方程與不等式問(wèn)題綜合（解析版）-浙教版2022年初三數(shù)學(xué)期末壓軸題匯編

【玩轉(zhuǎn)壓軸題】必考10：方程與不等式問(wèn)題綜合（解析版）

一、單選題

1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖巧妙證明了勾股定理.圖1是由四個(gè)全等的直角三角

形和中間一個(gè)小正方形組成，連結(jié)8",CE,DF,AG,得到一個(gè)“飛鏢”圖形，如圖

2,若陰影部分的面積是空白部分面積的2倍，則tanZWBE的值為（）

D.夜

【答案】B

【分析】

分別求得空白部分面積和陰影部分，根據(jù)題意列方程組，解方程組即可求得空，進(jìn)

BE

而可知tanZWBE的值.

【詳解】

S&BEH=5BE-HE,S&BEC=/BE-CF,

又YBE=CF,

S2

△ABUFKrL^-2BECF=2-BE,

2

s1泊=4sABEH+HE?=HE+2BE-HE,

S瞰=4S^BEC=2BE~,

???陰影部分的面積是空白部分面積的2倍,

2BE2=2(//E2+2BE-HE),

BE2W0,

(—)2+2(—)=1,

BEBE

解得：轉(zhuǎn)=血-1或者第=-夜「I(舍)，

BEBE

HFr-

tanNBHE=—=J2—1.

BE

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，正切的定義，掌握以

上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，一次函數(shù)y=2x+3與y軸相交于點(diǎn)A,與x軸相交于點(diǎn)B,在直線A3上取

一點(diǎn)尸(點(diǎn)尸不與A,8重合)，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為點(diǎn)Q,連結(jié)PO,若APQ。

【答案】C

【分析】

設(shè)p(t,2t+3),則Q(t,0),分三種情況分析解答：當(dāng)p在第一象限時(shí)，當(dāng)p在第二象限

時(shí)，當(dāng)p在第三象限時(shí).

【詳解】

3

解：一次函數(shù)N=2X+3,令尸0,則尸3；令產(chǎn)0,則g2x+3,解得廣-彳，

3

."(0,3),?(-1,0),

設(shè)p(f,2f+3),則。(r,0),

當(dāng)p在第一象限時(shí)，

s.o=goQPQ=；-Q+3),

，當(dāng)=：f(2f+3),解得六二3士班(負(fù)值舍去)，

1624

.?⑵+3=5,

2

?口(-3+3亞3+3艮

??-------?-------);

42

當(dāng)p在第二象限時(shí),

試卷第2頁(yè)，共47頁(yè)

%QO=；°QPQ=3(T)⑵+3)

913

A—=-H).(2Z+3),解得六j

??*2/+3=,，

2

33

???P(--,一)；

42

當(dāng)p在第三象限時(shí)，

S^=^OQ-PQ=~(-t)-[-[2t+3)],

彳g(T)-[-(2r+3)],解得卷(正值舍去)，

.?.2，+3=.，

2

?P,-3-3,^23—3-72.

42

綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)共3個(gè)，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論思想的

運(yùn)用.

3.某地居民生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每月用水量不超過(guò)17立方米，每立方米“元；超過(guò)部

分每立方米(“+L2)元.該地區(qū)某用戶上月用水量為20立方米，則應(yīng)繳水費(fèi)為()

A.20〃元B.(204+24)元C.(17a+3.6)元D.(204+3.6)元

【答案】D

【分析】

分兩部分求水費(fèi)，一部分是前面17立方米的水費(fèi)，另一部分是剩下的3立方米的水費(fèi)，

最后相加即可.

【詳解】

解：20立方米中，前17立方米單價(jià)為“元，后面3立方米單價(jià)為(a+1.2)元，

二應(yīng)繳水費(fèi)為17什3(a+1.2)=20a+3.6(元)，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是階梯水費(fèi)的問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是理解其收費(fèi)方式，能求出不同段的水

費(fèi)，本題較基礎(chǔ)，重點(diǎn)考查了學(xué)生對(duì)該種計(jì)費(fèi)方式的理解與計(jì)算方法等.

4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清灑一斗直粟十斗，酷酒一斗直粟

三斗.今持粟三斛，得酒五斗，問(wèn)清、耨酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10

斗谷子，一斗疆酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問(wèn)清酒、醋酒各

幾斗？如果設(shè)清酒x斗，醋酒y斗，那么可列方程組為（）

x+y=30x+y=30

x+y=5\x+y=5

10x+3y=30[3x+10｝；=303=5D-*上=5

103.310

【答案】A

【分析】

根據(jù)“現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，此題

得解.

【詳解】

x+y=5

解：依題意，得:

10x+3y=30

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組和數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二

元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

5.某學(xué)校組織師生去衢州市中小學(xué)素質(zhì)教育實(shí)踐學(xué)校研學(xué).已知此次共有〃名師生乘

坐，”輛客車(chē)前往目的地，若每輛客車(chē)坐40人，則還有15人沒(méi)有上車(chē)；若每輛客車(chē)坐

45人，則剛好空出一輛客車(chē).以下四個(gè)方程：①40m+15=45（機(jī)-1）；②

40m-15=45（m-l）；③空=三一1；④智=《+1.其中正確的是（）

40454045

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【分析】

首先要理解清楚題意，知道總的客車(chē)數(shù)量及總的人數(shù)不變，然后采用排除法進(jìn)行分析從

而得到正確答案.

【詳解】

解：根據(jù)總?cè)藬?shù)列方程，應(yīng)是45膽+15=50（m-1）,

根據(jù)客車(chē)數(shù)列方程，應(yīng)該為：—=—+1.

4045

①440帆+15=45（加一1）：④二^=々+1,都正確，

4045

故選：B.

試卷第4頁(yè)，共47頁(yè)

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，能夠根據(jù)不同

的等量關(guān)系列方程.

6.在《幾何原本》中，記載了一種將長(zhǎng)方形化為等面積正方形的方法：如圖，延長(zhǎng)長(zhǎng)

方形A6CO的邊A。到E,使DE=DC,以AE為直徑作。O,延長(zhǎng)8交。。于點(diǎn)”,

則ZW'AOQE,則以?！檫叺恼叫巍G"的面積等于長(zhǎng)方形ABC。的面積.若

。。=3,點(diǎn)E是尸中點(diǎn)，則0C的長(zhǎng)為()

【答案】A

【分析】

先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得=產(chǎn)，設(shè)QE=DC=x(x>0),從而可得DH=2x,

AD=6+x,再代入DH2=4).DE可得一個(gè)關(guān)于龍的一元二次方程，解方程即可得.

【詳解】

解：???四邊形DFGH是正方形，

:.DH=DF,

,?,點(diǎn)E是中點(diǎn)，

DE=-DF=-DH,

22

設(shè)DE=DC=x{x>0),則DH=2x,

QO￡>=3,

/.OE—OD+OE=3+x,

由同圓半徑相等得：Q4=OE=3+x,

:.AD=OA+OD=6+x,

,,DH?=ADDE，

(2x)2=x(6+x),

解得x=2或x=0(不符題意，舍去)，

則。C=2,

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了同圓半徑相等、正方形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握同

圓半徑相等是解題關(guān)鍵.

7.如圖，四邊形A8CQ和AEFG均為正方形，點(diǎn)G在對(duì)角線3。上，點(diǎn)廠在邊上,

連結(jié)8E,記入4￡?和4瓦燈的面積分別為「和邑.若仞=9,2&=3邑，則BE的長(zhǎng)為

()

9I-r—

A.3B.-V2C.4D.3V2

【答案】D

【分析】

過(guò)點(diǎn)G作MNLBC,垂足為點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)M,先根據(jù)正方形的性質(zhì)證得四邊形ABNM

為矩形，由此可得BN=AM,MN=AB=9,再根據(jù)NGMO=90。，NAOB=45。可設(shè)MG

=MZ)=x,再分別證明△絲ADAG,zFGNGGAM,進(jìn)而表示出相關(guān)線段長(zhǎng)，最

后根據(jù)25=3S?列出方程求解即可求得答案.

【詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作MNLBC,垂足為點(diǎn)M交AO于點(diǎn)M,

;四邊形488為正方形，

：.AD=AB=9,ZBAD=90°,AD//BC,

：.ZADB=ZABD=45°,

,：MNLBC,ADIIBC,

：.NGMD=NGMA=/GNB=90°,

試卷第6頁(yè)，共47頁(yè)

又?.?/區(qū)4。=90。，

???四邊形ABNM為矩形,

:.BN=AM,MN=AB=9,

???/GMO=90。，/ADB=45°,

JNMGD=NMDG=45°,

?,?設(shè)MG=MO=JG

則BN=AM=AD—MD=9—x,GN=MN—MG=9—x,

:?AM=GN,

???四邊形4EFG為正方形，

：.AE=AG,ZEAG=ZAGF=90°f

：.ZEAG=ZDABt

：.ZEAB+NBAG=NOAG+/BAG,

；?NEAB=NDAG,

在AABE和aAOG中，

AB=AD

<NBAE=ZDAG,

AE=AG

???△BAE/△ZMG(SAS),

?.S]=SgBE=?BE—DG9

,/ZAGF=ZGMA=90°,

：.ZAGM+NFGN=NAGM+NGAM=90°,

:?/FGN=/GAM,

在△FGN和AGAM中，

4FGN=/GAM

<GN=AM,

/GNF=/AMG

:nFGN空&GAM(ASA),

:?FN=GM=x,

：.BF=BN-FN=9-x-x=9-2xf

2S,=3S2,

2x-ADMG=3x-BFGN

229

???2x-x9x=3x-(9-2x)(9-x),

22

解得：％=3,々=13.5（不符合題意，舍去）,

：.MG=MD=3f

1

JDG=[MG^+MD=3A/2，

:?BE=DG=3五，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三

角形的性質(zhì)，勾股定理以及一元二次方程的解法等知識(shí)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)以及能夠作

出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

8.現(xiàn)要在一個(gè)長(zhǎng)為40m,寬為26m的矩形花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花

草.如圖所示，要使種植花草的面積為864m,那么小道的寬度應(yīng)是（）

A.1B.2C.2.5D.3

【答案】B

【分析】

設(shè)小道的寬度應(yīng)為X”?,則剩余部分可合成長(zhǎng)為（40-2x）m,寬為（26-x）m的矩形，

根據(jù)矩形的面積計(jì)算公式，結(jié)合種植花草的面積為864m2,即可得出關(guān)于x的一元二次

方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)小道的寬度應(yīng)為xm,則剩余部分可合成長(zhǎng)為（40-2x）m,寬為（26-x）m的矩形,

依題意得：（40-2x）（26-x）=864,

整理,得Y-46X+88=0.

解得，X]=2,x2=44.

-■-44>40（不合題意，舍去），

.*.%=2.

答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為2米.

故選：B.

試卷第8頁(yè)，共47頁(yè)

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

9.已知二次函數(shù).\，=以2+法+。的圖象與X軸交于點(diǎn)（-2,0）、（3,0）,且1"<2,與y

軸的負(fù)半軸相交.則下列關(guān)于“、/>的大小關(guān)系正確的是（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b<a<0

【答案】B

【分析】

由二次函數(shù)y=ox，6x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)（-2,0）、（a。），可得c=?-4?,由拋

物線與y軸負(fù)半軸相交，可知。>0,匕>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，另一根1<玉<2利用

[a+b+c<0

函數(shù)值得不等式組/“八解不等式得〃>%>（）;可得“人滿足的條件是

[4〃+20+c>0

a>b>0.

【詳解】

二次函數(shù)y=ox2+bx+c的圖象與X軸交于點(diǎn)（-2,0）、（不0）,

，4a—2Z?+c=0,

?二c=2b-4a,

由拋物線與y軸負(fù)半軸相交，（-2,0）、（苦,0）,

。>0

由4>0,拋物線開(kāi)口向上，

:另一根1<%<2,

.匕+c<0

?[4a+2b+c>0'

.（3b-3a<0

[z?>o

a>b>0f

a,b滿足的條件是。>b>0,

故選擇：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，解不等式組，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)利用函數(shù)值的

特征組成不等式組是解題關(guān)鍵.

10.某物流公司的快遞車(chē)和貨車(chē)同時(shí)從甲地出發(fā)，以各自的速度勻速向乙地行駛，快遞

車(chē)到達(dá)乙地后卸完物品再另裝貨物，裝卸貨物共用45min,立即按原路以另一速度勻

速返回，直至與貨車(chē)相遇.已知貨車(chē)的速度為60km/h,兩車(chē)之間的距離y(km)與貨車(chē)

行駛時(shí)間x(h)之間的函數(shù)圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①快遞車(chē)從甲地到乙地的速度為

100km/h；②甲、乙兩地之間的距離為120km；③圖中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3.75,75)；④快

遞車(chē)從乙地返回時(shí)的速度為90km/h.其中正確的是()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①③

【答案】C

【詳解】

由圖和題意可知：當(dāng)行駛3小時(shí)的時(shí)候，貨車(chē)行駛的路程為60x3=180km,快遞車(chē)到達(dá)

乙地，此時(shí)兩車(chē)相距120km.

(1)甲、乙兩地相距：120+180=300(km)；(2)快遞車(chē)從甲地到乙地的速度為：300

-3=100(km/時(shí))；故①正確，②錯(cuò)誤；

由圖和題意可知：圖象中AB段反映的是快遞車(chē)在裝卸貨物的45分鐘期間，貨車(chē)?yán)^續(xù)

向乙地行駛，兩車(chē)間的距離在縮小的情況，

4545

.?.點(diǎn)B的橫坐標(biāo)應(yīng)為：3+—=3.75,而點(diǎn)B的縱坐標(biāo)應(yīng)為：120-60x^=75,即點(diǎn)

6060

B的坐標(biāo)為475,?),故③正確；

由圖和題意可知：圖象中BC段反映的是快遞車(chē)從開(kāi)始返回直至與貨車(chē)相遇時(shí)的情形,

設(shè)快遞車(chē)返回時(shí)速度為"km/時(shí)，則有：60x(4.25-3.75)+4(4.25—3.75)=75,解得：

a=90(km/時(shí))，故④正確；

綜上所述，正確結(jié)論是①③④，故選C.

考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用.

二、填空題

11.有兩種消費(fèi)券：A券，滿60元減20元，B券,滿90元減30元，即一次購(gòu)物大于

等于60元、90元，付款時(shí)分別減20元，30元.小敏有一張A券，小聰有一張B券,

試卷第10頁(yè)，共47頁(yè)

他們都購(gòu)了一件標(biāo)價(jià)相同的商品，各自付款，若能用券時(shí)用券，這樣兩人共付款150

元，則所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)是_____元.

【答案】100或85.

【分析】

設(shè)所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)是尤元，然后根據(jù)兩人共付款150元的等量關(guān)系，分所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)

小于90元和大于90元兩種情況，分別列出方程求解即可.

【詳解】

解：設(shè)所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)是x元，則

①所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)小于90元，

x-20+x=150,

解得x=85；

②所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)大于90元，

x-20+x-30=150,

解得x=100.

故所購(gòu)商品的標(biāo)價(jià)是100或85元.

故答案為100或85.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確運(yùn)用分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵.

12.已知二次函數(shù)〉=（，"-2）/+2"7氏+,"-3的圖象與*軸有兩個(gè)交點(diǎn)（士,0）,（&,0）,則下

列說(shuō)法在確的有：.（填序號(hào)）

①該二次函數(shù)的圖象一定過(guò)定點(diǎn)（-1,-3）；

②若該函數(shù)圖象開(kāi)口向下，則〃，的取值范圍為：

③當(dāng)機(jī)>2且噴/2時(shí)，y的最小值為〃1-3；

④當(dāng)，〃>2,且該函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)補(bǔ)為滿足-4<%<-3,-1<%<0時(shí)，

，〃的取值范圍為：=35<〃?<2?1.

94

【答案】②③④

【分析】

由拋物線的開(kāi)口方向判斷。與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷。與。的關(guān)系，然

后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：①y=（m-2）x2+2mx+m-3-m（x+1）2-2^-3,

當(dāng)戶一1時(shí)，）=一5,故該函數(shù)圖象一定過(guò)定點(diǎn)（-1,-5）,故①錯(cuò)誤;

②若該函數(shù)圖象開(kāi)口向下，則〃?-2<0,且A>0,

A

△=〃-4ac=20m-24>0,解得：m>—,且,〃<2,

故，〃的取值范圍為：—<in<2,故②正確；

③當(dāng)，〃>2,函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，當(dāng)0SxW2時(shí)，，y的最小值在％=0處取得，

故）,的最小值為：（，〃-2）x0+2,"x0+"?-3=/〃-3,故③正確；

④當(dāng)，〃>2,戶4時(shí)，y=9〃?-35,x=-3時(shí)，y=4m-2\,x=0時(shí)，y=m-3,當(dāng)m-1時(shí)，y=-5,

當(dāng)_4Vxi<-3時(shí),則（9/n-35）（4/M-21）<0,

解得：?35<〃?<2弓1；

94

同理-1<及<0時(shí)，，">3,

故，”的取值范圍為：=35<機(jī)<2:1，故④正確；

故答案為：②③④.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系,會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求為與。的關(guān)系，

以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用.

13.如圖1是某小車(chē)側(cè)面示意圖，圖2是該車(chē)后備箱開(kāi)起側(cè)面示意圖，具體數(shù)據(jù)如圖所

示（單位：cm）J@LAC=BD,AF/!BE,sinZBAF=0.8,箱蓋開(kāi)起過(guò)程中，點(diǎn)4,C,產(chǎn)

不隨箱蓋轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)B,D,E繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)相同角度，分別到點(diǎn)的

位置，氣簧活塞桿隨之伸長(zhǎng)C。'已知直線8EJ.QE；CZy=2C。，那么A5的長(zhǎng)為

cm,S'的長(zhǎng)為cm.

【答案】20V7；40.

【分析】

過(guò)點(diǎn)B作BF_LA尸交AF于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)A作AG人BK交8K于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)B'作BH人AG交

試卷第12頁(yè)，共47頁(yè)

RF4

AG于點(diǎn)”，根據(jù)由？的益飛可設(shè)於=以，則AB=5x,則有8G=.=3x,

BW=GK=28e-3x,根據(jù)BE"B'E',AF//BE,由BE旋轉(zhuǎn)一定角度后得到8'E'可知,

旋轉(zhuǎn)角是90，可得？的2BAH,則可得空立3=2解得丫=4萬(wàn)，根據(jù)A8=5x可求

5x5

解；設(shè)CO=a,根據(jù)CZT=28,AC=8￡>,則有CO=2?,心工=

AO=4。=AC+CD=把瀘+a=手，利用勾股定理可得酹4+的今=(24，解

得。啜根據(jù)AB=5x=20幣,CD=2a,即可求出結(jié)果.

【詳解】

解：如圖不:

過(guò)點(diǎn)8作8尸J_AF交AF于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)A作AG人8K交8K于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)皮作B7/人AG交

AG于點(diǎn)H,

在RQBAF中，sin?R4尸0.8=-,

設(shè)8尸=4x,則AB=5x,

/.AF=VAB2-BF2=J(5x)2-(4xf=3x,

：.BG=AF=3x,

BH=GK=28"-3x,

■:BE^B'E',AF//BE

由BE旋轉(zhuǎn)一定角度后得到B'E'可知，旋轉(zhuǎn)角是90，

即?BAB900,

?BAF?BAG?BAH?BAGW

?BAF?BAH

...口a人口4BHBH

..sin0?DBAAtF7sinDBAH=-=-----=,

5A3AB

即有：2863x),解之得：*=4百，

5x5

AB=5x=20幣;

設(shè)CO=Q,

?:CD'=2CD,AC=BD

AB-CD5x-a………5x-a5x+a

：.CD'=2a,AC=AD=AD=AC+CD=-------+a=--------

-2T~22

...在RiYD'AC中,AD2+AC2=CD；

即：料既+郭尸尹黨

解之得：。=患5r

AB=5x=2(x/7

??.Ci2?唳40,

故答案是：20幣,40.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、己知正弦求邊長(zhǎng)、解一元二次方程，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及

勾股定理，能利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出旋轉(zhuǎn)角是90唬解題的關(guān)鍵.

14.已知，矩形A8CZ）中，AB=6,BC=9,點(diǎn)尸在A8邊上，且AF=2,點(diǎn)E是BC邊

上的一個(gè)點(diǎn)，連接EF,作線段所的垂直平分線"G,分別交邊AD,BC于點(diǎn)”、G,

連接四，EH.當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)（如圖1）,DH=；當(dāng)點(diǎn)3,M,D

三點(diǎn)共線時(shí)（如圖2）,DH=.

【答案】弓49；10

1OT

試卷第14頁(yè)，共47頁(yè)

【分析】

①由“G是線段■的垂直平分線，可得FH=CH,設(shè)DH=m,由四邊形ABC。為矩形，

49

AD=BC=9CD=AB=644=/。=90°由勾股定理可得22+(9-〃7)2=歷2+62,解得，片一；

ff18

②過(guò)M作MALL跳:于M連結(jié)30,FG,設(shè)HD=m,EC=n,BG=x,點(diǎn)、B,M,。三點(diǎn)

共線，由尸M=ME,MN//FB,可得NB=NE,MW=；BF=；(6-AF)=2,山MN〃C。，

可證△BMNs叢BDC,nTW—=-.DM=2BM,由HD〃BG,可證△HDM^/XGBM,

BD3

可得5G=g/7￡),x=；〃2,在心△3/7G中，即染+七加)=(9-g"z-〃

/一18〃一(9/%—〃?〃)=-65①由勾股定理22+(9-/77)2=62+(m-n)2,rr+2(9/n-/??/?)=49

②，由①x2+②得3〃2_36〃=一81,解得〃=3或〃=9(舍去)，w=y.

【詳解】

解：①???"G是線段EF的垂直平分線，

：.FH=CH,

設(shè)DH=m,

;四邊形A3CO為矩形，

：.AD=BC=9fCD=AB=69ZA=ZD=90°,

山勾股定理可得F7/2二項(xiàng)2+4〃2,CH^HADC,

22+(9-/77)2=7舞2+62'

49

解得/H=—,

1o

49

故答案為：--;

1O

②過(guò)M作MML8E于N,連結(jié)3D,FG,設(shè)HD=m,EC=n,BG=x,

點(diǎn)、B,M,。三點(diǎn)共線，

?：FM=ME,MN〃FB,

；?NB=NE,NM=BF=(6—AF)=2,

又,：MN〃CD,

:?/BMN=/BDC,/MNB=/C,

：?4BMNs叢BDC,

.BMMN2T

??--------------————.

BDCD63

：.BD=3BM,

:.DM=BD—BM=3BM—BM=2BM

*：HD〃BG,

:./DHM=/BGM,/HDM=/GBM,

：.4HDMs叢GBM,

,HD=MD=2BM=2.

BGBMBM

??.BG=3HD,x=gn,

在RIABFG中，F(xiàn)G=9-BG-EC=GE=9--m-n

2

222

BG+FB=FGf即42+（gm）加一,

/.rr-18/1-（9m-/n/?）=-65①

由勾股定理H尸=4尸+A/72,H￡2=62+（777-H）2

.*?22+（9-〃？）2=62+（m-n）2

n2+2（9m—nm）=49（2）

①x2+②得3/—36〃=-81

因式分解得（〃一3）（〃-9）=0

解得凡=3或〃=9（舍去）

把〃=3代入②9+2（9/H-3/77）=49,

解得〃尸號(hào).

故答案為：號(hào).

圖2

【點(diǎn)睛】

本題考查矩形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程及二元方程，三角

形相似判定與性質(zhì)，掌握矩形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的

解法，三角形相似判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是利用勾股定理結(jié)合△FBG與構(gòu)造方程組.

試卷第16頁(yè)，共47頁(yè)

k

15.如圖，直線AB與反比例函數(shù)），=±仕>0）的圖象交于點(diǎn)A、B,與x軸交于點(diǎn)F,

X

AC_Li軸于點(diǎn)C,軸于點(diǎn)。，點(diǎn)E是線段A8的中點(diǎn)，連結(jié)CE、DE,已知

的面積是面積的2倍，且則k的值是.

【答案】20

【分析】

設(shè)出直線48的解析式，聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式，確定一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)的坐

標(biāo)，則交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系定理，點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別表示

三角形的面積，構(gòu)造求解即可.

【詳解】

n

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,則點(diǎn)F,0）,

m

根據(jù)題意，得mx+n=—,整理，得mx2+nx-k=0,

x

設(shè)4（X，%），8（%，為），根據(jù)題意，得X、*2是方程加爐+辦4=0的兩個(gè)根，

.nk

.?+X）=--,X]X）=■—

■m-tnf

???點(diǎn)E是線段A8的中點(diǎn)，

點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為中

22m

P?77

二點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為mx（--）+n=-,

2m2

,?q=?<?

?3.AED，

?q_q

??°AAEC一°AABD，

???q=_?3<>dBDE，

過(guò)點(diǎn)C作垂足為M,過(guò)點(diǎn)。作。MLAE,垂足為M

則MC=2DN,

'：BD/7AC

：.ZDBN=ZCAM,

：.4DBNs/\CAM,

故答案為：2夜.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，聯(lián)立方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，中點(diǎn)坐標(biāo)

公式，圖形面積分割，三角形的相似，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，熟練掌握反比

試卷第18頁(yè)，共47頁(yè)

例函數(shù)的性質(zhì)，靈活求解方程，活用根與系數(shù)關(guān)系定理，三角形的相似是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在矩形A8CD中，BC=3AB.將矩形488繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋

轉(zhuǎn)角為a(0°<a<90°),得到矩形A'3'8',邊B'C與AO相交于點(diǎn)E,邊A'D與AO

的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.在矩形A'B，CD旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B'落在線段上時(shí)，笠DE=

【答案】2724一叵或友一1

33

【分析】

]^AB=CD=x,則BC=3x,然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求出87),然后求比值即

17

可；分兩種情況：①當(dāng)=時(shí)，②當(dāng)=尸時(shí)，分情況進(jìn)行討論即可.

【詳解】

:四邊形ABCD是矩形，

AB=CD,NCDB=90。

當(dāng)&落在線段AD上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B'與點(diǎn)E重合，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知*C=8C=3x.

在Rr/XB'CD中，8'￡>=J吐+Cb2=20x，

畸喑二號(hào)=3

①當(dāng)=尸時(shí)，

設(shè)A8=x,AE=y,\）［\\BC=3x,EF=2yf

過(guò)點(diǎn)尸作/G_LB'C交于點(diǎn)G,連接CF,

/.FG=C'=CD=AB=x,

：S3=；EFCD=*FG,

2y-x=ECx,

/.EC=2y,

在HhEDC中，DE2+DC2=EC2,

/.（3X-3'）24-X2=（2y）2,

力°-？=3目?

.?.3*+610=0,

解得乙=一1+叵/,=一1一叵（不符合題意，舍去）,

13-3

,DE3x-y4回

CDxx3

2

②當(dāng)=時(shí)，

設(shè)AB=x,AE=2y,則EF=y,

同理可求￡C=y.

在RhEDC中,DE2+DC2=EC2.

.,.（3x-2>,）2+x2=y2,

試卷第20頁(yè)，共47頁(yè)

，3/一⑵+10=0,

解得t=2-遠(yuǎn)小=2+且（不符合題意，舍去），

13123

.DE3x-2y2y2卡

..=-----------=3--------=3-2f=----------1,

CDxx3

綜上所述，當(dāng)E是線段A戶的三等分點(diǎn)時(shí)，縹的值為4-叵或型-1.

CD33

故答案為：2夜，4-叵或亞-1.

33

【點(diǎn)睛】

本題主要考查矩形與旋轉(zhuǎn)，掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用是解題的

關(guān)鍵.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)A（x,y）,我們把點(diǎn)8上,；）稱

為點(diǎn)4的“倒數(shù)點(diǎn)如圖，矩形OCOE的頂點(diǎn)C為（3,0）,頂點(diǎn)E在y軸上，函數(shù)

2

y=,x>0）的圖象與交于點(diǎn)A.若點(diǎn)B是點(diǎn)A的“倒數(shù)點(diǎn)”，且點(diǎn)B在矩形OCD￡

的一邊上，則AOBC的面積為.

【答案】:1或：3

42

【分析】

根據(jù)題意，點(diǎn)B不可能在坐標(biāo)軸上，可對(duì)點(diǎn)8進(jìn)行討論分析：①當(dāng)點(diǎn)3在邊。E上時(shí);

②當(dāng)點(diǎn)B在邊。上時(shí)；分別求出點(diǎn)3的坐標(biāo)，然后求出AOBC的面積即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意，

???點(diǎn)咕』稱為點(diǎn)A（x,y）的“倒數(shù)點(diǎn)”，

?二xw0,y工0,

???點(diǎn)3不可能在坐標(biāo)軸上；

2

???點(diǎn)A在函數(shù)y=、（工>。）的圖像上，

21x

設(shè)點(diǎn)A為*,3,則點(diǎn)8為仁《)，

xx2

:點(diǎn)C為(3,0),

OC=3,

①當(dāng)點(diǎn)B在邊OE上時(shí)；

點(diǎn)A與點(diǎn)8都在邊OE上，

???點(diǎn)A與點(diǎn)8的縱坐標(biāo)相同，

x

即士2=；，解得：x=2,

x2

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原分式方程的解；

.??點(diǎn)B為(g,l),

13

二AO8C的面積為：S=-x3xl=—；

22

②當(dāng)點(diǎn)B在邊CO上時(shí)；

點(diǎn)8與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，

/.-=3,解得：x=\,

x3

經(jīng)檢驗(yàn)，X=g是原分式方程的解；

??.點(diǎn)8為(3二)，

6

:?4BC的面積為:S=lx3xl=l；

264

13

故答案為：了或彳.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解分式方程，坐標(biāo)與圖形等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析.

18.商家通常依據(jù)“樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)”,

最高銷售限價(jià)6(6>°)以及常數(shù)k(O<k<1)確定實(shí)際銷售價(jià)格為c=a+k(b-a),這里

的々被稱為樂(lè)觀系數(shù).經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂(lè)觀系數(shù)"恰好使得之=1，據(jù)此可得，

c-ab-c

最佳樂(lè)觀系數(shù)k的值等于一?

【答案】叵」

2

【分

由"^=尸^,得：(c-a)12=(b-a)2-(b-a)(c-a),再根據(jù)c=a+A(〃_a),可得

c-ab-c

試卷第22頁(yè)，共47頁(yè)

k=尸，在列方程，解方程可得答案.

b-a

【詳解】

解：由竺=一-?得：(。一。)2=(匕-G)S-C)

c—ab—c

即：(c-a)2=(b-a)[(b-a)-(c-?)]=(/?-a)2-(b-a)(c-a)

?(c-a^\c-a.?

\b-a)b-a

Vc=a+k(b-a)

：.k=-

b-a

:.公+"1=0

解得：k

小婦,^=z^zl

12-2

???乂=當(dāng)口不合題意

2

?jA/5—1

??k=-----

2

故答案為：叵口

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了等式的變形，一元二次方程的解法等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件

c-ab-c

變形為fr[+￡N-i=o,從而可轉(zhuǎn)化為關(guān)于左的一元二次方程.

\b-a)b-a

19.如圖，已知點(diǎn)A(3,3+),點(diǎn)8(0,右)，點(diǎn)A在二次函數(shù)＞=8*2+石x-

9G的圖象上，作射線48,再將射線A3繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30。，交二次函數(shù)

圖象于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【答案】（T-96）

【分析】

過(guò)點(diǎn)B作叫〃x軸，過(guò)點(diǎn)4作于點(diǎn)￡踮交AC于點(diǎn)。，過(guò)。點(diǎn)作。尸，A8于

點(diǎn)尸，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，設(shè)Q=x,則￡>E=3-x,則4）=正-6。+21，

根據(jù)三角函數(shù)得出翁，則&_6x+2］琮,解之可得8。=*,求得直

線AC的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立可得點(diǎn)C的坐標(biāo).

【詳解】

解：過(guò)點(diǎn)8作8￡〃x軸，過(guò)點(diǎn)A作AE_L8E于點(diǎn)E,

8E交AC于點(diǎn)。，過(guò)。點(diǎn)作￡>F_L/W于點(diǎn)尸，

根據(jù)題意可得BE=3,AE=3也-6=2>/3,

試卷第24頁(yè)，共47頁(yè)

?*-AB=舊+Q面=后,

設(shè)5￡>=x,則DE=3—x,

AD=7（3-X）2+（2>/3）2=JY-6X+21，

.人…公空軍V，

AB舊幣

2Y

.?.DF=BDsinZABE=-=,

N必￡）=30°,

4x

二AD=2DF=

萬(wàn)，

-4x

/.《x2-6x+21

飛'

兩邊平方得：x2—6x+21=—X2,

7

7

解得:%=§，X2=-7（舍）,

.74x4小

3S3

72

DE=3——=-,

33

AE=s]AD2-DE2=2g，

點(diǎn)。的坐標(biāo)為：q,百）

設(shè)直線AC的解析式為：>=依+6,

3舊=3k+b'&=3⑺

則而刎廠解得‘

b=-6y/3'

AC表達(dá)式為y=36x-6百,

將其代入拋物線方程尸Gr+Gx-96，

解得玉=7或芻=3,

x=3即為點(diǎn)A,

將x=—1代入直線AC得y=-9耶）,

點(diǎn)C坐標(biāo)為：（-1,-9百）,

故答案為：（-L-90）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，求一次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得一次函

數(shù)解析式與二次函數(shù)解析式聯(lián)立是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在R/AABC中，NAC3=90。，AB=10,AC=6,點(diǎn)。是三角形的重心，

點(diǎn)。是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)。。交A5于點(diǎn)E,將AAOE沿OE進(jìn)行翻折得到

^A'DE,A'O與BC交于點(diǎn)/，連結(jié)A4'.

(1)當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，則A4'的長(zhǎng)為一.

(2)3F的最小值為.

B

【答案】竺、+2人

53

【分析】

(1)設(shè)AA'與CE交于尸，由折疊的性質(zhì)可知4r=2AP=2AN,AA±CE,根據(jù)

S^CE=SgcE=；S&C8=(ACgBC,S&c￡=；CE^P,即可得到(AB承P=(ACgBC,

求出AP的長(zhǎng)即可得到答案；

(2)過(guò)點(diǎn)O作ObJ_AC于H,在OH上取一點(diǎn)P使得OP=DP,由題意可得，當(dāng)BF

An2

最小即CF最大時(shí)，。一定在C4之間，先由重心定理求出*=彳，在證明

AM3

△AHO^/\ACM,

AJJCHAO997Q

得到^L=^=U=±,A”=4AC=4,OH=*CM=2,設(shè)NZMG=6,DH=a,

ACCMAM3333

Q

HP=b,則。P=PO=g-b,CD=AC-AH-CD=2-a,證明=NFDC,

「FDHCFDHn

得到tan/F￡>C=^=tan/4PZ)=￥^,-=—=再根據(jù)“獷+P”？=。尸，

2

Ao_2a-a

求得〃二一土心設(shè)b=y,即可得到>'=432,再利用一元二次方程根的判別式

316§中

求解即可得到答案.

試卷第26頁(yè)，共47頁(yè)

【詳解】

解：（1）如圖所示，設(shè)44'與CE交于P,

由折疊的性質(zhì)可知A4'=2AP=2A'F,A4'_LC￡,

是三角形ABC的重心，

.?.E是A8的中點(diǎn)，

又,.?NACB=90°,

：.CE=AE=BE=^AB,BC=y/AB?-AC?=8，

**?SMCE=S&BCE=2SMCB=WACgBC,

又???SMCE=；CE&4P,

：,-ABgAP=-AC^C,

44

..”=sa,

AB5

48

?*.AAf=2AP=—；

(2)如圖所示，AM為8c邊上的中線即CM=BM=g8C=4,過(guò)點(diǎn)。作O〃，AC于

H,在OH上取一點(diǎn)P使得OP=QP,

An2

山題意可得，當(dāng)3廠最小即。尸最大時(shí)，。一定在C4之間，由重心定理可知，—

AM3

VOHLAC,BCLAC,

???OH〃BC,

：.AAHO^/XACM,

.AHOHAO_2

*'AC-CM-AM-3?

92R

AAW=-AC=4,OH=-CM=-,

333

Q

設(shè)NZMG=e,DH=a,HP=b,PIODP=P0=一一b,CD=AC