新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運(yùn)算6.2.4向量的數(shù)量積第1課時(shí)向量的數(shù)量積一課件新人教A版必修第二冊(cè)

第六章

平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運(yùn)算6.2.4向量的數(shù)量積第1課時(shí)向量的數(shù)量積(一)必備知識(shí)?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測(cè)?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)目標(biāo)?定方向1．通過物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義．2．會(huì)求平面向量的數(shù)量積．通過理解平面向量數(shù)量積的物理背景，學(xué)習(xí)向量的夾角及數(shù)量積的概念．通過學(xué)習(xí)進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．必備知識(shí)?探新知

向量的數(shù)量積

知識(shí)點(diǎn)

1．向量的夾角(2)性質(zhì)：當(dāng)θ＝_____時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝______時(shí)，a與b反向．(3)向量垂直：如果a與b的夾角是_______，我們說a與b垂直，記作__________.0π0πa⊥b想一想：零向量與任一非零向量有沒有夾角？提示：在向量夾角定義中強(qiáng)調(diào)了“非零向量”，而向量又不能避開零向量．事實(shí)上，由于零向量的方向不確定，故零向量與任一向量的夾角就沒有什么意義．教材中只有規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2．向量的數(shù)量積條件非零向量a與b，它們的夾角為θ結(jié)論數(shù)量_______________叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)記法向量a與b的數(shù)量積記作a·b，即a·b＝_______________規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為_____[提醒]

本質(zhì)：數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，其大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角都有關(guān)，符號(hào)由夾角的余弦值的符號(hào)決定．|a||b|cosθ|a||b|cosθ0想一想：實(shí)數(shù)與向量的積與數(shù)量積有何區(qū)別？提示：實(shí)數(shù)與向量的積仍是向量；向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)，而不是向量．向量a在向量b上練一練：1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夾角為45°，則a·b＝(

)C2．已知|a|＝4，|b|＝3，且a·b＝－6，則向量a與b的夾角為(

)A．60° B．120°C．135° D．150°B又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.a4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)若兩非零向量的夾角為θ，(2)若a，b是非零向量，它們的夾角是θ，則①a⊥b?______________.②若a與b同向，則a·b＝_______；若a與b反向，則a·b＝_________.③a·a＝|a|2或|a|＝________.常用此性質(zhì)進(jìn)行實(shí)數(shù)與向量的轉(zhuǎn)化．

④cosθ＝________.⑤|a·b|_____|a||b|.a·b＝0|a||b|－|a||b|≤關(guān)鍵能力?攻重難

(1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角為30°，分別求a·b.題|型|探|究題型一數(shù)量積的運(yùn)算典例1－25[解析]

(1)①當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角為0°.∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10.若a與b反向，則它們的夾角為180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②當(dāng)a⊥b時(shí)，它們的夾角為90°.∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.[歸納提升]

向量數(shù)量積的運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cosθ.(2)注意向量共線時(shí)θ＝0°或180°，垂直時(shí)θ＝90°，三種特殊情況．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?3題型二向量的夾角

已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？典例2因?yàn)閨a|＝|b|＝2，所以平行四邊形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°.[歸納提升]

求兩個(gè)向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作兩個(gè)向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出．A．30° B．60°C．120° D．150°對(duì)點(diǎn)練習(xí)?C題型三投影向量

已知|a|＝3，|b|＝1，向量a與向量b的夾角為120°，求：(1)向量a在向量b上的投影向量；(2)向量b在向量a上的投影向量．典例3[解析]

(1)∵|b|＝1，∴b為單位向量．∴向量a在向量b上的投影向量為|a|[歸納提升]

投影向量的求法方法一：用幾何法作出恰當(dāng)?shù)拇咕€，直接得到投影向量．

(1)已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．(2)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是邊BC的中點(diǎn)，求：對(duì)點(diǎn)練習(xí)?[解析]

設(shè)a，b的夾角為θ，∵a·b＝|a||b|cosθ.拓|展|應(yīng)|用向量數(shù)量積性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

已知a，b是兩個(gè)非零向量．(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a與b的夾角；(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角．典例4[解析]

(1)因?yàn)閍·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6.又|a|＝3，|b|＝4，

已知非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，求a·b.[解析]

依題意，以a，b為鄰邊的平行四邊形是矩形，對(duì)點(diǎn)練習(xí)?課堂檢測(cè)?固雙基1．若|m|＝4，|n|