二次函數(shù)存在性問題（菱形、平行四邊形、矩形）

這里的四邊形存在性問題，一般是以幾種特殊的四邊形為主，?？疾斓挠衅叫兴倪呅?、菱形、本文我們將重點(diǎn)講解這類問題的求解邏輯以及注意事項(xiàng)，同時(shí)給大家理出一個(gè)比較通用的解題C交對稱軸于點(diǎn)D．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上點(diǎn)，連接PC，PD．求△PCD的面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；點(diǎn)F是新拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)G是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)．當(dāng)以D、E、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，并寫出求解其中一個(gè)點(diǎn)F的坐標(biāo)的過程．\24)\24)如果只需要點(diǎn)F的坐標(biāo)，那么沒有必要求解平移后拋物線的解析式．根據(jù)平移的性質(zhì)，將原拋物線為x=2，幾F(2,m)．但由于此時(shí)E為量拋物線的交點(diǎn)，因此還是要把平移后的拋物線解析式求出菱形的探究相對是比較簡單的，對于這類探究性問題，一般都是先從確定的信息入手．菱形是以D、E、F、G為頂點(diǎn)，其中DE為定線段，那么存在的可能有DE是一條邊，也可能是一條對對角線．前面提到，等腰三角形和菱形的分析是一致的，這里我們結(jié)合等腰三角形的存在性問題一起分析．由于G是“自由點(diǎn)”，可以隨機(jī)應(yīng)變，因此討論以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角當(dāng)DE為一條腰時(shí)，第一種情形是點(diǎn)D為頂點(diǎn)，即DE=DF，也即半動(dòng)點(diǎn)F到D的距離和E到D的距離相等，因此點(diǎn)F在以點(diǎn)D為圓心，DE為半徑的圓上，作出該圓，如圖1所示，可知此時(shí)FF此時(shí)兩個(gè)點(diǎn)應(yīng)該都是滿足的．那么對應(yīng)的“自由點(diǎn)”G，就是以DE為邊菱形了．當(dāng)DE為一條腰時(shí)，另一種情形是點(diǎn)E為頂點(diǎn)，即ED=EF，也即半動(dòng)點(diǎn)F到E的距離和D到E的距離相等，因此點(diǎn)F在以點(diǎn)E為圓心，ED為半徑的圓上，作出該圓，如圖2所示，可知此時(shí)應(yīng)的“自由點(diǎn)”G，此時(shí)便是以DE為對角線的菱形．線”法．此題還是比較友善的，只需求出F坐標(biāo)．如果需要求解點(diǎn)G的坐標(biāo)，則還要加一個(gè)步驟．這里FG形的對角線相互平分，因此EF1的中點(diǎn)也即DG1的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)求解出G1坐標(biāo)．這兩種處理在平行四邊形存在性問題中也是有力手段．(11)(11)\2)152292\2)5315229EDEFEDEF，即=m2?m+，16816解得m=2或m解得m=2或m=，此時(shí)F的坐標(biāo)為(2,2)或|2,|，216(149)56\56)解得m(149)56\56)(1)求拋物線的解析式；(2)連接AC，BC，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過P作PD∥AC交直線BC于點(diǎn)D，PE∥x軸交直線BC于點(diǎn)，E，求△PDE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)，P的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，將原拋物線沿x軸向左平移3個(gè)單位得到新拋物線，點(diǎn)M是新拋物時(shí)，請直接寫出所有符合條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)；并任選其中一個(gè)N點(diǎn)，寫出求解過程．BC．(1)求拋物線的解析式；(2)P是拋物線上位于直線BC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，求出2PQ+EF的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線y=ax2+bx+4沿著射線CB的方向平移，使得新拋物線y，過點(diǎn)(3,1)，上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫出所有使得以A，D，G，H為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)H的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)H的坐標(biāo)的過程寫出來．1(828)2\39)1(828)2\39)知，沿著射線CB平移，即向右平移t個(gè)單位，則向下也平移t個(gè)單位，因此假設(shè)平移后新拋物線的13相當(dāng)于是沿著射線BC方向平移，故舍去，因此可得平移后拋物線的解析式為y=?x2+4x?．聯(lián)22y=?x2+x+4\28)這類平行四邊的探究也并不難，同樣先從確定的信息入手．平行四邊形是以A，D，G，H為D對角線；另一種則是平行四邊形為ADGH，也即AG，DH為對角線．當(dāng)然，不管是那種情形，由AD828)828)828)設(shè)好，將點(diǎn)坐標(biāo)表示列出來(通常都是橫坐標(biāo))，選定一個(gè)定點(diǎn)，如這里我們選定xA，將其與剩下及xA+xH=xD+xG，求解出點(diǎn)H橫坐標(biāo)，再代入解析式中求出點(diǎn)H縱坐標(biāo)即可．(1311則有D|2,8)|—H|2,8(13112\28)2\28)132\28)2\28)13(1313)13Dy=?x2+x+4\28)則xA=?2，xD=，xG=1，設(shè)H點(diǎn)橫坐標(biāo)為xH，2\28)①當(dāng)AH為一條對角線時(shí)，xA+xH=xD+xG，則xH=，代入可求得此時(shí)H|2\28)AGxAxGAGxAxGxDxH，則xH=?，代入可求得此時(shí)H|?,?|；③當(dāng)AD為一條對角線時(shí)，xA+x③當(dāng)AD為一條對角線時(shí)，xA+xD=xH+xG，則xH=，代入可求得此時(shí)H|,?|；(1313)(9277)(137)\28)\28)\28)\28)\28)\28)OB=3OA．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)E為射線AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，求四邊形PBEC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，將原拋物線沿x軸正方向平移得到新拋物線y，y經(jīng)過點(diǎn)C，平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A，點(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為新拋物線y的對稱軸上一點(diǎn)，在新拋物線y上存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)M，Q，A，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并選擇一個(gè)出求解過程．(1)求拋物線的解析式；B△BDP面積的最大值以及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線向左平移1個(gè)單位長度，得到新的拋物線y1，M為新拋物線對稱軸上一點(diǎn)，N為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，在(2)的條件下，是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)P、B、M、N為頂N【例1】如圖，已知拋物線y=ax2+bx?4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)直線BC的解析式為y=x?4．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D(異于點(diǎn)A)，P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AD于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QR⊥BC于點(diǎn)R，連接PR．求△PQR面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，將拋物線沿射線CA的方向平移2個(gè)單位長度得到新的拋物線y，新拋物線y與原拋物線交于點(diǎn)M，原拋物線的對稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)K，使得以D，M，N，K為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫342yxx?4；S△PQR的最大值為9，點(diǎn)P(4,?342AM物線的解析式．根據(jù)A(?2,0)，C(0,4)，可知Rt△AOC中AO:OC:AC=1:2:，因此將拋物線4242y=x2?x?4(1得M(6,?4)．又BC:y=1x?4，可知AD:y=1x+1，聯(lián)立〈|y=2x+1，解得D(10,6)．|4222|y=1x2?3x|42前面討論菱形、平行四邊形時(shí)的流程基本大同小異，定線段DM可能是矩形的邊，也可能是矩形的對角線，因此要分兩種情形討論．矩形的存在性問題和直角三角形的存在性問題是一致的，如本題\5)N\5)當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，過M作DM垂線與對稱軸交點(diǎn)即為點(diǎn)N所在位置，如圖1所示．對于N點(diǎn)坐標(biāo)的求解，一方面，由于MN⊥DM，則kMN.kDM=?1，結(jié)合點(diǎn)M坐標(biāo)，由此可求得直線MN解析式，將其與對稱軸方程聯(lián)立即可求得點(diǎn)N坐標(biāo)．另一方面，可以構(gòu)造如圖所示的K型相似，即構(gòu)造△MN1G造△MN1G∽△DMH，利用=，可求出長度，進(jìn)而得到點(diǎn)N坐標(biāo)．更特殊地，如果是等GMGMNG在此直角三角形的基礎(chǔ)上，加上自由點(diǎn)K，就變成矩形問題了．對于矩形問題，同樣可以求出點(diǎn)N坐標(biāo)后，利用平移關(guān)系或者對角線的中點(diǎn)關(guān)系，求相應(yīng)的點(diǎn)K的坐標(biāo)．當(dāng)然，如果是探究矩形的存在性問題，也可以直接利用中點(diǎn)關(guān)系求得點(diǎn)K的坐標(biāo)．由點(diǎn)N(3,n)，設(shè)K(xK,yK)(熟練后，在實(shí)際解題中設(shè)K(x,y)即可)，利用中點(diǎn)關(guān)系〈MKDN，則〈K在實(shí)際解題中設(shè)K(x,y)即可)，利用中點(diǎn)關(guān)系〈MKDN，則〈K，整理得lyMyKyDyNl?4+yK=6+n故此時(shí)K|7,|．此法借助的是矩形的對角線平分且相等的性質(zhì)，該處理對于故此時(shí)K|7,|．此法借助的是矩形的對角線平分且相等的性質(zhì)，該處理對于DM是對角線的情形l5當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，則有NM⊥ND，因此點(diǎn)N在以DM為直徑的圓上．此種情形若只是求點(diǎn)Nl5當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，則有NM⊥ND，因此點(diǎn)N在以DM為直徑的圓上．此種情形若只是求點(diǎn)NN線段長度求解，設(shè)DM中點(diǎn)為為R，則此時(shí)圓心為R，因此NR=RD=DM，由此也可求得點(diǎn)N坐NK標(biāo)外，也可以利用前面的對角線平分且相等來求解．般利用斜率關(guān)系，求出解析式后進(jìn)一步求解．如果是矩形問題要求自由點(diǎn)的坐標(biāo)，可以用對角線平xM+xD=xN+xKxM+xD=xN+xK\5)\5)式和長度關(guān)系式子，即〈MKDN且MK2=DN2，〈MND式和長度關(guān)系式子，即〈MKDN且MK2=DN2，〈MNDK且MN2=DK2以及l(fā)yM+yK=yD+yNlyM+yN=yD+yK〈且MD2=NK2，利用方程組求解出對應(yīng)的點(diǎn)K的坐標(biāo)．lyM+yD=yN+yKy1?y2附：坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中x1豐xy1?y242424242My=x2?x?4(1又BC:y=1x?4，可知AD:y=1x+1，聯(lián)立〈|y=2x+1，解得D(10,6)，22|y=1x2?