湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

名校聯(lián)考聯(lián)合體2023年秋季高二年級(jí)第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)（A卷）時(shí)量：120分鐘滿分：150分（考試范圍：必修第一冊(cè)?必修第二冊(cè)?選擇性必修一，選擇性必修二至第五章5.2）得分：__________.一?選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則（）A.5 B. C.10 D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出集合后，運(yùn)用并集及補(bǔ)集的性質(zhì)運(yùn)算即可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以?故選：A.3.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.10 C. D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，代入即可求解.【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則.故選：C.4.已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，分別取，代入運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得，所以.故選：D.5.敲擊如圖1所示的音叉時(shí)，在一定時(shí)間內(nèi)，音叉上一點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為.圖2是該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可確定的值分別為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象的最大值得，利用周期求.【詳解】由函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，可知，設(shè)的最小正周期為，則，解得，則，解得.故選：B.6.如圖，將一個(gè)圓柱等分切割，再將其重新組合成一個(gè)與圓柱等底等高的幾何體，越大，重新組合成的幾何體就越接近一個(gè)“長(zhǎng)方體”，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了20，若新幾何體的高為5，則圓柱的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】顯然新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，借助該部分面積計(jì)算即可得.【詳解】顯然新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，則，則，因?yàn)樾聨缀误w的高為5，所以圓柱的高為5，即，解得，所以圓柱的體積為.故選：C.7.已知直線與曲線相切，則的值為（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求導(dǎo)，從而有斜率，再由點(diǎn)在曲線上求解.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，所以切線的斜率，又，即，解得，所以由，得.故選：D.8.正多面體也稱(chēng)柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體.如圖，已知一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)為為棱的中點(diǎn)，，設(shè)直線與的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合正八面體的幾何性質(zhì)，通過(guò)計(jì)算數(shù)量積以及模長(zhǎng)，即可求解向量夾角的余弦值，進(jìn)而可求解正切.【詳解】由題意，，又由正八面體的棱長(zhǎng)都是1，且各個(gè)面都是等邊三角形，在中，由，可得，所以，所以，所以，所以，則.故選:A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得.5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知實(shí)數(shù)，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，例如滿足，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，且，所以，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，由A可知，所以，故D正確.故選：CD.10.為了解各種APP的使用情況，將使用人數(shù)排名前5的數(shù)據(jù)整理得到如下的柱狀圖，則（）A.APP使用人數(shù)最多的是微信B.微信APP使用人數(shù)超過(guò)今日頭條APP的使用人數(shù)的2倍C.微信APP的使用人數(shù)超過(guò)今日頭條APP與快手APP的使用人數(shù)之和D.抖音APP的使用人數(shù)大于快手APP的使用人數(shù)的125%【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定的APP的使用情況，數(shù)據(jù)整理的柱狀圖，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)數(shù)據(jù)的柱狀圖，可得APP使用人數(shù)最多的是微信，所以A正確；對(duì)于B中，微信APP的使用人數(shù)占7格，今日頭條APP的使用人數(shù)占近4格，所以微信APP的使用人數(shù)小于今日頭條APP的使用人數(shù)的2倍，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，微信APP的使用人數(shù)占7格，今日頭條APP的使用人數(shù)占近4格，快手APP的使用人數(shù)占4格，所以微信APP的使用人數(shù)小于今日頭條APP與快手APP的使用人數(shù)之和，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，抖音APP的使用人數(shù)占5格多，快手APP的使用人數(shù)占4格，則快手APP的使用人數(shù)的等于5格，所以抖音APP的使用人數(shù)大于快手APP的使用人數(shù)的，所以D正確.故選：AD.11.對(duì)于數(shù)列，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.數(shù)列是等差數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.【答案】AC【解析】【分析】逐步代入即可求解A，根據(jù)相減可得，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的定義即可判定BC，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)求解即可判定D.【詳解】由，得，故A正確；又，兩式相減得，令，可得，所以是等差數(shù)列，C正確；通過(guò)只能得到偶數(shù)項(xiàng)的值，對(duì)于奇數(shù)項(xiàng)，無(wú)法確定，所以無(wú)法確定是不是等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤，同理，令，則，所以是以為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列，所以，故D錯(cuò)誤.故選:AC.12.已知雙曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，是雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心，點(diǎn)，分別為上的動(dòng)點(diǎn)，位于軸的同側(cè)，且不在軸上，則（）A.B.C.當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)，D.【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)A，結(jié)合雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)即可得；對(duì)B，借助漸近線傾斜角與斜率的關(guān)系即可得；對(duì)C，結(jié)合雙曲線與橢圓定義，運(yùn)用余弦定理計(jì)算即可得；對(duì)D，設(shè)出、，結(jié)合橢圓定義與余弦定理，將的余弦值表示出來(lái)，運(yùn)用配方法得出范圍后即可得.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為，則，解得，故A正確；雙曲線的漸近線方程為，如圖，設(shè)（與點(diǎn)位于軸的同側(cè)）是雙曲線的另一條漸近線上的一點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，故B正確；當(dāng)為雙曲線和橢圓在第一象限的交點(diǎn)時(shí)，由橢圓和雙曲線的定義知，，解得，又，在中，由余弦定理得，故C正確；設(shè)，則，則由余弦定理得：，由，得，得，得，得，得，得，即，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，且，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算得到，再根據(jù)向量平行坐標(biāo)要求列方程求出的值，再利用模長(zhǎng)定義求出.【詳解】，因?yàn)?，所以，解得，所?故答案為：.14.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，列出方程，求得，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，且，若，則，與題設(shè)矛盾，所以，則，解得，所以故答案為：.15.已知直線，直線過(guò)點(diǎn)且與直線相互垂直，圓，若直線與圓交于兩點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求得直線的方程為，以及圓C的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由直線，可得斜率，因?yàn)榍抑本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以的方程為，化簡(jiǎn)得，又由圓0，即，可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng).故答案為：.16.如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，在線段上，且是側(cè)面上一點(diǎn)，且平面，則線段的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】在線段上取一點(diǎn)，使得，在線段上取一點(diǎn)，使得，連接，易證平面平面，得到的軌跡為線段求解.【詳解】解：如圖，在線段上取一點(diǎn)，使得，在線段上取一點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，同理，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又，所以平面平面，因此，在線段上.因?yàn)椋跃€段的最大值為.故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文宇說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的公比為，根據(jù)題意，列出方程求得公比，即可求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公比為，由的各項(xiàng)均為正數(shù)，可得，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，又因?yàn)?，可得，化?jiǎn)得，解得或（舍去），故的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，設(shè)的前項(xiàng)和為，則.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到數(shù)列為等差數(shù)列，由，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，利用等差、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，解得，所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由題意知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.19.在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若是邊上一點(diǎn)，且，設(shè)邊上的高為，求.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得，求得，即可求解；（2）在和中，分別利用余弦定理，結(jié)合，化簡(jiǎn)得到，再在中，利用余弦定理求得，得到，結(jié)合三角形的面積列出方程，求得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】解：在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，即，整理得，在中，由余弦定理得，可得，所以，所以，即，所以，即，解得，則.20.如圖，四邊形是正方形，平面為的中點(diǎn)，為的外心.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線線平行可證明面面平行，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可得長(zhǎng)度相等，進(jìn)而可證三棱錐是正三棱錐，即可利用正棱錐的性質(zhì)求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.連接，如圖所示，同理，可證四邊形是平行四邊形，所以，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.又，平面，所以平面平面.因?yàn)樗倪呅问钦叫?，平面為的中點(diǎn)，所以兩兩互相垂直，且，所以由勾股定理可知，則三棱錐是正三棱錐，那么的外心就是的中心，也是在底面上的垂心，所以平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，則點(diǎn)，則.設(shè)平面的法向量為，則由得令，得平面的一個(gè)法向量為；又易知平面的一個(gè)法向量為；設(shè)平面與平面夾角大小為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.21.已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，試判斷與之間的關(guān)系；（2）若，是否存在直線與曲線和都相切？若存在，求出直線的方程（若直線的方程含參數(shù)，則用表示）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）或（2）存在，或.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線的斜率，進(jìn)而得到兩切線方程，求出直線與坐標(biāo)軸的兩交點(diǎn)，分別表達(dá)兩切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積，由面積相等得的關(guān)系；（2）假設(shè)存在，設(shè)出直線與曲線和相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程，由公切線知兩切線為同一直線，可建立坐標(biāo)滿足的方程組，求解可得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得切線方程.【小問(wèn)1詳解】，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即令，得；令，得，則切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為；曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，得；令，得，則切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為；由題意，，所以或.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，，曲線在點(diǎn)處的切線為，即，曲線在點(diǎn)處的切線為，即，則則所以，解得或當(dāng)時(shí)，直線當(dāng)時(shí)，直線故存在直線與曲線和都相切，直線的方程為或.22.已知斜率為的直線與拋物線相交所得的弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)是曲線上位于直線的上方的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線交于點(diǎn)，若為拋物線的焦點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)差法，結(jié)合斜率公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解，（2）根據(jù)以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得垂直關(guān)系，即可根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得，進(jìn)而求導(dǎo)得切線斜率，聯(lián)立直線方程