2024屆廣東省佛山市佛山三中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆廣東省佛山市佛山三中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A(yíng)．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．莖葉圖記錄了甲、乙兩組各6名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為124，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，則，的值分別為A． B．C． D．3．化簡(jiǎn)：（）A． B． C． D．4．已知、是球的球面上的兩點(diǎn)，，點(diǎn)為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為()A． B． C． D．5．定義運(yùn)算，設(shè)，若，，，則的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．6．已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則的值為()A． B．1 C．3 D．67．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．與的大小不確定8．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則（）A． B． C． D．9．執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的λ是()A．-2 B．-4 C．0 D．-2或010．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過(guò)直線(xiàn)的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知3a＝2，則32a＝____，log318﹣a＝_____12．設(shè),滿(mǎn)足約束條件,則的最小值是______.13．已知雙曲線(xiàn)：的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)于交、兩點(diǎn)，若，則的離心率為_(kāi)_________．14．設(shè)滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)_____．15．的值為_(kāi)_________．16．某縣現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)教師500人，統(tǒng)計(jì)這500人的學(xué)歷情況，得到如下餅狀圖，該縣今年計(jì)劃招聘高中數(shù)學(xué)新教師，只招聘本科生和研究生，使得招聘后該縣高中數(shù)學(xué)專(zhuān)科學(xué)歷的教師比例下降到，且研究生的比例保持不變，則該縣今年計(jì)劃招聘的研究生人數(shù)為_(kāi)______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，，，，解三角形.18．已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.19．設(shè)兩個(gè)非零向量，不共線(xiàn)，如果，，.（1）求證：、、共線(xiàn)；（2）試確定實(shí)數(shù)，使和共線(xiàn).20．已知數(shù)列滿(mǎn)足：，（1）求，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：21．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．求點(diǎn)的坐標(biāo)：若點(diǎn)在軸上，且直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【題目詳解】由z（1﹣i）=2，得z=，∴．則z的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣1），位于第四象限．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

根據(jù)眾數(shù)的概念可確定；根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法可構(gòu)造方程求得.【題目詳解】甲組數(shù)據(jù)眾數(shù)為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查莖葉圖中眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

.故選A．【題目點(diǎn)撥】考查向量數(shù)乘和加法的幾何意義，向量加法的運(yùn)算．4、A【解題分析】

當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，利用三棱錐體積的最大值為，求出半徑，即可求出球的表面積．【題目詳解】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，.因此，球的表面積為.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查球的半徑與表面積的計(jì)算，確定點(diǎn)的位置是關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.5、C【解題分析】

由題意，由于與都是周期函數(shù)，且最小正周期都是，故只須在一個(gè)周期上考慮函數(shù)的值域即可，分別畫(huà)出與的圖象，如圖所示，觀(guān)察圖象可得：的值域?yàn)?，故選C.6、C【解題分析】

設(shè)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求得，然后再求函數(shù)值．【題目詳解】設(shè)，由題意，，即，∴．故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合題中條件得出且，將、、、用與表示，利用因式分解思想以及基本不等式可得出與的不等關(guān)系，并結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得出與的大小關(guān)系.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于等差數(shù)列是公差不為零，則，從而，且，得，，，即，另一方面，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，因此，，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于將等比中的項(xiàng)利用首項(xiàng)和公比表示，并進(jìn)行因式分解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.8、C【解題分析】

在中，利用正弦定理求出即可．【題目詳解】在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知：，，，利用正弦定理：，解得：.故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】

根據(jù)框圖有，由判斷條件即即可求出的值.【題目詳解】由有.根據(jù)輸出的條件是，即.所以，解得：.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查程序框圖和向量的加法以及數(shù)量積以及性質(zhì)，屬于中檔題.10、B【解題分析】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長(zhǎng)，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積.詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長(zhǎng)為的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時(shí)候，一定要注意是兩個(gè)底面圓與側(cè)面積的和.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、42.【解題分析】

由已知結(jié)合指數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)求解，把化為對(duì)數(shù)式得到，代入，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【題目詳解】∵，∴，由，得，∴.故答案為：，.【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12、1【解題分析】

根據(jù)不等式組，畫(huà)出可行域，數(shù)形結(jié)合求解即可.【題目詳解】由題可知，可行域如下圖所示：容易知：，可得：，結(jié)合圖像可知，的最小值在處取得，則.故答案為：1.【題目點(diǎn)撥】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃的基礎(chǔ)問(wèn)題，只需作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可求解.13、【解題分析】如圖所示，由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．設(shè)雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)y=x的傾斜角為θ，則tanθ=．又tanθ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．答案：點(diǎn)睛：求雙曲線(xiàn)的離心率的值（或范圍）時(shí)，可將條件中提供的雙曲線(xiàn)的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線(xiàn)基本量的方程或不等式，再根據(jù)和轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值（或取值范圍）．14、7【解題分析】

首先畫(huà)出可行域，然后判斷目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【題目詳解】如圖，畫(huà)出可行域，作出初始目標(biāo)函數(shù)，平移目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，，解得,.故填：7.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解題分析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【題目詳解】,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、50【解題分析】

先計(jì)算出招聘后高中數(shù)學(xué)教師總?cè)藬?shù)，然后利用比例保持不變，得到該縣今年計(jì)劃招聘的研究生人數(shù).【題目詳解】招聘后該縣高中數(shù)學(xué)專(zhuān)科學(xué)歷的教師比例下降到，則招聘后，該縣高中數(shù)學(xué)教師總?cè)藬?shù)為，招聘后研究生的比例保持不變，該縣今年計(jì)劃招聘的研究生人數(shù)為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和分析能力，從題目中提煉關(guān)鍵字眼“比例保持不變”是解題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，【解題分析】

利用已知條件通過(guò)正弦定理求出，然后利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化求解，即可求解．【題目詳解】在中，，由正弦定理可得：＝＝，因?yàn)椋曰?，?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，從而，?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，從而＝．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形的正弦定理與余弦定理，合理運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（I）將化簡(jiǎn)整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根據(jù)，可求的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)，可得參數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（Ⅰ），所以的最小正周期為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因?yàn)?，所?要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1.所以，即.所以的最小值為.點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)要注意特殊角三角函數(shù)值記憶的準(zhǔn)確性，及公式中符號(hào)的正負(fù).19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】

(1)要證、、共線(xiàn)，只要證明存在實(shí)數(shù)，使得成立即可.

(2)利用向量共線(xiàn)的充要條件和兩個(gè)非零向量與不共線(xiàn)即可求出.【題目詳解】(1)證明：由.又，則.所以.所以、、共線(xiàn).（2）和共線(xiàn)，則存在實(shí)數(shù)，使得成立.向量，不共線(xiàn),所以，解得：所以當(dāng)時(shí)，使和共線(xiàn).【題目點(diǎn)撥】本題考查利用向量共線(xiàn)的充要條件證明點(diǎn)共線(xiàn)和求參數(shù)的值.20、(1)；；(2)(3)見(jiàn)證明；【解題分析】

（1）令可求得；（2）在已知等式基礎(chǔ)上，用代得另一等式，然后相減，可求得，并檢驗(yàn)一下是否適合此表達(dá)式；（3）用裂項(xiàng)相消法求和．【題目詳解】解：（1）由已知得，∴(2)由，①得時(shí)，，②①-②得∴，也適合此式，∴（）．（3）由（2）得，∴∴∵，∴∴【題目點(diǎn)撥】本題考查由數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和．求通項(xiàng)公式時(shí)的方法與已知求的方法一樣，本題就相當(dāng)于已知數(shù)列的前項(xiàng)和