廣東省惠州市第三中學2024屆數(shù)學高一第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

廣東省惠州市第三中學2024屆數(shù)學高一第二學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．的內(nèi)角的對邊分別為成等比數(shù)列，且，則等于（）A． B． C． D．2．在中，，設(shè)向量與的夾角為，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．某幾何體的三視圖如圖所示，其外接球體積為（）A． B． C． D．4．下列正確的是()A．若a，b∈R，則B．若x<0，則x＋≥－2＝－4C．若ab≠0，則D．若x<0，則2x＋2－x>25．已知,,,是球球面上的四個點，平面,,，則該球的表面積為（）A． B． C． D．6．經(jīng)過，兩點的直線方程為（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，若，則（）A． B． C． D．8．直線與直線的交點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知變量和滿足關(guān)系，變量與正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是（）A．與負相關(guān)，與負相關(guān)B．與正相關(guān)，與正相關(guān)C．與正相關(guān)，與負相關(guān)D．與負相關(guān)，與正相關(guān)10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，，，，則的面積等于______.12．在平面直角坐標系中，在軸、軸正方向上的投影分別是、，則與同向的單位向量是__________．13．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知,,，則______．14．化簡：．15．某學校高一年級舉行選課培訓活動，共有1024名學生、家長、老師參加，其中家長256人．學校按學生、家長、老師分層抽樣，從中抽取64人，進行某問卷調(diào)查，則抽到的家長有___人16．函數(shù)f（x）＝log2（x+1）的定義域為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．求經(jīng)過直線：與直線：的交點，且分別滿足下列條件的直線方程.（Ⅰ）與直線平行；（Ⅱ）與直線垂直.18．一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.（Ⅰ）請按字母F，G，H標記在正方體相應(yīng)地頂點處（不需要說明理由）（Ⅱ）判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并說明你的結(jié)論.（Ⅲ）證明：直線DF平面BEG19．為了評估A，B兩家快遞公司的服務(wù)質(zhì)量，從兩家公司的客戶中各隨機抽取100名客戶作為樣本，進行服務(wù)質(zhì)量滿意度調(diào)查，將A，B兩公司的調(diào)查得分分別繪制成頻率分布表和頻率分布直方圖．規(guī)定分以下為對該公司服務(wù)質(zhì)量不滿意．分組頻數(shù)頻率0.4合計（Ⅰ）求樣本中對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶人數(shù)；（Ⅱ）現(xiàn)從樣本對A，B兩個公司服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶中，隨機抽取2名進行走訪，求這兩名客戶都來自于B公司的概率；（Ⅲ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試對兩個公司的服務(wù)質(zhì)量進行評價，并闡述理由．20．在銳角中，，，分別為內(nèi)角，，所對的邊，且滿足．（1）求角的大??；（2）若，，求的面積．21．已知圓與圓：關(guān)于直線對稱．（1）求圓的標準方程；（2）已知點，若與直線垂直的直線與圓交于不同兩點、，且是鈍角，求直線在軸上的截距的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

成等比數(shù)列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．【題目詳解】解：成等比數(shù)列，，又，，則故選B．【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2、A【解題分析】

根據(jù)向量與的夾角的余弦值，得到，然后利用正弦定理，表示出，根據(jù)的范圍，得到的范圍.【題目詳解】因為向量與的夾角為，且，所以，在中，由正弦定理，得，所以，因為，所以，所以.故選：A.【題目點撥】本題考查向量的夾角，正弦定理解三角形，求正弦函數(shù)的值域，屬于簡單題.3、D【解題分析】

易得該幾何體為三棱錐,再根據(jù)三視圖在長方體中畫出該三棱錐,再根據(jù)此三棱錐與長方體的外接球相同求解即可.【題目詳解】在長方體中畫出該幾何體,易得為三棱錐,且三棱錐與該長方體外接球相同.又長方體體對角線等于外接球直徑,故.故外接球體積故選：D【題目點撥】本題主要考查了三視圖還原幾何體以及求外接球體積的問題,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】對于A，當ab<0時不成立；對于B，若x<0，則x＋＝－≤－2＝－4，當且僅當x＝－2時，等號成立，因此B選項不成立；對于C，取a＝－1，b＝－2，＋＝－<a＋b＝－3，所以C選項不成立；對于D，若x<0，則2x＋2－x>2成立．故選D.5、B【解題分析】

根據(jù)截面法，作出球心O與外接圓圓心所在截面，利用平行四邊形和勾股定理可求得球半徑，從而得到結(jié)果.【題目詳解】如圖，的外接圓圓心E為BC的中點，設(shè)球心為O，連接OE，OP，OA，D為PA的中點，連接OD.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，且平面，則//，由為等腰三角形可得，又，所以//，則四邊形ODAE是矩形，所以=，而，中，根據(jù)勾股定理可得，所以該球的表面積為.所以本題答案為B.【題目點撥】本題考查求三棱錐外接球的表面積問題，幾何體的外接球、內(nèi)切球問題，關(guān)鍵是球心位置的確定，必要時需把球的半徑放置在可解的幾何圖形中，如果球心的位置不易確定，則可以把該幾何體補成規(guī)則的幾何體，便于球心位置和球的半徑的確定.6、C【解題分析】

根據(jù)題目條件，選擇兩點式來求直線方程.【題目詳解】由兩點式直線方程可得：化簡得：故選：C【題目點撥】本題主要考查了直線方程的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

本題首先可根據(jù)首項為以及公差為求出數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)以及數(shù)列的通項公式即可求出答案．【題目詳解】因為數(shù)列為首項，公差的等差數(shù)列，所以，因為所以，，故選C．【題目點撥】本題考查如何判斷實數(shù)為數(shù)列中的哪一項，主要考查等差數(shù)列的通項公式的求法，等差數(shù)列的通項公式為，考查計算能力，是簡單題．8、B【解題分析】

聯(lián)立方程組，求得交點的坐標，即可得到答案.【題目詳解】由題意，聯(lián)立方程組：，解得，即兩直線的交點坐標為，在第二象限，選B.【題目點撥】本題主要考查了兩條直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

因為變量和滿足關(guān)系，一次項系數(shù)為，所以與負相關(guān)；變量與正相關(guān)，設(shè)，所以，得到，一次項系數(shù)小于零，所以與負相關(guān)，故選A.10、C【解題分析】

根據(jù)程序框圖列出算法循環(huán)的每一步，結(jié)合判斷條件得出輸出的的值.【題目詳解】執(zhí)行如圖所示的程序框圖如下：不成立，，；不成立，，；不成立，，；不成立，，.成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為，故選C.【題目點撥】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果，對于這類問題，通常利用框圖列出算法的每一步，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先用余弦定理求得，從而得到，再利用正弦定理三角形面積公式求解.【題目詳解】因為在中，，，由余弦定理得，所以由正弦定理得故答案為：【題目點撥】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.12、【解題分析】

根據(jù)題意得出，再利用單位向量的定義即可求解.【題目詳解】由在軸、軸正方向上的投影分別是、，可得，所以與同向的單位向量為，故答案為：【題目點撥】本題考查了向量的坐標表示以及單位向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.13、30°【解題分析】

直接利用正弦定理得到或，再利用大角對大邊排除一個答案.【題目詳解】即或，故，故故答案為【題目點撥】本題考查了正弦定理，沒有利用大角對大邊排除一個答案是容易發(fā)生的錯誤.14、0【解題分析】原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.15、16【解題分析】

利用分層抽樣的性質(zhì)，直接計算，即可求得，得到答案．【題目詳解】由題意，可知共有1024名學生、家長、老師參加，其中家長256人，通過分層抽樣從中抽取64人，進行某問卷調(diào)查，則抽到的家長人數(shù)為人．故答案為16【題目點撥】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，其中解答中熟記分層抽樣的概念和性質(zhì)，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、{x|x＞﹣1}【解題分析】

利用對數(shù)的真數(shù)大于，即可得解.【題目詳解】函數(shù)的定義域為：,解得：，故答案為：.【題目點撥】本題主要考查對數(shù)函數(shù)定義域，考查學生對對數(shù)函數(shù)定義的理解，是基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）先求得直線與直線的交點坐標.根據(jù)平行直線的斜率關(guān)系得與平行直線的斜率,再由點斜式即可求得直線方程.（Ⅱ）根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系得與垂直的直線斜率,再由點斜式即可求得直線方程.【題目詳解】解方程組得,所以直線與直線的交點是（Ⅰ）直線,可化為由題意知與直線平行則直線的斜率為又因為過所以由點斜式方程可得化簡得所以與直線平行且過的直線方程為.（Ⅱ）直線的斜率為則由垂直時直線的斜率乘積為可知直線的斜率為由題意知該直線經(jīng)過點,所以由點斜式方程可知化簡可得所以與直線垂直且過的直線方程為.【題目點撥】本題考查了直線平行與垂直時的斜率關(guān)系,由點斜式求方程的用法,屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【解題分析】

（Ⅰ）點F，G，H的位置如圖所示（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH.證明如下因為ABCD－EFGH為正方體，所以BC∥FG，BC＝FG又FG∥EH，F(xiàn)G＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH于是BCEH為平行四邊形所以BE∥CH又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE∥平面ACH同理BG∥平面ACH又BE∩BG＝B所以平面BEG∥平面ACH（Ⅲ）連接FH因為ABCD－EFGH為正方體，所以DH⊥平面EFGH因為EG平面EFGH，所以DH⊥EG又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD又DF平面BFDH，所以DF⊥EG同理DF⊥BG又EG∩BG＝G所以DF⊥平面BEG.考點：本題主要考查簡單空間圖形的直觀圖、空間線面平行與垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力.19、（Ⅰ）3人；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率為，即概率為0.03，易求解．（Ⅱ）共有5名客服不滿意，將每種情況都列出來即可算出全來自于B公司的概率．（Ⅲ）可通過頻率對比，服務(wù)質(zhì)量得分的眾數(shù)，服務(wù)質(zhì)量得70分（或80分）以上的頻率幾個方面進行對比．【題目詳解】（Ⅰ）樣本中對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率為，所以樣本中對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有人．（Ⅱ）設(shè)“這兩名客戶都來自于B公司”為事件M．對A公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有2人，分別記為，；對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有3人，分別記為，，．現(xiàn)從這5名客戶中隨機抽取2名客戶，不同的抽取的方法有，，，，，，，，，共10個；其中都來自于B公司的抽取方法有，，共3個，所以．所以這兩名客戶都來自于B公司的概率為．（Ⅲ）答案一：由樣本數(shù)據(jù)可以估計客戶對A公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率比對B公司服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率小，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量比B公司的服務(wù)質(zhì)量好．答案二：由樣本數(shù)據(jù)可以估計A公司的服務(wù)質(zhì)量得分的眾數(shù)與B公司服務(wù)質(zhì)量得分的眾數(shù)相同，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量與B公司的服務(wù)質(zhì)量相同．答案三：由樣本數(shù)據(jù)可以估計A公司的服務(wù)質(zhì)量得70分（或80分）以上的頻率比B公司得70分（或80分）以上的頻率小，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量比B公司的服務(wù)質(zhì)量差．答案四：由樣本數(shù)據(jù)可以估計A公司的服務(wù)質(zhì)量得分的平均分比B公司服務(wù)質(zhì)量得分的平均分低，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量比B公司的服務(wù)質(zhì)量差．【題目點撥】此題考查概率，關(guān)鍵理解清楚頻率分布表和頻率分布直方圖表示的含有，簡單數(shù)據(jù)可通過列表法求概率或者可以組合數(shù)求解，屬于較易題目．20、(1)；（2）.【解題分析】

（1）利用正弦定理化簡已知的等式，根據(jù)sinA不為0，可得出sinB的值，由B為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值，即可求出B的度數(shù)；（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)于a與c的關(guān)系式，利用完全平方公式變形后，將a+c的值代入，求出ac的值，將a+c=5與ac=6聯(lián)立，并根據(jù)a大于c，求出a與c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，將b，c及cosA的值代入即可求出值．【題目詳解】(1),由正弦定理得，所以，因為三角形ABC為銳角三角形，所以.（2）由余弦定理得，，所以所以.21、（1）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)兩圓對稱，直徑一樣，只需