高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用習(xí)題及詳解

高考總復(fù)習(xí)含詳解答案高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用習(xí)題及詳解一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋x在x＝1處的切線與直線y＝2x平行，則a＝()A．0 B．1 C．2 D．3[答案]B[解析]由條件知，f′(1)＝3×12－2a×∴a＝1.設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為()A．4 B．－eq\f(1,4) C．2 D．－eq\f(1,2)[答案]A[解析]∵y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，∴g′(1)＝2，∵f(x)＝g(x)＋x2，∴f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4.2．把長(zhǎng)100cm的鐵絲分成兩段，各圍成一個(gè)正方形，當(dāng)兩正方形面積之和最小時(shí)，兩段長(zhǎng)分別為()A．20,80 B．40,60C．50,50 D．30,70[答案]C[解析]設(shè)一段長(zhǎng)為x，則另一段長(zhǎng)為100－x，∴S＝(eq\f(x,4))2＋(eq\f(100－x,4))2＝eq\f(1,16)[x2＋(100－x)2]＝eq\f(1,16)(2x2－200x＋10000)令S′＝0得eq\f(1,16)(4x－200)＝0，∴x＝50.3．在內(nèi)接于半徑為R的半圓的矩形中，周長(zhǎng)最大的矩形的邊長(zhǎng)為()A.eq\f(R,2)和eq\f(3,2)R B.eq\f(\r(5),5)R和eq\f(4\r(5),5)RC.eq\f(4,5)R和eq\f(7,5)R D．以上都不對(duì)[答案]B[解析]設(shè)矩形垂直于半圓直徑的邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為2eq\r(R2－x2)，則l＝2x＋4eq\r(R2－x2)(0＜x＜R)，l′＝2－eq\f(4x,\r(R2－x2))，令l′＝0，解得x＝eq\f(\r(5),5)R.當(dāng)0＜x＜eq\f(\r(5),5)R時(shí)，l′＞0；當(dāng)eq\f(\r(5),5)R＜x＜R時(shí)，l′＜0.所以當(dāng)x＝eq\f(\r(5),5)R時(shí)，l取最大值，即周長(zhǎng)最大的矩形的邊長(zhǎng)為eq\f(\r(5),5)R，eq\f(4\r(5),5)R.4．(文)圓柱的表面積為S，當(dāng)圓柱體積最大時(shí)，圓柱的底面半徑為()A.eq\r(\f(S,3π)) B.eq\r(3πS)C.eq\f(\r(6πS),6π) D．3π·eq\r(6πS)[答案]C[解析]設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，∴S＝2πr2＋2πrh，∴h＝eq\f(S－2πr2,2πr)又V＝πr2h＝eq\f(rS－2πr3,2)，則V′＝eq\f(S－6πr2,2)，令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，r＝eq\f(\r(6πS),6π).內(nèi)接于半徑為R的球并且體積最大的圓錐的高為()A．R B．2RC.eq\f(4,3)R D.eq\f(3,4)R[答案]C[解析]設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2∴r2＝2Rh－h(huán)2∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h(huán)2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2，令V′＝0得h＝eq\f(4,3)R.5．要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高為()A.eq\f(\r(3),3)cm B.eq\f(10\r(3),3)cmC.eq\f(16\r(3),3)cm D.eq\f(20\r(3),3)cm[答案]D[解析]設(shè)圓錐的高為x，則底面半徑為eq\r(202－x2)，其體積為V＝eq\f(1,3)πx(400－x2)(0＜x＜20)，V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝eq\f(20\r(3),3).當(dāng)0＜x＜eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′＞0；當(dāng)eq\f(20\r(3),3)＜x＜20時(shí)，V′＜0由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1,6a－b＝－9))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝3))，∴當(dāng)直線a＋b＝z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1,3)時(shí)，zmin＝2.若a>2，則方程eq\f(1,3)x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有()A．0個(gè)根 B．1個(gè)根C．2個(gè)根 D．3個(gè)根[答案]B[解析]設(shè)f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax2＋1，則f′(x)＝x2－2ax，∵a>2，∴f′(x)≤0?0≤x≤2a又(0,2)(0,2a)，故f(xf(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(2)＝eq\f(11,3)－4a<0.故f(x)的圖象在(0,2)上與x軸有一個(gè)交點(diǎn)．二、填空題11．用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為21，該長(zhǎng)方體的最大體積是________．[答案]3m[解析]設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x，則長(zhǎng)為2x，高為eq\f(9,2)－3x(0<x<2)，故體積為V＝2x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－3x))＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，∵0<x<2，∴x＝1.∴該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為2m、1m、1.5m時(shí)，體積最大，最大體積Vmax＝3m3[點(diǎn)評(píng)]注意長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是正值，且長(zhǎng)、寬、高的和的4倍為總長(zhǎng)度．請(qǐng)?jiān)倬毩?xí)下題：用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積．[解析]設(shè)容器的短邊長(zhǎng)為xm，則另一邊長(zhǎng)為(x＋0.5)m，高為eq\f(14.8－4x－4x＋0.5,4)＝3.2－2x.由3.2－2x>0和x>0，得0<x<1.6，設(shè)容器的容積為ym3，則有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)，整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－eq\f(4,15)(不合題意，舍去)，∴高＝3.2－2＝1.2，容積V＝1×1.5×1.2＝1.8答：高為1.2m時(shí)容積最大，最大容積為1.8m312將邊長(zhǎng)為1m的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s＝eq\f(梯形的周長(zhǎng)2,梯形的面積)，則s的最小值是________．[答案]eq\f(32\r(3),3)[解析]設(shè)DE＝x，則梯形的周長(zhǎng)為：3－x，梯形的面積為：eq\f(1,2)(x＋1)·eq\f(\r(3),2)(1－x)＝eq\f(\r(3),4)(1－x2)∴s＝eq\f(3－x2,\f(\r(3),4)1－x2)＝eq\f(4\r(3),3)·eq\f(x2－6x＋9,1－x2)，x∈(0,1)，設(shè)h(x)＝eq\f(x2－6x＋9,1－x2)，h′(x)＝eq\f(－6x2＋20x－6,1－x22).令h′(x)＝0，得：x＝eq\f(1,3)或x＝3(舍)，∴h(x)最小值＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝8，∴s最小值＝eq\f(4\r(3),3)×8＝eq\f(32\r(3),3).13．(2011·江西會(huì)昌檢測(cè))曲邊梯形由曲線y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所圍成，過(guò)曲線y＝x2＋1，x∈[1,2]上一點(diǎn)P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個(gè)面積最大的普通梯形，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(13,4)))[解析]設(shè)P(x0，x02＋1)，x0∈[1,2]，則易知曲線y＝x2＋1在點(diǎn)P處的切線方程為y－(x02＋1)＝2x0(x－x0)，∴y＝2x0(x－x0)＋x02＋1，令g(x)＝2x0(x－x0)＋x02＋1，g(1)＋g(2)＝2(x02＋1)＋2x0(1－x0＋2－x0)＝－2x02＋6x0＋2，∴S普通梯形＝eq\f(g1＋g2,2)×1＝－x02＋3x0＋1＝－(x0－eq\f(3,2))2＋eq\f(13,4)，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，eq\f(13,4))時(shí)，S普通梯形最大．14．已知球的直徑為d，求當(dāng)其內(nèi)接正四棱柱體積最大時(shí)，正四棱柱的高為_(kāi)_______．[答案]eq\f(\r(3),3)d[解析]如右圖所示，設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為x，高為h，由于x2＋x2＋h2＝d2，∴x2＝eq\f(1,2)(d2－h(huán)2)．∴球內(nèi)接正四棱柱的體積為V＝x2·h＝eq\f(1,2)(d2h－h(huán)3)，0<h<d.V′＝eq\f(1,2)(d