2024屆湖南省湘潭縣一中、雙峰一中、邵東一中、永州四中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

2024屆湖南省湘潭縣一中、雙峰一中、邵東一中、永州四中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為2的直線在y軸上的截距為（）A． B． C．3 D．52．如圖，在矩形中，，,點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，則的最大值是()A． B． C． D．3．已知，且，，則（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)，，則與向量方向相同的單位向量為（）A． B． C． D．5．在中，已知，且滿足，則的面積為（）A．1 B．2 C． D．6．若函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度變換得到，則的解析式是（）A． B．C． D．7．如圖，是的直觀圖，其中軸，軸，那么是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形8．如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列命題中，正確的命題序號(hào)是①函數(shù)的最小正周期為②函數(shù)的振幅為③函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程為④函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是⑤函數(shù)的解析式為A．③⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③9．過(guò)兩點(diǎn)A，B(，的直線傾斜角是，則的值是（）A．B．3C．1D．10．四邊形，，，，則的外接圓與的內(nèi)切圓的公共弦長(zhǎng)（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)，用，表示所有形如的正整數(shù)集合，其中且，為集合中的所有元素之和，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)______12．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____________．13．設(shè)為實(shí)數(shù)，為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，.記，則的取值范圍為，現(xiàn)定義無(wú)窮數(shù)列如下：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，若，則________.14．設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則______.15．已知是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足，，則________.16．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么使得其前項(xiàng)和大于7.999的的最小值為_(kāi)_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，，底面是矩形，側(cè)面底面,是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為何值時(shí)，等式成立？19．已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，取最大值.（1）若關(guān)于的方程，有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且，求的面積.20．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．21．已知向量，．（1）若，在集合中取值，求滿足的概率；（2）若，在區(qū)間內(nèi)取值，求滿足的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

寫(xiě)出直線的點(diǎn)斜式方程，再將點(diǎn)斜式方程化為斜截式方程即可得解.【題目詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為2，故點(diǎn)斜式方程為：，化簡(jiǎn)得：，故直線在y軸上的截距為.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的方程，解題關(guān)鍵是應(yīng)熟知直線的五種方程形式，屬于基礎(chǔ)題,2、A【解題分析】

把線段最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，建立函數(shù)表達(dá)式，從而求得最值.【題目詳解】設(shè)，，，，，，，，，，的最大值是.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，建立合適的函數(shù)關(guān)系式是解決此題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的分析能力及數(shù)學(xué)建模能力.3、C【解題分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和差的正弦公式計(jì)算可得.【題目詳解】解：因?yàn)?，．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，，所以．所以．故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的正弦公式，屬于中檔題.4、A【解題分析】

由題得，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，利用列方程即可得解.【題目詳解】由題可得：，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，則，解得：或（舍去）所以與向量方向相同的單位向量為故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了單位向量的概念及方程思想，還考查了平面向量共線定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于較易題．5、D【解題分析】

根據(jù)正弦定理先進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)余弦定理求出C的大小，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【題目詳解】在中，已知，∴由正弦定理得，即，∴＝＝，即＝.∵，∴的面積．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角形面積的計(jì)算，結(jié)合正弦定理余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

先化簡(jiǎn)函數(shù)，然后再根據(jù)圖象平移得．【題目詳解】由已知，∴．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)的圖象平移變換，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

利用斜二測(cè)畫(huà)法中平行于坐標(biāo)軸的直線，平行關(guān)系不變這個(gè)原則得出的形狀．【題目詳解】在斜二測(cè)畫(huà)法中，平行于坐標(biāo)軸的直線，平行關(guān)系不變，則在原圖形中，軸，軸，所以，，因此，是直角三角形，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查斜二測(cè)直觀圖還原，解題時(shí)要注意直觀圖的還原原則，并注意各線段長(zhǎng)度的變化，考查分析能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)逐一判定．【題目詳解】由圖象可知，，最大值為，，因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，，由，即可判定錯(cuò)，正確，由得對(duì)稱軸方程為，，故正確；由，，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故錯(cuò)；故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)圖象求正弦型函數(shù)函數(shù)的解析式，及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．9、C【解題分析】試題分析：根據(jù)直線斜率的計(jì)算式有,解得．考點(diǎn)：直線斜率的計(jì)算式．10、C【解題分析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出的外接圓與的內(nèi)切圓的方程，兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，求出弦心距，進(jìn)而可得公共弦長(zhǎng).【題目詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)作交于點(diǎn)，則，故，則為等邊三角形，故，的外接圓方程為，①的內(nèi)切圓方程為，②①-②得兩圓的公共弦所在直線方程為:,的外接圓圓心到公共弦的距離為，公共弦長(zhǎng)為，故答案為：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩圓公共弦長(zhǎng)的求解，關(guān)鍵是要求出兩圓的公共弦所在直線方程，將兩圓方程作差即可得到，是中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

把集合中每個(gè)數(shù)都表示為2的0到的指數(shù)冪相加的形式，并確定，，，，每個(gè)數(shù)都出現(xiàn)次，于是利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【題目詳解】由題意可知，，，，是0，1，2，，的一個(gè)排列，且集合中共有個(gè)數(shù)，若把集合中每個(gè)數(shù)表示為的形式，則，，，，每個(gè)數(shù)都出現(xiàn)次，因此，，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題以數(shù)列新定義為問(wèn)題背景，考查等比數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的理解能力與計(jì)算能力，屬于中等題．12、【解題分析】函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧?3、【解題分析】

根據(jù)已知條件，計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察得出無(wú)窮數(shù)列呈周期性變化，即可求出的值?！绢}目詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，……，無(wú)窮數(shù)列周期性變化，周期為2，所以?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，通過(guò)取整函數(shù)得到數(shù)列，觀察數(shù)列的特征，求數(shù)列中的某項(xiàng)值。14、；【解題分析】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，當(dāng)x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時(shí)，函數(shù)f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.15、【解題分析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)得出，由題中等式可推出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，再利用周期性和奇偶性求出的值.【題目詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，且對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足，，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，，，因此，，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)求值，利用題中條件推導(dǎo)出函數(shù)的周期是解題的關(guān)鍵，在計(jì)算時(shí)充分利用函數(shù)的周期性將自變的值的絕對(duì)值變小，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.16、1【解題分析】

直接利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立不等式，解不等式求出結(jié)果．【題目詳解】解：數(shù)列的通項(xiàng)公式，則：，所以：當(dāng)時(shí)，即：，當(dāng)時(shí)，成立，即：的最小值為1．故答案為：1【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）利用即可證明；（2）由面面垂直的性質(zhì)即可證明．【題目詳解】證明：（1）在四棱錐中，底面是矩形，，又平面，平面；平面；（2）側(cè)面底面，側(cè)面平面，，平面，平面【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間線面平行、垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，得出，解出該不等式即可得出函數(shù)的定義域；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出關(guān)于的方程，解出即可.【題目詳解】（1）由，得，所以，函數(shù)定義域?yàn)?；?）由，得，即，可得：，即，即，或，由于，得，所以，不合題意，所以，當(dāng)時(shí)，等式成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算以及簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)方程的求解，解題時(shí)不要忽略真數(shù)大于零這一條件的限制，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用兩角和差的正弦公式整理可得：，再利用已知可得：（），結(jié)合已知可得：，求得：時(shí)，，問(wèn)題得解.（2）利用正弦定理可得：，結(jié)合可得：，對(duì)邊利用余弦定理可得：，結(jié)合已知整理得：，再利用三角形面積公式計(jì)算得解.【題目詳解】解：（1）.因?yàn)樵谔幦〉米畲笾担裕?即.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以所以，因?yàn)殛P(guān)于的方程有解，所以的取值范圍為．（2）因?yàn)?，，由正弦定理，于是．又，所?由余弦定理得：，整理得：，即，所以，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了兩角和、差的正弦公式應(yīng)用，還考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及方程與函數(shù)的關(guān)系，還考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用及三角形面積公式，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．20、(1);(2).【解題分析】

(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于來(lái)計(jì)算的定義域，最后求解的值域.【題目詳解】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)?，故，消去得．，因?yàn)楣驶蛘撸鶕?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)?，代入得，所?(2)因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，和正弦定理或者余弦定理的使用（此題也可以用余弦定理求解），最后考查是銳角三角形這個(gè)條件的利用．考查的很全面，是一道很好的考題.21、（1）（2）【解題分析】

（1）首先求出包含的基本事件個(gè)數(shù)，由，由向