江蘇南通中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

江蘇南通中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．給定函數(shù)：①；②；③；④，其中奇函數(shù)是（）A．① B．② C．③ D．④2．從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C．“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”3．對(duì)于函數(shù)，在使成立的所有常數(shù)中，我們把的最大值稱為函數(shù)的“下確界”.若函數(shù)，的“下確界”為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知，則使得都成立的取值范圍是().A． B． C． D．5．某社區(qū)義工隊(duì)有24名成員，他們年齡的莖葉圖如下表所示，先將他們按年齡從小到大編號(hào)為1至24號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法抽出6人組成一個(gè)工作小組，則這個(gè)小組年齡不超過55歲的人數(shù)為（）3940112551366778889600123345A．1 B．2 C．3 D．46．如圖所示，向量，則（）A． B． C． D．7．已知直線，直線，若，則直線與的距離為（）A． B． C． D．8．直線的傾斜角大?。ǎ〢． B． C． D．9．有一個(gè)內(nèi)角為120°的三角形的三邊長(zhǎng)分別是m，m+1，m+2，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．1 B． C．2 D．10．等差數(shù)列中，已知，且公差，則其前項(xiàng)和取最小值時(shí)的的值為()A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．命題“，”是________命題（選填“真”或“假”）.12．已知等比數(shù)列的公比為，它的前項(xiàng)積為，且滿足，，，給出以下四個(gè)命題：①；②；③為的最大值；④使成立的最大的正整數(shù)為4031；則其中正確命題的序號(hào)為________13．向量滿足，，則向量的夾角的余弦值為_____．14．已知角滿足，則_____15．中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，且，，則的值為__________．16．若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）若，求二面角的正弦值.18．已知，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且，，，求角A的大?。?9．如圖，已知點(diǎn)P在圓柱OO1的底面⊙O上，分別為⊙O、⊙O1的直徑，且平面．（1）求證：；（2）若圓柱的體積，①求三棱錐A1﹣APB的體積．②在線段AP上是否存在一點(diǎn)M，使異面直線OM與所成角的余弦值為？若存在，請(qǐng)指出M的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．甲、乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練,近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖所示.(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差;(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果,對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià).21．如圖所示，已知的斜邊長(zhǎng)，現(xiàn)以斜邊橫在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到旋轉(zhuǎn)體．（1）當(dāng)時(shí)，求此旋轉(zhuǎn)體的體積；（2）比較當(dāng)，時(shí)，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體表面積的大小．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】試題分析：，知偶函數(shù)，，知非奇非偶，知偶函數(shù)，，知奇函數(shù).考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性定義.2、D【解題分析】

寫出所有等可能事件，求出事件“至少有一個(gè)黑球”的概率為，事件“都是紅球”的概率為，兩事件的概率和為，從而得到兩事件對(duì)立.【題目詳解】記兩個(gè)黑球?yàn)?，兩個(gè)紅球?yàn)?，則任取兩球的所有等可能結(jié)果為：，記事件A為“至少有一個(gè)黑球”，事件為：“都是紅球”，則，因?yàn)?，所以事件與事件互為對(duì)立事件.【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型和對(duì)立事件的判斷，利用兩事件的概率和為1是判斷對(duì)立事件的常用方法.3、A【解題分析】

由下確界定義，，的最小值是，由余弦函數(shù)性質(zhì)可得．【題目詳解】由題意，的最小值是，又，由，得，，，時(shí)，，所以．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義，由新定義明確本題中的下確界就是函數(shù)的最小值．可通過解不等式確定參數(shù)的范圍．4、B【解題分析】

先解出不等式的解集，得到當(dāng)時(shí)，不等式的解集，最后求出它們的交集即可.【題目詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，要想使得都成立，所以取值范圍是，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、B【解題分析】

求出樣本間隔，結(jié)合莖葉圖求出年齡不超過55歲的有8人，然后進(jìn)行計(jì)算即可．【題目詳解】解：樣本間隔為，年齡不超過55歲的有8人，則這個(gè)小組中年齡不超過55歲的人數(shù)為人．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查莖葉圖以及系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，求出樣本間隔是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

根據(jù)平面向量的加法的幾何意義、平面向量的基本定理、平面向量數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合進(jìn)行求解即可.【題目詳解】.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量基本定理及加法運(yùn)算的幾何意義，考查了平面向量數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

利用直線平行的性質(zhì)解得，再由兩平行線間的距離求解即可【題目詳解】∵直線l1：ax+2y﹣1＝0，直線l2：8x+ay+2﹣a＝0，l1∥l2，∴，且解得a＝﹣1．所以直線l1：1x-2y+1＝0，直線l2：1x-2y+3＝0，故與的距離為故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線平行的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．8、B【解題分析】

化簡(jiǎn)得到，根據(jù)計(jì)算得到答案.【題目詳解】直線，即，，，故.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線的傾斜角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、B【解題分析】

由已知利用余弦定理可得，解方程可得的值.【題目詳解】在三角形中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)可得：，解得或（舍）.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，所以，有，所以當(dāng)時(shí)前項(xiàng)和取最小值.故選C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、真【解題分析】當(dāng)時(shí)，成立，即命題“，”為真命題.12、②③【解題分析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，得出，進(jìn)而判斷②③④，即可得到答案.【題目詳解】①中，由等比數(shù)列的公比為，且滿足，，，可得，所以，且所以是錯(cuò)誤的；②中，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以是正確的；③中，由，且，，所以前項(xiàng)之積的最大值為，所以是正確的；④中，，所以正確.綜上可得，正確命題的序號(hào)為②③.故答案為：②③.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)，合理推算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.13、【解題分析】

通過向量的垂直關(guān)系，結(jié)合向量的數(shù)量積求解向量的夾角的余弦值．【題目詳解】向量，滿足，，可得：，，向量的夾角為，所以．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的余弦函數(shù)值的求法．考查計(jì)算能力．屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式以及兩角和與差的三角公式，化簡(jiǎn)求解即可．【題目詳解】解：角滿足，可得

則．

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和與差的三角公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．15、4【解題分析】

利用余弦定理變形可得，從而求得結(jié)果.【題目詳解】由余弦定理得：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用的變形，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解題分析】因?yàn)閿?shù)列是“調(diào)和數(shù)列”，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此的最大值為1．點(diǎn)睛：本題考查創(chuàng)新意識(shí)，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解與轉(zhuǎn)化，由“調(diào)和數(shù)列”的定義及已知是“調(diào)和數(shù)列”，得數(shù)列是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的性質(zhì)可化簡(jiǎn)已知數(shù)列的和，結(jié)合基本不等式求得最值．本題難度不大，但考查的知識(shí)較多，要熟練掌握各方面的知識(shí)與方法，才能正確求解．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出，，從而平面平面，由此能證明直線平面；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【題目詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，，是的中點(diǎn)，，，，，平面平面，平面，直線平面．（2）解：，，底面，，是的中點(diǎn)，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，1，，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得.設(shè)平面的法向量，，，則，取，得.設(shè)二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．18、【解題分析】

由正弦定理得，即得，再利用余弦定理求解.【題目詳解】因?yàn)樵谌切蜛BC中，由正弦定理得．又因?yàn)?，所以得，由余弦定理得．又三角形?nèi)角在．故角A為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19、（1）見解析；（2）①，②見解析【解題分析】

（1）根據(jù)，得出平面，故而；（2）①根據(jù)圓柱的體積計(jì)算，根據(jù)計(jì)算，，代入體積公式計(jì)算棱錐的體積；②先證明就是異面直線與所成的角，然后根據(jù)可得，故為的中點(diǎn)．【題目詳解】（1）證明：∵P在⊙O上，AB是⊙O的直徑，平面又，平面，又平面，故．（2）①由題意，解得，由，得，，∴三棱錐的體積．②在AP上存在一點(diǎn)M，當(dāng)M為AP的中點(diǎn)時(shí)，使異面直線OM與所成角的余弦值為．證明：∵O、M分別為的中點(diǎn)，則，就是異面直線OM與所成的角，又，在中，．∴在AP上存在一點(diǎn)M，當(dāng)M為AP的中點(diǎn)時(shí)，使異面直線OM與所成角的余弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算以及異面直線所成的角，屬于中檔題．20、(1)答案見解析；(2)答案見解析.【解題分析】試題分析：（1）由圖象可得甲、乙兩人五次測(cè)試的成績(jī)分別為，甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.根據(jù)平均數(shù)，方差的公式代入計(jì)算得解(2)由可知乙的成績(jī)較穩(wěn)定.從折線圖看,甲的成績(jī)基本呈上升狀態(tài),而乙的成績(jī)上下波動(dòng),可知甲的成績(jī)?cè)诓粩嗵岣?而乙的成績(jī)則無(wú)明顯提高.試題解析：(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測(cè)試的成績(jī)分別為甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.=13,=13,×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-1