高等數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)作業(yè)答案解析

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一次作業(yè)點(diǎn)評(píng)1

第I章函數(shù)

第2章極限與連續(xù)

(-)單項(xiàng)選擇題

1.下列各函數(shù)對(duì)中，(C)中的兩個(gè)函數(shù)相等.

A.f(x)=(五尸，g(x)=xB.f(x)=y[x^,g(x)=x

3X2—1

C.f(x)=Inx3,g(x)=31nxD.f(x)=x+1,g(x)=-----

x-i

2.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?—00,+00),則函數(shù)/(%)+/(—X)的圖形關(guān)于(C)對(duì)稱(chēng).

A.坐標(biāo)原點(diǎn)B.x軸

C.y軸D.y=x

3.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B).

A.y=ln(l+x2)B.y=xcosx

Cl+。

C.y=D.y=ln(l4-x)

2

4.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(C).

A.y=x+1B.y=-x

[—1，x<0

C.y=/D.y=《

1,x>0

5.下列極限存計(jì)算不正確的是(D).

x2

A.lim—....=1B.limln(l+x)=0

18x+2io

「sinx八一一?1八

C.lim----=0D.limxsin-=0

XT81A-?00尤

6.當(dāng)X->0時(shí)，變量(C)是無(wú)窮小量.

C.xsin—D.ln(x+2)

x

點(diǎn)評(píng)：無(wú)窮小量乘以有界變量為無(wú)窮小量

7.若函數(shù)/(x)在點(diǎn)/滿足(A),則/(x)在點(diǎn)與連續(xù)。

A.limf(x)=/(x0)B./*)在點(diǎn)X。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

Xf0

C.limf(x)=/(x0)D.lim/(%)=lim/(x)

XT%

二、填空題______

1.函數(shù)/(x)=+(1+X)的定義域是.兇x<-3或r>3}

；1n

2.己知函數(shù)/(x+l)=/+%,則/(尤)=.x2-X

3.1im(l+—)v

182X

4.若函數(shù)/(無(wú))=((1+幻"在x=0處連續(xù)，則左=.e

x^k,x>0

x+1,x>0

5,函數(shù)y=(的間斷點(diǎn)是_______.X=0

sinx,x<0

6?若lim/(%)=A,則當(dāng)xf/時(shí)，/(x)—A稱(chēng)為.無(wú)窮小量

XT%

三計(jì)算題

1.設(shè)函數(shù)

exx>0

f(x)=<

X,x<0

求:y(-2),/(o),/(i).

解：/(-2)=-2

/(0)=0

/(I)=e'=e

點(diǎn)評(píng)：求分段函數(shù)的函數(shù)值主要是要判斷那一點(diǎn)是在哪一段上。即正確選擇某段函數(shù)

2r-1

2.求函數(shù)y=lg1g與」的定義域.

x

2r-1

解：欲使函數(shù)有意義，必使1g----->0,

X

2x-l

即：亦即：2x-l>x

x

解得函數(shù)的定義域是：x>\

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的變化范圍。

3.在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩

個(gè)端點(diǎn)在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù).

解：設(shè)梯形的高CM=x,則。M=/

梯形的上底0c=2歷二下底A3=2R

則梯形的面積_______

3*-/+2R)x

s=-----------------

2

=(^R2-X2+R)X(0<x<7?)

“十［.sin3x

4?求lim---.

1。sin2x

「sin3x

alim

EHJX-?03X313

解：原式=-x----差一=-x—

2sin2x212

lim

?io2x

點(diǎn)評(píng)：正確利用兩個(gè)重要極限，將函數(shù)作適當(dāng)變形。

x2-1

5.求lim———.

x"sin(x+1)

原式強(qiáng)Hlim(x-l)

解:x-1_______

..sin(x+l)

lim—

x+1x+lX+1

點(diǎn)評(píng)：正確利用兩個(gè)重要極限，將函數(shù)作適當(dāng)變形。

tan3尤

6?求lim------

1。x

sin3x

版cos3x*sin3x1sin3x11

解：lrim=31im-------x---------=31im--------xlim---------=3axltx-=3a

5%-。3Xcos3x53xA。COS3X1

點(diǎn)評(píng)：同上。

V1+x2—1

7?求lim------------.

a。sinx

解:原式二lim此，-1)(J]+匚與2=limA_xlim」—=0x1=0

3(71+x2+l)sinx—J1+/+1z。smx

X

點(diǎn)評(píng)：同上。

8.求lim(士I)，.

a00x+3

+33+3

<x_1V(x-lY(X+3-4Y(x+3-4\

解:原式=lim---------=hm-----?------

-人x+3)^x+3)x+3)\x+3)

_4丫+3_4Y3(_4丫+3

lim1+------=lim1+----------

x—>oo1x+3.x+3Jx+3J

x+3

lim

x—>00x+3.

x—6x+8

9.求lim----------

x-5x+4

r(x—4)(尤一2)x—22

解:原式=lim--------------=hm------=-

I(x-4)(x-l)x-13

10.設(shè)函數(shù)

2)2,x>1

f(X)=<X,-1<X<1

x+1,x<—1

討論/（x）的連續(xù)性，并寫(xiě)出其連續(xù)區(qū)間.

點(diǎn)評(píng)：討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，只要研究函數(shù)/（X）在該點(diǎn)處的左右極限情況,

然后再由函數(shù)連續(xù)性的定義判斷。

解：先看函數(shù)在分段點(diǎn)x=-l處的情況,

??.lim/（x）=lim（x+i）=T+i=。

lin/w=lim=-i

XT-1+X-?-l+

lim/a)hlim/(x),故lim/。)不存在。

XT-1

=為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)。

再看函數(shù)在分段點(diǎn)X=1處的情況，

7lim/(x)=limx=1

.r->rx-廣

linf(x)Tirrix-2尸=1

.r->I+A->r

???lim/3=lim/(x)，故lim/(X)=i。

A->rxf廣x->i

又因?yàn)?⑴=Xz=i

所以lim/(x)=AD

x->l

故x=l是函數(shù)/(x)的連續(xù)點(diǎn)。

函數(shù)/(x)在連續(xù)區(qū)間是：(-oo-l)u(-1,4-00)o

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第二次作業(yè)

第3章導(dǎo)數(shù)與微分

(-)單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)/(0)=0且極限limgl存在，則(B).

°Xx—>0%

A./(O)B.尸(0)

C.f\x)D.0

2.設(shè)/a)在可導(dǎo)，則:吧"出二丁/色)=(D).

A.-2/U)B,r(x°)

C.2/U)D.-f'(xQ)

3.設(shè)/(x)=e*，則Um/(1+以)-/⑴=(A).

-Ax

A.eB.2e

-11

C.—eD.—e

24

4.設(shè)/(%)=%(%-1)(工一2〉—(％-99),貝!]/，(())=(D).

A.99B.-99

C.99!D.-99!

5.下列結(jié)論中正確的是(C).

A.若/(x)在點(diǎn)有極限，則在點(diǎn)X?？蓪?dǎo).

B.若/(x)在點(diǎn)與連續(xù)，則在點(diǎn)與可導(dǎo).

C.若/(x)在點(diǎn)/可導(dǎo)，則在點(diǎn)/有極限.

D.若f(x)在點(diǎn)x0有極限，則在點(diǎn)與連續(xù).

(二)填空題

、r?，I?sin—%。0

1設(shè).函數(shù)/(x)T%，則/'(0)=Q

0,x=0

,、、「"“2rlredf(lnx)21nx+5

2設(shè)./(eA)=e2x+5e*,則—~-=--------

dxx

3.曲線/(x)=J7+1在(1,2)處的切線斜率是1.

4.曲線/(x)=sinx在弓，1)處的切線方程是y=l.

5.設(shè)y=》2x,則了=/XQ1nx+2).

6.設(shè)y=xlnx,則y"=—.

X

(三)計(jì)?算題

1,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y：

(1)y=(x>[x+3)ev

2312

解：y'=(x2ex+3ex)f=^x2ex+x2ex+3ex

231

=ex(x2+-x2+3)

(2)^=cotx+x2Inx

5,COSX.、,-sinxsinx-cosxcosx

解：y-(Z----+x2Inx)=+2xInxH---)

sinxsin2xx

=------+2xlnx+x

sinx

⑶y=

Inx

,2xlnx-xx(21nx-1)

解：v=----：----=------：-----

cosx+2”

⑷,二

(一sinx+2"In2)x3-(cosx+2A)-3x2

x6

_-xsinx+In2-2vx-3cosx-3-2V

Inx-x1

⑸y

sinx

12

(——2x)sinx-cosx(lnx一廠)

x

解：y=

sin2x

(1一2x2)sin九一xcos(Inx-x2)

xsin2x

A,.

(6)y=x-sinxlnx

5，/3/isinx、

解：y=4x-(cosxxlnxd-------)

x

/3Tsinx

=4x-cosxxlnx--------

x

,r、sinx+x2

⑺”丁一

切，(cosx+2x)3*-3'In3(sinx+x2)

解：y=

32X

_cosx+2x-In3(sinx+x2)

3

(8)y=extanx+Inx

解：yr=(eAtanx+———)+一

COSXX

"(sinxcosx+

cos2XX

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y：

(1)y=e6

解：y'——

2\x2x

⑵y=lncosx

切,-sinx

解：y=--------=-tanx

cosx

(3)y=

?i1N

解：因?yàn)閥二,冗4

7

所以yf=—x78

8

(4)y=sin2x

解：因?yàn)閥=2sinx-cosx=sin2x

i1_2

所以V=3("+/)3(1+

⑸、=sin尢2

解：yr=cosx2?2x=2xcosx2

(6)y=cose"

解：y'=-sin^A-ex

=-exsine'

(7)y=sin"xcosnx

解：yr=(sin"x)'cos〃x+sin"x?(cosnx)f

〃sinw-ix-cosx-cosnx+sin"x?(-sinnx)?n

二〃sin”"x(cosxcos-sinxsinnx)

⑻y=5$inx

解：設(shè)y=5"w=sinx

yr=y：?《二5"ln5-cosx=ln5-5s,nxcosx

(9)y=ecosv

解：設(shè)y=e"u=cosx

rrucosx

y=yu?u[=e-(-sinx)=-esinx

3.在下列方程中，y=y(x)是由方程確定的函數(shù)，求/：

解：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)：

yfcosx-ysinx=2e2y-yf

移項(xiàng)y'(cosx-2/v)=ysinx

，ysinx

所以：y=------

cosx-2e)

⑵丁=cosylnx

解：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)：

yr=(cosy)'Inx+cosy(lnx)r

,.cosy

y=-siny-ynInx+----

x

移項(xiàng)+sinyxInx)=cosy

x

cosy

所以:

x(l+Inxsiny)

x

(3)2冗siny=—

y

解：2s加y+2xcosy?y=-=--—yy'

yyy

2x.

2simy

.y-----------2xy9-2y~simy

y=——----------=--------------

cx22xy2cosy+x2

2xcosyd——-

(4)y=x+lny

解：因?yàn)椋?1+—

y

解得y'=」一

(5)lnx+ev=y2

解：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo):

-+ey-y'y'

x

整理得：y'

x(2y-ey)

(6)y2+1=e'siny

解：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)：

2y.y，=siny+excosy■y'

exsiny

整理得:

1y-excosy

(7)ev=ex-/

解：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo):

ey-y'-ex-3y2'y'

整理得：y'=--~-

e>+3y2

⑻y=5*+2>'

解：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo):

y'=5'In5+2yIn2?y'

整理得：

,5*In5

y~

■1-2yIn2

4.求下列函數(shù)的微分dy：

(l)y=cotx+cscx

??,1/1、，1cosx

解：因?yàn)閥=----—+(----)=-------------

sinxsinxsin-xsinx

l+cosx

sin2x

1+cosx

所以dy--dx

sin2x

Inx

sinx

—sinx-cosx-lnx

解：因?yàn)槎?=3---------------

sinx

_sinx-xcosx-lnx

xsin2x

-sinx-xcosx-lnx

所以dy=----------------dx

xsinx

⑶丁=sin?x

解：設(shè)y二"二u=sinx

則y'=y'u><

=2w-cosx=2sinx-cosx

=sin2x

所以dy=sin2xdx

(4)y=tanev

解：設(shè)：y=tanw,u=ex

則y'=y'u-<

]

cos2u

所以dy=----dx

cosex

5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):

解：y'=3'ln3

/=(3AIn3y=3vln3xln3

(3)y=Inx

解：yr=—

X

yn=(-)/=--V

xx

(4)y=xsinx

解：y'=sinx+xcosx

y"=(sinx+xcosx)'=cosx+cosx-xsinx

=2cosx-xsinx

(四)證明題

設(shè)/(x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證/'(X)是偶函數(shù).

證明：因?yàn)?(X)是奇函數(shù)，所以

又因?yàn)?(X)可導(dǎo)，函數(shù)/(-劃為復(fù)合函數(shù)。

對(duì)/(_x)=—/(x)兩端對(duì)X求導(dǎo)，得：

fX-x)■(-x)z=-f\x)

ep-/,(-x)=-r(x)

所以：/'(—x)=f'(x)

根據(jù)偶函數(shù)的定義，/'(X)是偶函數(shù)。

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第三次作業(yè)

第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(一)單項(xiàng)選擇題

1.若函數(shù)/(X)滿足條件(D),則存在切，使得⑷

b-a

A.在3,0)內(nèi)連續(xù)

B.在(a,價(jià)內(nèi)可導(dǎo)

C.在(a,勿內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)’

D.在［a,切內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

2.函數(shù)/(x)=V+4x—1的單調(diào)增加區(qū)間是(D).

A.S,2)B.(-1,1)

C.(2,+oo)D.(—2,+8)

3.函數(shù)丁=/+4》-5在區(qū)間(—6,6)內(nèi)滿足(A).

A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降

C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降D.單調(diào)上升

4.函數(shù)/(X)滿足f(x)=0的點(diǎn),一定是/(x)的(C).

A.間斷點(diǎn)B.極值點(diǎn)

C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)

5.設(shè)/(X)在(a,加內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，xoe(a,b),若/(x)滿足(C),則/(幻

在與取到極小值.

A.r(xo)>o,r(xo)=oB.r(xo)<o,r(xo)=o

c./'(%)=0,〃(％)>0D./U)=O，rUo)<O

6.設(shè)/a)在(a,加內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且/'(x)<0,/"(x)<0,則/(x)在此區(qū)間內(nèi)

是(A).

A.單調(diào)減少且是凸的B.單調(diào)減少且是凹的

C.單調(diào)增加且是凸的D.單調(diào)增加且是凹的

7.設(shè)函數(shù)/(刈=”/一(所)2—。》一4在點(diǎn)》=1處取得極大值一2,則。=(1).

,1

A.1B.—

3

(-)填空題

1.設(shè)f(x)在(a,份內(nèi)可導(dǎo)，x0G(a,b),且當(dāng)x</時(shí)f'(x)<0,當(dāng)x>/時(shí)

/'a)>0,則%是f{x}的極小值點(diǎn).

2.若函數(shù)/⑶在點(diǎn)與可導(dǎo)，且X。是/(x)的極值點(diǎn)，則/(與)=_0______.

3.函數(shù)y=ln(l+x2)的單調(diào)減少區(qū)間是(—8,0).

4.函數(shù)f(x)=e'的單調(diào)增加區(qū)間是(0,+8).

5.若函數(shù)/(x)在［a,b］內(nèi)恒有.y'(x)<0,則/(x)在［a,切上的最大值是皿.

6.函數(shù)/(%)=2+5x-3/的拐點(diǎn)是(0.2).

7.若點(diǎn)(1,0)是函數(shù)/(x)=0x3+。/+2的拐點(diǎn)，則。=」,b=q

(三)計(jì)算題

3

1.求函數(shù)^=(X+1)5(X—5)2的單調(diào)區(qū)間和極值.

解：y=^(x+l)2(x-5)2+2(x+1)2(x-5)=(x+1)2(x-5X3x-154-4x+4)

=^(%+1)2(%+5^7%-11)=0

得駐點(diǎn)：x=-1x=5x=—

7

(

X-i1155,+oo)

7

Y0+0—0+

y左端點(diǎn)極大極小

Z的)=0/

(7J2401

???/(x)在-l，S］u(5,+oo)內(nèi)單調(diào)上升，在［：,5］內(nèi)單調(diào)下降。

極大值是X-U色黑V14極小值是/(5)=0

(7)2401

2.求函數(shù)y=#(去一2x)2在區(qū)間［0,3］內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值.

解：y=-1(%2-2x)-^(2%-2)=0得駐點(diǎn)x=l

又當(dāng)x=0x=2時(shí)y無(wú)意義，但原函數(shù)連續(xù)

.*.f(0)=0f(l)=lf(2)=0f(3)=返

()()

X00,1)1(1,222,33

V無(wú)意義+0—無(wú)意義++

極大值極小值

y0//

f⑴=1f(2)=0/

最小值f(0)=f⑵=0最大值是f(3)=正極大值f(1)=1極小值f(2)=0

3.試確定函數(shù)y=+法2+cx+d中的a,6,c,d,使函數(shù)圖形過(guò)點(diǎn)(-2,44)和點(diǎn)

(1,-10),且x=—2是駐點(diǎn)，x=l是拐點(diǎn).

解：?.?y=o?+加2+cx+d的圖形過(guò)點(diǎn)(―2,44)和點(diǎn)(1,一10),且x=-2是駐點(diǎn)，

x=1是拐點(diǎn).

?'-8x+4Z?-2c+d=44"a=l

a+b+c+d=—10=>b二-3

Y

12a-4b+c=0c=-24

v6a+2Z?=0-d=16

4.求曲線V=2x上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A(2,0)的距離最短.

解：設(shè)曲線V=2x上的點(diǎn)(x,y),即(x,伍)到A(2,0)的距離記為d

則d=-J（x-2）2+2x=y/x2-2x+4

d=2x-2=^0x=l（唯一）.?.當(dāng)x=l時(shí)>=血

2y/x2-2x+4

即點(diǎn)（1,后）到（2,0）的距離最短。

5.圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L(zhǎng),問(wèn)當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的

體積最大？

解：設(shè)圓柱體的底面半徑為X,高為力，則〃=勿―/

V=7DC1h=7lX1\l2—X2

3加？2蟲(chóng)/212）玄3_2ml2—3OT3

v=2TIX^12-x1=0

27/2-X27/2-%27/2-%2

x=?,h=與忖,圓柱體的體積最大。

6.一體積為V的圓柱體，問(wèn)底半徑與高各為多少時(shí)表面積最??？

解：設(shè)圓柱體的底面半徑為x,高為入，v=nx2h則力—

v92v_2

s=2玄/1+2帚2TZX——+---F2wc

71X~X

4--2v

=0

x2

時(shí)，圓柱體的表面積最小。

7.欲做一個(gè)底為正方形，容積為62.5立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器,怎樣做法用料最省？

解：設(shè)長(zhǎng)方體底面正方形的邊長(zhǎng)為x米，長(zhǎng)方體的高為h米，

則容積62.5=X2//力=字

X

主的工口2A12A62.52250

表面積：s=x+4xh=x+4x――=x+---

XX

2/250

=0x=5（米）

2

Xx

x=5,/z=2.5時(shí)用料最省。

8?從面積為S的所有矩形中，求其周長(zhǎng)最小者.

解：設(shè)矩形的邊長(zhǎng)為X米，寬為y米，S=刈,y=e

X

2s

周長(zhǎng)l=2x+—

X

2s2廠—2s

/一-一o,%=V7（唯一駐點(diǎn)）

272

XX

則當(dāng)長(zhǎng)為“，寬為"時(shí)，其周長(zhǎng)最小.

9.從周長(zhǎng)為L(zhǎng)的所有矩形中，求其面積最大者.

解：設(shè)矩形的邊長(zhǎng)為x米，寬為y米，/=2(x+y),y=Ll-2^x

則面積s=x^-^=^(lx-2x2)

s'=g(/—4x)=0,x=：(唯一駐點(diǎn))l-2x

2

則當(dāng)長(zhǎng)為‘，寬為,時(shí)，其面積最大。

X

48

(四)證明題

1.當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式%>ln(l+%).

證明利用函數(shù)的單調(diào)性證明

設(shè)/(x)=x-ln(l+x)/*(x)=1--------=—X—>0,(x>

1］+x

???/(x)在［0+8)內(nèi)單調(diào)增加，當(dāng)工>0時(shí)，有〃x)>/(0)

即/(x)=x-ln(l+x)>0

x>ln(l+x)成立

2.當(dāng)1>0時(shí)，證明不等式e<>x+l.

證明利用函數(shù)的單調(diào)性證明

設(shè)/(x)=ex-x-\/(x)=-1>0,(x>0)

/(x)在［O+oo)內(nèi)單調(diào)增加，當(dāng)x>0時(shí)，有/(j>/(o)

即/(x)=e*-x-1>0

ev>x+1成立

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第四次作業(yè)

第5章不定積分

第6章定積分及其應(yīng)用

(-)單項(xiàng)選擇題

1.若/(X)的一個(gè)原函數(shù)是L貝ij/'(x)=(D).

X

A.ln|x|B.------

12

C.-D.——

xx

2.下列等式成立的是(D).

A.J/，(x)dx=/(x)B.Jdf(x)=/(x)

c.djf(x)dx=/(x)

3,若/(x)=cosx,則j/"(x)dx=(B).

A.sinx+cB.cosx+c

C.-sinx+cD.—COSX+C

4.-^-jx2/(x3)dr=(B).

A./(x3)B.//，)

c.*)D.1/U3)

5.若jf(x)dx=F(x)+C,則(B).

A.F(VX)4-CB.2F(Vx)+c

1

C.F(2>/x)+cD.F（G）+

6.下列無(wú)窮限積分收斂的是（D）.

(二)填空題

1.函數(shù)/(幻的不定積分是.1/(幻心=尸(幻+。

2,若函數(shù)F(x)與G(x)是同一函數(shù)的原函數(shù)，則F(x)與G(x)之間有關(guān)系

式.G(x)=F(x)+c

3.dJerdx=.exdx

4.j(tanx)'dx=.tanx+c

5.若j/(x)dx=cos3x+c,則fr(x)=.-9cos3x

6.j(sin5x+^)dr=.3

7.若無(wú)窮積分JJ二dr收斂，則p.>1

（三）計(jì)算題

1

cos—

X

xxX

dx

解：原式=2。'%6=2e?+c

3.[—!—dx

Jxlnx

4.Jxsin2xdx

解：原式二-;Jxdcos2x

=--(xcos2x--sin2x+c)

22

re3+lnx,

5.------dr

JiX

解：原式二j(3+Inx)dInx=3Jdlnx+JlnWlnx

ii

1e