專題20 概率、隨機變量與分布列（解析版）

專題20概率、隨機變量與分布列一、知識速覽二、考點速覽知識點1隨機事件的概率與古典概型1、事件的相關概念2、頻率與概率的關系（1）頻率：在次重復試驗中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復盡心同一試驗時，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，并且在它附近擺動，這時，就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關系：對于給定的隨機事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計概率．3、事件的關系與運算（1）包含關系：一般地，對于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．（2）相等關系：一般地，若且，稱事件與事件相等．（3）并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當且僅當事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．（4）交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當且僅當事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．（5）互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥；如果，，…，中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．（6）對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．4、概率的基本性質(zhì)（1）對于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則，，且．（5）概率的單調(diào)性：若，則．（6）若，是一次隨機實驗中的兩個事件，則．5、古典概型（1）古典概型的定義：一般地，若試驗具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．2、古典概型的概率公式：一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率．知識點2相互獨立事件與條件概率、全概率1、相互獨立事件（1）相互獨立事件的概念對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設，根據(jù)條件概率的計算公式，，從而．由此可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．（2）概率的乘法公式：由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨立事件的性質(zhì)：如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．（4）兩個事件的相互獨立性的推廣：兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發(fā)生的概率．2、條件概率（1）條件概率的定義：一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．（2）條件概率的性質(zhì)=1\*GB3①條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．=2\*GB3②必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．=3\*GB3③如果與互斥，則．3、全概率公式（1）全概率公式：；（2）若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．4、貝葉斯公式（1）一般地，當且時，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且知識點3隨機變量的分布列、均值與方差1、隨機變量的有關概念（1）隨機變量：隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．（2）離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量．2、離散型隨機變量分布列（1）離散型隨機變量分布列的表示：一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．（2）分布列的性質(zhì)：（1），；（2）．3、離散型隨機變量的均值與方差：（1）均值：為隨機變量的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．（2）均值的性質(zhì)=1\*GB3①（為常數(shù)）．=2\*GB3②若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．=3\*GB3③．=4\*GB3④如果相互獨立，則．（3）方差：為隨機變量的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱其算術平方根為隨機變量的標準差．（4）方差的性質(zhì)=1\*GB3①若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．=2\*GB3②方差公式的變形：．知識點4兩點分布、二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布1、兩點分布：若隨機變量X的分布列具有下表的形式，則稱X服從兩點分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率．X01P1－pp2、二項分布（1）次獨立重復試驗：一般地，在相同條件下重復做的次試驗稱為次獨立重復試驗．【注意】獨立重復試驗的條件：①每次試驗在同樣條件下進行；②各次試驗是相互獨立的；③每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．（2）二項分布的表示：一般地，在次獨立重復試驗中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，），于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項式展開式各對應項的值，稱這樣的離散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作，并稱為成功概率．（3）二項分布的期望、方差：若，則，．3、超幾何分布：在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量服從超幾何分布．01……4、正態(tài)曲線與正態(tài)分布（1）正態(tài)曲線：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標準差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．（2）正態(tài)曲線的性質(zhì)=1\*GB3①曲線位于軸上方，與軸不相交；=2\*GB3②曲線是單峰的，它關于直線對稱；=3\*GB3③曲線在處達到峰值（最大值）；=4\*GB3④曲線與軸之間的面積為1；=5\*GB3⑤當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移；=6\*GB3⑥當一定時，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，（3）正態(tài)分布：一般地，如果對于任何實數(shù)，，隨機變量滿足，則稱隨機變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標準差去估計．（4）原則若，則對于任意的實數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值，并簡稱之為原則．一、隨機事件的頻率與概率1、頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值．2、隨機事件概率的求法：利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率．【典例1】（2023·全國·高三對口高考）下列說法：①設有一批產(chǎn)品，其次品率為，則從中任取200件，必有10件次品；②做100次拋硬幣的試驗，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的概率是；③隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值；④隨機事件A的概率趨近于0，即趨近于0，則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點的頻率是；⑥隨機事件的頻率就是這個事件發(fā)生的概率；其中正確的有.【答案】③⑤【解析】概率指的是無窮次試驗中，出現(xiàn)的某種事件的頻率總在一個固定的值的附近波動，這個固定的值就是概率.①通過概率定義可以分析出，出現(xiàn)的事件是在一個固定值波動，并不是一個確定的值，則本題中從該批產(chǎn)品中任取200件，應該是10件次品左右，不一定出現(xiàn)10件次品，錯誤；②100次拋硬幣的試驗并不是無窮多次試驗，出現(xiàn)的頻率也不是概率，事實上硬幣只有兩個面，每個面出現(xiàn)的概率是相等的，所以因此出現(xiàn)正面的概率是，錯誤；③隨機事件的概率是通過多次試驗，算出頻率后來估計它的概率的，當試驗的次數(shù)多了，這個頻率就越來越接近概率，所以隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，正確；④隨機事件A的概率趨近于0，說明事件A發(fā)生的可能性很小，但并不表示不會發(fā)生，錯誤；⑤拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點的頻率是，正確；⑥根據(jù)概率的定義，隨機事件的頻率只是這個事件發(fā)生的概率的近似值，它并不等于概率，錯誤；綜上，正確的說法有③⑤.故答案為：③⑤【典例2】（2021上·四川成都·高三石室中學?？奸_學考試）在一次拋硬幣的試驗中，某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了40次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）A．，0.4B．，0.5C．，0.5D．，【答案】C【解析】某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗，正面朝上出現(xiàn)了40次，所以出現(xiàn)正面朝上的頻率為，因為每次拋硬幣時，正面朝上和反面朝上的機會相等，都是，所以出現(xiàn)正面朝上的概率是，故選：C二、判斷互斥、對立事件的兩種方法（1）定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．（2）集合法：①由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集．【典例1】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則（）A．事件1與事件3互斥B．事件1與事件2互為對立事件C．事件2與事件3互斥D．事件3與事件4互為對立事件【答案】B【解析】由題可知，事件1可表示為：,事件2可表示為：,事件3可表示為：,事件4可表示為：,因為，所以事件1與事件3不互斥，A錯誤；因為為不可能事件，為必然事件，所以事件1與事件2互為對立事件，B正確；因為，所以事件2與事件3不互斥，C錯誤；因為為不可能事件，不為必然事件，所以事件3與事件4不互為對立事件，D錯誤；故選：B.【典例2】（2023·湖南·高三校聯(lián)考二模）隨著2022年卡塔爾世界杯的舉辦，中國足球也需要重視足球教育．某市為提升學生的足球水平，特地在當?shù)剡x拔出幾所學校作為足球特色學校，開設了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四類足球體驗課程．甲、乙兩名同學各自從中任意挑選兩門課程學習，設事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇‘5人制’課程”，則（）A．A與為對立事件B．A與互斥C．A與相互獨立D．與相互獨立【答案】C【解析】依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形：①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同，故A與互斥不對立，A錯誤；當甲乙兩人均未選擇“5人制”課程時，兩人可能選的課程有一門相同，A與不互斥，B錯誤；所以，，，且，所以，，即A與相互獨立，與不相互獨立，C正確，D錯誤，故選：C．三、復雜事件的概率的兩種求法（1）直接求法，將所求事件分解為一些彼此互斥的事件，運用互斥事件的概率求和公式計算．（2）間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就比較簡便．【典例1】（2023上·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習）已知某音響設備由五個部件組成，A電視機，B影碟機，C線路，D左聲道和E右聲道，其中每個部件能否正常工作相互獨立，各部件正常工作的概率如圖所示.能聽到聲音，當且僅當A與B至少有一個正常工作，C正常工作，D與E中至少有一個正常工作.則聽不到聲音的概率為（）A．0.19738B．0.00018C．0.01092D．【答案】A【解析】設能聽到聲音為事件，則,所以聽不到聲音的概率.故選：A【典例2】（2023下·四川眉山·高三?？奸_學考試）一個盒子內(nèi)裝有若干個大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是，摸出白球的概率是，那么從盒中摸出1個球，摸出黑球或紅球的概率是．【答案】【解析】因為一個盒子內(nèi)裝有若干個大小相同的紅球、白球和黑球，則從中摸出1個球，摸出紅球，白球和黑球的事件兩兩互斥，又摸出紅球的概率是，摸出白球的概率是，所以摸出黑球的概率是，所以從盒中摸出1個球，摸出黑球或紅球的概率是，故答案為：.【典例3】（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學考試）位于數(shù)軸上的粒子A每次向左或向右移動一個單位長度，若前一次向左移動一個單位長度，則后一次向右移動一個單位長度的概率為，若前一次向右移動一個單位長度，則后一次向右移動一個單位長度的概率為，若粒子A第一次向右移動一個單位長度的概率為，則粒子A第二次向左移動的概率為.【答案】【解析】由題意知粒子A第一次向右移動一個單位長度的概率為，那么粒子A第一次向左移動一個單位長度的概率為，故粒子A第一次向右移動，第二次向左移動的概率為；粒子A第一次向左移動，第二次向左移動的概率為；故所求的概率，故答案為：四、古典概型的概率用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件個數(shù)除以基本事件空間Ω所含的基本事件個數(shù)求解事件A發(fā)生的概率P(A)．解題的關鍵如下：①定型，即根據(jù)古典概型的特點——有限性與等可能性，確定所求概率模型為古典概型．②求量，利用列舉法、排列組合等方法求出基本事件空間Ω及事件A所含的基本事件數(shù)．③求值，代入公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù))求值．【典例1】（2023上·四川成都·高三?？茧A段練習）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不超過30的素數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)共有種，其中和等于30的有這3種情況，所以在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是.故選：B.【典例2】（2023上·江蘇徐州·高三統(tǒng)考期中）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，將得到的點數(shù)記為，則能夠構成鈍角三角形的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，將得到的點數(shù)記為，則a的取值可能為，有6種可能；能夠構成三角形時，需滿足，若能夠構成鈍角三角形，當5所對角為鈍角時，有，此時；當a所對角為鈍角時，需滿足，此時沒有符合該條件的a值，故能夠構成鈍角三角形的概率是，故選：D【典例3】（2023上·上?！じ呷亟袑W校考期中）某工廠生產(chǎn)、兩種型號的不同產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個樣本容量為的樣本，則其中種型號的產(chǎn)品有件，現(xiàn)從樣本中抽出兩件產(chǎn)品，此時含有型號產(chǎn)品的概率為.【答案】【解析】依題意樣本中種型號的產(chǎn)品有件，現(xiàn)從樣本中抽出兩件產(chǎn)品共有種取法，其中含有型號產(chǎn)品的有種取法，所以含有型號產(chǎn)品的概率.故答案為：五、求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)首先判斷幾個事件的發(fā)生是否相互獨立．(2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有：①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解．②正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算．【典例1】（2023上·重慶·高三重慶一中校考開學考試）某同學進行一項投籃測試，若該同學連續(xù)三次投籃成功，則通過測試；若出現(xiàn)連續(xù)兩次失敗，則不通過測試.已知該同學每次投籃的成功率為，則該同學通過測試的概率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設投籃只成功一次后通過，概率為，那么投籃只失敗過一次后，下一次若投籃失敗，則不通過，故投籃只失敗過一次后通過概率為，故，解得：，故通過的概率為.故選：D【典例2】（2023上·江蘇·高三期中）一個不透明的盒子中裝有三個紅球，一個白球.從盒子中取兩次球，若每次取出1個或2個球的概率均為，則最終盒子里只剩下一個白球的概率為.【答案】【解析】記“最終盒子里只剩下一個白球”為事件，第一種情況，第一次先拿1個紅色球，第二次拿2個紅色球，則概率為：，第一種情況，第一次先拿2個紅色球，第二次拿1個紅色球，則概率為：，所以最終盒子里只剩下一個白球的概率為.故答案為：.六、求條件概率的兩種方法（1）利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得，這是求條件概率的通法．（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得.【典例1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）甲、乙兩位學生在學校組織的課后服務活動中，準備從①②③④⑤5個項目中分別各自隨機選擇其中一項，記事件：甲和乙選擇的活動各不同，事件：甲和乙恰好一人選擇①，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意知，，，所以，故選：B.【典例2】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）第33屆奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行.某田徑運動員準備參加100米?200米兩項比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運動員100米比賽未能站上領獎臺的概率為，200米比賽未能站上領獎臺的概率為，兩項比賽都未能站上領獎臺的概率為，若該運動員在100米比賽中站上領獎臺，則他在200米比賽中也站上領獎臺的概率是.【答案】【解析】設在200米比賽中站上領獎臺為事件，在100米比賽中站上領獎臺為事件，則，，，，則，則，故.七、全概率公式與貝葉斯公式的使用1、全概率公式在解題中體現(xiàn)了“化整為零、各個擊破”的轉(zhuǎn)化思想，可將較為復雜的概率計算分解為一些較為容易的情況分別進行考慮．2、利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計算，即；第二步：計算，可利用求解；第三步：代入求解．3、貝葉斯概率公式反映了條件概率，全概率公式及乘法公式之間的關系，即．【典例1】（2023·河北秦皇島·高三校聯(lián)考二模）根據(jù)某機構對失蹤飛機的調(diào)查得知：失蹤的飛機中有70%的后來被找到，在被找到的飛機中，有60%安裝有緊急定位傳送器，而未被找到的失蹤飛機中，有90%未安裝緊急定位傳送器，緊急定位傳送器是在飛機失事墜毀時發(fā)送信號，讓搜救人員可以定位的裝置.現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤，則它被找到的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設“失蹤的飛機后來被找到”，“失蹤的飛機后來未被找到”，“安裝有緊急定位傳送器”，則，，安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤，它被找到的概率為.故選：C.【典例2】（2023·吉林長春·高三統(tǒng)考一模）某學校有，兩家餐廳，某同學第1天等可能地選擇一家餐廳用餐，如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為，如果第一天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為，則該同學第2天去餐廳的概率為．【答案】【解析】設“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去餐廳用餐”，“第2天去餐廳用餐”，根據(jù)題意得，，，由全概率公式，得，因此該同學第天去餐廳用餐的概率為.故答案為：.【典例3】（2023上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）居民的某疾病發(fā)病率為，現(xiàn)進行普查化驗，醫(yī)學研究表明，化驗結(jié)果是可能存有誤差的．已知患有該疾病的人其化驗結(jié)果呈陽性，而沒有患該疾病的人其化驗結(jié)果呈陽性．現(xiàn)有某人的化驗結(jié)果呈陽性，則他真的患該疾病的概率是（）A．0.99B．0.9C．0.5D．【答案】C【解析】記事件某人患病，事件化驗結(jié)果呈陽性，由題意可知，，，所以，，現(xiàn)在某人的化驗結(jié)果呈陽性，則他真的患該疾病的概率是：.故選：C.八、求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟（1）理解X的意義，寫出X可能取的全部值．（2）求X取每個值時的概率．（3）寫出X的分布列．（4）由均值的定義求E(X)．（5）由方差的定義求D(X)．【典例1】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學考試）已知隨機變量X的分布列如下表所示，若，則（）X01PabA．B．C．D．【答案】B【解析】因為，且各概率之和為，所以，解得，所以.故選：B.【典例2】（2022·全國·高三專題練習）設，則隨機變量的分布列是01則當在內(nèi)減小時，（）A．減小B．增大C．先減小后增大D．先增大后減小【答案】C【解析】根據(jù)題意可得，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以先減小后增大.故選：C.【典例3】（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）設離散型隨機變量的期望和方差分別為和，且，則（）A．B．C．D．和大小不確定【答案】C【解析】設，則，，，.，所以，所以，故選：C．九、獨立重復試驗與二項分布1、定型：“獨立”“重復”是二項分布的基本特征，“每次試驗事件發(fā)生的概率都相等”是二項分布的本質(zhì)特征．判斷隨機變量是否服從二項分布，要看在一次試驗中是否只有兩種試驗結(jié)果，且兩種試驗結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨立重復試驗，隨機變量是否為某事件在這n次獨立重復試驗中發(fā)生的次數(shù)．2、定參，確定二項分布中的兩個參數(shù)n和p，即試驗發(fā)生的次數(shù)和試驗中事件發(fā)生的概率．3、列表，根據(jù)離散型隨機變量的取值及其對應的概率，列出分布列．4、求值，根據(jù)離散型隨機變量的期望和方差公式，代入相應數(shù)據(jù)求值．相關公式：已知X～B(n，p)，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【典例1】（2023·遼寧撫順·高三?？寄M預測）（多選）為備戰(zhàn)2023年我國杭州舉行的亞運會，某國乒乓球隊加緊訓練進行備戰(zhàn).該國乒乓球隊主教練在訓練課上，安排甲、乙兩名男單主力隊員與陪練進行對抗性訓練，訓練方法如下：甲、乙兩人每輪分別與陪練打兩局，兩人獲勝局數(shù)和為3或4時，則認為這輪訓練合格，若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為，每局之間相互獨立，且.記甲、乙在輪訓練中合格輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲、乙兩人訓練的輪數(shù)可能為（）A．24B．26C．27D．28【答案】CD【解析】由題意可知，則，設訓練過關，一輪中獲勝3局，一輪中獲勝4局，則，，，，則，令，則，由題意可知，則，所以，解得.故選：CD.【典例2】（2023·江蘇連云港·校考模擬預測）某活動現(xiàn)場設置了抽獎環(huán)節(jié)，在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“敬業(yè)”或“愛國”圖案，抽獎規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“愛國”和“敬業(yè)”卡即可獲獎；否則，均為不獲獎．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復進行．活動開始后，一位參加者問：“盒中有幾張“愛國”卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是“敬業(yè)”卡的概率是.”（1）求抽獎者獲獎的概率；（2）為了增加抽獎的趣味性，規(guī)定每個抽獎者先從裝有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規(guī)則進行抽獎，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎，用X表示獲獎的人數(shù)，求X的分布列和均值．【答案】（1）；（2）分布列見解析，【解析】（1）設“敬業(yè)”卡有n張，由已知可得，解得，故“愛國”卡有5張，抽獎者獲獎的概率為.（2）若抽出的為“敬業(yè)”卡，則每個抽獎者獲獎的概率為，若抽出的為“愛國”卡，則每個抽獎者獲獎的概率為，所以，新規(guī)則下，每個抽獎者獲獎的概率為，所以，（，1，2，3），則X的分布列為X0123P所以.十、求超幾何分布的分布列的步驟第一步：驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)的值；第二步：根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；第三步：用表格的形式列出分布列。【典例1】（2023·陜西漢中·高三校聯(lián)考模擬預測）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補齊貧困地區(qū)義務教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實脫貧攻堅根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問題，某市教育局擬從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動．支教活動共分3批次進行，每次支教需要同時派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗，3人沒有支教經(jīng)驗．（1）求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動中恰有兩次被抽選到的概率；（2）求第一次抽取到無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)的分布列；【答案】（1）；（2）分布列見解析【解析】（1）5名優(yōu)秀教師中的“甲”在每輪抽取中，被抽取到的概率為，則三次抽取中，“甲”恰有兩次被抽取到的概率為；（2）X表示第一次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)，X的可能取值有0，1，2．；；．所以分布列為：X012P【典例2】（2023上·陜西西安·高三西安中學?？茧A段練習）某中學進行校慶知識競賽，參賽的同學需要從10道題中隨機抽取4道來回答．競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得分．（1）已知甲同學每題回答正確的概率均為，且各題回答正確與否之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；（2）已知乙同學能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列．【答案】（1），；（2）答案見解析【解析】（1）設甲答對題目的數(shù)目為，則，可得，又因為，所以，.（2）設乙答對的題目數(shù)為，可知的可能取值為0，1，2，3，4，則，則有：，，，所以的分布列為：102540十一、關于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法（1）熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．（2）充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，從而在關于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【典例1】（2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）設隨機變量，隨機變量，與之間的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由、分布曲線關于軸對稱，則，∵越大，正態(tài)分布曲線越扁平，∴.故選：C【典例2】（2023上·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校ǘ噙x）已知，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】因為，則，，，，ACD對，B錯.故選：ACD.【典例3】（2023下·河南開封·高三通許縣第一高級中學?？茧A段練習）若隨機變量，若，則．【答案】【解析】由題意知隨機變量，，所以，即，即，而，則，故答案為：易錯點1互斥事件與對立事件關系模糊點撥：“互斥事件”和“對立事件”都是就兩個事件而言的，互斥事件是指事件A與事件B在一次實驗中不會同時發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B在一次實驗中有且只有一個發(fā)生，因此，對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件?！镜淅?】（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預測）袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有一個白球；都是白球B．至少有一個白球；至少有一個紅球C．至少有一個白球；紅?黑球各一個D．恰有一個白球；一個白球一個黑球【答案】C【解析】對于A，至少有一個白球和都是白球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，A不是；對于B，至少有一個白球和至少有一個紅球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，B不是；對于C，至少有一個白球和紅、黑球各一個的兩個事件不能同時發(fā)生但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，C是；對于D，恰有一個白球和一個白球一個黑球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，D不是.故選：C【典例2】（2024上·山西朔州·高三校聯(lián)考開學考試）（多選）從1，2，3，，9中任取三個不同的數(shù)，則在下述事件中，是互斥但不是對立事件的有（）A．“三個都為偶數(shù)”和“三個都為奇數(shù)”B．“至少有一個奇數(shù)”和“至多有一個奇數(shù)”C．“至少有一個奇數(shù)”和“三個都為偶數(shù)”D．“一個偶數(shù)兩個奇數(shù)”和“兩個偶數(shù)一個奇數(shù)”【答案】AD【解析】從1~9中任取三數(shù)，按這三個數(shù)的奇偶性分類，有四種情況：（1）三個均為奇數(shù)；（2）兩個奇數(shù)一個偶數(shù)；（3）一個奇數(shù)兩個偶數(shù)；（4）三個均為偶數(shù)，所以選項A、D是互斥但不是對立事件，選項C是對立事件，選項B不是互斥事件.故選：AD.【典例3】（2023·廣西柳州·高三柳州高級中學校聯(lián)考模擬預測）從數(shù)學必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有一本政治與都是數(shù)學B．至少有一本政治與都是政治C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學D．恰有1本政治與恰有2本政治【答案】D【解析】從裝有2本數(shù)學和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學一本政治”.對于A，事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學”是對立事件，故A錯誤；對于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個事件是包含關系，不是互斥事件，故B錯誤；對于C，事件“至少有一本數(shù)學”包含事件：“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，因此兩個