數(shù)字邏輯第2章(1)

第二章邏輯代數(shù)基礎2.1邏輯代數(shù)中的幾個概念2.2邏輯代數(shù)的基本運算2.3邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)2.5邏輯函數(shù)的化簡2.1邏輯代數(shù)中的幾個概念

邏輯代數(shù)是邏輯電路分析與設計的數(shù)學基礎。下面介紹幾個常用的概念，希望同學逐步、深入的理解。邏輯代數(shù)專指用數(shù)學的方法研究邏輯問題，由英國數(shù)學家布爾（GeorgeBoole，1815~1864）于1847年在《邏輯的數(shù)學分析：論演繹推理的演算法》一書中率先提出，因此后人又稱邏輯代數(shù)為布爾代數(shù)。1938年，ClaudeE.Shannon將布爾代數(shù)應用于繼電器電路的分析與描述，形成二值布爾代數(shù)，即開關代數(shù)，又稱為邏輯代數(shù)。邏輯命題一段描述邏輯問題的有用的文字。邏輯狀態(tài)●在一定條件下，事物的某種性質(zhì)只表現(xiàn)為兩種互不相容的狀態(tài)，稱為邏輯狀態(tài)。例如：信號的有與無、開關的通與斷、事件的真與假、電平的高與低、晶體管的導通與截止…●這兩種狀態(tài)必出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一種，一種狀態(tài)是另一種狀態(tài)的反狀態(tài)。●用符號0、1分別表示這兩種邏輯狀態(tài)

0狀態(tài)（0-state)：一般表示邏輯條件的假或無效。

1狀態(tài)（1-state)：一般表示邏輯條件的真或有效。●0和1不是數(shù)，不表示數(shù)的大小，而是代表狀態(tài)的符號。邏輯變量條件的變化，表示事物狀態(tài)的邏輯狀態(tài)也隨之變化，這種未予確定的邏輯狀態(tài)稱為邏輯變量?！襁壿嬜兞糠从尺壿嫚顟B(tài)的變化；●邏輯變量僅能取值“0”或“1”；邏輯電平在二值邏輯電路中，把物理量離散成兩種電平（相對于參考地的電壓值），即高電平（H）和低電平（L）。邏輯常量邏輯代數(shù)是二值運算，常量只有“0”和“1”。工藝邏輯電平LHTTL0V~0.40V3.0V~5.0VCMOS0V~0.80V2.0V~5.0V不同工藝器件定義的邏輯電平（5V）●高、低電平之間存在邏輯不確定區(qū)間——噪音區(qū)。如果輸入、輸出電平穩(wěn)定于噪音區(qū)，稱為邏輯模糊，在邏輯電路中認為出錯?！馠電平也可表示在規(guī)定時間內(nèi)一定幅度的正脈沖出現(xiàn)；

L電平也可表示在規(guī)定時間內(nèi)沒有脈沖，或負脈沖出現(xiàn)?！窨傊壿嬰娖绞潜硎具壿嫚顟B(tài)的物理特性。正、負邏輯規(guī)定（約定）器件的輸入、輸出都用物理量表示，通常用邏輯電平表示，而器件的功能又是用邏輯狀態(tài)表示，因此必須規(guī)定邏輯電平和邏輯狀態(tài)之間的關系。邏輯電平邏輯狀態(tài)L0H1邏輯電平邏輯狀態(tài)L1H0正邏輯規(guī)定（約定）負邏輯規(guī)定（約定）確定了邏輯規(guī)定（約定）后，各種物理量都轉(zhuǎn)化為邏輯狀態(tài)含義，可用邏輯變量表示，可用各種數(shù)學或邏輯方法對數(shù)字電路進行分析和表達。邏輯表達式由邏輯變量、邏輯常量0和1、邏輯運算符和括號組成的代數(shù)表達式稱為邏輯表達式。邏輯運算符邏輯運算有一元運算，稱為非運算或反運算；有二元運算，稱為與運算、或運算。邏輯函數(shù)邏輯網(wǎng)絡A1A2...AnF設某一邏輯網(wǎng)絡的輸入變量為A1、A2、…、An，輸出邏輯變量為F，當A1、A2、…、An的取值確定后，F(xiàn)的值就唯一的被確定下來，則稱F是A1、A2、…、An的邏輯函數(shù)，記為：F=f(A1、A2、…、An)●邏輯函數(shù)反映了可用邏輯變量描述的因果關系●邏輯函數(shù)也可作為另一邏輯網(wǎng)絡的邏輯變量若F、G都是某n個邏輯變量的邏輯函數(shù)，在這n個變量的2n種組合中的任意一組輸入，F(xiàn)、G均有相同的輸出，則稱邏輯函數(shù)F和G相等。記為F=G。邏輯函數(shù)的相等邏輯函數(shù)的表示方法邏輯真值表、卡諾圖、邏輯表達式、邏輯圖、波形圖以及硬件描述語言。●邏輯真值表由邏輯變量的所有可能取值組合及其對應的邏輯函數(shù)值所構(gòu)成的表格。abF000110110001●n個變量，2n種組合，2n行，列在左邊。一般采用二進制編碼順序給出?！駥倪壿嫼瘮?shù)值列在右邊。關于真值表的填寫

要求同學們共同遵守一個在教學活動中的工程約定：真值表中輸入變量在左側(cè)，輸出變量在右側(cè)；輸入變量按字母順序從左到右排列，其取值按照二進制數(shù)的大小，由小到大、從上到下順排。下圖是三變量真值表，右圖是四變量真值表。ABCF000001010011100101110111ABCDF0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111●邏輯表達式由邏輯變量、邏輯常量、三種邏輯運算符（與、或、非）和括號構(gòu)成的代數(shù)表達式?！窨ㄖZ圖真值表的變形，由表示邏輯變量所有可能組合的小方格構(gòu)成的圖形?！癫ㄐ螆D反映輸入、輸出波形變化的圖形稱為波形圖，又稱為時序圖。波形圖能清晰、直觀地反映出變量間的時間關系和函數(shù)值隨時間變化的規(guī)律。對于一個給定的邏輯函數(shù)，其真值表和卡諾圖表示法是唯一的，而其邏輯表達式可以有多種形式。●硬件描述語言（HardwareDescriptionLanguage）是現(xiàn)代數(shù)字系統(tǒng)設計中基于EDA平臺的最基本的電路描述工具。●邏輯圖用邏輯符號來表示邏輯函數(shù)的運算關系稱為函數(shù)的邏輯圖。邏輯圖和數(shù)字集成器件有明顯的對應關系，便于構(gòu)成實際數(shù)字電路。&&

≥1ABCDF2.2邏輯代數(shù)的基本運算2.2.1與運算（邏輯乘）FAB串聯(lián)開關電路是與邏輯的典型實例。只有開關A、B都閉合，燈F才會亮；只要有一個開關不閉合，燈F就不會亮。與運算又稱為“邏輯乘”（LogicMultiplication），其運算結(jié)果稱為“邏輯積”（LogicProduct）。在邏輯問題中，如果決定某一事件的多個條件必須同時具備，事件才能發(fā)生，則這種因果關系稱之為“與”邏輯。如果將“條件”和“結(jié)果”的各種可能性列成表格，則可得到與邏輯關系表。開關A開關B燈F斷開斷開滅斷開閉合滅閉合斷開滅閉合閉合亮ABF000110110001設開關閉合狀態(tài)為“1”，斷開狀態(tài)為“0”；燈亮狀態(tài)為“1”，燈滅狀態(tài)為“0”?？傻玫綄倪壿嫚顟B(tài)關系表——真值表。與邏輯的邏輯表達式，記為：顯然，若上述開關電路中有4個開關A、B、C、D串聯(lián)，則有F=ABCD。數(shù)字電路中，實現(xiàn)與邏輯功能的電路稱為“與門”（ANDGate），其邏輯符號為：&ABF與門定性符ABF小規(guī)模集成電路74LS08集成了4個雙輸入與門2.2.2或運算（邏輯加）或運算又稱為“邏輯加”（LogicAddition），其運算結(jié)果稱為“邏輯和”（LogicSum）。在邏輯問題中，如果決定某一事件的多個條件中，只要有一個或一個以上條件具備，事件就發(fā)生，則這種因果關系稱之為“或”邏輯。FAB并聯(lián)開關電路是或邏輯的典型實例。只要開關A、B有一個閉合，燈F就亮；只有開關都斷開，燈F才不亮。如果將“條件”和“結(jié)果”的各種可能性列成表格，則可得到或邏輯關系表。開關A開關B燈F斷開斷開滅斷開閉合亮閉合斷開亮閉合閉合亮ABF000110110111設開關閉合狀態(tài)為“1”，斷開狀態(tài)為“0”；燈亮狀態(tài)為“1”，燈滅狀態(tài)為“0”?？傻玫綄倪壿嫚顟B(tài)關系表——真值表?；蜻壿嫷倪壿嫳磉_式，記為：顯然，若上述開關電路中有4個開關A、B、C、D并聯(lián)，則有F=A+B+C+D。數(shù)字電路中，實現(xiàn)或邏輯功能的電路稱為“或門”（ORGate），其邏輯符號為：≥1ABF或門定性符ABF小規(guī)模集成電路74LS32集成了4個雙輸入或門2.2.3非運算（邏輯非）非運算又稱為“邏輯非”（LogicNegation），或稱為“求補”（Complement）。在邏輯問題中，如果決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生，則這種因果關系稱之為“非”邏輯。RFAE開關和燈并聯(lián)電路是非邏輯的實例。只要開關A閉合，燈F就不亮；只有開關A斷開，燈F才會亮。如果將“條件”和“結(jié)果”的各種可能性列成表格，則可得到非邏輯關系表。開關A燈F斷開亮閉合滅設開關閉合狀態(tài)為“1”，斷開狀態(tài)為“0”；燈亮狀態(tài)為“1”，燈滅狀態(tài)為“0”。可得到對應的邏輯狀態(tài)關系表——真值表。AF0110非邏輯的邏輯表達式，記為：數(shù)字電路中，實現(xiàn)非邏輯功能的電路稱為“非門”（NOTGate）或稱為“反相器”，其邏輯符號為：非門定性符1AFAF小規(guī)模集成電路74LS04集成了6個非門邏輯表達式、真值表與邏輯符號國標邏輯符號真值表邏輯表達式&XZY≥1XZYXZ1復合邏輯電路符號：&XZY≥1XZY≥1ZY2.3邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則2.3.1邏輯代數(shù)的基本公理用真值表證明&BFC≥1A≥1≥1&BCAG由真值表已證明一個邏輯函數(shù)可以用不同的邏輯表達式、邏輯圖描述，但它的真值表是唯一的。2.3.2邏輯代數(shù)的基本定理吸收定理1（吸收律）吸收定理2（消因律）吸收定理3（鄰接律、合并律）反演定理

（摩根定理——Morgan定理）用真值表證明：用基本公理證明摩根定理的過程，見教材P31。摩根定理是一個十分重要的定理，它證明了變量進行“與”和“或”運算時的互補效應。常用于邏輯函數(shù)的化簡及邏輯變換。它提供了將原變量與運算的非改成反變量或運算的簡便方法。它提供了將原變量或運算的非改成反變量與運算的簡便方法。多余項定理

（包含律）關于（a）的證明：該包含律說明：如果與或表達式中，兩個與項分別包含同一因子的原變量和反變量，而兩與項的剩余因子包含在第三個與項中，則第三個與項是多余的。2.3.3邏輯代數(shù)的基本規(guī)則

●代入規(guī)則任何一個含有變量x的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)x的地方都代之以一個邏輯函數(shù)H，則此等式仍然成立。利用代入規(guī)則可以證明n變量的摩根定理，即：證明等式（b）成立以此類推，則得應用：將較復雜邏輯函數(shù)中的某一部分或公共部分代之以變量，達到簡化的目的，便于分析。

●反演規(guī)則（香農(nóng)定理——Shannon定理）從原函數(shù)求反函數(shù)的過程稱之為反演。求任何函數(shù)的反函數(shù)時，可將該函數(shù)的所有變量取反；并將函數(shù)中“0”變成“1”，“1”變成“0”；且運算符“+”變成“?”，“?”變成“+”；即可得反函數(shù)。在使用反演規(guī)則時應注意：（1）必須保持原有的運算次序，必要時添加各種括號。（2）不屬于單個變量上的非號保留，而非號下面的函數(shù)式按反演規(guī)則變換。解：利用反演規(guī)則可得：也可利用反演律求得：其結(jié)果與直接利用反演規(guī)則的運算結(jié)果相同。注意：反演律是邏輯運算中使用的定律公式，可以獲得多種反函數(shù)的表達形式；反演規(guī)則是求反函數(shù)的一種簡便方法。例：已知利用反演規(guī)則，其反函數(shù)為

●對偶規(guī)則對偶函數(shù)：對于任何邏輯函數(shù)F，將該函數(shù)中的所有變量保持不變；并將函數(shù)中“0”變成“1”，“1”變成“0”；且運算符“+”變成“?”，“?”變成“+”；得到的新函數(shù)稱為原函數(shù)的對偶函數(shù)，記為F'。對偶規(guī)則：如果函數(shù)F'是函數(shù)F的對偶函數(shù)，那么F也是F'的對偶函數(shù)。如果函數(shù)F、G相等，它們的對偶函數(shù)F'、G'也相等，即若F=G，則F'=G'。前面討論的公理、定理中式（a）和式（b）均為對偶的。因此，若式（a）成立，按對偶規(guī)則，式（b）必定成立。利用對偶規(guī)則，使需要證明和記憶的公式減少一半，且為函數(shù)的形式變換和簡化帶來方便。求對偶函數(shù)時，也應適當?shù)靥砑永ㄌ?，以保持原函?shù)中的運算順序不變。有些邏輯函數(shù)的對偶函數(shù)就是原函數(shù)本身，即F’=F。此時，稱函數(shù)F為自對偶函數(shù)。例：F=A，則

F’=A練習1：已知F=則反函數(shù)=對偶函數(shù)=如果一個函數(shù)的表達式中，含有⊕、☉運算符：利用反演規(guī)則求反函數(shù)時或利用對偶規(guī)則求對偶函數(shù)時在求對偶函數(shù)時不要對求出的對偶式再進行變換！注意：按對偶規(guī)則寫出其對偶式：例.已知函數(shù)☉⊕☉☉⊕2.4邏輯函數(shù)的性質(zhì)前面討論的與、或、非三種基本邏輯運算，可以組合起來實現(xiàn)任何邏輯函數(shù)；采用對應的與門、或門、非門可以組合起來構(gòu)造具有各種邏輯功能的邏輯電路。實際工程設計中的基本要求是：最少的門電路、最少的門的輸入端、最少的門電路類型。顯然，僅采用與門、或門、非門構(gòu)造邏輯電路，不能滿足工程設計的基本要求。所以，在實際應用的基本邏輯器件中，還有與非門、或非門、與或非門、異或門等，稱為復合邏輯門。2.4.1復合邏輯1.與非邏輯（NAND）與非邏輯是“與”和“非”的復合邏輯，它的邏輯表達式為：邏輯功能：只有輸入端全為1時，輸出才為0。只要有一個變量取值為0，F(xiàn)就為1；只有所有變量均取值為1，F(xiàn)才為0。ABCF00000101001110010111011111111110與非邏輯真值表與非門的邏輯符號(三變量)&ABCFABCF小規(guī)模集成電路74LS00集成了4個雙輸入與非門結(jié)論：有了與非門，就可構(gòu)成實現(xiàn)各種邏輯功能的電路。&AB&F1“1”&AF2&&B“1”&AF3“1”2.或非邏輯（NOR）或非邏輯是“或”和“非”的復合邏輯，其邏輯表達式為：只要有一個變量取值為1，F(xiàn)就為0；只有所有變量均取值為0，F(xiàn)才為1。ABCF00000101001110010111011110000000或非邏輯真值表或非門的邏輯符號(三變量)≥1ABCFABCF邏輯功能：只有輸入端全為0時，輸出才為1。小規(guī)模集成電路74LS02集成了4個雙輸入或非門結(jié)論：有了或非門，就可構(gòu)成實現(xiàn)各種邏輯功能的電路?！?AB≥1F2“0”≥1AF1≥1≥1B“0”≥1AF3“0”3.與或非邏輯（AOI）與或非邏輯是“與”、“或”和“非”的復合邏輯，其邏輯表達式為：僅當每個“與項”均為0，Y才為1；否則，Y為0。顯然，用單一的與或非門可以實現(xiàn)與、或、非三種基本邏輯運算。與或非門的邏輯符號&ABCDEF&&≥1YABCDEFY結(jié)論：用與或非門，可構(gòu)成實現(xiàn)各種邏輯功能的電路，但不經(jīng)濟。小規(guī)模集成電路74LS51集成了2個與或非門4.異或邏輯（XOR）異或邏輯——對于二輸入變量問題，當輸入變量取值相異時，輸出為1；當輸入變量取值相同時，輸出為0。其邏輯表達式為：ABF000110110110異或邏輯真值表異或門的邏輯符號=1ABFABF異或邏輯可實現(xiàn)“模2加”運算小規(guī)模集成電路74LS86集成了4個雙輸入異或門由異或邏輯可推出下列等式：異或邏輯的應用：加法電路實現(xiàn)減法運算、輸入變量非一致性判斷…加法電路加數(shù)=1=1=1=1加數(shù)0時，加法1時，減法M利用代入規(guī)則，可得到三變量的異或邏輯表達式：ABCF00000101001110010111011101101001三變量異或邏輯真值表重要特性：當輸入變量為1的個數(shù)是奇數(shù)時，輸出為1；偶數(shù)時，輸出為0?？赏茝V到n個變量的異或邏輯中。這一特性常用于奇偶校驗邏輯電路中=1ABC=1F異或邏輯的反函數(shù)稱為同或邏輯（符合邏輯）。.同或邏輯——對于二輸入變量問題，當輸入變量取值相同時，輸出為1；當輸入變量取值相異時，輸出為0。其表達式為：同或門的邏輯符號=1ABFABF同或邏輯的應用：常用于比較器電路中的一致性判定，也可用于奇偶校驗。ABF000110111001同或邏輯真值表

74LS266集成了4個同或門（集電極開路）觀察二變量異或邏輯、同或邏輯的真值表：對于多輸入變量，用代入法可證明：偶數(shù)個變量的異或邏輯和同或邏輯之間具有互補關系。ABF000110111001ABF000110110110同或邏輯真值表異或邏輯真值表...三變量同或邏輯真值表ABCF00000101001110010111011101101001三變量異或邏輯真值表ABCF00000101001110010111011101101001觀察三變量異或邏輯、同或邏輯的真值表：對于多輸入變量，用代入法可證明：奇數(shù)個變量的異或邏輯和同或邏輯之間具有相等關系。...關于異或運算、同或運算的基本代數(shù)性質(zhì)：0-1律交換律分配律結(jié)合律調(diào)換律.............調(diào)換律是異或運算、同或運算的特有性質(zhì)，可用于函數(shù)的化簡。強調(diào)異或運算和與、或運算的順序：先做與運算，后做異或運算。先做異或運算，后做或運算。異或運算的代數(shù)性質(zhì)：0-1律：重疊律：2.4.2邏輯函數(shù)的基本表達式一個給定的邏輯函數(shù)，其真值表是唯一的，但其邏輯表達式具有多種形式。與或式或與式分配律、吸收定理2與非式還原律、摩根定理或非式還原律、摩根定理與或非式摩根定理與或式、或與式是邏輯表達式中最基本的兩種形式，其它形式的表達式都可以轉(zhuǎn)換成這兩種形式。一般與或表達式（積之和表達式）一個邏輯表達式中，用邏輯加的形式將若干與項相連在一起，這樣的表達式稱為與或式。（若干“與項”進行“或”運算構(gòu)成的表達式。）一般或與表達式（和之積表達式）一個邏輯表達式中，由邏輯與的形式將若干或項相連在一起，這樣的表達式稱為或與式。（若干“或”項進行“與”運算構(gòu)成的表達式）2.4.3邏輯函數(shù)的標準表達式一個邏輯函數(shù)可以用真值表、邏輯表達式、卡諾圖、邏輯圖、波形圖、硬件描述語言等多種方式來描述。真值表是最基本的表達方式，由真值表導出的邏輯函數(shù)表達式是一種標準的形式——最小項之和表達式

——最大項之積表達式由此引出兩個重要的概念：最小項和最大項1.最小項（minterm）最規(guī)則的形式，其中每個與項具有如下特點：包含該函數(shù)的全部變量（兩個），每個變量或以原變量（A,B）形式出現(xiàn)，或以反變量（）形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次。最小項的定義最小項是一個含有全部邏輯變量，且每個變量僅以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次的與項。此與項稱之為n個變量的最小項。對于n個變量，可以構(gòu)成2n個最小項。例如：三個變量A,B,C可構(gòu)成8個最小項常用符號

mi

表示最小項。下標i的取值規(guī)則：當變量順序確定后，用“1”代替原變量，用“0”代替反變量，得到一個二進制數(shù)，該二進制數(shù)對應的十進制數(shù)即為下標

i的取值。2.最大項（maxterm）最大項的定義設有n個邏輯變量，它們組成的或項中，每個變量或以原變量形式或以反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，此或項稱之為n個變量的最大項。對于n個變量，可以構(gòu)成2n個最大項。常用符號

Mi

表示最大項。下標i的取值規(guī)則：當變量順序確定后，用“0”代替原變量，用“1”代替反變量，得到一個二進制數(shù)，該二進制數(shù)對應的十進制數(shù)即為下標

i的取值。例如：三個變量A,B,C構(gòu)成的8個最大項記為常用符號

Mi

表示最大項。下標i的取值規(guī)則：當變量順序確定后，用“0”代替原變量，用“1”代替反變量，得到一個二進制數(shù)，該二進制數(shù)對應的十進制數(shù)即為下標

i的取值。3.最小項的性質(zhì)以三個變量為例：性質(zhì)2：對于任一組變量的取值，任意兩個最小項之積為0。性質(zhì)3：n變量的全部最小項之和為1。性質(zhì)1：對于任意一個最小項，只有一組變量的取值使其值為1。（即只有最小項下標對應的一組變量的取值使其為1）最小項的性質(zhì)：性質(zhì)4：n個變量的任一最小項，都有n個相鄰最小項。相鄰最小項：只有一個變量互為相反，其余均相同。以三個變量為例：4.最大項的性質(zhì)性質(zhì)1：對于任意一個最大項，只有一組變量的取值使其值為0。（即只有最大項下標對應的一組變量的取值使其為0）性質(zhì)2：對于任一組變量的取值，任意兩個最大項之和為1。性質(zhì)3：n變量的全部最大項之積為0。性質(zhì)4：n個變量的任一最大項，都有n個相鄰最大項。最大項的性質(zhì)相鄰最大項：只有一個變量互為相反，其余均相同。變量個數(shù)相同、變量順序相同時，下標相同的最小項和最大項具有互補特性。5.函數(shù)的最小項標準式如果函數(shù)的與或表達式中，每一個與項均為最小項，則稱之為最小項標準式。由n變量組成的任何邏輯函數(shù)均可以表示成最小項標準式，且這種表示是唯一的。最小項表達式中必須標明變量數(shù)。如果給定的函數(shù)為一般與或表達式，可反復使用公式，轉(zhuǎn)換成最小項之和的形式。如果給定函數(shù)用真值表表示，則真值表每一種變量組合對應一個最小項。例如：F=f(A,B,C)函數(shù)值為1對應的最小項相“或”構(gòu)成原函數(shù)的最小項標準式。（或的疊加性）函數(shù)值為0對應的最小項相“或”構(gòu)成反函數(shù)的最小項標準式。通過以上分析，可知：對于n個變量的函數(shù)，共有2n個最小項，這些最小項不是包含在F