考研高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版

主講：張主講：張歡迎使用新東方在線電子目錄第一講極 高等數(shù)學(xué)的基本概念串 高等數(shù)學(xué)的基本計算串 高等數(shù)學(xué)的基本定理串 微分方 第六講多元函數(shù)微積分初 第一極核心考點(diǎn)概內(nèi)容展一、極1lim是什lim是什么①x”x,x第一極核心考點(diǎn)概內(nèi)容展一、極1lim是什lim是什么①x”x,xx,xx,x,x,x000sinxsin1x【例】計算lim xsinx1 0（|k|為充分大的正整數(shù)sinxsin1sinxsin1xx使 在該點(diǎn)沒有定義，故lim 不存在xsinxxsinx2.極限的limf(xA0,0,當(dāng)0f(x)Ax1limxna0,N0,nNxn（1）0，X0xXflimxna0,N0,nNxn（1）0，X0xXf(x)e10”是“l(fā)imf(x)A”1K1f(x) （2）“0x正整數(shù)N0limf(x)A”nN時，恒有|xna|2”是“數(shù)列xn收斂（3）0,1)N，a正確的個數(shù)為）二、極1.唯一（1）limexlimex0（2）limsinx不存在（3）limarctanx不存在x12xx022.局部有|x|sin(xf(x在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界（x(x1)(x(A)2.局部有|x|sin(xf(x在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界（x(x1)(x(A) (0,) 【注】函數(shù)有界性判別法總結(jié)如下（1）理論型判別—f(x在閉區(qū)間[abf(x)在閉區(qū)間[ab]f(x在開區(qū)間(ablimfxlimf(xxaxbf(x在開區(qū)間(ab內(nèi)有界仍為有界函數(shù)x0limfxx3.局部保若limf(xA0xf(x0f【例】設(shè)limf(x)f(0)，且2x0x01cos（A）極大值 （B）極小值點(diǎn)（C）不是極值（D）無法判三、極1.函數(shù)極2sinx(sinxtan31】求極限313x312】求極限x0002ex13x312】求極限x0002exe22cos1】求極限x2】求極限limlnxln(1第二組 2s)【例】求極限2x2sin41 11limx1x212】求極限lim(tanxcosx1 11limx1x212】求極限lim(tanxcosxsin4sinxx1x3o(x36arcsinxx1x3o(x36tanxx1x3o(x33arctanxx1x3o(x331cosx11x2o(x42ln(1x)x1x21x3o(x3231x1x21x3o(x326(1x)1x(1)x2o(x225i.A型——B1x1xi.A型——B1x1x【例】ii.AB型——【例】已知x0時，cosx 與cxk為等價無窮小，求c,k2p(xabxcx2dx3x0p(xtanxx3求abcd2.數(shù)列極（1）將xn連續(xù)化，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極1 n61)夾逼準(zhǔn)則2)定積分定義3)利用冪級數(shù)求和（僅數(shù)學(xué)一要求12n...nn 1)夾逼準(zhǔn)則2)定積分定義3)利用冪級數(shù)求和（僅數(shù)學(xué)一要求12n...nn n2nnn221a【例】設(shè)a0,x10,xn13(2xn n，證明{xn}收斂并求2xn四、連和分段函數(shù)的分段點(diǎn)limf(xf(x0f(xxx0（1）limf(xlimf007（2）limf(xlimf(xf(x000（3）lim（2）limf(xlimf(xf(x000（3）limf(xlimf(x00（4）limf(xlimf(x00ln(1ax3,xxarcsinf(x,x xax21,xx4x（I）f(xx0（II）x0f(x的可去間斷點(diǎn)8第二高等數(shù)學(xué)的基本概念串核心考點(diǎn)概內(nèi)容展一、一元函數(shù)微分需的概念及使第二高等數(shù)學(xué)的基本概念串核心考點(diǎn)概內(nèi)容展一、一元函數(shù)微分需的概念及使1.考查導(dǎo)數(shù)定義的基本形ln(12x)2xf(x)0【例】設(shè)0f(x在[,f(0)1,且滿足xf(0)f(02.考查導(dǎo)數(shù)定義中增f(00f(0)存在的是)f(1f(1eh（A）（B）2hhf(hf(2h)fh（D）2h9二、一元函數(shù)積分學(xué)的概念及其1.不定積分、變限積（1）不定原函二、一元函數(shù)積分學(xué)的概念及其1.不定積分、變限積（1）不定原函數(shù)與不定積分fxIFx，對于都有Fxfx成立，則稱FxfxI上的一個原函數(shù).f(x)dxF(x)fxI上的不定積分，其中C為任意常數(shù)fxf(x所定義的區(qū)間x【例1】試證明：如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)F(x) f(t)dt在[a,b]上可導(dǎo)aFxfx（本題即為變限積分函數(shù)求導(dǎo)的知識點(diǎn) x1xxf(x)，x其在(,x0，但是它在(,)x2sin1,xF(x即，對于(,上任一點(diǎn)都Fxfx成立x xFxfx2sin1,xF(x即，對于(,上任一點(diǎn)都Fxfx成立x xFxfx不綜合以上幾點(diǎn)，可以得出重要結(jié)論：可導(dǎo)函定是連續(xù)函數(shù)，但是如果有間斷點(diǎn)，一定是第二類間斷點(diǎn)（在考研的范疇內(nèi)，只能是振間斷點(diǎn)定積分存在定理定積分的存在性，也稱之為一元函數(shù)的（常義）可積性.這里的“數(shù)無界”的“反?！狈e分有所區(qū)別.在本講中所談到的可積性都是指的常義可積性ba,ff(xa存在，不過考試大綱對此沒有做要求，考生知道即可【例】在區(qū)間1,2上，以下四個結(jié)論2,x①f(x)1,x01,x2x 2 ,x11②f(x),xx1,x③f(x)2xcos1 ,x1④f(x)xx,x正確結(jié)論的個數(shù)為）2.反常積（1）無窮區(qū)間上反常積分的概念與斂bf(x)dxf(x)dx f①x若上述極限存在，則稱反常積分 f(x)dx收斂，否則稱為發(fā)散bbbf(x)dx ff(x2.反常積（1）無窮區(qū)間上反常積分的概念與斂bf(x)dxf(x)dx f①x若上述極限存在，則稱反常積分 f(x)dx收斂，否則稱為發(fā)散bbbf(x)dx ff(x)dx②ab若上述極限存在，則稱反常積 f(x)dx收斂，否則稱為發(fā)散cf(x)dx f(x)dx ff(x)dx③若右邊兩個反常積分都收斂，則稱反常積分f(x)dx（2）無界函數(shù)的反常積分的概念與斂b若b是f(x)的唯一奇點(diǎn)，則無界函數(shù)f(x)的反常積 f(x)dx定義①abf(x)dxfaab若上述極限存在，則稱反常積 f(x)dx收斂，否則稱為發(fā)散ab若a是f(x)的唯一奇點(diǎn)，則無界函數(shù)f(x)的反常積 f(x)dx定義②abbf(x)dxlim fab若上述極限存在，則稱反常積 f(x)dx收斂，否則稱為發(fā)散ab若cabfxf的反常積 f(x)dx定義③abcbf(x)dx f(x)dx faacb若上述右邊兩個反常積分都收斂，則稱反常積 f(x)dx收斂，否則稱為發(fā)散a第三高等數(shù)學(xué)的基本計算串核心考點(diǎn)概1.微分學(xué)的計2.積分學(xué)的計3.第三高等數(shù)學(xué)的基本計算串核心考點(diǎn)概1.微分學(xué)的計2.積分學(xué)的計3.微積分在幾何上的應(yīng)內(nèi)容展一、一元函數(shù)微分學(xué)的基本計1.四則運(yùn)fxgxfxgfxgxfxgxfxgf fxgxfxgxgxg2 dfxgxdfxdfxgxgxdfxfdfxgxdfxfgxg2 2.復(fù)合函數(shù)求sin2【例】y x，求3.反函數(shù)yf(x),f(x0xy，則ydx11f4.參數(shù)3.反函數(shù)yf(x),f(x0xy，則ydx11f4.參數(shù)方程求y(xxdydtyy dx x【例】設(shè)函數(shù)由ydx25.隱函數(shù)1【例】設(shè)yf(x)是由方程yx 所確定的，求limnf1x(1yn6.對數(shù)求(x3)2(xyy(x7.冪指函數(shù)求8.高階導(dǎo)7.冪指函數(shù)求8.高階導(dǎo)u(n)v(nk(nk)(k（2）(uv)(n) C nkyf(xyf(x)f(n)(x0)(x0f(n)yf(x)yf(xf(n)(0),f(n)(x0yx3sinxy(6)(0)9.參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)xyy(xydydydt dx ddyddydx dxd2(t)(t)9.參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)xyy(xydydydt dx ddyddydx dxd2(t)(t)(t)(t) 10.反函數(shù)的二階導(dǎo)yf(xf(xyx,yxy(xy0)ydy11y11dyd d dx x1dydxyyyyy (x 2yy11.變限積分求導(dǎo)公F(x)2(xf(x)(x)f(ft2211(x112.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)cxxsinxcoscosxsintanxsec2dcdxxdsinxcos（實(shí)常數(shù)（實(shí)常數(shù)dcosxsindtanxsec2cotxcsc2secxsecxtancscxcscxcotdcotxcsc2dsecxsecxtandcscxcscxcotlogx1a0,aa0,adlogxaaxlnxlnlnxdlnx1xlogx1a0,aa0,adlogxaaxlnxlnlnxdlnx1xexxdaxaxlnadxa0,adexexarcsinx11darcsinx1x11x1arccosxdarccosx1x11xarctanx1darctanx1x1x11arccotxdarccotx1x1xlnx x2a2 dlnxdlnxx2a2 dxx2ax2alnxx2a2 x2a2 dxx2ax2a二、一元函數(shù)積分學(xué)的基本計1.湊微分（1）基本思 f[g(x)]g(x)dxf[g(x)]d[g(x)]fff(x)g(xf(xf(x求導(dǎo)數(shù)（))的有exxsinxcosx等cos2xsin【例】求cosx(1cosxesinx2.換元（1）基本思 f(x)dxxg(u)fcos2xsin【例】求cosx(1cosxesinx2.換元（1）基本思 f(x)dxxg(u)ffug1(ug1(當(dāng)被積函數(shù)不容易積分（比如含有根式，含有反三角函數(shù)）時，可以通過換元的方法從d f[g(u)]g(u)du的形式，若f[g(u)]g(u)容易積分，則換元成功（2）歸納總①三角函數(shù)代換——當(dāng)被積函數(shù)含有如下根式時，可作三角代換a2x2xasint, a2x2xatant,2 2x2a2xasect,0t (x2②恒等變形后作三角函數(shù)代換——當(dāng)被積函數(shù)含有根式ax2bxc時，可化為以下三形2(xk2，2(xk2，k22(x，再做三角代換cx③根式代換——當(dāng)被積函數(shù)含有根 axb，aebxc等時，一般令根n*t.對既含naxb，也maxb，一般mn的最小公倍數(shù)，令axbtl1t④倒代換——當(dāng)被積函數(shù)分母的冪次比分子高兩次及以上時，作倒代換，令x.⑤復(fù)雜函數(shù)的直接代換——當(dāng)被積函數(shù)中axexlnxarcsinxarctanx等時可考慮直接令復(fù)雜函數(shù)t，值得指出的是，當(dāng)lnxarcsinxarctanxPn(x)或eax乘除時，優(yōu)先考慮分部積分法【例】求(2x1)34x4x3.分部積1【例】計算xarcsin04.有理函數(shù)積（1）定義形如3.分部積1【例】計算xarcsin04.有理函數(shù)積（1）定義形如Pn(xdx(nmQm（2）方法先將Q(xmQmAQm(x)的一次因式(axb)產(chǎn)生一；ax(axQ(xk重因式(axb)kk；m (axAxQ(xpx2qxr；mpx2qxQm(xk重二次因式px2qxr)kkA1xA2xAkx(px2qx.px2qx (px2qxx2axA1xA2xAkx(px2qx.px2qx (px2qxx2ax5.關(guān)于定1【例1】設(shè)f(x)1 dt，求xf(x)dx0ee【例2】設(shè)I lnxdx，I ln2xdx，求I22I11211【例】 (x3sin2x)cos2xdx22n1n12 n2sinxdx cosxdxnn2n1n00 n3【例】求(xx42三、應(yīng)f(x0f【例】求(xx42三、應(yīng)f(x0f)00f(nx0,n2)但0(n)(x)00(n)(x)00ff00yy(xy(4)2y5yyecosxy(2)y(2)y(2)0x2時，函數(shù)的性態(tài)f(x0 )00f(nx0,(n3)但0【例】設(shè)y(x1)(x2)2x3)3x4)4，則其拐點(diǎn)為）1）limf(xxa2）limf(xby1）limf(xxa2）limf(xbyblimyxlim(f(x)kx)【例】曲線y 4x2xln(21)的漸近線條x若給出[ab]1）f(x0x0（駐點(diǎn)2）f(x不存在x1（不可導(dǎo)點(diǎn)f(x0f(x1),f(a),f(b【注】若給出(ab2f(xexsinx2bSy2(x)1a2）S2r bSy2(x)1a2）S2r b1）V 2fxab2）Vy xf(x)ax【例】設(shè)曲線y sinx在x0的部分與x軸所圍成平面區(qū)域記為D，求D繞x軸2轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積V第四高等數(shù)學(xué)的基本定理串1.f(xf(x在[abM(M第四高等數(shù)學(xué)的基本定理串1.f(xf(x在[abM(Mf1（有界定理2（最值定理）mf(xMmMf(x在[ab上的最小值與最大3（介值定理）mM[ab]f(4（零點(diǎn)定理）f(af(b0(abf(02.涉及導(dǎo)數(shù)（微分）f(x5（費(fèi)馬定理(1)可導(dǎo)f(x00f(xx0(2)取極6（羅爾定理f()0(3)f(a)=f7（拉格朗日中值定理(1)[ab]上連續(xù)則(abf(bf(af()(bf(x(2)(a,b)內(nèi)可導(dǎo)f(b)fb.8（柯西中值定理f()f(xg(x滿足(2)(ab)內(nèi)可導(dǎo)，則(abf(bfg(b) g((3)g(x)9（泰勒公式(n1(xx0 f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x)(x)n00xx0之間11f(x)f((n1(xx0 f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x)(x)n00xx0之間11f(x)f(x)f(x)(xx)f(x)(xx)2f(n))(xx)no((xx)n00000000(nf(n)①f(x)f(0)f(0)xx2xn ff(n)f(x)f(0)f(0)xxo(x)x2nn②11①eu1u u2 un2nn②sinuuo(u2n1) n③cosu o(u2n) 11uu2un1n1un④111uu2⑤1 ⑥ln1uu nn1 ) n⑦1u1uuo(u)u2nn1f(x在[ab上連續(xù)，則至少存在[ab]bf(x)dxf()(ba)af(x在[0,1]f(0)0，證明至少存在一點(diǎn)f(x在[0,1]f(0)0，證明至少存在一點(diǎn)[0,1]1) f(x)dxf0【例3】設(shè)f(x)在 ]上的一階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，在 )內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(0)022f(1)3f(1(0f(f(tan022第五微分方一、概念及其使1.F(xyyy,y(n)第五微分方一、概念及其使1.F(xyyy,y(n))y1y2yp(xyq(xy1y2是該方程的解，y1y2是該方程對應(yīng)的齊次方程的解，求二、基本方程的求僅一階方程 f(x,y)g(x)h(h(dyh(xx【例】求y dy0的通22yf(xy u，則y xu，代入x duxufyf(xy u，則y xu，代入x duxuff(u) dxf(u) xdyy(lnylnx)dx3.yp(xy兩邊同乘積分因子epx)dxep(x)dxyp(x)yep(ep(x)dxyep(x)dxq(x)dxp(x)p(x)yq(x)dxey【例】求y 的通解 2第六多元函數(shù)微積分初一、多元函數(shù)微分1.極限的存上（這樣的點(diǎn)嚴(yán)格來說叫做聚點(diǎn)）A，對于任給的正數(shù)，總存在正數(shù) (x第六多元函數(shù)微積分初一、多元函數(shù)微分1.極限的存上（這樣的點(diǎn)嚴(yán)格來說叫做聚點(diǎn)）A，對于任給的正數(shù)，總存在正數(shù) (xx)2y f(xyAP(xyD0000Af(xy當(dāng)(xyx0y0limf(xyAy11【例】lim(x y ) yx2.連續(xù)limf(xyf(x0y0f(xy在點(diǎn)(x0y0y【注】若上式不成立(x0y0為不連續(xù)點(diǎn)，但不討論間斷類型.2zf(xy在點(diǎn)(x0y0f(x0x,y0)f(x0xzf(xy在點(diǎn)(x0y0x，，f(xyxxxx xx0yyyf(x0x,y0)f(x0,y0)limf(x,y0)f(x0,y0)f(x,y) 0xxx0f(x0,y0y)f(x0,y0)limf(x0,y)f(x0,f(x0,y0y)f(x0,y0)limf(x0,y)f(x0,y0.f(x,y) 0yy0x2f(xyf(0,0)，f(0,0)xy4zf(xy在點(diǎn)(xyzf(x x,yy)f(x,可x yo()（zx)2yxyzf(xy在點(diǎn)(xyAB不依賴于x而 xyzf(xy在點(diǎn)(xydzdzx(x2y2)1 (x,y)(0,f(x,y)x2，(x,y)(0,求fx(0,0)，fy(0,0)，并討論f(x,y在點(diǎn)(0,0)處是否可微5.多元微 zz設(shè)z