隱函數(shù)和參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解析

已知方程確定了y是x的函數(shù)，求此時(shí)如何計(jì)算？案例引入第一頁(yè)第二頁(yè)，共16頁(yè)。一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)出來(lái)的函數(shù),稱為顯函數(shù)．如果變量

間的函數(shù)關(guān)系由方程

所確定，

稱這種函數(shù)叫做由方程所確定的隱函數(shù)．注：并非每個(gè)含的方程都確定隱函數(shù)關(guān)系。例如因變量可由含有自變量的數(shù)學(xué)式子直接表示即形如的函數(shù)。例如：方程確定了x，y的隱函數(shù)關(guān)系。討論分析第二頁(yè)第三頁(yè)，共16頁(yè)。顯函數(shù)和隱函數(shù)的關(guān)系:

（1）所有的顯函數(shù)均可化為隱函數(shù)；

但有些隱函數(shù)不能化為顯函數(shù).問(wèn)題

隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?（2）有些隱函數(shù)可化為顯函數(shù)（隱函數(shù)的顯化），關(guān)鍵是要能從直接把求出來(lái)。方程的兩端對(duì)求導(dǎo),數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，求出即可。注意y是x的函討論分析第三頁(yè)第四頁(yè)，共16頁(yè)。例1求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解將方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得即所以討論分析第四頁(yè)第五頁(yè)，共16頁(yè)。例2求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所以即解將方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得討論分析第五頁(yè)第六頁(yè)，共16頁(yè)。例3求曲線

在點(diǎn)處的切線方程．解先求切線的斜率．將方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得

即則該曲線上點(diǎn)

處切線的斜率

所求切線方程為即討論分析第六頁(yè)第七頁(yè)，共16頁(yè)。練習(xí)：求下列方程所確定的隱函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù).討論分析第七頁(yè)第八頁(yè)，共16頁(yè)。（2）一類是由一系列函數(shù)的乘、除、乘方、開(kāi)方所（1）一類是冪指函數(shù)，即主要用于解決兩類函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)成的函數(shù).對(duì)數(shù)求導(dǎo)法——在等式兩邊先取對(duì)數(shù)，將顯函數(shù)化成隱函數(shù)，然后用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求出導(dǎo)數(shù)．二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法討論分析第八頁(yè)第九頁(yè)，共16頁(yè)。所以兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得

解兩邊取對(duì)數(shù)，得

例6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

討論分析第九頁(yè)第十頁(yè)，共16頁(yè)。于是兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得解函數(shù)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得例7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．討論分析第十頁(yè)第十一頁(yè)，共16頁(yè)。練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：討論分析第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共16頁(yè)。三、參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一般形式為即

注意這里的導(dǎo)數(shù)是通過(guò)參數(shù)表達(dá)出來(lái)的．可以證明,當(dāng)都可導(dǎo),且時(shí)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為討論分析第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共16頁(yè)。解例8設(shè)求討論分析第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共16頁(yè)。例9求曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方程．解：得當(dāng)