數(shù)學(xué)九年級下冊專題28.1 銳角三角函數(shù)-重難點(diǎn)題型（人教版）（教師版）

專題28.1銳角三角函數(shù)-重難點(diǎn)題型【人教版】【知識點(diǎn)1銳角三角函數(shù)】在中，，則的三角函數(shù)為定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)【知識點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)值】三角函數(shù)30°45°60°1【題型1緊扣定義求三角函數(shù)值】【例1】（2021春?蕭山區(qū)月考）Rt△ABC在中，若AB=3AC，則cosB＝63或3【分析】分AB為斜邊、AB為直角邊兩種情況，根據(jù)勾股定理和余弦的定義計算即可．【解答】解：設(shè)AC＝x，則AB=3x當(dāng)AB為斜邊時，BC=AB則cosB=BC當(dāng)AB為直角邊時，BC=AB2則cosB=AB綜上所述，cosB的值為63或3【變式1-1】（2020?南沙區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，tanA=125，則sinB＝5【分析】根據(jù)正切函數(shù)，可得AC，根據(jù)勾股定理求得斜邊AB的長，然后利用三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，tanA=12BCAC=12∴AC＝5．由勾股定理，得AB=AsinB=AC故答案為：513【變式1-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB=35，求tan【分析】根據(jù)互為余角的三角函數(shù)關(guān)系，可得sinA，根據(jù)正弦等于對邊比斜邊，可得BC與AB的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得AC的長再根據(jù)正切等于對邊比鄰邊，可得答案．【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB=3sinA＝cosB=BC設(shè)BC＝3x，AB＝5x，勾股定理得AC=AB2由正切等于對邊比鄰邊，得tanA=BC【變式1-3】（2020?廈門校級模擬）如圖，在正方形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，BE＝3AE，試求sin∠ECM的值．【分析】依題意設(shè)AE＝x，則BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，先證明△CEM是直角三角形，再利用三角函數(shù)的定義求解．【解答】解：設(shè)AE＝x，則BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC=(3x)2+(4x)EM=x2CM=(2x)2+(4x)∴EM2+CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM=EM【題型2利用余角轉(zhuǎn)換求三角函數(shù)值】【例2】（2021?東莞市校級一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD垂直于AB，tan∠DCB=34，AC＝12，則BC＝【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等得到∠BCD＝∠A，根據(jù)正切的定義計算即可【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠BCD＝∠A，在Rt△ACB中，∵tanA＝tan∠BCD=3∴BC=34AC故答案為9．【變式2-1】（2021秋?文登市校級期中）如圖，若sinα=25，則cosβ＝2【分析】根據(jù)兩個角的和等于90°，可得這兩個角互余，根據(jù)一個角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【解答】解：由α+β＝90°，得α、β互為余角，由一個角的余弦等于它余角的正弦，得cosβ＝sinα=2故答案為：25【變式2-2】（2020秋?常州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D．給出下列四個結(jié)論：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正確的結(jié)論有①②③④．【分析】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用銳角三角函數(shù)的定義可列式進(jìn)行逐項判斷．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，∴sinα＝sinB，故①正確；sinβ＝sinC，故②正確；∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC∴sinB＝cosC，故③正確；∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，∴sinα＝cos∠β，故④正確；故答案為①②③④．【變式2-3】觀察下列等式：①sin30°=12，cos60°②sin45°=22，cos45°③sin60°=32，cos30°（1）根據(jù)上述規(guī)律，計算sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．（2）計算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．【分析】（1）根據(jù)已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，根據(jù)同角的正弦和余弦之間的關(guān)系即可求解；（2）利用（1）的結(jié)論即可直接求解．【解答】解：（1）∵根據(jù)已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°＝1+1+…1+＝44+=89【題型3構(gòu)造直角求三角函數(shù)值】【例3】（2020?大慶模擬）如圖，延長RT△ABC斜邊AB到點(diǎn)D，使BD＝AB，連接CD，若tan∠BCD=13，則tanA．32 B．1 C．13 【分析】若想利用tan∠BCD的值，應(yīng)把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位線，可分別得到所求的角的正切值相關(guān)的線段的比．【解答】解：過B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE＝90°．∴BE∥AC．∵AB＝BD，∴AC＝2BE．又∵tan∠BCD=13，設(shè)BE＝x，則AC＝2∴tanA=BC故選：A．【變式3-1】（2020秋?肥城市期中）在銳角三角形ABC中，若tanA＝3，那么cosA的值為（）A．13 B．31010 C．10【分析】構(gòu)造直角三角形，由tanA＝3，表示出CD、AD，利用勾股定理求出AC，再根據(jù)余弦的意義求出結(jié)果即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，∵tanA＝3，∴CDAD設(shè)AD＝k，則CD＝3k，在Rt△ACD中，AC=AD∴cosA=AD故選：C．【變式3-2】（2020?南充模擬）把一副三角板按如圖方式放置，含30°角的頂點(diǎn)D在等腰直角三角板的斜邊BC的延長線上，∠E＝90°，BC＝DE，則sin∠ADB的值是（）A．34 B．33 C．24【分析】作AF⊥BD于F，由等腰直角△ABC得AF和BC的關(guān)系式；再由直角△AED可得AD和DE的關(guān)系式；再結(jié)合BC＝DE從而計算得到答案．【解答】解：作AF⊥BD于F，∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°且∠BAC＝90°，∴AF=1∵含30°角的頂點(diǎn)D在等腰直角三角板的斜邊BC的延長線上，∴∠ADE＝30°，∴cos∠ADE=DE∴sin∠ADB=AF故選：A．【變式3-3】（2020?菏澤）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC邊上一點(diǎn)，若tan∠DBA=15，則tan∠A．56 B．23 C．1 【分析】首先過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，可得△ADE是等腰直角三角形，由tan∠DBA=15，易得BE＝5DE＝5AE，又由在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，可求得AE，AD的長，繼而求得CD的長，然后求得tan∠【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵tan∠DBA=1∴BE＝5DE，∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴AE＝DE，∴BE＝5AE，又∵AC＝6，∴AB＝62，∴AE+BE＝AE+5AE＝62，∴AE=2∴AD=2AE∴CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝4．∵在Rt△BCD中，∠C＝90°，CD＝4，BC＝AC＝6，∴tan∠CBD=CD故選：B．【題型4利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】【例4】（2021秋?綦江區(qū)校級月考）如果30°＜∠A＜45°，那么sinA的范圍是（）A．0＜sinA＜12 B．12＜sinA＜22 C．22＜sin【分析】由sinα隨銳角α的增大而增大且30°＜∠A＜45°，結(jié)合特殊銳角的三角函數(shù)值可得答案．【解答】解：∵sinα隨銳角α的增大而增大，且30°＜∠A＜45°，∴12＜sinA故選：B．【變式4-1】（2020秋?新樂市期中）sin58°、cos58°、cos28°的大小關(guān)系是（）A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58° C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°【分析】先把正弦化成余弦，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律：銳角余弦值隨著角度的增大而減小進(jìn)行排列大?。窘獯稹拷猓簊in58°＝cos32°．∵58°＞32°＞28°，∴cos58°＜cos32°＜cos28°，∴cos58°＜sin58°＜cos28°．故選：C．【變式4-2】（2020秋?余姚市期末）已知0＜α＜45°，關(guān)于角α的三角函數(shù)的命題有：①0＜sinα＜22，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)銳角函數(shù)的正弦是增函數(shù)，余弦是減函數(shù)，正切是增函數(shù)，可得答案．【解答】解：由0＜α＜45°，得0＜sinα＜22，故cosα＞sinα，故②錯誤；sin2α＝2sinαcosα＜2sinα，故③錯誤；0＜tanα＜1，故④正確；故選：B．【變式4-3】（2020?佛山）如圖，已知∠ABC和射線BD上一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），且點(diǎn)P到BA、BC的距離為PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，試比較PE、PF的大?。唬?）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是銳角，且α＞β．試判斷PE、PF的大小，并給出證明．【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義，根據(jù)兩個角的正弦的大小進(jìn)行比較即可得到結(jié)果；（2）運(yùn)用兩個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦值的變化規(guī)律進(jìn)行比較．【解答】解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP=PE在Rt△BPF中，sin∠FBP=PF又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根據(jù)（1）得sin∠EBP=PEBP=sinα，sin∠FBP又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．【題型5利用特殊角求三角函數(shù)值】【例5】（2020秋?濟(jì)寧期末）在△ABC中，∠C，∠B為銳角，且滿足|sinC?22|+（32?cosB）A．100° B．105° C．90° D．60°【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵|sinC?22|+（32?cos∴sinC=22，cosB∴∠C＝45°，∠B＝30°，∴∠A的度數(shù)為：180°﹣45°﹣30°＝105°．故選：B．【變式5-1】（2020秋?伊川縣期末）若（3tanA﹣3）2+|2cosB?3|＝0，則△ABCA．直角三角形 B．等邊三角形 C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出∠A＝60°，∠B＝30°，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵（3tanA﹣3）2+|2cosB?3∴3tanA＝3，2cosB=3則tanA=3，cosB=故∠A＝60°，∠B＝30°，則∠C＝90°，故△ABC的形狀是直角三角形．故選：A．【變式5-2】（2020秋?永嘉縣校級期末）計算：（1）cos245°?cos60°1?sin30°+tan2（2）3tan30°?1【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．【解答】解：（1）原式＝（22）2?121?=1=?5（2）原式＝3×33?=3?2+2＝23?【變式5-3】（2020秋?錫山區(qū)校級月考）（1）已知α是銳角，且sin（α+15°）=32，求tan（2）在△ABC中，若（cosA?12）2+|1﹣tanB|＝0，求∠【分析】（1）根據(jù)60°的正弦值為32（2）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出∠A、∠B，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案．【解答】解：（1）∵sin60°=3∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴tanα＝tan45°＝1；（2）∵（cosA?12）2+|1﹣tan∴cosA?12=∴cosA=12，tan∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°．【題型6三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】【例6】（2020?道里區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以BC為斜邊作等腰直角三角形BCD，E是△BCD內(nèi)一點(diǎn)，連接BE和EC，BE＝AB，∠BEC+12∠BAC＝180°．若EC＝1，tan∠ABC=233，則線段BD【分析】連接AD，并延長DA到G，使得AG＝EG＝1，連接BG，證明△ABG≌△EBC（SAS），得BG＝BC，再設(shè)BF=3x，在Rt△BGF中，用勾股定理列出x的方程，求得x便可求得BD【解答】解：連接AD，并延長DA到G，使得AG＝EC＝1，連接BG，∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，BF＝CF，∠BAF=12∠∵∠BEC+12∠BAC＝180°，∠BAD+∠∴∠BAG＝∠BEC，∵BA＝BE，∴△ABG≌△EBC（SAS），∴BG＝BC，∵tan∠ABC=2∴設(shè)BF=3x，則AF＝2x，BG＝BC＝23x∵BG2＝BF2+FG2，∴(23解得，x＝1，或x＝﹣0.2（舍去），∴BF=3∴BD=2BF=故答案為：6．【變式6-1】（2020秋?香坊區(qū)校級期中）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，過點(diǎn)B作BQ∥AC，在BQ上取一點(diǎn)D，連接CD，AD，若2∠ADB﹣∠ACD＝180°，BD=6，則AD＝23【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝45°，過D作DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延長線于F，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BF＝DF＝BE＝DE，設(shè)AB＝BC＝x，得到CD＝AC=2x，求得CF=3【解答】解：∵△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，∵BQ∥AC，∴∠ABQ＝∠BAC＝45°，如圖，過D作DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延長線于F，則四邊形DEBF是正方形，∴BF＝DF＝BE＝DE，∵BD=6∴BF＝DF＝BE＝DE=3∵2∠ADB﹣∠ACD＝180°，∴2（∠ADC+∠BDC）﹣∠ACD＝180°，∴2∠ADC+2∠BDC﹣∠ACD＝180°．∵BQ∥AC，∴∠BDC＝∠ACD．∴2∠ADC+∠ACD＝180°．即∠ADC+∠ADC+∠ACD＝180°．∵∠DAC+∠ADC+∠ACD＝180°，∴∠ADC＝∠DAC，∴AC＝DC．設(shè)AB＝BC＝x，∴CD＝AC=2x∴CF=3+在Rt△CDF中，CD2＝DF2+CF2，即（2x）2＝（3）2+（3+x）2∴x=3∴AB=3∴AE＝3，∴AD=AE2故答案為：23．【變式6-2】（2020?南崗區(qū)校級模擬）如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝12，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，tan∠ADB＝3，過D作ED⊥BD，且DE＝BD，連接BE，AE，EC，點(diǎn)F為EC中點(diǎn)，連接DF，則DF的長為2．【分析】如圖，作BM⊥AC于M，EH⊥AC于H，在HM上截取HN＝AH