2024屆天津市南開區(qū)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆天津市南開區(qū)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時，二面角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題：今有芻甍（底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w），下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何．下圖網(wǎng)格紙中實(shí)線部分為此芻甍的三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1丈，那么此芻甍的體積為（）A．3立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈3．等比數(shù)列中，，則等于是（）A． B．4 C． D．4．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A．3 B．6 C．9 D．815．在區(qū)間上隨機(jī)選取一個實(shí)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率是（）A． B． C． D．6．在△ABC中角ABC的對邊分別為A．B．c，cosC＝，且acosB+bcosA＝2，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C． D．7．方程的解所在區(qū)間是（）A． B．C． D．8．經(jīng)過原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓C:截得的弦長是，則圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于（）A． B． C． D．9．在中，內(nèi)角所對的邊分別是．已知，，，則A． B． C． D．10．若是異面直線，直線，則與的位置關(guān)系是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若滿足約束條件，的最小值為，則________．12．若函數(shù)的圖象與直線恰有兩個不同交點(diǎn)，則m的取值范圍是________.13．已知函數(shù)f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，則f()＝________.14．如圖，在水平放置的邊長為1的正方形中隨機(jī)撤1000粒豆子，有400粒落到心形陰影部分上，據(jù)此估計(jì)心形陰影部分的面積為_________.15．已知數(shù)列，若對任意正整數(shù)都有，則正整數(shù)______；16．函數(shù)的最小正周期為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，.（1）求；（2）求.18．的內(nèi)角的對邊分別為，.（1）求；（2）若，的面積為，求.19．計(jì)算：（1）（2）（3）20．如圖是某地某公司名員工的月收入后的直方圖．根據(jù)直方圖估計(jì)：（1）該公司月收入在元到元之間的人數(shù)；（2）該公司員工的月平均收入.21．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，．（1）從第幾項(xiàng)開始；（2）求數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

當(dāng)平面ACD垂直于平面BCD時體積最大，得到答案.【題目詳解】取中點(diǎn)，連接當(dāng)平面ACD垂直于平面BCD時等號成立.此時二面角為90°故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐體積的最大值，確定高的值是解題的關(guān)鍵.2、B【解題分析】幾何體如圖：體積為，選B.點(diǎn)睛：(1)解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷；(2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會利用反例對概念類的命題進(jìn)行辨析．3、B【解題分析】

利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式直接求解即可.【題目詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

利用等比數(shù)列性質(zhì)可求得，將所求式子利用對數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列性質(zhì)可化為，代入求得結(jié)果.【題目詳解】且本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是靈活利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

根據(jù)求出的范圍，再由區(qū)間長度比即可得出結(jié)果.【題目詳解】區(qū)間的長度為；由，解得，即，區(qū)間長度為，事件“”發(fā)生的概率是.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查與長度有關(guān)的幾何概型，熟記概率計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、D【解題分析】

首先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出sinC的值，進(jìn)一步利用余弦定理和三角形的面積公式及基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．【題目詳解】△ABC中角ABC的對邊分別為a、b、c，cosC，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式sin1C+cos1C＝1，解得sinC，由于acosB+bcosA＝1，利用余弦定理，解得c＝1．所以c1＝a1+b1﹣1abcosC，整理得4，由于a1+b1≥1ab，故，所以．則，△ABC面積的最大值為，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理余弦定理和三角形面積的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．7、D【解題分析】

令，則，所以零點(diǎn)在區(qū)間.方程的解所在區(qū)間是，故選D.8、A【解題分析】

由已知利用垂徑定理求得，得到圓的半徑，畫出圖形，由扇形面積減去三角形面積求解．【題目詳解】解：直線方程為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．圓心到直線的距離．則，解得．圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1．如圖，，則，．，，圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查扇形面積的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．9、B【解題分析】

由已知三邊，利用余弦定理可得，結(jié)合，為銳角，可得，利用三角形內(nèi)角和定理即可求的值．【題目詳解】在中，，，，由余弦定理可得：，，故為銳角，可得，，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．10、D【解題分析】

若為異面直線，且直線，則與可能相交，也可能異面，但是與不能平行，若，則，與已知矛盾，選項(xiàng)、、不正確故選．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解題分析】

由約束條件得到可行域，取最小值時在軸截距最小，通過直線平移可知過時，取最小值；求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入構(gòu)造出方程求得結(jié)果.【題目詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：取最小值時，即在軸截距最小平移直線可知，當(dāng)過點(diǎn)時，在軸截距最小由得：，解得：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查現(xiàn)行規(guī)劃中根據(jù)最值求解參數(shù)的問題，關(guān)鍵是能夠明確最值取得的點(diǎn)，屬于?？碱}型.12、【解題分析】

化簡函數(shù)解析式為，做出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍．【題目詳解】解：因?yàn)樗?，，由，可得，則函數(shù)，的圖象與直線恰有兩個不同交點(diǎn)，即方程在上有兩個不同的解，畫出的圖象如下所示：依題意可得時，函數(shù)的圖象與直線恰有兩個不同交點(diǎn)，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦函數(shù)的最大值和單調(diào)性，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．13、3【解題分析】

根據(jù)圖象看出周期、特殊點(diǎn)的函數(shù)值，解出待定系數(shù)即可解得.【題目詳解】由圖可知：解得又因：所以又因：即所以又所以又因：所以即所以所以所以故得解.【題目點(diǎn)撥】本題考查由圖象求正切函數(shù)的解析式，屬于中檔題。14、0.4【解題分析】

根據(jù)幾何概型的計(jì)算，反求陰影部分的面積即可.【題目詳解】設(shè)陰影部分的面積為，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式：，解得.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型的概率計(jì)算公式，屬基礎(chǔ)題.15、9【解題分析】

分析數(shù)列的單調(diào)性，以及數(shù)列各項(xiàng)的取值正負(fù)，得到數(shù)列中的最大項(xiàng)，由此即可求解出的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以時，，時，，又因?yàn)樵谏线f增，在也是遞增的，所以，又因?yàn)閷θ我庹麛?shù)都有，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的單調(diào)性以及數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)判斷，難度一般.處理數(shù)列單調(diào)性或者最值的問題時，可以采取函數(shù)的思想來解決問題，但是要注意到數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的定義域?yàn)?16、【解題分析】

先將轉(zhuǎn)化為余弦的二倍角公式,再用最小正周期公式求解.【題目詳解】解：最小正周期為.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查二倍角的余弦公式,和最小正周期公式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解題分析】

（1）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，求得和的值，可得的值（2）由題意利用二倍角公式，求得原式子的值．【題目詳解】（1）∵已知，，，∴則（2）【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的三角公式、二倍角公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）8.【解題分析】

(1)首先利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理可得結(jié)果；（2）利用面積公式和余弦定理可得結(jié)果.【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，因?yàn)?，所以，所?【題目點(diǎn)撥】本題主要考查解三角形的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識，轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，難度不大.19、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式，對每一道題目進(jìn)行化簡求值.【題目詳解】（1）原式.（2）原式.（3）原式.【題目點(diǎn)撥】在使用誘導(dǎo)公式時，注意“奇變偶不變，符號看象限”法則的應(yīng)用，即輔助角為的奇數(shù)倍，函數(shù)名要改變；若為的偶數(shù)倍，函數(shù)名不改變.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖得出該公司月收入在元到元的員工所占的頻率，再乘以可得出所求結(jié)果；（2）將每個矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)矩形的面積，再將所得的積全部相加可得出該公司員工月收入的平均數(shù).【題目詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖知，該公司月收入在元到元的員工所占的頻率為：，因此，該公司月收入在元到元之間的人數(shù)為；（2）據(jù)題意該公