寧波市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)試題（解析版）

寧波市2021-2022學(xué)年第二學(xué)期期末試題高二數(shù)學(xué)試卷說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘，本次考試不得使用計算器，請考生將所有題目都做在答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】C2.若（，i為虛數(shù)單位），則（）A.2 B.0 C. D.1【答案】B3.甲、乙、丙、丁四位大學(xué)生將作為志愿者對A、B兩個場館進行志愿服務(wù)，每個場館安排兩名志愿者，每名志愿者只去一個場館，則不同的安排方法種數(shù)為（）A.6 B.12 C.18 D.24【答案】A4.在“2022年北京冬季奧運會”閉幕后，某中學(xué)學(xué)生會對本校高一年級1000名學(xué)生收看比賽的情況用隨機抽樣方式進行調(diào)查，樣本容量為50，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：觀看場數(shù)01234567觀看人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比從表中可以得出正確的結(jié)論為（）A.表中m的數(shù)值為8B.估計觀看比賽場數(shù)的中位數(shù)為3C.估計觀看比賽場數(shù)的眾數(shù)為2D.估計觀看比賽不低于4場的學(xué)生約為720人【答案】B5.已知，則的值為（）A.3 B. C.4 D.【答案】A6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A.B.C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的圖象向右平移個單位長度后的圖象關(guān)于原點對稱【答案】D7.已知平面向量滿足，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D8.已知函數(shù)有兩個極值點，且，則下列選項正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在二項式的展開式中，下列說法正確的是（）A.每項系數(shù)之和為1 B.二項式系數(shù)之和為729C.含有常數(shù)項 D.含有x的一次冪項【答案】AC10.已知函數(shù)，若存在實數(shù)，有，則下列選項一定正確的是（）A.B.C.在內(nèi)有兩個零點D.若，則在區(qū)間內(nèi)有零點【答案】BD11.甲箱中有3個白球和3個黑球，乙箱中有2個白球和4個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球.以分別表示從甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以分別表示從乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件與事件互斥 B.事件與事件相互獨立C. D.【答案】AD12.已知實數(shù)，且，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD第Ⅱ卷（非選擇題共0分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則_______．【答案】14.已知，則_______．【答案】##15.已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是_______．【答案】16.如圖，D，E，F(xiàn)分別是邊長為4的正三角形三邊的中點，將，，分別沿向上翻折至與平面均成直二面角，得到幾何體．則二面角的余弦值為_____；幾何體的外接球表面積為_____．【答案】①②.##四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.為助力新冠肺炎疫情后的經(jīng)濟復(fù)蘇，某電商平臺為某工廠的產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場．為了對該產(chǎn)品進行合理定價，采用不同的單價在平臺試銷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：單價元銷量萬件（1）求單價的平均值；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算得與具有較強的線性相關(guān)程度，并由最小二乘估計求得關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，求的值．附：【答案】（1）（2）18.在①；②．這兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答．在中，角的對邊分別為，的面積為，______．（1）求角的大??；（2）若，求角的取值范圍．【答案】（1）（2）19.為了解學(xué)校學(xué)生的睡眠情況，決定抽取20名學(xué)生對其睡眠時間進行調(diào)查，統(tǒng)計如下：性別/睡眠時間足8小時不足8小時足7小時不足7小時男生351女生173（1）記“足8小時”為睡眠充足，“不足8小時”為睡眠不充足，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“睡眠充足與否”與性別有關(guān)；睡眠情況性別合計男生女生睡眠充足睡眠不充足合計（2）現(xiàn)從抽出的11位女生中再隨機抽取3人，記X為睡眠時間“不足8小時足7小時”的女生人數(shù)，求X的分布列和均值．附：；0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格見解析，沒有90%的把握認為“睡眠充足與否”與性別有關(guān)（2）分布列見解析，【小問1詳解】由題意，填表如下：睡眠情況性別合計男生女生睡眠充足314睡眠不充足61016合計91120由表得．因為，所以沒有90%的把握認為“睡眠充足與否”與性別有關(guān)【小問2詳解】由題意，睡眠時間“不足8小時足7小時”的女生人數(shù)共7人，X可取0，1，2，3，且X服從超幾何分布，，，即X0123P．20.如圖，在三棱錐中，底面．（1）證明：平面平面；（2）若，直線與平面所成角的大小為，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】證明：因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．【小問2詳解】解：過點A作，垂足為H，連接．由（1）知平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，所以就是直線與平面所成角，即．在中，，故．在中，．在中，因為，所以，即，所以為等腰直角三角形，所以．21.己知函數(shù)，其中．（1）當時，解關(guān)于的不等式；（2）若，，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）22.已知函數(shù)．（1）求證：；（2）若為函數(shù)的極值點，①求實數(shù)a的取值范圍；②求證：．【答案】（1）證明見解析（2）①；②證明見解析【小問1詳解】要證，只需證，即證．設(shè)，因為，所以，即成立．小問2詳解】①，當時，令，則∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則只有一個極小值點，符合題意當時，設(shè)，則．∴在上單調(diào)遞增．又因為，對，取滿足為，則所以有唯一實根∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則只有一個極小值點，符合題意當時，令，解