五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第22講 牛吃草問題與鐘表問題（教師版）

第22講牛吃草問題與鐘表問題內(nèi)容概述牛吃草問題是一類特殊的工程問題，鐘表問題是一類特殊的行程問題．牛吃草問題的難點(diǎn)在于草的總量有變化，因此要注意單位“1”的選?。莆甄姳韱栴}的相關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)將掐針成角度問題轉(zhuǎn)化為指針聞的環(huán)形追及問題或相遇問題，學(xué)會(huì)用比例分析兩個(gè)速度不同的鐘表之間的時(shí)間對(duì)比關(guān)系．典型問題興趣篇1．有一片牧場(chǎng)，草每天都在均勻地生長(zhǎng)．如果在牧場(chǎng)上放養(yǎng)24頭牛，那么6天就把草吃完了；如果只放養(yǎng)21頭牛，那么8天才把草吃完．請(qǐng)問：(1)要使得草永遠(yuǎn)吃不完，最多可以放養(yǎng)多少頭牛？(2)如果放養(yǎng)36頭牛，多少天可以把草吃完？答案：（1）12頭（2）3天分析：設(shè)一頭牛一天吃1份草，24頭牛6天一共吃草：24×6=144份；21頭牛8天吃草：21×8=168份。因此草每天的生長(zhǎng)量為（168-144）÷2=12份，草地原有的草量為：144-12×6=72份。（1）因?yàn)槊刻扉L(zhǎng)出12份草，要使草永遠(yuǎn)吃不完，每天就只能吃長(zhǎng)出來的這些草，所以最多可以放養(yǎng)12頭牛。（2）如果放養(yǎng)36頭牛，那么可以讓其中的12頭牛每天把新長(zhǎng)的草吃完，剩下的牛吃原有的草，因此要把草地吃完需要：72÷（36-12）=3天.2．學(xué)校有一片均勻生長(zhǎng)的草地，可以供18頭牛吃40天，或者供12頭牛與36只羊吃25天，如果1頭牛每天的吃草量相當(dāng)于3只羊每天的吃草量．請(qǐng)問：這片草地讓17頭牛與多少只羊一起吃，剛好16天吃完？答案：48只分析：設(shè)一頭牛一天吃1份草，18頭牛40天共吃了：18×40=720份，24頭牛25天共吃了：24×25=600份。因此草每天的生長(zhǎng)量為（720-600）÷（40-25）=8份，草地原有的草量為：720-8×40=400份。原有草和16天中長(zhǎng)出的草共有：400+8×16=528份，需要528÷16=33頭牛，因此羊有：（33-17）×3=48只。3．一片均勻生長(zhǎng)的草地，如果有15頭牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初這15頭牛在草地上吃了2天后，又來了2頭牛，則總共7天就可以把草吃完．如果起初這15頭牛吃了2天后，又來了5頭牛，再過多少天可以把草吃完？答案：4天分析：設(shè)一頭牛一天吃1份草，15頭牛8天共吃了：15×8=120份，如果15頭牛先吃2天，來2頭牛后再吃5天，一共吃了：15×2+（15+2）×5=115份。。因此草每天的生長(zhǎng)量為（120-115）÷（8-7）=5份，草地原有的草量為：120-8×5=80份.現(xiàn)在有15頭牛，讓其中的5頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，那么吃了2天后，草地還剩：80-（15-5）×2=60份，又來了5頭牛后，還可以再吃：60÷（20-5）=4天.4．有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示上午10點(diǎn)整，問：(1)多少分鐘后，分針與時(shí)針第一次重合？(2)再經(jīng)過多少分鐘，分針與時(shí)針第二次重合？答案：（1）分（2）分分析：（1）10點(diǎn)整時(shí)，分針與時(shí)針相差50個(gè)格，當(dāng)分針與時(shí)針第一次重合時(shí)，路程差為50格，因此50÷（1-）=分鐘后，分針與時(shí)針第一次重合。（2）從第一次重合到第二次重合路程差為60格，60÷（1-）=分5．小悅早上6點(diǎn)半起床，趕到學(xué)校時(shí)發(fā)現(xiàn)手表上的時(shí)針和分針恰好第一次張開成一條直線，那么小悅到達(dá)學(xué)校的時(shí)間是幾點(diǎn)幾分？答案：7點(diǎn)分分析：當(dāng)時(shí)針和分針恰好第一次張開成一條直線時(shí)，，路程差為30+2.5=32.5格，32.5÷（1-）=分，因此小悅到達(dá)學(xué)校的時(shí)間是7點(diǎn)分。6．阿奇在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間開始解一道數(shù)學(xué)題，當(dāng)時(shí)手表的時(shí)針和分針正好成一條直線．當(dāng)阿奇解完這道題時(shí)，時(shí)針和分針剛好第一次重合．請(qǐng)問：阿奇解這道題用了多少分鐘？答案：分分析：路程差為30格，30÷（1-）=分7．下午6點(diǎn)多時(shí)冬冬吃完晚飯開始看動(dòng)畫片，動(dòng)畫片開始時(shí)他看手表，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針的夾角為110°．在新聞聯(lián)播前動(dòng)畫片放完了，冬冬又看手表，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針的夾角仍是110°．那么動(dòng)畫片一共放了多少分鐘？答案：40分分析：路程差為110+110=220度，220÷（6-）=40分8．在早晨6點(diǎn)到7點(diǎn)之間有一時(shí)刻，鐘面上的“6”字恰好在時(shí)針與分針的正中央．請(qǐng)問：這一時(shí)刻是6點(diǎn)多少分？答案：分分析：路程和為30格，30÷（1+）=分，因此這一刻是6點(diǎn)分9．小悅的手表比家里的鬧鐘走得要快一些．這天中午12點(diǎn)時(shí)，小悅把手表和鬧鐘校準(zhǔn)，但當(dāng)鬧鐘走到下午1點(diǎn)時(shí)，手表顯示的時(shí)間是1點(diǎn)5分．請(qǐng)問：(1)當(dāng)鬧鐘顯示當(dāng)天下午5點(diǎn)的時(shí)候，手表顯示的時(shí)間是幾點(diǎn)幾分？(2)當(dāng)手表顯示當(dāng)天下午6點(diǎn)半的時(shí)候，鬧鐘顯示的時(shí)間是幾點(diǎn)幾分？答案：（1）5點(diǎn)25分（2）6點(diǎn)分析：（1）12點(diǎn)校準(zhǔn)，兩者時(shí)間一樣，鬧鐘到下午1點(diǎn)，走了1小時(shí)，手表1:05，說明手表每小時(shí)比鐘表多走5分鐘（1）鬧鐘5:00時(shí)，手表分針多走了5個(gè)5分鐘，就是5:25。（2）手表從下午1點(diǎn)5分到6點(diǎn)半共走了5小時(shí)25分鐘，因?yàn)槭直砻啃r(shí)比鬧鐘多走5分鐘，所以鬧鐘比手表慢25分鐘，因此鬧鐘顯示的時(shí)間為6:00.10．一個(gè)快鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快1分鐘，一個(gè)慢鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢3分鐘，現(xiàn)在將兩個(gè)鐘同時(shí)調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，結(jié)果在24小時(shí)內(nèi)，快鐘顯示9點(diǎn)整時(shí)，慢鐘恰好顯示8點(diǎn)整．請(qǐng)問：這個(gè)時(shí)候的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是多少？答案：8點(diǎn)45分鐘分析：快鐘的速度=61分鐘／小時(shí)，慢鐘的速度=57分鐘／小時(shí)

，快鐘與慢鐘的速度差=4分鐘／小時(shí)

，9點(diǎn)-8點(diǎn)=1小時(shí)=60分鐘,60÷4=15分，9點(diǎn)-15分鐘=8點(diǎn)45分鐘。拓展篇1．有一片牧場(chǎng)，草每天都在均勻地生長(zhǎng)．如果在牧場(chǎng)上放養(yǎng)18頭牛，那么10天能把草吃完；如果只放養(yǎng)24頭牛，那么7天就把草吃完了，請(qǐng)問：(1)如果放養(yǎng)32頭牛，多少天可以把草吃完？(2)要放養(yǎng)多少頭牛，才能恰好14天把草吃完？答案：（1）5天（2）14頭分析：設(shè)一頭牛一天吃1份草，18頭牛10天一共吃草：18×10=180份；24頭牛7天吃草：24×7=168份。因此草每天的生長(zhǎng)量為（180-168）÷（10-7）=4份，草地原有的草量為：180-4×10=140份。（1）從32頭牛中選出4頭牛專吃每天新長(zhǎng)的草，則剩28頭牛吃原有的草可吃：140÷28=5天（2）要14天吃完，除必須有4頭牛吃新長(zhǎng)草外，還需140÷14=10頭吃原有草，則共需：10+4=14頭牛。2．進(jìn)入冬季后，有一片牧場(chǎng)上的草開始枯萎，因此草會(huì)均勻地減少．現(xiàn)在開始在這片牧場(chǎng)上放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃完需要30天．如果有20只羊，這片牧場(chǎng)可以吃多少天？答案：40天分析：本題羊在吃草的同時(shí)，草也在不斷的減少，這也是牛吃草問題的一種。設(shè)一只羊一天吃1份草，38只羊25天一共吃草：38×25=950份；30只羊30天吃草：30×30=900份。因此草每天的減少量為（950-900）÷（30-25）=10份，草地原有的草量為：950+25×10=1200份?，F(xiàn)在有20只羊，那么每天草地除了被羊吃掉20份草外，還會(huì)自己減少10份，因此這片牧場(chǎng)可以吃：1200÷（20+10）=40天。3．一個(gè)露天水池底部有若干同樣大小的進(jìn)水管，這天蓄水時(shí)恰好趕上下雨，每分鐘注入水池的雨水量相同．如果打開24根進(jìn)水管，5分鐘能注滿水池；如果打開12根進(jìn)水管，8分鐘能注滿水池；如果打開8根進(jìn)水管，多少分鐘能將水池注滿？答案：10分分析：設(shè)每根進(jìn)水管每分鐘的進(jìn)水量為1份，24根進(jìn)水管5分鐘的總進(jìn)水量為：24×5=120份；12根排水管8分鐘的總排水量為：12×8=96份。第一次比第二次多進(jìn)水，是因?yàn)榈谝淮伪鹊诙紊傧掠?分鐘，因此每分鐘下雨量為：（120-96）÷（6-3）=8份，于是水池的容量為：120+5×8=160份，所以需要160÷（8+8）=10分鐘能將水池注滿。4．把一片均勻生長(zhǎng)的大草地分成三塊，面積分別為5公頃、15公頃和25公頃．如果第一塊草地可以供10頭牛吃30天，第二塊草地可以供28頭牛吃45天，那么第三塊草地可以供多少頭牛吃50天？答案：46頭分析：設(shè)一頭牛一天吃1份草5公頃草地10頭牛吃30天→15公頃草地30頭牛吃30天，則15公頃草地的生長(zhǎng)速度為：（28×45-30×30）÷（45-30）=24份；原草15公頃對(duì)應(yīng)的份數(shù)為：30×30-30×24=180份；則25公頃對(duì)應(yīng)的份數(shù)為：180×（24÷15）=300份，25公頃的生長(zhǎng)速度為：24×（25÷15）=40份。用40頭牛吃新草，吃了50天，25公頃原草吃50天需要的牛數(shù)為：300÷50=6頭，40+6=46頭。5．一個(gè)時(shí)鐘現(xiàn)在顯示的時(shí)間是3點(diǎn)整，請(qǐng)問：(1)多少分鐘后，時(shí)針與分針第一次重合？(2)再經(jīng)過多少分鐘后，時(shí)針與分針第一次張開成一條直線？答案：（1）分（2）分分析：(1)分針?biāo)俣让糠昼?小格，時(shí)針?biāo)俣让糠昼娦「瘢?點(diǎn)整時(shí)，分針比時(shí)針落后15格，當(dāng)它們第一次重合時(shí)，路程差是15格，因此時(shí)間為：15÷（1-）=分鐘(2)當(dāng)時(shí)針與分針第一次長(zhǎng)成一條直線時(shí)，路程差為30格，因此時(shí)間為：30÷（1-）=分6．在9點(diǎn)23分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角是多少度？從這一時(shí)刻開始，經(jīng)過多少分鐘，時(shí)針和分針第一次垂直？答案：143.5度；分分析：9點(diǎn)整時(shí)分針落后時(shí)針45格。到9點(diǎn)23分時(shí)，分針前進(jìn)了23格。設(shè)分針?biāo)叩穆烦虨?2份，他們的路程差為23×=格，因此分針落后時(shí)針45-=格，他們之間的夾角為×6=143.5度。當(dāng)時(shí)針與分針第一次垂直時(shí)，分針落后時(shí)針15格，從9點(diǎn)整算起，他們的路程差為30格，設(shè)這個(gè)路程差為11份，那么分針?biāo)哌^的路程是30×=格，從9點(diǎn)23算起，經(jīng)過了-23=分鐘，即從這一刻開始，經(jīng)過分鐘，時(shí)針與分針第一次垂直。7．小悅晚上去超市買東西，到的時(shí)候是7點(diǎn)24分，買完出來的時(shí)候仍然是7點(diǎn)多，且分針和時(shí)針?biāo)鶌A的角度與到超市時(shí)相同，請(qǐng)問：小悅出來的時(shí)候是7點(diǎn)幾分？買東西一共花了多少分鐘？答案：7點(diǎn)分分分析：7點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針35格，到7點(diǎn)24分，分針?biāo)叩穆烦虨?4格，他們的路程差為24×=22格，此時(shí)分針落后時(shí)針35-22=13格。出來時(shí)分針與時(shí)針?biāo)鶌A的角度與到超市時(shí)相同，則此時(shí)分針超過時(shí)針13格，這段時(shí)間內(nèi)他們的路程差為13×2=26格。設(shè)這個(gè)路程差為11份，那么分針?biāo)叩穆烦虨?6×=格，又+24=，小悅出來的時(shí)候是7點(diǎn)分，買東西一共花了分。8．圖22-1中是一個(gè)特殊的鐘，分針每80分鐘走一圈，分針走8圈時(shí)針就走一圈，從分針與時(shí)針重合開始，到分針與時(shí)針第三次成直角需要多少分鐘？答案：分分析：分針的速度等于360/80度/分鐘，時(shí)針的速度等于360/640度/分鐘第三次成直角分針恰好比時(shí)針多走450度所以時(shí)間=450/(360/80-360/640)=800/7分鐘=分鐘9．小明上了一節(jié)課，時(shí)間不到l小時(shí)，他發(fā)現(xiàn)下課時(shí)與上課時(shí)手表上時(shí)針與分針的位置剛好對(duì)調(diào)．請(qǐng)問：這一堂課上了多少分鐘？答案：分分析：分針與時(shí)針的路程和為60格，設(shè)這個(gè)路程和為13份，那么分針?biāo)哌^的路程為60×=格，即這一堂課上了分。10．在早晨6點(diǎn)到7點(diǎn)之間有一個(gè)時(shí)刻，鐘面上的數(shù)字“5”恰好在時(shí)針與分針的正中央，請(qǐng)問：這時(shí)是6點(diǎn)幾分？答案：分分析：從5點(diǎn)整算起，分針與時(shí)針?biāo)哌^的路程和為85格，設(shè)這個(gè)路程和為13份，則分針?biāo)叩穆烦虨?5×=格，又-60=，此時(shí)是6點(diǎn)分。11．(1)小悅的鬧鐘比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每小時(shí)快3分鐘．一天晚上11點(diǎn)，小悅把鐘校準(zhǔn)，并把鬧鈴定在第二天早上6點(diǎn)．試問：當(dāng)鬧鈴響起時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是幾點(diǎn)幾分？(2)阿奇的手表比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每小時(shí)慢4分鐘．一天早上8點(diǎn)，阿奇將表校準(zhǔn)，試問：當(dāng)這只表指向下午3點(diǎn)的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是幾點(diǎn)幾分？答案：（1）早上5點(diǎn)40分（2）下午3點(diǎn)30分。分析：（1）小悅的鬧鐘比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每小時(shí)快3分鐘，則分針的速度為63÷60=格/分，鬧鐘響起時(shí)，分針走了7×60=420格，經(jīng)過了420÷=400分，因此鬧鐘響起時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是早上5點(diǎn)40分。（2）手表分針的速度為56÷60=格/分，從早上8點(diǎn)到這只表指向下午3點(diǎn)時(shí)，表的分針走了7×60=420格，經(jīng)過了420÷=450分，因此標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是下午3點(diǎn)30分。12．如圖22.2所示，某科學(xué)家設(shè)計(jì)了一只怪鐘，這只怪鐘每晝夜10小時(shí)，每小時(shí)100分鐘．當(dāng)這只鐘顯示5點(diǎn)時(shí)，實(shí)際上是中午12點(diǎn)．問：當(dāng)這只鐘第一次顯示6點(diǎn)75分時(shí)，實(shí)際上是什么時(shí)間？答案：下午4點(diǎn)12分分析：5點(diǎn)相當(dāng)于12小時(shí)，那么1點(diǎn)相當(dāng)于2.4小時(shí)，6.75相當(dāng)于6.75×2.4=16.2（小時(shí)），即16時(shí)12分，就是下午4點(diǎn)12分．超越篇1．第一、二、三號(hào)牧場(chǎng)的面積依次為3公頃、5公頃、7公頃，三個(gè)牧場(chǎng)上的草長(zhǎng)得一樣密，且生長(zhǎng)得一樣快．有兩群牛，第一群牛2天將一號(hào)牧場(chǎng)的草吃完，又用5天將二號(hào)牧場(chǎng)的草吃完．在這7天里，第二群牛剛好將三號(hào)牧場(chǎng)的草吃完．如果第一群牛有15頭，那么第二群牛有多少頭？答案：15頭分析：設(shè)每公頃原有草量為1單位，每公頃每天生長(zhǎng)草量為x單位，每頭牛每天吃掉草量為y單位。根據(jù)條件，第一群牛2天吃完一號(hào)牧場(chǎng)，得到等式：1*3公頃+x*2天*3公頃=y*15頭*2天→3+6x=30y，根據(jù)條件，第一群牛又用5天吃完二號(hào)牧場(chǎng)，得到等式：

1*5公頃+x*7天*5公頃=y*15頭*5天→5+35x=75y注意，牛吃一號(hào)牧場(chǎng)的時(shí)候，二號(hào)牧場(chǎng)的草仍然在生長(zhǎng)，所以，這里草的增長(zhǎng)量是按7天計(jì)算。聯(lián)立求解→x=0.125y=0.125

設(shè)，第二群牛有z頭。根據(jù)條件，第二群牛7天吃完三號(hào)牧場(chǎng)，得到等式：1*7公頃+x*7天*7公頃=y*z頭*7天→7+49x=7yz→z=（1+7x）/y由于x，y值已經(jīng)求出，故z=15，因此第二群牛有15頭。2．鐘面上會(huì)出現(xiàn)時(shí)針與分針重合的情況，也會(huì)出現(xiàn)時(shí)針與分針關(guān)于鐘面左右對(duì)稱的情況．請(qǐng)問：(1)距5點(diǎn)最近的“時(shí)針與分針重合”的時(shí)刻是幾點(diǎn)幾分？(2)距5點(diǎn)最近的“時(shí)針與分針左右對(duì)稱”的時(shí)刻是幾點(diǎn)幾分？答案：（1）5點(diǎn)分（2）4點(diǎn)分分析：（1）距5點(diǎn)最近的點(diǎn)數(shù)是4和6，因此是4點(diǎn)多或5點(diǎn)多，4點(diǎn)多時(shí)分針在4-5之間，分鐘數(shù)在20-25之間，距5點(diǎn)35-40分鐘，5點(diǎn)多時(shí)分針在5-6之間，分鐘數(shù)在25-30之間，距5點(diǎn)25-30分鐘，5點(diǎn)多時(shí)距5點(diǎn)更近，設(shè)為x分，則25+，解得，距5點(diǎn)最近的“時(shí)針與分針重合”的時(shí)刻是5點(diǎn)分。（2）)距5點(diǎn)最近的“時(shí)針與分針左右對(duì)稱”的時(shí)刻是4點(diǎn)多或5點(diǎn)多，分鐘數(shù)大于30，為4點(diǎn)半多或5點(diǎn)半多，距5點(diǎn)分別為不到1個(gè)小時(shí)和半個(gè)小時(shí)多，因此4點(diǎn)時(shí)更近，設(shè)為分，則，解得，此時(shí)為4點(diǎn)分。3．現(xiàn)在的時(shí)間在10點(diǎn)與11點(diǎn)之間，如果在6分鐘后表的分針的位置恰好與3分鐘前時(shí)針的位置方向相反，那么現(xiàn)在的時(shí)間是幾點(diǎn)幾分？答案：10點(diǎn)15分分析：根據(jù)時(shí)針與分針的速度可知，時(shí)針每分走0.5度，分針每分走6度．據(jù)題意可知，等量關(guān)系為：這個(gè)時(shí)刻的3分鐘前時(shí)針走的度數(shù)=這個(gè)時(shí)刻6分鐘后分針走的度數(shù)+180，把相關(guān)數(shù)值代入求解即可．設(shè)鐘表這個(gè)時(shí)刻表示的時(shí)間是10點(diǎn)x分，依題意，得

300+0.5（x-3）=6（x+6）+180，

解得x=15（分鐘）．

即表示的時(shí)間是10點(diǎn)15分．4．某工廠的一只不準(zhǔn)的時(shí)鐘需要69分鐘（標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間）時(shí)針與分針才能重合一次，工人每天的正常工作時(shí)間是8小時(shí)，在此期間內(nèi)，每工作一小時(shí)付給工資4元，如果超出規(guī)定時(shí)間就算加班，加班每小時(shí)付給工資6元．如果一個(gè)工人照此鐘工作8小時(shí)，他實(shí)際上應(yīng)得到工資多少元？答案：34.6元分析：根據(jù)題意先求出正常鐘表的時(shí)針和分針重合一次需要的時(shí)間，再求出不準(zhǔn)確的鐘表走8小時(shí)，實(shí)際上是走的時(shí)間，最后即可求出答案正常鐘表的時(shí)針和分針重合一次需要的時(shí)間：12÷（12-1）=小時(shí)，小時(shí)=分鐘，不準(zhǔn)確的鐘表走8小時(shí)，實(shí)際上所走的時(shí)間：69×8÷=（小時(shí)），應(yīng)得工資為：4×8+6×（-8）=32+2.6=34.6（元）5．有兩只舊鐘，分別對(duì)它們進(jìn)行觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)一只鐘的分針與時(shí)針重合一次用64分鐘，另一只鐘的分針與時(shí)針重合一次用66分鐘，現(xiàn)在把兩只鐘都在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間0:00校準(zhǔn)．試問：當(dāng)它們?cè)俅纬霈F(xiàn)在鐘面上同一位置，且分針與時(shí)針重合（不一定都指向12點(diǎn)），是幾天幾小時(shí)幾分鐘之后？答案：16天3小時(shí)12分鐘分析：重合一次用64和66分鐘的鐘每小時(shí)分別有64×（1-）=，66×（1-）=分鐘，64分鐘的鐘走12小時(shí)需要×12=704分鐘，64分鐘的鐘比66分鐘的鐘每小時(shí)少走-=分鐘，要少出多走12小時(shí)的時(shí)間需要704÷=384小時(shí)，×38