投影面平行線投影面垂直線不平行于任一投影面的直線。與一個投影面平行，與另二個投影面傾斜的直線。與一個投影面垂直，與另二個投影面平行的直線。特殊位置直線特殊位置直線

直線與H面、V面、W面的傾角，分別用α、β、γ表示2.3.1

各種位置直線的投影特性（1）一般位置直線γ投影特性:

三個投影都傾斜于投影軸，長度縮短，不能直接反映直線與投影面的真實(shí)傾角。與三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。

直角三角形法：|YA-B|求一般位置線段的實(shí)長及對投影面的傾角B0βABa’b’|

YA-B|β|YA-B|a‘b’ABβ

每個直角三角形中，三條邊和直線對投影面的傾角共四個參數(shù)，只要知道其中任意兩個，就能求出其余兩個。直角三角形的作圖要點(diǎn):

直角三角形中，斜邊為直線的實(shí)長，兩直角邊分別為直線的投影長及坐標(biāo)差，斜邊與投影長的夾角為傾角。ABab△ZαABa''b''γ△XABβ△Ya'b'（2）投影面平行線投影面平行線正平線水平線側(cè)平線——與V面平行的直線——與H面平行的直線——與W面平行的直線投影特性:①

在平行的投影面上的投影，反映實(shí)長，且反映該直線與其他兩個投影面的真實(shí)傾角。②

在另外兩個投影面上的投影，必分別平行于相應(yīng)的投影軸，且長度縮短。（2）投影面平行線正平線投影特性:①

a’b’反映真實(shí)長度②

ab//OX，a”b”//OZ，且長度縮短。和α、γ角。水平線投影特性:①

ab反映真實(shí)長度②

a’b’∥OX，a”b”//OY，且長度縮短。和β、γ角。（2）投影面平行線（2）投影面平行線側(cè)平線投影特性:①

a”b”反映真實(shí)長度②

a’b’∥OZ，ab∥OY，且長度縮短。和α、β角。（3）投影面垂直線投影面垂直線正垂線鉛垂線側(cè)垂線——與V面垂直的直線——與H面垂直的直線——與W面垂直的直線投影特性:①在垂直的投影面上的投影，積聚成一點(diǎn)。②

在另外兩個投影面上的投影，平行于投影軸（與直線相平行的投影軸），且反映實(shí)長。正垂線投影特性:①

a’b’積聚成一點(diǎn)。②

ab∥OY，a”b”∥OY，且反映實(shí)長。（3）投影面垂直線鉛垂線投影特性:①

ab積聚成一點(diǎn)。②

a’b’∥OZ，a”b”∥OZ，且反映實(shí)長。（3）投影面垂直線（3）投影面垂直線側(cè)垂線投影特性:①

a”b”積聚成一點(diǎn)。②

a’b’∥OX，ab∥OX，且反映實(shí)長。2.3.2直線上的點(diǎn)①

直線上的點(diǎn)的投影，必定在直線的同面投影上。反之，點(diǎn)的各個投影在直線的同面投影上，則該點(diǎn)一定在直線上。②

直線上的點(diǎn)分割直線段成兩段，則這兩線段的空間長度之比等于其各個同面投影的長度之比。反之………。AKKBa’k’k’b’=AKKBakkb=AKKBa”k”k”b”=AKKBa’k’k’b’akkba”k”k”b”===同理可得：結(jié)論——等比性2.3.2直線上的點(diǎn)的投影特性[例2-4]已知如圖所示，點(diǎn)K在直線AB上，求作它們的三面投影。作圖步驟:①作出AB的水平投影ab；②

在ab和a”b”上確定K點(diǎn)的水平投影k和側(cè)面投影

k”。2.3.2直線上的點(diǎn)的投影特性[例2-5]已知如圖所示，試在直線AB上取一點(diǎn)C，使AC:CB=2:3。作圖步驟:①取直線任一投影ab，過a作任一直線ak；②

將ak五等分，得1、2、3、4、5等分點(diǎn)；③連接b和5，自2作2c∥b5,則c即為所求；④由c求出c’。2.3.3

兩直線的相對位置兩直線的相對位置平行相交交叉

在V、H兩投影面體系中判斷兩直線的相對位置時，如有側(cè)平線，則還需加W面投影或用其他的投影特性協(xié)助檢查。共面直線異面直線（1）兩直線平行投影特性：①若空間兩直線平行，則其同面投影必互相平行。2.3.3

兩直線的相對位置②空間兩平行線段之比，等于其同面投影之比。[例2-6]如圖所示，EF、GH為兩側(cè)平線，ef∥gh，e’f’∥g’h’。試判斷EF與GH兩直線在空間是否平行？判斷方法一：求出側(cè)面投影e”f”和g”h”；判斷方法二：

從H面投影與V面投影測量其長度，因ef:gh≠e’f’:g’h’,故EF不平行GH。2.3.3

兩直線的相對位置因e”f”不平行g(shù)”h”，故EF不平行GH。（2）兩直線相交投影特性：

若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影特性，反之也成立。2.3.3

兩直線的相對位置2.3.3

兩直線的相對位置[例2-7]

直線AB與CD在V面上和H面上同名投影相交，如圖所示，試判斷此兩直線在空間是否相交？方法一：利用第三面投影判斷方法二：利用等比性判斷結(jié)論：AB與CD在空間不相交（3）兩直線交叉投影特性：

交叉兩直線可能有一組、二組或三組同名投影都相交，各同名投影的交點(diǎn)一定不符合點(diǎn)的投影規(guī)律。也可能會有一組或兩組同面投影互相平行，但絕對不會有三組同面投影互相平行。重影點(diǎn)2.3.3

兩直線的相對位置（3）兩直線交叉確定重影點(diǎn)投影可見性的方法：

從兩交叉線的重影點(diǎn)向相鄰?fù)队懊孀魍渡溥B線，與兩交叉線的相鄰?fù)队案鹘坏靡稽c(diǎn)。按（W面上）左遮右、（V面上）前遮后、（H面上）上遮下的規(guī)定，確定在重影點(diǎn)的投影重合處，哪點(diǎn)可見，哪點(diǎn)不可見。2.3.3

兩直線的相對位置AHBCacbcOXb′a′c′ba

直角投影規(guī)律：

空間兩直線互相垂直，當(dāng)其中一條直線為投影面的平行線時，則在該直線所平行的投影面內(nèi)，兩直線的投影必定垂直。反之……。2.3.4

垂直兩直線的投影兩直線交叉垂直O(jiān)Xb′a′bamnnmBHACcbaMNnm【例題】求點(diǎn)K到直線AB的距離。kk′aba′b′ll′垂線KL的實(shí)長△ZKL△ZKL【例題】已知直角三角形ABC，其一直角邊BC在EF線上，長30mm，試完成三角形ABC的投影。e′f′efa′abb′cc′量取bc=30mm【例題】已知正方形ABCD的對角線位于側(cè)平線EF上，試完成該正方形的正面、側(cè)面投影。a′f′e′e″f″a″b″c″d″b′d′c′o″o′=△XAO△XAO半對角線實(shí)長【例題】求兩直線AB、CD之間的距離。aaˊbbˊcˊdˊc(d)nˊmˊm兩交叉線間距離(n)2.4

平面的投影2.4.1平面的表示法2.4.2各種位置平面的投影特性2.4.3平面上的點(diǎn)和直線2.4.1

平面的表示法（1）用幾何元素表示平面不在同一直線上的三點(diǎn)一直線和線外一點(diǎn)相交兩直線平行兩直線任意平面圖形（2）用跡線表示平面PHPVPWP跡線——平面與投影面的交線。平面與V面的交線稱為正面跡線，用PV表示。平面與H面的交線稱為水平跡線，用PH表示。平面與W面的交線稱為側(cè)面跡線，用PW表示。PVPHPW2.4.1

平面的表示法平面按與投影面的相對位置不同分為三類：一般位置平面投影面垂直面投影面平行面不平行于任一投影面的平面。與一個投影面垂直，與另二個投影面傾斜的平面。與一個投影面平行，與另二個投影面垂直的平面。特殊位置直線特殊位置平面

平面與H面、V面、W面的傾角，分別用α、β、γ表示2.4.2

各種位置平面的投影特性一般位置平面投影特性：三個投影都是面積縮小的類似形，不反映真實(shí)傾角。2.4.2

各種位置平面的投影特性投影面垂直面投影特性：①在它所垂直的投影面上的投影積聚為一條直線。正垂面與V面垂直，與H、W面傾斜鉛垂面與H面垂直，與V、W面傾斜側(cè)垂面與W面垂直，與V、H面傾斜②

在其他兩個投影面上的投影，均為類似形。2.4.2

各種位置平面的投影特性正垂面投影特性：①

V面投影積聚為一直線，并反映α和γ角。②

另兩面投影為面積縮小的類似形。α

α

2.4.2

各種位置平面的投影特性2.4.2

各種位置平面的投影特性鉛垂面投影特性：①

Ｈ面投影積聚為一直線，且反映β和γ角。②

另兩面投影為面積縮小的類似形。β

β

2.4.2

各種位置平面的投影特性側(cè)垂面投影特性：①

Ｗ面投影積聚為一直線，且反映β和α角。②

另兩面投影為面積縮小的類似形。βααβ投影面平行面投影特性：①在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。正平面與V面平行，與H、W面垂直水平面與H面平行，與V、W面垂直側(cè)平面與W面平行，與V、H面垂直②

在其他兩個投影面上的投影，積聚成直線，平行于相應(yīng)的投影軸。2.4.2

各種位置平面的投影特性正平面投影特性：①

V面投影反映實(shí)形。②另兩面投影積聚成直線，分別平行于OX、OZ軸。2.4.2

各種位置平面的投影特性2.4.2

各種位置平面的投影特性水平面投影特性：①

H面投影反映實(shí)形。②另兩面投影積聚成直線，分別平行于OX、OY軸。側(cè)平面投影特性：①

W面投影反映實(shí)形。②另兩面投影積聚成直線，分別平行于OZ、OY軸。2.4.2

各種位置平面的投影特性1、點(diǎn)在平面上的幾何條件：若點(diǎn)在平面上的任意直線上，則此點(diǎn)一定在該平面上。[例]已知K點(diǎn)在△ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。作圖步驟:①連接a’k’并延長交b’c’于d’，求出BC上D點(diǎn)的水平投影d；②

連接ad，再利用直線上點(diǎn)的投影特性，求出k。2.4.3

平面上的點(diǎn)和直線ABCMNP2、直線在平面上的幾何條件：R①如果一直線通過平面上的兩個點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。②

如果一直線通過平面上的已知點(diǎn)且平行于平面內(nèi)的另一直線，則此直線必在該平面內(nèi)。

如圖所示，相交兩直線AB、AC決定一平面P，在AB、AC上分別取點(diǎn)M、N，則過M、N兩點(diǎn)的直線一定在平面P上。過點(diǎn)M作直線MR平行直線

AC,則MR一定在平面P上。2.4.3

平面上的點(diǎn)和直線[例]已知直線MN在△ABC所決定的平面內(nèi)，如圖所示，求作其水平投影。作圖步驟:①延長m’n’，分別與a’b’、b’c’交于1’和2’；②

應(yīng)用直線上點(diǎn)的投影特性，求得Ⅰ、Ⅱ的水平投影1和2；③

連接1和2，再應(yīng)用直線上點(diǎn)的投影特性，求出m和n。2.4.3

平面上的直線和點(diǎn)[例]已知平面五邊形ABCDE的正面投影和其中AB、CB兩邊的水平投影，且AB∥CD，如圖所示，試完成該五邊形的水平投影。作圖步驟:①連接a’e’并延長交b’c’于f’，根據(jù)F點(diǎn)在直線BC上，求得F點(diǎn)的水平投影f；②

連接af，根據(jù)E點(diǎn)在AF上，從而求得E的水平投影；③

作cd∥ab，并由d’得d；④

依次連接c、d、e、a得平面圖形ABCDE的水平投影。（1）平面內(nèi)的投影面平行線（傾角為0）（2）平面內(nèi)對投影面的最大斜度線（傾角最大）ABCDdbcaH3、平面內(nèi)的投影面平行線和最大斜度線abcaˊbˊcˊdˊdeˊe

平面上的投影面平行線，應(yīng)符合直線在平面上的幾何條件，又要符合投影面平行線的投影特性。（1）平面內(nèi)的投影面平行線

平面內(nèi)與某一投影面成最大傾角的直線，稱為平面上對該投影面的最大斜度線。在平面內(nèi)有無數(shù)條最大傾斜線，是一組互相平行的直線。αθAaBCPHEFPH最大斜度線的投影特性：1.對投影面傾角最大的直線；2.最大斜度線垂直于平面內(nèi)的投影面平行線；3.平面對投影面的夾角等于平面內(nèi)的最大斜度線對投影面的傾角。（2）平面上對投影面的最大斜度線abca′c′b′m′mα△ZCM△ZCM【例題】求平面△ABC的α角。abca′c′b′△YCM△YCMⅠⅠ′mm′β【例題】求平面△ABC的β角。caba′b′α△ZCDd′△ZCDc′d【例題】已知△ABC平面的α=30°，邊AB為水平線，試完成△ABC的正面投影。cbab′a′c′dd′【例題】已知AB為平面△ABC對H面的最大斜度線，試完△ABC的正面投影。2.6直線、平面之間的相對位置一直線與平面、兩平面的平行問題二直線與平面、兩平面的相交問題三直線與平面、兩平面的垂直問題四綜合作圖題一、直線與平面以及兩平面平行問題1、直線與平面平行2、平面與平面平行EFABQQPABCDMNEF3、基本作圖1、直線與平面平行幾何條件:

若直線平行于平面上的某一直線，則直線與該平面平行。PHaba'b'PVPHCDcdABabPEFABQ

若平面具有積聚性，則平面的積聚性投影應(yīng)平行于直線的同面投影。2、平面與平面平行幾何條件：

一平面上的兩相交直線對應(yīng)平行于另一平面上的兩條相交直線。QPABCDMNEFPPHQHQPHQH若兩個同一投影面垂直面平行，則兩平面的積聚性投影相互平行。3、基本作圖（1）判別直線與平面是否平行（2）過空間一點(diǎn)作平面的平行線（3）過空間一直線作已知直線的平行面（4）判別平面與平面是否平行（5）過空間一點(diǎn)作已知平面的平行面【基本作圖一】判別直線與平面是否平行；efe′f′abca′b′c′d′d作a′d′∥e′f′EF不平行△ABC【基本作圖二】過空間一點(diǎn)作平面的平行線aa′deff′e′d′g′gb′b作ab∥fg并量取ab=35mm過空間點(diǎn)A作一條水平線AB=35mm，且平行于△DEF?！净咀鲌D三】過空間一直線作已知直線的平行面aba′b′eff′e′c′c【基本作圖四】判別平面與平面是否平行？abca′b′c′hefgg′f′e′h′d′dAD∥HGBC∥HE兩平面平行【基本作圖五】過空間一點(diǎn)作已知平面的平行面b′bcc′a′adefd′f′e′二、直線與平面以及兩平面相交問題1、利用積聚性求交點(diǎn)或交線2、無積聚性時求交點(diǎn)或交線

直線與平面相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)；兩平面相交于一直線，交線是兩平面的共有線。1、利用積聚性求交HacbkmnNMABCK基本作圖HMmnlPABCacPHkfFKNL

兩相交元素中若有一個元素具有積聚性，則可利用其積聚性來求交點(diǎn)或交線。①一般線與投影面垂直面相交②投影面垂直線與一般面相交③一般面與投影面垂直面相交④兩個同一投影面垂直面相交【基本作圖一】一般線與投影面垂直面相交xb’ba’acc′m′mnn′kVHacbkmnNMABCKk'k【基本作圖二】投影面垂直線與一般面相交1′1abce′f′c′b′e(f)a′(k)k′VHEFABCEe′f′a′b′e(f)bcaKk′(k)【基本作圖三】一般面與投影面垂直面相交VHMmnlPABCacPHkfFKNLnlmm′l′n′bacc′a′b′f′k′fk【基本作圖三】一般面與投影面垂直面相交aa′bb′cc′d′dee′ff′nn′m0m0′m′m【基本作圖四】兩個同一投影面垂直面相交m(n)m′n′PHQHPVQVNMPQQVQHPVPH2、無積聚性時求交

由于相交的兩元素均無積聚性，故不能直接利用積聚性進(jìn)行求解。解決這類問題，通常可借助設(shè)置特殊輔助平面進(jìn)行求解。（5）一般線與一般面相交；（6）兩一般位置平面相交?；咀鲌DMBCAFKNLFEABCQMNK【基本作圖五】一般線與一般面相交m′n′QV

解題步驟：1、過EF作正垂面Q。2、求Q平面與ΔABC的交線MN。3、求交線MN與EF的交點(diǎn)K。f′e′efba′acb′c′mnFECABQMNKk′k4、可見性判別利用重影點(diǎn)判別可見性f′e′efba′acb′c′kk′12

1′2′4′3′43()()【基本作圖六】兩一般位置平面相交

求交線步驟：

1、用直線與平面求交點(diǎn)的方法求兩平面的共有點(diǎn)；

n′bacc′b′a′hh′nmm′QV1′2′21PVkk′ee′2、判別可見性。MBCAKENH判別兩平面的可見性n′bacc′b′a′hh′nmm′（）1′2′1

2()3

4

3′

4′判別可見性的原理是利用重影點(diǎn)。三、直線與平面以及兩平面垂直問題1、直線與平面垂直2、平面與平面垂直1、直線與平面垂直幾何條件:直線必須垂直于該平面上的任意兩相交直線?；咀鲌D：①判別直線是否與平面垂直ABCDL1L2EFPHPV②過空間一點(diǎn)作已知平面的垂線③過空間一點(diǎn)作已知直線的垂面【基本作圖一】判別直線是否與平面垂直1′122′e′ef′fa′abb′cc′EF⊥△ABC【基本作圖二】過空間一點(diǎn)作已知平面的垂線1′122′f′fe′ea′abb′cc′【基本作圖三】過空間一點(diǎn)作已知直線的垂面bb′cc′faa′ef′e′2、平面與平面垂直幾何條件：

一個平面上有一條直線垂直于另一平面或一平面通過另一平面的法線。基本作圖：④判別兩平面是否垂直⑤過空間一直線作已知平面的垂面QPL1L2NM【基本作圖四】判別兩平面是否垂直e′ea′abb′cc′ff′gg′11′22′△ABC⊥△EFGd′d【基本作圖五】過空間一直線作已知平面的垂面1′122′f′fe′ea′abb′cc′gg′四、綜合作圖題示例

1、審題

明確題意、已知條件和作圖要求。

2、空間分析

3、確定作圖步驟，運(yùn)用基本作圖完成投影圖

解題方案選定后，就要決定作圖步驟，先做什么，后做什么。并熟練運(yùn)用各種基本作圖方法，完成投影圖?！纠}1】求點(diǎn)K到直線AB的距離。a′bab′kk′m′mn′nKL實(shí)長l′l△ZKL△ZKL作圖步驟1、過點(diǎn)K作直線AB的垂面KM*KN；2、求所作垂面與直線AB的交點(diǎn)L；3、連接KL，用直角三角形法求KL的實(shí)長。【例題2】已知直角三角形ABC的水平投影，及直角邊AB的V投影，試完成其正面投影。b′cbaa′c′1′12′2作圖步驟1、過點(diǎn)Ａ作直線AB的垂直面AⅠⅡ；2、在垂直面AⅠⅡ上，運(yùn)用平面定線方法確定AC邊；3、連線完成直角三角形ABC的投影?！纠}3】作一直線與兩交叉直線AB和CD相交，同時與直線EF平行。f2′211′nmm′n′abb′a′e′f′c′d′c′deABCDEF1MN【例題4】過點(diǎn)M作直線，使其與△ABC平行，且與直線EF相交。eff′e′m′ma′b′bacc′2′21′1nn′作圖步驟1、過點(diǎn)M作平面MⅠⅡ平行于已知平面ABC；2、求平面MⅠⅡ與已知直線EF的交點(diǎn)N；3、連接MN【例題5】過點(diǎn)K作直線KL與直線MN垂直，并與△ABC平行。gg′l′laa′bcc′b′k′kmnn′m′作圖步驟1、過MN作平面MNG垂直于平面ABC；2、過點(diǎn)K作直線KL垂直于平面MNG?！纠}6】已知直線AB與△EFG平面的夾角為60°，AB在△EFG上的正投影為AC，求作AB的兩投影。e′f′g′gfea′c′ca60°ACB=A0c

b′bB0cB0=BCA0△ZAC△ZAC△ZC11′△ZC11【例題7】已知等邊△ABC與H面的傾角α=30°，試完成該等邊△ABC的兩面投影。caa′c′bb′B0等邊△ABC高BD的實(shí)長d′dα△ZBD△ZBD作圖步驟1、求作等邊△ＡＢＣ高的實(shí)長2、直角三角形法求作ＢＤ的Ｚ坐標(biāo)差【例題8】已知等腰△ＤＥＦ的頂點(diǎn)Ｄ和一腰DE在直線DG上，另一腰ＤＦ∥△ＡＢＣ，且點(diǎn)Ｆ在ＭＮ上，試完成△ＤＥＦ的兩面投影。aa′bb′cc′m′n′dmnd′g′gff′2′21′1e′=DFe=DE

作圖步驟：1、過D作平面D122、求D12與MN交點(diǎn)F3、求DF的實(shí)長4、在dg上，取DE=DF5、連接等腰三角形各條邊，完成投影圖2.5

變換投影面法一、換面法的基本概念二、點(diǎn)的投影變換三、換面法的六個基本問題保持幾何元素的位置不動，建立新的直角投影面體系，使幾何元素在新投影面體系中處于有利于解題的特殊位置，然后用正投影法獲得幾何元素的新投影，稱為變換投影面法，簡稱換面法。一、換面法的基本概念新投影面的選擇條件：一、換面法的基本概念

（1）新投影面必須垂直一個原有的投影面。

（2）新投影面應(yīng)使空間幾何元素處于有利于解題的位置。在V、H兩投影面體系中：Aa=a’aX，a’a⊥OX軸。在V1、H兩投影面體系中：Aa=a1’aX1，a1’a⊥O1X1軸。Aa=a’aX=a1’aX1

新投影到新投影軸的距離等于被替換的舊投影到舊投影軸的距離二、點(diǎn)的投影換面1.點(diǎn)的一次換面(1)換V面投影面的展開作圖方法1.作新的投影軸。2.過點(diǎn)的保留投影作垂直于新投影軸的投射線，在其上從新投影軸向另一側(cè)量取被替換的投影到被替換的投影軸的距離，即得該點(diǎn)的新投影。二、點(diǎn)的投影換面(2)換V面X1AaXaX1a'XVHH1a1aX1aXaX1a'XVHH1a1aVH1

VH1.點(diǎn)的一次換面(2)換H面

作H1面⊥V面，構(gòu)成新的兩面投影體系V/H1作圖方法1.作新軸X12.作a’a1⊥X13.量取a1ax1=aax二、點(diǎn)的投影換面2.點(diǎn)的兩次換面在點(diǎn)的一次換面的基礎(chǔ)上再進(jìn)行一次換面。

作H2面⊥V1面，構(gòu)成新的兩面投影體系V1/H2注意：投影面要交替變換，不能同時變換兩個面投影。二、點(diǎn)的投影換面XHVV1H2X1ax1aAa'axax2X2a2XOX1X2HV1

V1H2

a'aa1'a2HVa1‘投影體系變換順序：V/H→V1/H→V1/H2

三、換面法的六個基本問題1、一般位置直線→平行線2、平行線→垂直線3、一般位置直線→垂直線（兩次變換）4、一般位置平面→垂直面5、垂直面→平行面6、一般位置平面→平行面（兩次變換）aa1‘Aa'aaR2R1αXHVV1

X1b1'bBb'XOHb'bHVR1a'aa1’b1’X1

V1

R21.把一般位置直線變換為投影面平行線(1)求實(shí)長和α角——變換V面三、換面法的六個基本問題（1）在適當(dāng)位置作X1∥ab（2）按點(diǎn)的變換規(guī)律作a1’和b1’（3）連接a1’b1’，則a1’b1’=AB，α為AB與H面的夾角。XOX1H1

Va'aHVb'bR2R2a1

b1

βR1R11.把一般位置直線變換為投影面平行線(2)

求直線的實(shí)長和β角——變換H面作圖步驟：①作X1∥a’b’（任意距離）。②按點(diǎn)的變換規(guī)律確定新投影a1、b1。③連接a1b1，則a1b1為AB的實(shí)長，β角就是直線AB對V面的傾角。三、換面法的六個基本問題變換要領(lǐng)：以投影的平行線為軸進(jìn)行變換。2.把投影面平行線變換為投影面垂直線三、換面法的六個基本問題HVXOHb'bHVa'aX1

V1

YXa1(b1)H1

a1(b1)X1

b’a’baAB作圖步驟：①作X1⊥a’b’（任意距離）②按點(diǎn)的變換規(guī)律確定新投影a1(b1)。YAB是正平線，作H1面⊥AB，

H1面⊥V面。變換要領(lǐng)：以平行線的垂線為軸進(jìn)行變換。XHVV1X1b1'bBb'a1’’Aa'aH2b2(a2)X2

3.把一般位置直線變換為投影面垂直線三、換面法的六個基本問題

將一般位置直線變換為投影面垂直線需作兩次變換：（1）將一般位置直線變換為投影面平行線；（2）將投影面平行線變換為投影面垂直線；一般位置直線用一次換面是無法變換成投影面的垂直線。

因?yàn)榕c一般位置直線垂直的平面是一般位置平面，與原投影體系V/H中的任一投影面均不垂直，不能構(gòu)成新的投影體系。P

b1(a1)XHVV1X1b1'bBb'XOX1HV1

b'bHVR1a1’’Aa'aR2R2R1H2b2(a2)X2

R3R3b2(a2)a1'b1'a'aX2

V1

H2

3.把一般位置直線變換為投影面垂直線三、換面法的六個基本問題作兩次變換：（1）將一般位置直線變換為投影面平行線；（2）將投影面平行線變換為投影面垂直線。作V1面∥AB，且⊥H面作H2面⊥AB，且⊥V1面變換順序：1.替換V面V/H→V1/H2.替換H面V1/H→V1/H2XOb'bHVR3R2R2X1

X2

a2'(b2')b1

a1

a'aVH1

H1

V2R2變換順序：3.把一般位置直線變換為投影面垂直線三、換面法的六個基本問題作兩次變換：（1）將一般位置直線變換為投影面平行線；（2）將投影面平行線變換為投影面垂直線。R1R1舊投影軸新投影軸舊投影軸新投影軸第一次變換：替換H面,

V/H→V/H1作X1∥a’b’第二次變換：替換V面,V/H1→V2/H1作X2⊥a1b1AB的實(shí)長db1'HVb'Bb1'd1'(a1')c1'ACc'd'a'cbaDbd'b'a'dXHVV1X1XOX1aHV1

a1'd1'(a1')c'c4.把一般位置平面變換為投影面垂直面三、換面法的六個基本問題一平面內(nèi)有一直線垂直于另一平面，則該兩平面垂直。

因此，在一般位置平面內(nèi)取一條投影面平行線，將它變換為新投影面的垂直線，則平面即變?yōu)樾峦队懊娲怪泵?。R2R1R2R1R2R3

舊投影軸新投影軸(1)求平面對H面傾角α——變換V面aαα是平面ABC對H面的傾角XOac'cHVbd'b'a'dR1R2R3R1R2X1

H1

VR3c1(d1)b1

a1

β4.把一般位置平面變換為投影面垂直面三、換面法的六個基本問題(2)求平面對H面傾角β——變換H面以平面內(nèi)平行線的垂線為軸，進(jìn)行變換。變換要領(lǐng)：三、換面法的六個基本問題5.把投影面垂直面變換為投影面平行面①求鉛垂面的實(shí)形以積聚線的平行線為軸，進(jìn)行變換。變換要領(lǐng)：三、換面法的六個基本問題5.把投影面垂直面變換為投影面平行面②求正垂面的實(shí)形以積聚線的平行線為軸，進(jìn)行變換。三、換面法的六個基本問題6.把一般位置平面變換為投影面平行面作兩次變換：（1）將一般位置平面變換為投影面垂直面；（2）將投影面垂直面變換為投影面平行面。三、換面法的六個基本問題6.把一般位置平面變換為投影面平行面XOX1aHV1

c1'd1'(a1')c'cb1'HVbd'b'a'dX2V1

H2

c2

a2

b2R2R2R1R1R3

R2α①求α角和平面的實(shí)形換面順序：1.替換V面，V/H→V1/H2.替換H面，V1/H→V1/H2XOac'cHVbd'b'a'dX1H1

VR1R2R3R2R1R3(d1)b1

a1

c2b2

a2

c1

X2

H1

V2

β②求β角和平面的實(shí)形換面順序：1.替換H面，V/H→V/H12.替換V面，V/H1→V2/H1三、換面法的六個基本問題6.把一般位置平面變換為投影面平行面③求平面的實(shí)形與換面順序無關(guān)HVXX1VH1mfgnm'g'n'f'm1(n1)f1

g1Y2

Y1

Y3

Y2

Y3

Y1

θ例：求兩平面間的夾角θ。分析：

兩平面的夾角為兩平面同時與第三平面垂直相交時兩交線的夾角。

用換面法求兩平面的夾角時，必須將兩平面的交線變換為投影面垂直線。θFGMNg1

f1

H1

n1(m1)保持幾何元素的位置不動，建立新的直角投影面體系，使幾何元素在新投影面體系中處于有利于解題的特殊位置，然后用正投影法獲得幾何元素的新投影，稱為變換投影面法，簡稱換面法。一、換面法的基本概念新投影面的選擇條件：一、換面法的基本概念

（1）新投影面必須垂直一個原有的投影面。

（2）新投影面應(yīng)使空間幾何元素處于有利于解題的位置。在V、H兩投影面體系中：Aa=a’aX，a’a⊥OX軸。在V1、H兩投影面體系中：Aa=a1’aX1，a1’a⊥O1X1軸。Aa=a’aX=a1’aX1

新投影到新投影軸的距離等于被替換的舊投影到舊投影軸的距離二、點(diǎn)的投影換面1.點(diǎn)的一次換面(1)換V面投影面的展開作圖方法1.作新的投影軸。2.過點(diǎn)的保留投影作垂直于新投影軸的投射線，在其上從新投影軸向另一側(cè)量取被替換的投影到被替換的投影軸的距離，即得該點(diǎn)的新投影。二、點(diǎn)的投影換面(2)換V面X1AaXaX1a'XVHH1a1aX1aXaX1a'XVHH1a1aVH1

VH1.點(diǎn)的一次換面(2)換H面

作H1面⊥V面，構(gòu)成新的兩面投影體系V/H1作圖方法1.作新軸X12.作a’a1⊥X13.量取a1ax1=aax二、點(diǎn)的投影換面2.點(diǎn)的兩次換面在點(diǎn)的一次換面的基礎(chǔ)上再進(jìn)行一次換面。

作H2面⊥V1面，構(gòu)成新的兩面投影體系V1/H2注意：投影面要交替變換，不能同時變換兩個面投影。二、點(diǎn)的投影換面XHVV1H2X1ax1aAa'axax2X2a2XOX1X2HV1

V1H2

a'aa1'a2HVa1‘投影體系變換順序：V/H→V1/H→V1/H2

三、換面法的六個基本問題1、一般位置直線→平行線2、平行線→垂直線3、一般位置直線→垂直線（兩次變換）4、一般位置平面→垂直面5、垂直面→平行面6、一般位置平面→平行面（兩次變換）aa1‘Aa'aaR2R1αXHVV1

X1b1'bBb'XOHb'bHVR1a'aa1’b1’X1

V1

R21.把一般位置直線變換為投影面平行線(1)求實(shí)長和α角——變換V面三、換面法的六個基本問題（1）在適當(dāng)位置作X1∥ab（2）按點(diǎn)的變換規(guī)律作a1’和b1’（3）連接a1’b1’，則a1’b1’=AB，α為AB與H面的夾角。XOX1H1

Va'aHVb'bR2R2a1

b1

βR1R11.把一般位置直線變換為投影面平行線(2)

求直線的實(shí)長和β角——變換H面作圖步驟：①作X1∥a’b’（任意距離）。②按點(diǎn)的變換規(guī)律確定新投影a1、b1。③連接a1b1，則a1b1為AB的實(shí)長，β角就是直線AB對V面的傾角。三、換面法的六個基本問題變換要領(lǐng)：以投影的平行線為軸進(jìn)行變換。2.把投影面平行線變換為投影面垂直線三、換面法的六個基本問題HVXOHb'bHVa'aX1

V1

YXa1(b1)H1

a1(b1)X1

b’a’baAB作圖步驟：①作X1⊥a’b’（任意距離）②按點(diǎn)的變換規(guī)律確定新投影a1(b1)。YAB是正平線，作H1面⊥AB，

H1面⊥V面。變換要領(lǐng)：以平行線的垂線為軸進(jìn)行變換。XHVV1X1b1'bBb'a1’’Aa'aH2b2(a2)X2

3.把一般位置直線變換為投影面垂直線三、換面法的六個基本問題

將一般位置直線變換為投影面垂直線需作兩次變換：（1）將一般位置直線變換為投影面平行線；（2）將投影面平行線變換為投影面垂直線；一般位置直線用一次換面是無法變換成投影面的垂直線。

因?yàn)榕c一般位置直線垂直的平面是一般位置平面，與原投影體系V/H中的任一投影面均不垂直，不能構(gòu)成新的投影體系。P

b1(a1)XHVV1X1b1'bBb'XOX1HV1

b'bHVR1a1’’Aa'aR2R2R1H2b2(a2)X2

R3R3b2(a2)a1'b1'a'aX2

V1

H2

3.把一般位置直線變換為投影面垂直線三、換面法的六個基本問題作兩次變換：（1）將一般位置直線變換為投影面平行線；（2）將投影面平行線變換為投影面垂直線。作V1面∥AB，且⊥H面作H2面⊥AB，且⊥V1面變換順序：1.替換V面V/H→V1/H2.替換H面V1/H→V1/H2XOb'bHVR3R2R2X1

X2

a2'(b2')b1

a1

a'aVH1

H1

V2R2變換順序：3.把一般位置直線變換為投影面垂直線三、換面法的六個基本問題作兩次變換：（1）將一般位置直線變換為投影面平行線；（2）將投影面平行線變換為投影面垂直線。R1R1舊投影軸新投影軸舊投影軸新投影軸第一次變換：替換H面,

V/H→V/H1作X1∥a’b’第二次變換：替換V面,V/H1→V2/H1作X2⊥a1b1AB的實(shí)長db1'HVb'Bb1'd1'(a1')c1'ACc'd'a'cbaDbd'b'a'dXHVV1X1XOX1aHV1

a1'd1'(a1')c'c4.把一般位置平面變換為投影面垂直面三、換面法的六個基本問題一平面內(nèi)有一直線垂直于另一平面，則該兩平面垂直。

因此，在一般位置平面內(nèi)取一條投影面平行線，將它變換為新投影面的垂直線，則平面即變?yōu)樾峦队懊娲怪泵妗2R1R2R1R2R3

舊投影軸新投影軸(1)求平面對H面傾角α——變換V面aαα是平面ABC對H面的傾角XOac'cHVbd'b'a'dR1R2R3R1R2X1

H1

VR3c1(d1)b1

a1

β4.把一般位置平面變換為投影面垂直面三、換面法的六個基本問題