專題6.6 期末專項復(fù)習(xí)之相交線與平行線十六大必考點（舉一反三）（華東師大版）（原卷版）

專題6.6相交線與平行線十六大考點【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】 1【考點2三線八角中的截線問題】 4【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】 6【考點4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】 12【考點5與垂線有關(guān)的角度計算或證明】 15【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】 20【考點7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】 25【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 31【考點9平行線的運用（單一輔助線）】 38【考點10平行線的運用（多條輔助線）】 46【考點11平行線在折疊問題的運用】 56【考點12平行線在三角尺中的運用】 60【考點13平行線中的規(guī)律問題】 65【考點14平行線中的轉(zhuǎn)角問題】 74【考點15點到直線的距離的運用】 81【考點16利用平行線的判定與性質(zhì)證明三角形中角度關(guān)系】 85【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】【例1】（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級期末）如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．∠1和∠2是同旁內(nèi)角 B．∠1和∠3是對頂角C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是內(nèi)錯角【變式1-1】（2022·青?！ぶ锌颊骖}）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（

）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯角B．同位角、內(nèi)錯角、對頂角C．對頂角、同位角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角【變式1-2】（2022·河北保定·七年級期末）如圖所示，下列說法錯誤的是()A．∠C與∠1是內(nèi)錯角B．∠2與∠3是內(nèi)錯角C．∠A與∠B是同旁內(nèi)角D．∠A與∠3是同位角【變式1-3】（2022·河南·商水縣希望初級中學(xué)七年級期末）如圖所示，同位角有a對，內(nèi)錯角有b對，同旁內(nèi)角有c對，則a+b-c的值是____________【考點2三線八角中的截線問題】【例2】（2022·四川省廣元市寶輪中學(xué)七年級期末）如圖，已知∠1和∠2是內(nèi)錯角，則下列表述正確的是（

）A．∠1和∠2是由直線AD、AC被CE所截形成的B．∠1和∠2是由直線AD、AC被BD所截形成的C．∠1和∠2是由直線DA、DB被CE所截形成的D．∠1和∠2是由直線DA、DB被AC所截形成的【變式2-1】（2022·山東濟(jì)寧·七年級期末）如圖，∠ABD與∠BDC是（

）形成的內(nèi)錯角A．直線AD、BC被直線BD所截 B．直線AB、CD被直線BD所截C．直線AB、CD被直線AC所截 D．直線AD、BC被直線AC所截【變式2-2】（2022·甘肅·隴西縣鞏昌中學(xué)七年級期末）如圖，∠2與∠3是直線______、____被第三條直線_____所截形成的_______．【變式2-3】（2022·全國·七年級）如圖所示，從標(biāo)有數(shù)字的角中找出：(1)直線CD和AB被直線AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯角.(2)直線CD和AC被直線AD所截構(gòu)成的同位角.(3)直線AC和AB被直線BC所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角.【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】【例3】（2022·浙江臺州·七年級期末）如圖，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求證：∠B=∠C．證明：∵∠1=∠2（已知），∴______∥______（________________________）．∴∠A=∠BED（_____________________________）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代換）．∴______∥______（__________________________）．∴∠B=∠C（______________________________）．【變式3-1】（2022·黑龍江·遜克縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級期末）如圖所示，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點G，H，HN是∠(1)如果GM是∠BGE的平分線，（如圖①）試判斷并證明GM和HN的位置關(guān)系；證明：∵AB∥∴∠BGE＝______（兩直線平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分線，∴______＝______=∵HN是∠DHG的平分線∴______＝______=∴∠MGE＝∠NHG（等量代換）∴GM和HN的位置關(guān)系是______，（___________________）．(2)如果GM是∠AGH的平分線，（如圖②）（1）中的結(jié)論還成立嗎？（不必證明）(3)如果GM是∠BGH的平分線，（如圖③）（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，GM與HN又有怎樣的位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想不必證明．【變式3-2】（2022·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+12∠4=135°，其中，正確的結(jié)論有____【變式3-3】（2022·廣東·廣州市第四中學(xué)七年級期末）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．(1)求證：∠B＝∠D；(2)如圖2，點E在線段AD上，點G在線段AD的延長線上，連接BG，∠AEB＝2∠G，求證：BG是∠EBC的平分線；(3)如圖3，在(2)的條件下，點E在線段AD的延長線上，∠EDC的平分線DH交BG于點H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度數(shù)．【考點4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】【例4】（2022·河南洛陽·七年級期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點O上下轉(zhuǎn)動，立柱OC與地面垂直，當(dāng)橫板AB的A端著地時，測得∠OAC=28°，則在玩蹺蹺板時，小明坐在A點處，他上下最大可以轉(zhuǎn)動的角度為（

）A．28° B．56° C．62° D．84°【變式4-1】（2022·山東臨沂·七年級期末）如圖將木條a，b與c釘在一起，∠1=75°，要使木條a與b平行，木條a順時針旋轉(zhuǎn)了35°，∠2是（

）A．25° B．35° C．40° D．50°【變式4-2】（2022·云南昆明·七年級期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC，DF在同一條直線上，現(xiàn)將三角板DEF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EF第一次與AB平行時，∠CDF的度數(shù)是（A．15° B．30° C．45° D．75°【變式4-3】（2022·湖南永州·七年級期末）如圖，直線l1∥l2，現(xiàn)將一個含30°角的直角三角板的銳角頂點B放在直線l2上，將三角板繞點B旋轉(zhuǎn)，使直角頂點C落在l1與l2之間的區(qū)域，邊AC與直角l1相交于點A．65° B．75° C．85° D．80°【考點5與垂線有關(guān)的角度計算或證明】【例5】（2022·湖南·測試·編輯教研五七年級期末）如圖，已知∠1=∠C，∠2=∠3，F(xiàn)G⊥AC于G，你能說明BD與AC互相垂直嗎？【變式5-1】（2022·安徽合肥·七年級期末）請補充完整下列推理過程及證明過程中的依據(jù)．如圖，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．試證明：解：因為DG//所以∠2=∠BAD（____________）．因為∠1=∠2（已知），所以______（等量代換），所以EF//______（____________所以∠EFB=______（兩直線平行，同位角相等）因為EF⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（____________）．所以∠ADF=90°（等量代換），所以______（垂直的定義）．【變式5-2】（2022·江蘇鹽城·七年級期末）如圖，AB⊥AC，垂足為A，∠1=30°，∠B=60°．（1）AD與BC平行嗎？為什么？（2）根據(jù)題中的條件，能判斷AB與CD平行嗎？如果能，請說明理由：如果不能，添加一個條件，使它們平行（不必說明理由）．【變式5-3】（2022·全國·七年級）已知：直線MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，點C是線段AB上一定點，點D是射線AN上一動點，連接CD．(1)在圖1中過點C作CE⊥CD，與射線BQ交于E點．①依題意補全圖形；②求證：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如圖2所示，點F是射線BQ上一動點，連接CF，∠DCF＝α，分別作∠NDC與∠CFQ的角平分線交于點G，請用含有α的代數(shù)式來表示∠DGF，并說明理由．【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】【例6】（2022·福建福州·七年級期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，點F，G在BC上，EF與DG交于點O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．(1)判斷DE與BC的位置關(guān)系，并證明；(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度數(shù)．【變式6-1】（2022·河南漯河·七年級期末）已知：如圖，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度數(shù)；(2)判斷BE與CD的位置關(guān)系，并證明你的猜想．【變式6-2】（2022·廣東湛江·七年級期末）如圖所示，已知射線CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且滿足∠FOB=∠AOB，OE平分(1)證明：OC∥(2)求∠EOB的度數(shù)；(3)若平行移動AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否隨之變化？若不變，求出這個比值；若變化，請說明理由．【變式6-3】（2022·北京密云·七年級期末）已知：點C是∠AOB的OA邊上一點（點C不與點O重合），點D是∠AOB內(nèi)部一點，射線CD不與OB相交．(1)如圖1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，過點O作射線OE，使得OE//CD．（其中點E在∠AOB內(nèi)部）．①依據(jù)題意，補全圖1；②直接寫出∠BOE的度數(shù)．(2)如圖2，點F是射線OB上一點，且點F不與點O重合，當(dāng)∠AOB=α0°<α≤180°時，過點F作射線FH，使得FH//CD（其中點H在∠AOB的外部），用含α的代數(shù)式表示∠OCD與∠BFH【考點7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】【例7】（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖線段AB和CD表示兩面鏡子，且直線AB∥直線CD，光線EF經(jīng)過鏡子AB反射到鏡子CD，最后反射到光線GH.光線反射時，∠1=∠2，∠3=∠4，下列結(jié)論：①直線EF平行于直線GH；②∠FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；③∠BFE的角平分線所在的直線垂直于∠4的角平分線所在的直線；④當(dāng)CD繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90時，直線EF與直線GH不一定平行，其中正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③【變式7-1】（2022·江蘇宿遷·七年級期末）實驗證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡MN,NP，一束光線AB射在其中一塊MN上，經(jīng)另外一塊NP反射，兩束光線會平行嗎？若不平行，請說明理由，若平行，請給予證明【變式7-2】（2022·浙江杭州·七年級期末）（1）若組成∠1和∠2的兩條邊互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度數(shù)．（2）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁EF始終平行于AB,EF與上拉桿CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通過調(diào)整CF和后拉桿BC的位置來調(diào)整籃筐的高度．當(dāng)∠CDB=25°時，點H，D，B在同一直線上，求∠H的度數(shù)．【變式7-3】（2022·湖南·師大附中梅溪湖中學(xué)七年級期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線（AB∥CD）如圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和Q，若燈P射線自PA逆時針旋轉(zhuǎn)至PB便立即回轉(zhuǎn)，燈Q射線自QD逆時針旋轉(zhuǎn)至OC便立即回轉(zhuǎn)，每天晚間兩燈同時開啟不停交叉照射巡視．設(shè)燈P轉(zhuǎn)動的速度是10度/秒，燈Q轉(zhuǎn)動的速度是4度/秒，湖面上點M是音樂噴泉的中心．（1）若把燈P自PA轉(zhuǎn)至PB，或者燈Q自QD轉(zhuǎn)至QC稱為照射一次，請求出P、Q兩燈照射一次各需要的時間；（2）12秒時，兩光束恰好在M點匯聚，求∠PMQ；（3）在兩燈同時開啟后的35秒內(nèi)，請問開啟多長時間后，兩燈的光束互相垂直？【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】【例8】（2022·河北唐山·七年級期末）己知三角形ABC，EF∥AC交直線AB于點E，DF∥AB交直線(1)如圖1，若點F在邊BC上，直接寫出∠BAC與∠EFD的數(shù)量關(guān)系；(2)若點F在邊BC的延長線上，（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給子證明；若不成立，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請在備用圖中畫出圖形并說明理由．【變式8-1】（2022·湖北襄陽·七年級期末）如圖，已知AM∥BN，P是射線AM上一動點（不與點A重合），BC，BD分別平分∠ABP與∠PBN，分別交射線AM于點C，(1)若∠A=50°，求∠CBD的度數(shù)；(2)在點P的運動過程中，∠BPA與∠BDA的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出∠BPA與∠BDA的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，探究∠ABC與∠DBN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式8-2】（2022·安徽合肥·七年級期末）已知：直線AB∥CD，經(jīng)過直線AB上的定點P的直線EF交CD于點O，點M，N為直線CD上的兩點，且點M在點O右側(cè)，點N的左側(cè)時，連接PM，PN，滿足(1)如圖1，若∠MPO=25°，∠MNP=50°，直接寫出∠COP的度數(shù)為：______．(2)如圖2，射線PQ為∠MPE的角平分線，用等式表示∠NPQ與∠POM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式8-3】（2022·湖北孝感·七年級期末）在三角形ABC中，點D在線段AC上，DE∥BC交AB于點E，點F在線段AB上（點F不與點A，E，B重合），連接DF，過點D作FG⊥FD交射線CB于點(1)如圖1，點F在線段BE上，①用等式表示∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖，求證：∠ABC+∠BFG-∠EDF=90°；(2)當(dāng)點F在線段AE上時，依題意，在圖2中補全圖形，請直接用等式表示∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系，不需證明．【考點9平行線的運用（單一輔助線）】【例9】（2022·四川德陽·七年級期末）已知：AB∥CD，點P、Q分別在AB、CD上，在兩直線間取一點E．(1)如圖1，求證：∠E=∠APE+∠CQE；(2)將線段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分線和∠APE的平分線交于直線AB、CD內(nèi)部一點H．①如圖2，若∠E=90°，求∠H的度數(shù)；②如圖3，若點I在直線AB、CD內(nèi)部，且PI平分∠BPE，連接HI，若∠I-∠H=m°，∠E=n°，請直接寫出m與n的數(shù)量關(guān)系，不必證明．【變式9-1】（2022·廣東梅州·八年級期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一塊三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，將三角板CDE如圖所示放置，使頂點C落在OB邊上，經(jīng)過點D作直線MN∥OB交OA邊于點M，且點M在點D的左側(cè)．(1)如圖1，若CE∥OA，EF∥MN，∠NDE＝45°，求α的度數(shù)；(2)若∠MDC的平分線DF交OB邊于點F，如圖2，當(dāng)DF∥OA，且α＝60°時，證明：CE∥OA．【變式9-2】（2022·陜西西安·八年級期末）在綜合與實踐課上，同學(xué)們以“一個含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動如圖1，已知兩直線a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，(1)在圖1中，∠1＝46°，求∠2的度數(shù)；(2)如圖2，創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，發(fā)現(xiàn)∠2-∠1=120°，說明理由；(3)競賽小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3，當(dāng)AC平分∠BAM時，此時發(fā)現(xiàn)∠1與∠2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請寫出∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系并證明．【變式9-3】（2022·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖1，點A在直線MN上，點B在直線ST上，點C在MN，ST之間，且滿足∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°．(1)證明：MN∥(2)如圖2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，點E在線段BC上，連接AE，且∠DAE＝2∠CBT，試判斷∠CAE與∠(3)如圖3，若∠ACB＝45°，點E在線段BC上，連接AE，若∠MAE＝4∠CBT，直接寫出∠CAE：∠CAN的值．【考點10平行線的運用（多條輔助線）】【例10】（2022·云南普洱·七年級期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長方形DEFG中，DE//GF．如圖（1），若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上，BC與DE相交于點M，AB⊥DE于點N．(1)請你直接寫出：∠CAF＝_____°，∠EMC＝______°．(2)若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想∠EMC與∠CAF的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(3)請你總結(jié)（1），（2）解決問題的思路，在圖（2）中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【變式10-1】（2022·湖北武漢·七年級期末）直線AB∥CE，BE—EC是一條折線段，BP平分(1)如圖1，若BP∥CE，求證：(2)CQ平分∠DCE，直線BP，CQ交于點F．①如圖2，寫出∠BEC和∠BFC的數(shù)量關(guān)系，并證明；②當(dāng)點E在直線AB，CD之間時，若∠BEC=40°，直接寫出∠BFC的大?。咀兪?0-2】（2022·廣東·新豐縣教育局教研室七年級期末）細(xì)觀察，找規(guī)律．（1）下列各圖中的MA1與①圖①中的∠A1②圖②中的∠A1③圖③中的∠A1④圖④中的∠A1⑤第⑩個圖中的∠A1⑥第n個圖中的∠A1（2）下列各圖中AB//①圖甲中∠B、∠C、∠BEC的數(shù)量關(guān)系是______．②圖乙中∠B，∠E，∠G，∠F，∠C的數(shù)量關(guān)系是______．③圖丙中∠B，∠E，∠F，∠G，∠H，∠M，∠C的數(shù)量關(guān)系是______．【變式10-3】（2022·北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)分校七年級期末）已知，如圖1，射線PE分別與直線AB，CD相交于E、F兩點，∠PFD的平分線與直線AB相交于點M，射線PM交CD于點N，設(shè)∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且80-2α＋|β﹣40|＝0(1)α＝，β＝；直線AB與CD的位置關(guān)系是；(2)如圖2，若點G、H分別在射線MA和線段MF上，且∠MGH＝∠PNF，試找出∠FMN與∠GHF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若將圖中的射線PM繞著端點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），分別與AB、CD相交于點M1和點N1時，作∠PM1B的角平分線M1Q與射線FM相交于點Q，問在旋轉(zhuǎn)的過程中∠FPN【考點11平行線在折疊問題的運用】【例11】（2022·山東濰坊·七年級期末）將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若邊AD//BC，則翻折角∠1與∠2一定滿足的關(guān)系是（

）A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=90° C．∠1-∠2=30° D．2∠1-3∠2=30°【變式11-1】（2022·山東·滕州市龍泉街道滕東中學(xué)七年級期末）如圖，四邊形ABCD中，點M、N分別在AB、BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠B=(

)A．60° B．70° C．80° D．90°【變式11-2】（2022·全國·七年級單元測試）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，將三角形ABC向下翻折，使點A與點C重合，折痕為DE.試說明：DE∥BC．【變式11-3】（2022·江蘇·常州市第二十四中學(xué)七年級期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC上一點，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交BC于點F．(1)如圖①，當(dāng)AE⊥BC時，寫出圖中所有與∠B相等的角：；所有與∠C相等的角：．

(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度數(shù)；②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請說明理由．【考點12平行線在三角尺中的運用】【例12】（2022·浙江寧波·七年級期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，AC邊重合，∠BAC=45°，∠DAC=30°．接著如圖2保持三角板ABC不動，將三角板ACD繞著點C按順時針以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)90°后停止．在此旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間t=______________秒時，三角板A'CD【變式12-1】（2022·河北·青縣教育局教研室七年級期末）把一副直角三角尺按如圖方式擺放，點C與點E重合，BC邊與EF邊都在直線l上，若直線MN∥AC，且MN經(jīng)過點D，則∠CDN=_________；【變式12-2】（2022·四川達(dá)州·八年級期末）一副三角板ADE和ABC按如圖1所示放置，點B在斜邊AD上，其中∠E＝∠BAC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°．現(xiàn)將三角板ADE固定不動，三角板ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°，使兩塊三角板至少有一組邊互相平行，如圖2，當(dāng)∠BAD＝15°時，BC∥DE，則∠BAD其他所有可能符合條件的度數(shù)為______【變式12-3】（2022·江蘇蘇州·七年級期末）在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在AC上，∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°．小明將△ADE從圖中位置開始，繞點A按每秒6°的速度順時針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第____秒時，邊AB與邊DE平行．【考點13平行線中的規(guī)律問題】【例13】（2022·山東泰安·期末）如圖，AB∥CD，點(1)如圖1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，則∠AEC=____________；(2)如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)①如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖4，若設(shè)∠E=m，∠BAF=1n∠FAE，∠DCF=1n∠FCE，請直接用含【變式13-1】（2022·山東煙臺·七年級期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．問題解決：（1）如圖2，AB∥CD，直線l分別與AB、CD交于點M、N，點P在直線I上運動，當(dāng)點P在線段MN上運動時（不與點M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判斷∠APC、α、β之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點P在線段MN或NM的延長線上運動時．請直接寫出∠APC、α、B之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，AB∥CD，點P是AB、CD之間的一點（點P在點A、C右側(cè)），連接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分線交于點Q．若∠APC＝116°，請結(jié)合（2）中的規(guī)律，求∠AQC的度數(shù)．【變式13-2】（2022·四川·樹德中學(xué)七年級期末）（1）如圖①，已知AB∥CD，圖中∠1，∠2，（2）如圖②，已知AB∥CD，圖中∠1，∠2，∠3，（3）如圖③，已知AB∥CD，請直接寫出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，（4）通過以上3個問題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【變式13-3】（2022·北京市第一零一中學(xué)溫泉校區(qū)七年級期末）喜歡思考的小澤同學(xué)，設(shè)計了一種折疊紙條的游戲．如圖1，紙條的一組對邊PN∥QM（紙條的長度視為可延伸），在PN，QM上分別找一點A，B，使得∠ABM＝α．如圖2，將紙條作第一次折疊，使BM'與BA在同一條直線上，折痕記為解決下面的問題：（1）聰明的小白想計算當(dāng)α＝90°時，∠BR1N'的度數(shù)，于是他將圖2轉(zhuǎn)化為下面的幾何問題，請幫他補全問題并求解：如圖3，PN∥QM，A，B分別在PN,QM上，且∠ABM＝90°，由折疊：BR1平分_________，B（2）聰穎的小桐提出了一個問題：按圖2折疊后，不展開紙條，再沿AR1折疊紙條（如圖4），是否有可能使AM''⊥BR1？如果能，請直接寫出此時（3）笑笑看完此題后提出了一個問題：當(dāng)0°<α≤90°時，將圖2記為第一次折疊；將紙條展開，作第二次折疊，使BM'與BR1在同一條直線上，折痕記為BR2（如圖5）；將紙條展開，作第三次折疊，使BM'與BR2在同一條直線上，折痕記為BR①第二次折疊時，∠BR2N'＝②第n次折疊時，∠BRnN'＝____________（用【考點14平行線中的轉(zhuǎn)角問題】【例14】（2022·黑龍江·綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校七年級期末）將兩個等邊三角形（每個內(nèi)角都等于60°）如圖1疊放在一起，現(xiàn)將△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（旋轉(zhuǎn)角0°(1)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足0°<α≤60°時，請寫出∠BCD(2)如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足60°<α≤120°時，請寫出∠BCE(3)當(dāng)DE//BC時請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【變式14-1】（2022·福建泉州·七年級期末）現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板AOB，其直角頂點O在直線l上，將三角板AOB繞著點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠2的度數(shù)（0°<∠2<360°）．請你解決下列問題：(1)當(dāng)∠2的度數(shù)為多少時，AB∥(2)如右圖，作AC⊥l于點C，BD⊥l于點D，試探究：圖中提供的字母或數(shù)字能表示的所有角（不包含該圖中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，試寫出所有相等的角，并說明理由；若不存在，請舉例說明．【變式14-2】（2022·河南·漯河市郾城區(qū)郾城初級中學(xué)七年級期末）如圖1，已知PQ∥MN，點A，B分別在MN，PQ上，且∠BAN=45°，射線AM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即逆時針回轉(zhuǎn)（速度是a°/秒），射線BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即逆時針回轉(zhuǎn)（速度是b°/秒）、且a、b滿足a-3+(1)a=_____________，b=____________；(2)如圖2，兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒（t<60），兩條旋轉(zhuǎn)射線交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，求∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系；(3)若射線BP先旋轉(zhuǎn)20秒，射線AM才開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線AM旋轉(zhuǎn)時間為t秒（t<160），若旋轉(zhuǎn)中AM∥BP，求t的值．【變式14-3】（2022·浙江湖州·七年級期末）如圖1，已知直線AB∥CD，∠CMN=60°，射線ME從MD出發(fā)，繞點M以每秒a度的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，到達(dá)MC后立即以相同的速度返回，到達(dá)MD后繼續(xù)改變方向，繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線NF從NA出發(fā)，繞點N以每秒b度的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，到達(dá)NB后停止運動，此時ME也同時停止運動．其中a，(1)求a，b的值；(2)若NF先運動30秒，然后ME一起運動，設(shè)ME運動的時間為t，當(dāng)運動過程中ME∥NF時，求(3)如圖2，若ME與NF同時開始轉(zhuǎn)動，在ME第一次到達(dá)MC之前，ME與NF交于點P，過點P作PQ⊥ME于點P，交直線AB于點Q，則在運動過程中，若設(shè)∠NME的度數(shù)為m，請求出∠NPQ的度數(shù)（結(jié)果用含m的代數(shù)式表示）．【考點15點到直線的距離的運用】【例15】（2022·湖南省辰溪縣教育科學(xué)研究室七年級期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點A，B，C都在格點上，對于點P，Q，M，N分別與點B，C為頂點構(gòu)成三角形，面積與△ABC不相等的是（

）A．P B．Q C．M D．N【變式