高中考試數(shù)學(xué)解答題-極值點(diǎn)偏移終極套路（含答案）

值點(diǎn)偏移問題在高考中很常見，此類問題以導(dǎo)數(shù)為背景考察學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)換的思想解決函數(shù)問題的能力，層次性強(qiáng)，能力要求較高.下面給出引例，通過探究，歸納總結(jié)出解決此類問題的一般性方法.★已知，．若有兩個極值點(diǎn)，，且，求證：（為自然對數(shù)的底數(shù)）．★已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求證：.【招式演練】★已知函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)．求的最值；證明：．★已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）★已知函數(shù)的圖象的一條切線為軸.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）令，若存在不相等的兩個實(shí)數(shù)滿足，求證：.★已知函數(shù)且函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線斜率為.（1）試用含有的式子表示，并討論的單調(diào)性；（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)使得點(diǎn)處的切線，則稱存在“跟隨切線”.特別地，當(dāng)時，又稱存在“中值跟隨切線”.試問：函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.★已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn).（1）求的取值范圍.（2）設(shè)的兩個極值點(diǎn)為，證明.★已知函數(shù)，A，B是曲線上兩個不同的點(diǎn).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間，并寫出實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）證明：.【新題試煉】【2018河北衡水金卷】已知函數(shù).（1）若函數(shù)，試研究函數(shù)的極值情況；（2）記函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)為，記，若在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實(shí)根，證明：.在高考創(chuàng)新試題層出不窮的大環(huán)境下，學(xué)生首先要掌握基本的知識方法和解題策略，對新題、難題的突破，更需在掌握雙基的前提下，淡化特殊技巧、重視思想方法、去模式化的解題策略，以不變應(yīng)萬變，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.只有學(xué)生學(xué)會自我分析，利用熟知的知識方法去解決各類未知的創(chuàng)新試題，教師才算成功培養(yǎng)學(xué)生解題思維，同時對學(xué)生認(rèn)知的廣闊性、逆向性也是一種需要. 值點(diǎn)偏移問題在高考中很常見，此類問題以導(dǎo)數(shù)為背景考察學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)換的思想解決函數(shù)問題的能力，層次性強(qiáng)，能力要求較高.下面給出引例，通過探究，歸納總結(jié)出解決此類問題的一般性方法.★已知，．若有兩個極值點(diǎn)，，且，求證：（為自然對數(shù)的底數(shù)）．解法一：齊次構(gòu)造通解偏移套路于是．又，設(shè)，則．因此，，．要證，即證：，．即：當(dāng)時，有．設(shè)函數(shù)，，則，所以，為上的增函數(shù)．注意到，，因此，．學(xué)&科網(wǎng)于是，當(dāng)時，有．所以，有成立，．學(xué)&科網(wǎng)解法二變換函數(shù)能妙解證法2：欲證，需證．若有兩個極值點(diǎn)，，即函數(shù)有兩個零點(diǎn)．又，所以，，是方程的兩個不同實(shí)根．顯然，否則，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不符合題意．由，解法三構(gòu)造函數(shù)現(xiàn)實(shí)力證法3：由，是方程的兩個不同實(shí)根得，令，，由于，因此，在，．設(shè)，需證明，只需證明，只需證明，即，即．來源：微信公眾號中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落即，，故在，故，即．令，則，因?yàn)?，，在，所以，即．學(xué)&科網(wǎng)解法四巧引變量（一）證法4：設(shè)，，則由得，設(shè)，則，．欲證，解法五巧引變量（二）證法5：設(shè)，，則由得，設(shè)，則，．欲證，需證，即只需證明，即，設(shè)，，故在，因此，命題得證．學(xué)&科網(wǎng)★已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求證：.欲證：，結(jié)合的單調(diào)性，即證：等價于證明：令，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)由單調(diào)性易得原不等式成立，略.法二：接后續(xù)解:由得：構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)由單調(diào)性易得在恒成立，又因?yàn)?，故成?法三：接④后續(xù)解：視為主元，設(shè)則在上單調(diào)遞增，故，再結(jié)合，故成立.法四：構(gòu)造函數(shù)，學(xué)&科網(wǎng)則，從而在上單調(diào)遞增，故，即對恒成立，從而，則，由，且在單調(diào)遞增，學(xué)科#網(wǎng)故，即，從而成立.學(xué)&科網(wǎng)【招式演練】★已知函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)．求的最值；證明：．【答案】（1），無最小值（2）見解析【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點(diǎn)，命題主要是和導(dǎo)數(shù)、絕對值不等式及柯西不等式相結(jié)合，導(dǎo)數(shù)部分一旦出該類型題往往難度較大，要準(zhǔn)確解答首先觀察不等式特點(diǎn)，結(jié)合已解答的問題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡或者進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明.★已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）【答案】（1）見解析（2）見解析（2）∵，∴，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，與直線不可能有兩個交點(diǎn)，故．令，則；令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．不妨設(shè)，且，要證，需證，即證，又，所以只需證，即證：當(dāng)時，．學(xué)&科網(wǎng)設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞減，又，故，原不等式成立．學(xué)科*網(wǎng)★已知函數(shù)的圖象的一條切線為軸.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）令，若存在不相等的兩個實(shí)數(shù)滿足，求證：.【答案】（1）（2）見解析當(dāng)時，，記，記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，不妨設(shè)，則，而，，有單調(diào)性知，即.★已知函數(shù)且函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線斜率為.（1）試用含有的式子表示，并討論的單調(diào)性；（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)使得點(diǎn)處的切線，則稱存在“跟隨切線”.特別地，當(dāng)時，又稱存在“中值跟隨切線”.試問：函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析（2）不存在令，構(gòu)造函數(shù)，則，則時，恒成立，故在上單調(diào)遞增從而得出不存在試題解析：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，又，整理?學(xué)科@網(wǎng)（1）.1）當(dāng)時，易知，時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.2）當(dāng)?shù)?，令，解得或，則①當(dāng)，即時，在上恒成立，則在上遞增.當(dāng)時，在及上單調(diào)遞增：在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，在上遞增.當(dāng)時，在及上單調(diào)遞增；在上遞減.點(diǎn)睛：對于導(dǎo)數(shù)問題，做題要特別注意在討論時單調(diào)性受參數(shù)的影響，可以通過分析導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的大小來逐一分析，對于此題第二問的類型，要注意函數(shù)的構(gòu)造和假設(shè)，分析函數(shù)單調(diào)性求最值從而得出結(jié)論.★已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn).（1）求的取值范圍.（2）設(shè)的兩個極值點(diǎn)為，證明.【答案】（1）（2）見解析試題解析：（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以方程在有兩個不同根.即方程在有兩個不同根.學(xué)&科網(wǎng)轉(zhuǎn)化為，函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點(diǎn)又，即時，，時，，所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，從而.又有且只有一個零點(diǎn)是1，且在時，，在時，，所以由的圖象，要想函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點(diǎn)，只需，即（2）由（1）可知分別是方程的兩個根，即，，設(shè)，作差得，，即.原不等式等價于令，則，，設(shè)，，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，學(xué)科/網(wǎng)即不等式成立，故所證不等式成立.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).★已知函數(shù)，A，B是曲線上兩個不同的點(diǎn).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間，并寫出實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）證明：.【答案】（Ⅰ）的取值范圍是；（Ⅱ）見解析.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點(diǎn)，命題主要是和導(dǎo)數(shù)、絕對值不等式及柯西不等式相結(jié)合，導(dǎo)數(shù)部分一旦出該類型題往往難度較大，要準(zhǔn)確解答首先觀察不等式特點(diǎn)，結(jié)合已解答的問題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.【新題試煉】【2018河北衡水金卷】已知函數(shù).（1）若函數(shù)，試研究函數(shù)的極值情況；（2）記函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)為，記，若在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實(shí)根，證明：.【答案】(1)見解析;(2)見解析.②當(dāng)時，，恒成立，所以不存在極值；③當(dāng)時，，或；,所以在處取極大值，在處取極小值.綜上，當(dāng)時，在處取極大值，在處取極小值；當(dāng)時，不存在極值；時，在處取極大值，在處取極小值.（2），定義域?yàn)?，，而，故，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增又，，且在區(qū)間內(nèi)的圖象連續(xù)不斷，學(xué)科@網(wǎng)故根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，有在區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一零點(diǎn).所以存在，使得，由得單調(diào)遞減；若在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實(shí)根（）則.要證，即證又，而在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故可證，又由，即證，即記，其中記，則，學(xué).科網(wǎng)當(dāng)時