2023-2024學(xué)年山東省淄博市高二上學(xué)期12月月考質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省淄博市高二上學(xué)期12月月考質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題（每小題5分，共40分）1．（

）A． B． C． D．2．設(shè)，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．4．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．55．定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意，，有，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．6．函數(shù)的部分圖象為（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)有最大值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多選題（每小題5分，漏選得2分，錯(cuò)選得0分，共20分）9．已知，且，則（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．的最大值為0C．在上單調(diào)遞減 D．11．下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)B．若不等式的解集為或，則C．函數(shù)的最小值為6D．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為12．已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是B．若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)C．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是D．若，則不等式的解集為三、填空題（每小題5分，共20分）13．當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)，則．14．已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則.15．已知扇形的圓心角為，其周長(zhǎng)是，則該扇形的面積是．16．定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界已知函數(shù)在上是以3為上界的函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．四、解答題（共70分）17．平面直角坐標(biāo)系中，若角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求sinα和tanα的值(2)若，化簡(jiǎn)并求值18．已知集合，．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．函數(shù)，(1)求函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)；(3)若函數(shù)的最小值為，求的值20．已知函數(shù)在為奇函數(shù)，且(1)求值；(2)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并用定義證明；(3)解關(guān)于t的不等式21．2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響．在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對(duì)企業(yè)和民眾帶來(lái)的損失．為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬(wàn)件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來(lái)計(jì)算）(1)將2020年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；(2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？22．已知定義在R上的函數(shù)滿足且，．(1)求的解析式；(2)設(shè)，若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)m取值范圍．1．B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合特殊角的正弦值進(jìn)行求解即可.【詳解】.故選：B2．A【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解出，即可得到結(jié)果.【詳解】由，得；由，可得，即，又在上單調(diào)遞增，所以.所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A．3．C【分析】利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值判定即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，，又，所以，故，所以.故選：C.4．C【分析】利用“1的代換”的方法，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.5．D【分析】根據(jù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合偶函數(shù)和單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】不妨設(shè)，由，所以該函數(shù)是上的增函數(shù)，或，，則或，由，由，綜上所述：不等式的解集是，故選：D6．C【分析】先分析函數(shù)的奇偶性，然后根據(jù)時(shí)取值的正負(fù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，故排除BD，當(dāng)時(shí)，，所以，故排除A，故選：C.7．B【分析】由有最大值結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像，得出當(dāng)時(shí)，可取最大值，且該最大值大于等于，列出不等式求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，故當(dāng)時(shí)，可取最大值，且該最大值大于等于，顯然不合題意，則必有，此時(shí)，解得，故選：B．8．D【分析】根據(jù)題意，畫出函數(shù)的大致圖象，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合圖象，即可得到結(jié)果.【詳解】

設(shè)，則，即，故，因?yàn)?，故，畫出的大致圖象，由圖象可知與共有6個(gè)公共點(diǎn)，故原方程共有6個(gè)根.故選：D.9．ABD【分析】AB選項(xiàng)，兩邊平方得到，再結(jié)合得到，，得到AB正確；先求出的平方，結(jié)合角的范圍求出的值.【詳解】AB選項(xiàng)，兩邊平方得，，即，所以，B正確，因?yàn)?，所以，故，所以，A正確；CD選項(xiàng)，，因?yàn)?，，所以，故，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD10．BC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、最值、單調(diào)性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】的定義域?yàn)?，，所以是偶函?shù)，不是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，C選項(xiàng)正確，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以的最大值為，所以B選項(xiàng)正確，故選：BC11．ABD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可對(duì)A項(xiàng)判斷；根據(jù)一元二次不等式的性質(zhì)即可對(duì)B項(xiàng)判斷；根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，即可對(duì)C項(xiàng)判斷；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可對(duì)D項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)（且）的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B：不等式的解集為或，所以，解得，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，而此方程無(wú)解，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)：令，由，得，所以的定義域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而單調(diào)遞減；又因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.12．BC【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，可得恒成立，求解m范圍，判斷A；根據(jù)函數(shù)的值域可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可判斷B；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可判斷C；利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，則恒成立，故時(shí)，，不合題意，故需滿足且，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的值域?yàn)?，則，故，解得，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)由復(fù)合而成，為上的增函數(shù)，故由在區(qū)間上為增函數(shù)，可知在區(qū)間上為增函數(shù)且，故需滿足，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是，C正確；對(duì)于D，時(shí)，，即，則，則不等式的解集為，D錯(cuò)誤，故選：BC13．2【分析】利用冪函數(shù)定義即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，可得，可得，故214．-3【分析】當(dāng)時(shí)，代入條件即可得解.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)?，，所以，兩邊取以為底的?duì)數(shù)得，所以，即．本題主要考查函數(shù)奇偶性，對(duì)數(shù)的計(jì)算．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．15．【分析】由扇形的弧長(zhǎng)、面積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)是，則其扇形周長(zhǎng)是，解得，故該扇形的面積是．故答案為.16．【分析】設(shè)，則，則，根據(jù)新定義可得在上恒成立，即，分別構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可求出的范圍.【詳解】設(shè)，，，，由題意知，在上恒成立．即在上恒成立．，即，，在上為增函數(shù)，，在上為減函數(shù)，，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為．本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、新定義，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，求函數(shù)的值域，屬于中檔題．17．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算；（2）用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)后，弦化切代入計(jì)算．【詳解】（1）∵，由三角函數(shù)的定義得，；（2）∵，∴.18．(1)(2)【分析】（1）求出，根據(jù)題意列出不等式組，求解即可；（2）由得，分，兩種情況討論可求得的取值范圍．【詳解】（1）由集合，所以，又，，所以，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）若，則，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，有，要使，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．(1)(2)(3)【分析】（1）利用對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域求解即可；（2）根據(jù)零點(diǎn)的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算即可求解；（3）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）解：要使函數(shù)有意義，則，解得：所以函數(shù)的定義域?yàn)椋海?）解：令，得：即解得：因?yàn)樗院瘮?shù)的零點(diǎn)為.（3）解：且函數(shù)的最小值為即，得即.20．(1)(2)函數(shù)在為單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)可求得的值，再結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù)的值；（2）由（1）由此可得出函數(shù)的解析式，可判斷是奇函數(shù)，判斷出函數(shù)在上是減函數(shù)，任取、且，作差，因式分解后判斷的符號(hào)，即可證得結(jié)論成立；（3）由得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）在為奇函數(shù)，，解得：，

又，解得：，故，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè).（2）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)函數(shù)在為奇函數(shù)，由，判斷函數(shù)在為單調(diào)遞減，證明：，，，，，

，函數(shù)在為單調(diào)遞減，（3）則，在為奇函數(shù)，，又函數(shù)在為單調(diào)遞減，t的不等式的解集為21．(1)(2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為29萬(wàn)元【分析】（1）根據(jù)題意列方程即可.（2）根據(jù)基本不等式，可求出的最小值，從而可求出的最大值.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)件），則，解得，∴．所以每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為（元），∴2020年的利潤(rùn)．（2）∵當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．∴，即萬(wàn)元時(shí)，（萬(wàn)元）．故該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為29萬(wàn)元．22．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，代入計(jì)算可得；（2）因?yàn)閷?duì)任意的，存在，使得，等價(jià)于，先求的最小值，再分類討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，使的最小值滿足小于等于1的條件，求解即可.【詳解】（1）由題意知，，即，所以，故.（2）由（1）知，，所