高考人教數(shù)學(xué)（理）一輪課件第九章第一節(jié)計(jì)數(shù)原理與排列組合

第一節(jié)計(jì)數(shù)原理與排列組合第九章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類加法計(jì)數(shù)原理有兩類不同方案，第1類方案中有m種不同的方法，第2類方案中有n種不同的方法N＝______種不同的方法分步乘法計(jì)數(shù)原理需要兩個(gè)步驟，第1步有m種不同的方法，第2步有n種不同的方法N＝____種不同的方法m＋n

mn

2.排列3．組合不同并成一組不同所有不同組合的1.計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)不同點(diǎn)(1)分類問(wèn)題中的每一個(gè)方法都能完成這件事．(2)分步問(wèn)題中每步的每一個(gè)方法都只能完成這件事的一部分．2．排列與組合問(wèn)題(1)三個(gè)原則：①有序排列、無(wú)序組合．②先選后排．③復(fù)雜問(wèn)題分類化簡(jiǎn)或正難則反．(2)兩個(gè)優(yōu)先：①特殊元素優(yōu)先．②特殊位置優(yōu)先．即先考慮特殊的元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).1．(基礎(chǔ)知識(shí)：乘法原理)從3，5，7，11這四個(gè)質(zhì)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個(gè)數(shù)是(

)A．6 B．8C．12 D．16C2．(基本能力：加法原理)已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為(

)A．40 B．16C．13 D．10C3．(基本方法：乘法原理)(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展開(kāi)后共有________項(xiàng)．答案：604．(基本應(yīng)用：計(jì)數(shù)原理)如圖所示，從A城到B城有3條路；從B城到D城有4條路；從A城到C城有4條路，從C城到D城有5條路，則某旅客從A城到D城共有________條不同的路線．答案：32

5．(基本能力：計(jì)數(shù)原理)某人有3個(gè)電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有________種．答案：243[典例剖析][典例]

(1)(2021·河北唐山模擬)用兩個(gè)1，一個(gè)2，一個(gè)0可組成不同四位數(shù)的個(gè)數(shù)是(

)A．18

B．16C．12 D．9D解析：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和個(gè)位，有3種情況；②在剩下的3個(gè)數(shù)位中任選1個(gè)，安排2，有3種情況；③在最后2個(gè)數(shù)位安排2個(gè)1，有1種情況，則可組成3×3＝9(個(gè))不同四位數(shù)．(2)(2020·廣州模擬)如圖所示，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域分開(kāi)．若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有(

)A．400種 B．460種C．480種 D．496種C解析：完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色．當(dāng)使用4種顏色時(shí)：從A開(kāi)始，有6種方法，B有5種，C有4種，D有3種，完成此事共有6×5×4×3＝360(種)方法；當(dāng)使用3種顏色時(shí)：A，D使用同一種顏色，從A，D開(kāi)始，有6種方法，B有5種，C有4種，完成此事共有6×5×4＝120(種)方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同涂法有360＋120＝480(種).(3)如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個(gè)．解析：當(dāng)組成的數(shù)字有三個(gè)1，三個(gè)2，三個(gè)3，三個(gè)4時(shí)共有4種情況．當(dāng)有三個(gè)1時(shí)：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9種，當(dāng)有三個(gè)2，3，4時(shí)：2221，3331，4441，有3種，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有12種結(jié)果．答案：12(4)有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有________種不同的報(bào)名方法．解析：每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有6×5×4＝120(種).答案：120方法總結(jié)應(yīng)用計(jì)數(shù)原理的三個(gè)注意點(diǎn)(1)注意完成“這件事”是做什么．(2)弄清完成“這件事”是分類還是分步．①根據(jù)完成事件的特點(diǎn)，進(jìn)行“分類”，根據(jù)事件的發(fā)生過(guò)程進(jìn)行“分步”．②分類要按照同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事．③分步時(shí)各步相互依存，只有各步都完成時(shí)，才算完成這件事．(3)合理設(shè)計(jì)步驟、順序，使各步互不干擾，還要注意元素是否可以重復(fù)選擇．

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．從2，3，4，5，6，7，8，9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為(

)A．56 B．54C．53 D．52解析：在8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)共有8×7＝56(個(gè))對(duì)數(shù)值，但在這56個(gè)對(duì)數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即滿足條件的對(duì)數(shù)值共有56－4＝52(個(gè)).D2．從0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)組成三位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：按個(gè)位數(shù)字是否為0進(jìn)行分類，因?yàn)?不能排在首位．若0在個(gè)位，則十位數(shù)字有4種排法，百位數(shù)字有3種排法，共有4×3＝12(種).若2或4在個(gè)位，個(gè)位數(shù)字有2種排法，再分類，若0在十位，則百位數(shù)字有3種排法．若0不在十位，十位數(shù)字有3種排法，百位數(shù)字有2種排法．共有2×(1×3＋3×2)＝18(種)，故總共有12＋18＝30(種)排法．答案：30[典例剖析]類型1相鄰問(wèn)題[例1]

(2021·廣東揭陽(yáng)模擬)某班星期一上午安排5節(jié)課，若數(shù)學(xué)2節(jié)，語(yǔ)文、物理、化學(xué)各1節(jié)，且物理、化學(xué)不相鄰，2節(jié)數(shù)學(xué)相鄰，則星期一上午不同課程安排種數(shù)為(

)A．6 B．12C．24 D．48B類型2定序問(wèn)題[例2]

(2020·山東濟(jì)南模擬)航天員擬在太空授課，準(zhǔn)備進(jìn)行標(biāo)號(hào)為0，1，2，3，4，5的六項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，向全世界人民普及太空知識(shí)，其中0號(hào)實(shí)驗(yàn)不能放在第一項(xiàng)，最后一項(xiàng)的標(biāo)號(hào)小于它前面相鄰一項(xiàng)的標(biāo)號(hào)，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法種數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答).300類型3相間問(wèn)題[例3]某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是(

)A．72 B．120C．144 D．168B類型4特殊元素問(wèn)題[例4]

6名同學(xué)排成1排照相，要求同學(xué)甲既不站在最左邊又不站在最右邊，共有________種不同站法．480方法總結(jié)有限制條件的排列問(wèn)題的解題方法方法解讀適合題型優(yōu)先法對(duì)問(wèn)題中的特殊元素或位置首先進(jìn)行排列，然后排列其他一般元素或位置題設(shè)有“在”或“不在”等限制條件捆綁法在特定條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來(lái)考慮，待整個(gè)問(wèn)題排好之后再考慮它們“內(nèi)部”的排列數(shù)相鄰問(wèn)題插空法先把不受限制元素排列好，然后把特定元素插在它們之間或兩端的空隙當(dāng)中不相鄰問(wèn)題縮倍法在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序稱為定序問(wèn)題，這類問(wèn)題用縮小倍數(shù)的方法求解比較方便規(guī)定某幾個(gè)元素順序固定間接法當(dāng)正面問(wèn)題分的類較多，而反面問(wèn)題分的類較少時(shí)，不妨改變思維方向，即從結(jié)論或條件的反面進(jìn)行思考，這種方法稱為“間接法”有“至多”“至少”等條件限制續(xù)表先取后排法解決從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定位置上，先取后排法解決選排問(wèn)題的關(guān)鍵在于明確選排的要求選排問(wèn)題續(xù)表

[題組突破]1．(2021·河北衡水冀州中學(xué)模擬)將A，B，C，D，E五種不同的文件放入編號(hào)依次為1，2，3，4，5，6，7的七個(gè)抽屜內(nèi)，每個(gè)抽屜至多放一種文件．若文件A，B必須放入相鄰的抽屜內(nèi)，文件C，D也必須放入相鄰的抽屜內(nèi)，則所有不同的放法有(

)A．120種 B．210種C．420種D．240種D2．把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．答案：36

[典例剖析]類型1簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題[例1]

2021年元旦假期，高一年級(jí)的8名同學(xué)拼車去敬老院宣傳垃圾分類活動(dòng)，其中一班、二班、三班、四班每班各兩名，分乘甲乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(xué)(乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置)，其中一班兩名同學(xué)是孿生姐妹，需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來(lái)自同一個(gè)班的乘坐方式共有(

)A．18種B．24種 C．48種 D．36種B類型2簡(jiǎn)單的組合與排列混合問(wèn)題[例2]

(2020·江西紅色七校第二次聯(lián)考)某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市中投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，則該外商不同的投資方案有________種．答案：60

類型3不同元素分組、分配問(wèn)題[例3]

(2020·高考全國(guó)卷Ⅰ)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有(

)A．120種 B．90種C．60種 D．30種C方法總結(jié)“分組分配”問(wèn)題的解題技巧續(xù)表續(xù)表C2．將2名教師、4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有(

)A．12種 B．10種C．9種 D．8種A1．(2020·高考海南卷)要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有(

)A．2種 B．3種 C．6種