第21講 解直角三角形（原卷）初中數(shù)學(xué)

第二十一講一一解直角三角形

考向一求三角函數(shù)的值

典例引領(lǐng)

1.（2020?吉林長春市?中考真題）比薩斜塔是意大利的著名建筑，其示意圖如圖所示.設(shè)塔頂中心點(diǎn)為點(diǎn)

塔身中心線A3與垂直中心線AC的夾角為NA,過點(diǎn)3向垂直中心線AC引垂線，垂足為點(diǎn)。.通過測

量可得A3、BD、的長度，利用測量所得的數(shù)據(jù)計(jì)算NA的三角函數(shù)值，進(jìn)而可求NA的大小.下列

關(guān)系式正確的是（）

一“AO

A.B.cosA=----C.tanA—----D.sinA^

ABADBDAB

2.（2020?江蘇揚(yáng)州市?中考真題）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,

以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C、D,則sinNADC的值為（)

3

D.

2

1

變式拓展

L（2020?浙江杭州市?中考真題）如圖，在AABC中，ZC=90°,設(shè)NA,NB,NC所對的邊分別為a,b,

C.a=btstnBD.h=ctanB

2.（2020?山東聊城市?中考真題）如圖，在4x5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1,△ABC的

頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sinNACB的值為（）.

3相如3D4

5555

考向二利用特殊角的三角函數(shù)值求值

典例引領(lǐng)

1.（2020?廣西玉林市?中考真題）sin45。的值等于（）

A.-B.立C.—D.1

222

2.（2020?江蘇鹽城市?中考真題）如圖，在△A8C中，/。=90°/@114=43,/45。的平分線80交24。

3

2

于■煎D.CD=6.求A3的長？

變式拓展

1.（2020?四川宜賓市,中考真題）如圖，A,B,C是。。上的三點(diǎn)，若AOBC是等邊三角形，則cosNA=

2.（2020?貴州黔東南苗族侗族自治州?中考真題）cos60°=

考向三復(fù)雜幾何圖形中的三角函數(shù)問題

典例引領(lǐng)

1.（2020?山東濟(jì)南市?中考真題）如圖，在矩形紙片A8CO中，AD=10,A8=8,將AB沿AE翻折，使點(diǎn)B

落在8'處，4E為折痕:再將EC沿EF翻折，使點(diǎn)C恰好落在線段上的點(diǎn)C處，EF為折痕,連接AC.若

CF=3,則tanZ.B'AC=.

3

D

2.（2020?江蘇蘇州市?中考真題）如圖，已知NMQV是一個(gè)銳角，以點(diǎn)。為圓心，任意長為半徑畫弧，分

別交OM、ON于點(diǎn)A、B,再分別以點(diǎn)A、3為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C,畫射

2

線OC.過點(diǎn)A作4O〃ON,交射線OC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作￡>E_LOC,交ON于點(diǎn)、E.設(shè)04=10,

DE=12,則sin/MQV=

變式拓展

1.（2020?江蘇常州市?中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段上，且AC=2BC,分別以AC、3c為邊在線段

的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG,連接EC、EG,則tanNCEG=.

4

2.（2020?湖北咸寧市?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，A5=2,=2括，E是的中點(diǎn)，將

沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連結(jié)CR,則casNECF的值為（）

D.-----------V

考向四解直角三角形的應(yīng)用一坡角（堤壩）問題

典例引領(lǐng)

1.（2020?遼寧阜新市?中考真題）如圖，為了了解山坡上兩棵樹間的水平距離，數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)們測得

該山坡的傾斜角a=20。，兩樹間的坡面距離AB=5m,則這兩棵樹的水平距離約為m（結(jié)果精

確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.342,cos20°?0.940,tan20°?0.364）.

2.（2020?山東泰安市?中考真題）如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)山坡，坡上面是一塊平

地.BC//AD,BE±AD,斜坡A8長26m,斜坡A3的坡比為12：5.為了減緩坡面，防止山體滑坡,

學(xué)校決定對該斜坡進(jìn)行改造.經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過50。時(shí)，可確保山體不滑坡.如果改造時(shí)保持

坡腳A不動，則坡頂B沿6C至少向右移01時(shí)-，才能確保山體不滑坡.（取tan50°=1.2）

5

BC

變式拓展

L（2020?四川自貢市?中考真題）如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABC。，8c長

為6米，坡角￡為45。，AO的坡角a為30。，則AO的長為米（結(jié)果保留根號）

2.（2020?湖南婁底市?中考真題）如實(shí)景圖，由華菱漣鋼集團(tuán)捐建的早元街人行天橋于2019年12月18日

動工，2020年2月28日竣工，彰顯了國企的擔(dān)當(dāng)精神，展現(xiàn)了高效的“婁底速度該橋的引橋兩端各由2

個(gè)斜面和一個(gè)水平面構(gòu)成，如示意圖所示：引橋一側(cè)的橋墩頂端E點(diǎn)距地面5m,從E點(diǎn)處測得D點(diǎn)俯角

為30。,斜面ED長為4m,水平面DC長為2m,斜面BC的坡度為1：4,求處于同一水平面上引橋底部

的長.（結(jié)果精確到0.1m,?1.41,5/3?1.73）.

考向五解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題

典例引領(lǐng)

1.（2020?遼寧葫蘆島市?中考真題）如圖，小明利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識測量大橋主架在水面以上的高度

6

在觀測點(diǎn)C處測得大橋主架頂端A的仰角為30。，測得大橋主架與水面交匯點(diǎn)B的俯角為14。，觀測點(diǎn)與大

橋主架的水平距離CM為60米,且垂直于橋面.（點(diǎn)ARC,用在同一平面內(nèi)）

B水面

（1）求大橋主架在橋面以上的高度AM；（結(jié)果保留根號）（2）求大橋主架在水面以上的高度AB.（結(jié)果

精確到1米）（參考數(shù)據(jù)Sinl4°a0.24,cosl4°a0.97,tanl4'0.25,6=1.73）

2.（2020糊北鄂州市?中考真題）鄂州市某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度CD.如圖所示，

一架水平飛行的無人機(jī)在A處測得正前方河流的左岸C處的俯角為a,無人機(jī)沿水平線Ab方向繼續(xù)飛行

50米至B處，測得正前方河流右岸D處的俯角為30。.線段AM的長為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)M、

C、D在同一條直線上.其中匕11￡=2,加。=506米.（1）求無人機(jī)的飛行高度AM；（結(jié)果保留根號）

（2）求河流的寬度CO.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,V3?1.73）

變式拓展

1.（2020?云南昆明市?中考真題）（材料閱讀）2020年5月27日，2020珠峰高程測量登山隊(duì)成功登頂珠穆

朗瑪峰，將用中國科技“定義”世界新高度.其基本原理之一是三角高程測量法，在山頂上立一個(gè)規(guī)標(biāo)，找到

2個(gè)以上測量點(diǎn)，分段測量山的高度，再進(jìn)行累加.因?yàn)榈厍蛎娌⒉皇撬降模饩€在空氣中會發(fā)生折射,

7

所以當(dāng)兩個(gè)測量點(diǎn)的水平距離大于300小時(shí)，還要考慮球氣差，球氣差計(jì)算公式為尸（其中d為

R

兩點(diǎn)間的水平距離，R為地球的半徑，R取6400000機(jī)），即：山的海拔高度=測量點(diǎn)測得山的高度+測量點(diǎn)

的海拔高度+球氣差.

（問題解決）某?？萍夹〗M的同學(xué)參加了一項(xiàng)野外測量某座山的海拔高度活動.如圖，點(diǎn)A,8的水平距離

1=800〃?，測量儀AC=1.5m,覘標(biāo)￡>E=2,〃，點(diǎn)E,D,B在垂直于地面的一條直線上，在測量點(diǎn)A處用測

量儀測得山項(xiàng)覘標(biāo)頂端E的仰角為37°,測量點(diǎn)A處的海拔高度為1800m.

（1）數(shù)據(jù)6400000用科學(xué)記數(shù)法表示為；

（2）請你計(jì)算該山的海拔高度.（要計(jì)算球氣差，結(jié)果精確到0.01?。?/p>

（參考數(shù)據(jù)：sin37°~0.60,cos370=0.80,tan37°=0.75）

2.（2020?遼寧盤錦市?中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)活動小組要測量建筑物A8的高度，他們借助測角儀和皮尺

進(jìn)行了實(shí)地測量，測量結(jié)果如下表.

8

A

測量項(xiàng)目測量數(shù)據(jù)

測角儀到地面的距離CD=1.6m

點(diǎn)。到建筑物的距離BD=4m

從C處觀測建筑物頂部A的仰角ZACE=&10

從C處觀測建筑物底部B的俯角ZBCE=2T

請根據(jù)需要，從上面表格中選擇3個(gè)測量數(shù)據(jù)，并利用你選擇的數(shù)據(jù)計(jì)算出建筑物A8的高度.（結(jié)果精確

到0.1米，參考數(shù)據(jù)：

sin67°?0.92,cos67°=0.39,tan670=2.36.sin22°=0.37,cos22°a0.93,tan22°a0.4())(選擇一

種方法解答即可)

9

考向六解直角三角形的應(yīng)用一方位角問題

典例引領(lǐng)

1.（2020?湖北咸寧市?中考真題）如圖，海上有一燈塔P,位于小島4北偏東60。方向上，一艘輪船從北小

島A出發(fā)，由西向東航行24nmile到達(dá)8處，這時(shí)測得燈塔尸在北偏東30。方向上，如果輪船不改變航向

繼續(xù)向東航行，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔P的正南方，此時(shí)輪船與燈塔尸的距離是nmile.（結(jié)果保留一

位小數(shù)，73?1.73）

2.（2020?湖北荊門市?中考真題）如圖，海島B在海島A的北偏東30。方向，且與海島A相距20海里，一

艘漁船從海島B出發(fā)，以5海里/時(shí)的速度沿北偏東75。方向航行，同時(shí)一艘快艇從海島A出發(fā)，向正東方

向航行.2小時(shí)后，快艇到達(dá)C處，此時(shí)漁船恰好到達(dá)快艇正北方向的E處.（1）求/鉆E的度數(shù)；（2）

求快艇的速度及C,E之間的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin15°?0.26,cosl50?0.97,tan15°?0.27,^?1.73）

北

10

變式拓展

1.（2020?湖北省直轄縣級行政單位?中考真題）如圖，海中有個(gè)小島A,一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處

測得小島A位于它的東北方向，此時(shí)輪船與小島相距20海里，繼續(xù)航行至點(diǎn)D處，測得小島A在它的北

偏西60。方向，此時(shí)輪船與小島的距離4D為海里.

2.（2020?廣西中考真題）如圖，一艘漁船位于小島3的北偏東30。方向，距離小島40〃e的點(diǎn)A處，它

沿著點(diǎn)A的南偏東15。的方向航行.（1）漁船航行多遠(yuǎn)距離小島5最近（結(jié)果保留根號）？（2）漁船到達(dá)距

離小島3最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島3上的救援

隊(duì)求救，問救援隊(duì)從3處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少（結(jié)果保留根號）?

11

考向七解直角三角形的應(yīng)用一其他問題

典例引領(lǐng)

1.（2020?山東濟(jì)南市?中考真題）如圖，AABC、ZiFED區(qū)域?yàn)轳{駛員的盲區(qū)，駕駛員視線PB與地面BE的

央角NPBE=43。，視線PE與地面BE的夾角NPEB=20。，點(diǎn)A,F為視線與車窗底端的交點(diǎn)，AF//BE,

AC1BE,FDXBE.若A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離AB=1.6m,則盲區(qū)中DE的長度是（）（參考數(shù)據(jù)：sin43°~0.7,

tan43°-0.9,sin200-0.3,tan20°~0.4)

A.2.6mB.2.8m

2.（2020?山西中考真題）圖①是某車站的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人通過時(shí)智能閘機(jī)會自動識別行人身份，

識別成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會收回到兩側(cè)閘機(jī)箱內(nèi)，這時(shí)行人即可通過.圖②是兩圓弧翼展開時(shí)的截面

圖，扇形A8C和。EF是閘機(jī)的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，3c和E尸均垂直于地面，扇形的圓心角

ZABC=ZDEF=28°,半徑BA=ED=60c7〃，點(diǎn)A與點(diǎn)。在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm

圖①

Q）求閘機(jī)通道的寬度，即8C與￡尸之間的距離（參考數(shù)據(jù)：sin28°?0.47,cos28°?0.88,

tan28°?0.53）；（2）經(jīng)實(shí)踐調(diào)查，一個(gè)智能閘機(jī)的平均檢票速度是一個(gè)人工檢票口平均檢票速度的2倍，

180人的團(tuán)隊(duì)通過一個(gè)智能閘機(jī)口比通過一個(gè)人工檢票口可節(jié)約3分鐘，求一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通

過的人數(shù).

12

變式拓展

1.（2020?浙江金華市?中考真題）如圖是小明畫的卡通圖形，每個(gè)正六邊形的邊長都相等，相鄰兩正六邊形

的邊重合，點(diǎn)A,B,C均為正六邊形的頂點(diǎn)，AB與地面所成的銳角為夕，則tan4的值是.

2.（2020?貴州遵義市?中考真題）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計(jì)算tanl5。時(shí),

如圖.在RtAACB中，ZC=90°,NABC=30°,延長CB使BO=4B,連接A。，得/￡）=15。，所以tan15。

AC12-V3°r-

=而=五耳/近3r2-6類比這種方法，計(jì)算tan22.5。的值為（）

A.V2+1B.V2-1C.V2D.

13

、手點(diǎn)沖頭丸

1.（2020?廣西河池市?中考真題）在RSABC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,則sinB的值是（）

2.（2020?四川南充市?中考真題）如圖,點(diǎn)A,B,C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin/BAC=）

eV26V26V13

6石7T

3.（2020?山東泰安市?中考真題）如圖，四邊形ABC。是一張平行四邊形紙片，其高AG=2cm,底邊

BC=6cm,/8=45°,沿虛線即將紙片剪成兩個(gè)全等的梯形，若NBEF=30°，則AE的長為（）

C.(2V3-3)cmD.(2-V3)cm

4.（2020?湖南長沙市?中考真題）從一艘船上測得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角是30度，船離燈塔的

水平距離為（）

A.426米B.14。米C.21米D.42米

14

5.（2020?廣東深圳市?中考真題）如圖，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距200米的P、Q

兩點(diǎn)分別測定對岸一棵樹T的位置，T在P的正北方向，且T在。的北偏西70。方向，則河寬（PT的長）

可以表示為（）

C.200sin70°米D.二米

tan70°sin70°

6.（2020?貴州黔西南布依族苗族自治州?中考真題）如圖，某停車場入口的欄桿AB,從水平位置繞點(diǎn)。旋

轉(zhuǎn)到AB，的位置，已知AO的長為4米.若欄桿的旋轉(zhuǎn)角/AOA，=a,則欄桿A端升高的高度為（）

44

A.------米B.4sina米C.米D.4cosa米

sinacosa

7.（2020?湖北孝感市?中考真題）某型號飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算的長為

m.（結(jié)果保留根號）

15

8.（2020?四川樂山市?中考真題）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯示意圖.自動扶梯A8的傾斜角為30。，

在自動扶梯下方地面。處測得扶梯頂端3的仰角為60°,A、C之間的距離為4”?.則自動扶梯的垂直

高度8。=m.（結(jié)果保留根號）

9.（2020?湖南湘潭市?中考真題）計(jì)算：sin45°=

10.（2020?貴州黔南布依族苗族自治州?中考真題）如圖所示，在四邊形ABC。中，28=90°,A6=2,

8=8.連接AC,AC±CD,若sinN4CB=1,則AT＞長度是.

3

3

1L（2020?江蘇泰州市?中考真題）如圖，點(diǎn)尸在反比例函數(shù)y=±的圖像上且橫坐標(biāo)為1,過點(diǎn)。作兩條坐

x

k

標(biāo)軸的平行線，與反比例函數(shù)y=僅＜0）的圖像相交于點(diǎn)A、B,則直線A8與x軸所夾銳角的正切值

為.

16

12.（2020?山東棗莊市?中考真題）如圖，人字梯AB，AC的長都為2米.當(dāng)。=50°時(shí)，人字梯頂端高地面

的高度AD是米（結(jié)果精確到0.1m.參考依據(jù)：sin50°?0.77,cos50°?0.64,tan50°?1.19）

13.（2020?浙江金華市?中考真題）圖1是一個(gè)閉合時(shí)的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為AC,

（點(diǎn)A與點(diǎn)B重合）,點(diǎn)O是夾子轉(zhuǎn)軸位置,OELAC于點(diǎn)E,OFLBD于點(diǎn)F,OE=。尸=lcm,AC=BO=6cm,

CE=DF,CE:AE=2:3.按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動.

（1）當(dāng)E,尸兩點(diǎn)的距離最大值時(shí)，以點(diǎn)A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形的周長是cm.

（2）當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與點(diǎn)。重合）時(shí)，A,B兩點(diǎn)的距離為cm.

圖1

14.（2020?吉林長春市?中考真題）如圖，在口ABCO中，。是對角線4C、8。的交點(diǎn)，BELAC，

DFLAC,垂足分別為點(diǎn)E、F.（1）求證：OE=OF.（2）若BE=5,OF=2,求tanNOBE的值.

17

81.（2020?湖南湘潭市?中考真題）為了學(xué)生的安全，某校決定把一段如圖所示的步梯路段進(jìn)行改造.已知

四邊形ABC。為矩形，DE=10m,其坡度為彳=1:G,將步梯DE改造為斜坡AF，其坡度為4=1：4,

求斜坡AE的長度.（結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù)：V3?1.732.V17?4.122）

15.（2020?貴州貴陽市?中考真題）脫貧攻堅(jiān)工作讓老百姓過上了幸福的生活.如圖①是政府給貧困戶新建

的房屋，如圖②是房屋的側(cè)面示意圖，它是一個(gè)軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高A8所在的直線.為了測量

房屋的高度，在地面上。點(diǎn)測得屋頂A的仰角為35。，此時(shí)地面上C點(diǎn)、屋檐上E點(diǎn)、屋頂上A點(diǎn)三點(diǎn)恰

好共線，繼續(xù)向房屋方向走8根到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，又測得屋檐E點(diǎn)的仰角為60°,房屋的頂層橫梁石尸=12〃?，

EF//CB,AB交EF于點(diǎn)G（點(diǎn)、C,D，3在同一水平線上）.（參考數(shù)據(jù)：sin35。=0.6,cos35°?0.8,

tan35°?0.7,>/3?1.7）

（1）求屋頂?shù)綑M梁的距離AG；（2）求房屋的高A3（結(jié)果精確到1利）.

18

16.（2020?安徽中考真題）如圖，山頂上有一個(gè)信號塔AC,已知信號塔高AC=15米，在山腳下點(diǎn)B處測

得塔底C的仰角NCBD=36.9°，塔頂4的仰角入血＞=42。.求山高（點(diǎn)A,C,。在同一條豎直線

上）.（參考數(shù)據(jù)：3/36.9°a0.75,s山36.9°《0.6（）,3?42.0°《0.90）

17.（2020?山東德州市?中考真題）如圖，無人機(jī)在離地面60米的C處，觀測樓房頂部8的俯角為30。，觀

測樓房底部4的俯角為60。，求樓房的高度.

19

18.（2020?海南中考真題）為了促進(jìn)?？谥鞒菂^(qū)與江東新區(qū)聯(lián)動發(fā)展，文明東越江通道將于今年底竣工通車.

某校數(shù)學(xué)實(shí)踐活動小組利用無人機(jī)測算該越江通道的隧道長度.如圖，隧道A3在水平直線上，且無人機(jī)

和隧道在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，無人機(jī)在距離隧道450米的高度上水平飛行,到達(dá)點(diǎn)P處測得點(diǎn)A的俯角為30,

繼續(xù)飛行1500米到達(dá)點(diǎn)。處，測得點(diǎn)B的俯角為45°.

⑵求隧道AB的長度（結(jié)果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,^^1.732）

19.（2020?山東荷澤市?中考真題）某興趣小組為了測量大樓CO的高度，先沿著斜坡A8走了52米到達(dá)坡

頂點(diǎn)8處，然后在點(diǎn)8處測得大樓頂點(diǎn)。的仰角為53°,已知斜坡AB的坡度為i=1:2.4,點(diǎn)A到大樓的

434

距離為72米，求大樓的高度8.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?-,cos53°?-,tan53°?-）

553

20

20.（2020?內(nèi)蒙古中考真題）如圖，一個(gè)人騎自行車由A地到C地途經(jīng)2地當(dāng)他由A地出發(fā)時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的

北偏東45°方向有一電視塔尸,他由4地向正北方向騎行了3夜km到達(dá)B地,發(fā)現(xiàn)電視塔尸在他北偏東75°

方向，然后他由8地向北偏東15°方向騎行了6km到達(dá)C地.（1）求A地與電視塔P的距離；（2）求C地

與電視塔尸的距離.

21.（202（）?浙江紹興市?中考真題）如圖1為搭建在地面上的遮陽棚，圖2、圖3是遮陽棚支架的示意圖.遮

陽棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構(gòu)成，滑塊E,H可分別沿等長的立柱A3,OC上下移動，AF

=EF=FG=l/n.（l）若移動滑塊使4E=￡凡求N4FE的度數(shù)和棚寬BC的長.（2）當(dāng)/AFE由60。變?yōu)?/p>

74。時(shí)，問棚寬BC是增加還是減少？增加或減少了多少？（結(jié)果精確到0.L”.參考數(shù)據(jù)：G=1.73,sin37OR.60,

21

22.（2020?山東煙臺市?中考真題）今年疫情期間，針對各種入口處人工測量體溫存在的感染風(fēng)險(xiǎn)高、效率

低等問題，清華大學(xué)牽頭研制一款“測溫機(jī)器人”，如圖1,機(jī)器人工作時(shí)，行人抬手在測溫頭處測量手腕溫

度，體溫合格則機(jī)器人抬起臂桿行人可通行，不合格時(shí)機(jī)器人不抬臂桿并報(bào)警，從而有效阻隔病原體.

圖1圖2

（1）為了設(shè)計(jì)“測溫機(jī)器人”的高度，科研團(tuán)隊(duì)采集了大量數(shù)據(jù).下表是抽樣采集某一地區(qū)居民的身高數(shù)據(jù):

測量對象男性（18?60歲）女性（18?55歲）

抽樣人數(shù)（人）20005000200002000500020000

平均身高（厘米）173175176164165164

根據(jù)你所學(xué)的知識，若要更準(zhǔn)確的表示這一地區(qū)男、女的平均身高，男性應(yīng)采用厘米，女性應(yīng)采用

厘米；

22

（2）如圖2,一般的，人抬手的高度與身高之比為黃金比時(shí)給人的感覺最舒適，由此利用（1）中的數(shù)據(jù)得

出測溫頭點(diǎn)P距地面105厘米.指示牌掛在兩臂桿AB,AC的連接點(diǎn)A處，A點(diǎn)距地面110厘米.臂桿落

下時(shí)兩端點(diǎn)B,C在同一水平線上，BC=100厘米，點(diǎn)C在點(diǎn)P的正下方5厘米處.若兩臂桿長度相等，

求兩臂桿的夾角.（參考數(shù)據(jù)表）

計(jì)算結(jié)

計(jì)算結(jié)果

計(jì)算器按鍵順序計(jì)算器按鍵順序果（近

（近似值）

似值）

1-^-1□□[HZ]0.12ndF1tan|I5||=|78.7

tan1|0|1=10.22ndFtan11011=184.3

tan0?|1|1=11.72ndFtan0?|1||=|5.7

tan0|?||2|I=I3.52ndF㈤0|?||2|||11.3

23

直通中考

1.（2020?湖北荊州市?中考真題）如圖，在6x6正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1,點(diǎn)A,B,C

均在網(wǎng)格交點(diǎn)上，。0是△A5C的外接圓，貝UcosNB4c的值是（）

2A/5

丁

（2020?天津中考真題）2sin45。的值等于（

B.0

3.（2020?湖南婁底市?中考真題）如圖,撬釘子的工具是一個(gè)杠桿,動力臂=Lcos?,阻力臂cos尸,

如果動力下的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動時(shí)的動力變化情況是（）

A.越來越小B.不變C.越來越大D.無法確定

24

4.（2020?四川廣元市?中考真題）規(guī)定:

sin(—x)=-sinx,cos(―x)=cosx,cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny給出以下四個(gè)結(jié)論：⑴

sin(-30°)=-^；(2)cos2x=cos2x-sin2x；(3)cos(x->)=cosxcosy+sinxsiny；(4)

cosl50=逆二也其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

4

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?中考真題）如圖①，AB=5,射線點(diǎn)C在射線8N上，將AABC沿AC所在

直線翻折，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)。落在射線BN上，點(diǎn)P,。分別在射線AM、BN上,PQ//AB.設(shè)QD

若y關(guān)于x的函數(shù)圖象（如圖②）經(jīng)過點(diǎn)E（9,2）,則cosB的值等于（）

6.（2020?山東煙臺市?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在

BC邊上的點(diǎn)F處.若AB=3,BC=5,則tan/DAE的值為（)

D.

3

25

6.（2020?浙江溫州市?中考真題）如圖，在離鐵塔150米的A處，用測傾儀測得塔頂?shù)难鼋菫閍,測傾儀高

AD為1.5米，則鐵塔的高8（2為（）

,150,,150,

A.(1.5+150tana)米B.(1.5+--------)米C.(1.5+150sina)米D.(1.5+--------)米

tanasina

7.（2020?湖南株洲市?中考真題）如圖所示，點(diǎn)A、B、C對應(yīng)的刻度分別為0、2、4、將線段CA繞點(diǎn)C

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)，記為點(diǎn)4,則此時(shí)線段CA掃過的圖形的

面積為（）

8

A.4萬B.6C.4GD.—71

3

8.（2020?湖南湘西土家族苗族自治州?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A

在x軸的正半軸上，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，矩形的邊AB=a,8C="NZMO=尤.則

點(diǎn)C到x軸的距離等于（）

A.acosx+OsinxB.acosx+bcosxC.asinx+/?cosxD.asinx+bsinx

26

9.（2020?江蘇蘇州市?中考真題）如圖，小明想要測量學(xué)校操場上旗桿A3的高度，他作了如下操作：（1）

在點(diǎn)C處放置測角儀，測得旗桿頂?shù)难鼋荖ACE=c；（2）量得測角儀的高度C0=a；（3）量得測角儀

到旗桿的水平距離。8=力.利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識，旗桿的高度可表示為（）

A.a+btanaB.a+bsinaC.ci+D.Q+

10.（2020?貴州黔南布依族苗族自治州?中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動小組利用測角儀和皮尺測量學(xué)校旗桿的

高度，在點(diǎn)D處測得旗桿頂端A的仰角NAQE為55。，測角儀。。的高度為1米，其底端C與旗桿底端B

之間的距離為6米，設(shè)旗桿A3的高度為x米，則下列關(guān)系式正確的是（）

_X-1.llcX-1

A.tan55°B.tan55°=-----C.sin55°=-----D.cos55°=---

6

11.（2020?山東荷澤市?中考真題）如圖，在△ABC中，NAC8=90。，點(diǎn)。為A8邊的中點(diǎn)，連接C。,

若3c=4,CD=3,則cosNDCB的值為.

27

12.（2020?江蘇常州市?中考真題）數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書中闡述了坐標(biāo)幾何的思想，主張取代數(shù)和

幾何中最好的東西，互相以長補(bǔ)短.在菱形A3。中，AB=2,ZDAB=\2O°.如圖，建立平面直角坐標(biāo)

系直力，使得邊A8在x軸正半軸上，點(diǎn)。在V軸正半軸上,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

13.（2020?山東濰坊市?中考真題）如圖，矩形A8CD中，點(diǎn)G,E分別在邊3。,。。上，連接AG,EG,AE,

將AABG和AECG分別沿AG,EG折疊，使點(diǎn)B,C恰好落在AE上的同一點(diǎn),記為點(diǎn)F.若CE=3,CG=4,

則sinZ.DAE—.

AD

E

14.（2020?山東濟(jì)寧市?中考真題）如圖，小明在距離地面30米的P處測得A處的俯角為15。，B處的俯角

為60。.若斜面坡度為1：6,則斜坡AB的長是米.

28

15.（2020?浙江紹興市?中考真題）如圖，已知邊長為2的等邊三角形A8C中，分別以點(diǎn)A,C為圓心，m

為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)。，連結(jié)2D若8。的長為2百，則w的值為

16.（202（）?江蘇南通市?中考真題）如圖，測角儀CQ豎直放在距建筑物AB底部5機(jī)的位置，在。處測得建

筑物頂端A的仰角為50。.若測角儀的高度是1.5〃?，則建筑物45的高度約為〃h（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后

一位，參考數(shù)據(jù):sin500~0.77,cos500~0.64,tan50°?1.19）

17.（2020?河南中考真題）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化

遺產(chǎn)之一.

某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度.如圖所示，他們在地面一條水平步道

"尸上架設(shè)測角儀，先在點(diǎn)M處測得觀星臺最高點(diǎn)A的仰角為22°，然后沿用P方向前進(jìn)16m到達(dá)點(diǎn)N處,

測得點(diǎn)A的仰角為45°.測角儀的高度為1.6m,

（1）求觀星臺最高點(diǎn)A距離地面的高度（結(jié)果精確到01相.參考數(shù)據(jù):

sin22°xO.37,cos22°?().93,S〃22。?0.40,72?1.41)；

29

（2）“景點(diǎn)簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6加，請計(jì)算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化

建議.

18.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?中考真題）如圖，點(diǎn)E與樹AB的根部點(diǎn)A、建筑物C。的底部點(diǎn)C在一條直線上,

AC=10〃?.小明站在點(diǎn)E處觀測樹頂8的仰角為30。，他從點(diǎn)E出發(fā)沿EC方向前進(jìn)6皿到點(diǎn)G時(shí)，觀測樹

頂8的仰角為45。，此時(shí)恰好看不到建筑物C￡＞的頂部。（H、B、。三點(diǎn)在一條直線上）.已知小明的眼睛

離地面16”，求建筑物S的高度（結(jié)果精確到0.1m）.（參考數(shù)據(jù)：72-1.41-73=1.73.）

30

19.（2020?浙江舟山市?中考真題）為門則量一條兩岸平行的河流寬度，三個(gè)數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計(jì)了不同的方

案，他們在河南岸的點(diǎn)A處測得河北岸的樹”恰好在4的正北方向.測量方案與數(shù)據(jù)如下表：

課題測量河流寬度

測量工具測量角度的儀器，皮尺等

測量小組第一小組第二小組第三小組

H____________

nH

HIHl

31I%1,11

II

測量方案人\、?、/

:\''、、/:\

示意圖/;

:\AB\b/:\

、、、

—□_L_______/n1

ABCCAB

點(diǎn)8,C在點(diǎn)A的正東點(diǎn)、B,。在點(diǎn)A的正東點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向，

說明

方向方向點(diǎn)C在點(diǎn)A的正西方向.

60/77,BD=20m,BC=101/w,

測量數(shù)據(jù)NABH=70。,NABH=70。,NABH=70。,

ZACH=35°.ZBCD=35\ZACH=35°.

（1）哪個(gè)小組的數(shù)據(jù)無法計(jì)算出河寬？（2）請選擇其中一個(gè)方案及其數(shù)據(jù)求出河寬（精確到0」〃，）.（參

考數(shù)據(jù)：sin70°~0.94,sin35°M.57,tan70°=2.75,tan350=0.70)

31

20.（2020?湖北恩施土家族苗族自治州?中考真題）如圖，一艘輪船以每小時(shí)30海里的速度自東向西航行,

在A處測得小島P位于其西北方向（北偏西45°方向），2