專題07 幾何證明 解答題之壓軸題訓練（1）（滬教版）（解析版）-2021-2022學年第一學期八年級壓軸題訓練（滬教版）

專題07幾何證明解答題之壓軸題訓練（1）1.（徐匯龍華2019期中27）在△ABC中，D為AB的中點，F(xiàn)為BC上一點，DF∥AC，延長FD至E，且DE=DF,聯(lián)結AE、AF.（1）求證：∠E=∠C;（2）如果DF平分∠AFB，求證：AC⊥AB.【答案與解析】解：（1）∵D為AB的中點，∴BD=AD，在△AED與△BFD中，，∴△AED≌△BFD（SAS），∴∠E=∠DFB，∵DF∥AC，∴∠C=∠DFB，∴∠C=∠E；（2）∵DF平分∠AFB，∴∠AFD=∠DFB，∵∠E=∠DFB，∴∠AFD=∠AED，∵ED=DF，∴∠DAF+∠AFD=90°，∵EF∥AC，∴∠AFD=∠FAC，∴∠DAF+∠FAC=90°，∴AC⊥AB．2.（2019曹楊中學10月27）如圖，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為射線BC上一動點，聯(lián)結AD，以AD為一邊且在AD的右側作Rt△ADE，且AD=AE.解答下列問題：（1）當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖a，聯(lián)結線段CE，那么CE、BD之間的位置關系為，數(shù)量關系為；（2）當點D在線段BC的延長線上時，如圖b，（1）中的結論是否仍然成立，并說明理由；（3）如果點D在線段BC上運動，如圖c，聯(lián)結AD，以AD為一邊且在AD的右側作∠EAD=45°，交邊BC于點E，請問線段BD、DE、EC所圍成的三角形的形狀，并說明理由.【答案】（1）垂直，相等；（2）成立；（3）直角三角形；【解析】解：（1）聯(lián)結CE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD；故得CE⊥BD，BD=CE；（2）結論仍然成立.聯(lián)結CE，同（1）理可證明得△ABD≌△ACE，∴BD=CE，CE⊥BD；（3）直角三角形；如圖，將△ABD繞點A逆時針旋轉90°，則B、D的對應點分別是C、F，聯(lián)結EF，由△ABD≌△ACF，得BD=CF，∠B＝∠ACF，∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，在Rt△ECF中，，又可知：AD=AF，AE=AE，∠DAE=∠FAE=45°，∴△ADE≌△AFE，∴DE=EF，∴，故線段BD、DE、EC所圍成的三角形.3.（2019復附10月27）已知△ABC中，記∠BAC=α，∠ACB=β.（1）如圖a，若AP平分∠BAC，BP、CP分別是△ABC的外角∠CBM和∠BCN的平分線，BD⊥AP，用含α的代數(shù)式表示∠BPC的度數(shù)，用含β的代數(shù)式表示∠PBD的度數(shù)，并說明理由.（2）如圖b，若點P為△ABC的三條內角平分線的交點，BD⊥AP于點D，猜想（1）中的兩個結論是否發(fā)生變化，補全圖形并直接寫出你的結論.∠BPC=；∠PBD=.【答案】（1）90°-；90°-；（2）∠BPC=90°+，∠PBD=；【解析】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠BAC=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-α；又∵∠ABC+∠CBM=180°，∠ACB+∠BCN=180°，∴∠CBM+∠BCN=360°-(180°-α)=180°+α,∴(∠CBM+∠BCN)=90°+，∵在△PBC中，∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-（90°+）=90°-；∵∠BAC+∠ACB=∠MBC，∠BAC=α，∠ACB=β，∴∠MBC=α+β，又BP平分∠MBC，∴∠MBP=（α+β），同理∠BAP=，∴∠MBP=∠BAP+∠BPA，∴∠BPA=（α+β）-=，∴∠PBD=90°-∠BPD=90°-；（2）如圖所示：∠BPC=90°+，∠PBD=.4.(2019浦東一署10月29)已知:如圖，點A、B、C在同一直線上，AB=2，BC=1，分別以AB、BC為邊，在AC同側作等邊△ABD和等邊△BCE，分別聯(lián)結AE、CD.（1）找出圖中的全等三角形（不添加輔助線），并證明你的結論；（2）線段AE與線段CD的關系是：AECD（填＞、＝、＜）；AE與CD的夾角是：；（3）△ABD固定不動，使△BCE繞著點B旋轉，①這時（2）得出的結論還成立嗎（不要求證明）？②在旋轉過程中，線段DC的長是變化的，它的變化范圍是;③在下面的備用圖中，畫出在△BCE旋轉過程中，BC與AB垂直時的圖形.【答案與解析】解：（1）△ABE≌△DBC；證明：∵等邊△ABD，∴AB=DB，∠ABD=60（等邊三角形性質），∵等邊△BCE，∴BE=BC，∠EBC=60，∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，即∠ABE=∠DBC（等式性質），在△ABE與△DBC中，，∴△ABE≌△DBC(S.A.S)；（2）由（1）可知，線段AE與線段CD的關系是：AE=CD；AE與CD的夾角是60；（3）①（2）得出的結論仍成立；②在旋轉過程中，線段DC的長是變化的，當E點落在線段AB上時，CD=2-1=1，當點E落在AB延長線上時，CD=2+1=3，故它的變化范圍是；③在△BCE旋轉過程中，BC與AB垂直時的圖形如下.5.（2019位育10月25）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、EC，點M為EC的中點，連接BM、DM.（1）如圖1，當點D、E分別在AC、AB上時，求證：△BMD為等腰直角三角形；（2）如圖2，將圖1中的△ADE繞點A逆時針旋轉45°，使點D落在AB上，此時（1）中的結論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎？請對你的結論加以證明；（3）如圖3，將圖2中的△ADE繞點A逆時針旋轉90°時，△BMD為等腰直角三角形的結論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.【答案與解析】解：（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，點M為EC的中點，∴BM=MC=EC，DM=MC=EC，∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，∴∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，∵∠EMB=∠MBC+∠MCB，∵∠EMD=∠MDC+∠MCD，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD=2∠ACB=245=90，∴△BMD為等腰直角三角形；（2）成立；如圖，延長DM交BC于N，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90，∴∠EDB=∠DBC，∴ED//BC，∴∠DEM=∠NCM，∵M為EC中點，∴EM=CM，又∠EMD=∠CMN,∴△EMD≌△CMN，∴DM=MN，ED=CN，∴AD=CN，∴BD=BN，∴BM=DN=DM，∴BM⊥DN，即∠BMD=90，∴△BMD為等腰直角三角形.（3）成立；如圖3，作CN//BD交DM延長線于N，連接BN，∴∠E=∠MCN=45，∵∠DME=∠NMC，EM=CM，∴△EMD≌△CMN，∴CN=DE=AD，MN=DM，又∵∠DAB=180-45-45=90，∠BCN=45+45=90，∴∠DAB=∠BCN，又BA＝BC，∴△DBA≌△NBC(S.A.S)，∴∠DBA=∠NBC,BD=BN;∴∠DBN=∠ABC=90,∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊中線，∴BM⊥DM，∠DBM=∠BDM=45，即△BMD為等腰直角三角形.6.（2019上寶25）如圖在長方形ABCD中AB=3AD=點P為對角線BD上異于B、D的一個動點，聯(lián)結A，將△ABP沿AP所在直線翻折，使得點B落在E處；（1）當∠D=4°時，求點E到直線AB的距離（2）聯(lián)結AE,交線段BD于點，當△EP為直角三角形時，求線段BP的長度；（3）當∠DE=30°時，請直接寫出△ABP的面積.【答案】（1）；（2）或；（3）；【解析】解：（1）如圖1，作EH⊥AB于H，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90，∵AD=，AB=3，∴BD=2，∴AD=BD，∠ABD=30，∵∠APD=45=∠ABD+∠PAB，∴∠PAB=∠PAE=15，∴∠EAH=30，在Rt△AEH中，AE=AB=3，∴EH=AE=；（2）如圖2-1，作PM⊥AB于M，在AM上截取一點N，使得AN=PN.∵∠E=∠ABD=30，∴當∠EPF=90時，∠EFP=∠AFD=∠ADB=60，∴∠ADF=60，∠EAB=30，∴∠PAB=∠PAE=15，∵AN=PN，∴∠NAP=∠NPA=15，∠PNM=30，設PM=m，則PN=PB=2m，MN=BM=m，∴2m+2m=3，∴m=，∴PB=；如圖2-2，當∠EFP=90時，∴∠DAF=30，∠EAB=60，∴∠PAB=∠PAE=30，∴∠PAB=∠PBA=30，∠PAD=∠PDA=60，∴PA=PB，PA=PD，∴PB=PD=；綜上述，滿足條件的PB的值為或；（3）如圖3，作PM⊥AB于M，當∠DE=30°時，易知點F與點D重合，此時，∠PAE=∠PAB=45，設AM=PM=m，則BM=m，∴m+m=3,∴m=,∴=.7.（青浦實驗2019期中25）如圖點O是等邊內一點，，∠ACD=∠BCO，OC=CD，（1）試說明：是等邊三角形；（2）當時，試判斷的形狀，并說明理由；（3）當為多少度時，是等腰三角形【答案】(1)見解析；(2)△AOD是直角三角形，理由見解析；(3)110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形.【解析】解：(1)∵∠ACD=∠BCO，∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°，又∵CO=CD，∴△COD是等邊三角形；(2)∵△COD是等邊三角形，∴CO=CD，又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC，∴△ACD≌△BCO（SAS），∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∵△COD是等邊三角形，∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∵△COD是等邊三角形，∴∠CDO=60°，∴∠ADO=∠ADC?∠CDO=90°，∴△AOD是直角三角形；(3)∵△COD是等邊三角形∴∠CDO=∠COD=60°∴∠ADO=α?60°,∠AOD=360°?60°?110°?α=190°?α，當∠AOD=∠ADO時,△AOD是等腰三角形,即190°?α=α?60°,解得α=125°；當∠AOD=∠DAO時,△AOD是等腰三角形,即2(190°?α)+α?60°=180°,解得α=140°；當∠ADO=∠DAO時,△AOD是等腰三角形,即190°?α+2(α?60°)=180°,解得α=110°，綜上所述,∠BOC的度數(shù)為110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形.8.（徐教院附2019期中29）已知在△ABC中，AB＝AC在射線AC上取一點D，以D為頂點、DB為一條邊作∠BDF＝∠A，點E在AC的延長線上，∠ECF＝∠ACB(1)如圖(1)，當點D在邊AC上時，求證:①∠FDC＝∠ABD;②DB＝DF；(2)如圖(2)，當點D在AC的延長線上時，請判斷DB與DF是否相等，并說明理由.【答案與解析】解：（1）證明：①∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠BDC=∠BDF+∠FDC，且∠A=∠BDF，∴∠FDC=∠ABD；②過點D分別作DM垂直BC于M,DN垂直CF交FC的延長線于N，∴∠DMB=∠DMC=90°，∠DNC=∠DNF=90°，∴∠DMC=∠DNC=90°，∵∠ECF=∠ACB，∠ECF=∠ACN(對頂角相等），∴∠ACB=∠ACN，又∵CD=CD，∴△DMC≌△DNC(AAS)，∴DM=DN，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ECF，∵∠ECF=∠FDC+∠DFN，∠ABC=∠ABD+∠DBM，且由①知，∠FDC=∠ABD，∴∠DBM=∠DFN，又∵∠DMB=∠DNF=90°，∴△DBM≌△DFN(AAS)，∴DB=DF；（2）解：DB=DF，理由如下：過點D分別作DP垂直CF于P,DQ垂直BC交BC的延長線于Q，∴∠DPC=∠DPF=90°，∠DQC=∠DQB=90°，∴∠DPC=∠DQC=90°，∠DPF=∠DQB=90°，∵∠ACB=∠DCQ(對頂角相等），∠ACB=∠ECF，∴∠ECF=∠DCQ，∵CD=CD，∴△DPC≌△DQC(AAS)，∴DP=DQ，∵∠BDE=∠ABD+∠A，∠BDE=∠BDF+∠EDF，且∠BDF=∠A，∴∠ABD=∠EDF，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ECF，∵∠ABD=∠ABC+∠DBQ，∠EDF=∠ECF+∠DFP，∴∠DBQ=∠DFP，∴△DPF≌△DQB(AAS)，∴DB=DF.9.（川中南2019期中26）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E.（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1所示位置時，求證：DE=AD-BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖２、圖３所示位置時，補全圖形，并探索線段DE、AD、BE之間的數(shù)量關系（直接寫出答案）．【答案與解析】解：（1）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90，在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，又∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC與△CEB中，，∴△ADC≌△CEB(AAS),∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CE-CD=AD-BE；（2）如圖2所示：DE=BE-AD；如圖3所示：DE=BE+AD.10.（浦東南聯(lián)合2019期中26）已知：點O是△ABC內一點，射線AO、BO交BC、AC于點D、E.（1）若射線AO、BO分別平分∠BAC、∠ABC;①如圖（1），設∠ACB=x°．試用含x的代數(shù)式表示∠AOB的大小;②如圖（2），若AC=BC,∠ACB=36°，射線BE與射線AM交于點M，且∠BAC=∠OAM=∠AOM．求證：AM=CM;（2）聯(lián)結CO，若AO=BO=CO,且△AOB中有一個內角是50°，請直接寫出∠ACB的度數(shù)．【答案】（1）①90+x；②略；（2）25或40；【解析】解：(1)①在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C=180，∴∠BAC+∠ABC=180-∠C，∵射線AO、BO分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=∠BAC，∠ABE=∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=90-∠C，∴∠AOB=180-（∠BAD+∠ABE）=90+∠C=90+x；②證明：∵∠BAC=∠AOM，且∠AOM=∠BAO+∠ABO，∴∠OAE=∠ABO，又OA平分∠BAE，∴∠BAO=∠OAE=∠AEM即∠BAM=3∠BAO,∵∠BEC=∠BAE+∠ABO=3∠ABO,∴∠BAM=∠BEC,又BE平分∠ABC，且∠ACB=36，∴∠ABE=∠CBE，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180，∴∠ABO=36，∠BAE=72，又∵∠AEB=∠EBC+∠ACB，∴∠AOE=∠BAE，∴BA=BE，∴△ABM≌△EBC，∴BM=BC，∴∠BCM=∠BMC=72，∴∠ACM=36，∴∠CAM=∠ACM，∴AM=CM；（3）25或40.11.（浦東四署2019期中26）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA=OB，OC=OD，連接AC、BD交于點M.（1）如圖1，若∠AOB=∠COD=40°.①AC與BD的數(shù)量關系為；②∠AMB的度數(shù)為；（2）如圖2，若∠AOB=∠COD=90°.①判斷AC與BD之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；②求∠AMB的度數(shù).【答案】（1）AC=BD，∠AMB=40；（2）①AC=BD；②90；【解析】解：（1）∵∠AOB=∠COD，∴∠DOB=∠COA，又∵OA=OB，OC=OD，∴△COA≌△DOB(SAS),∴AC=BD,∴∠CAO=∠DBO,∵∠AOB=40°,OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=70,∴∠AMB=180-(∠MAB+∠ABD)=180-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180-(∠OAB+∠OBA)=180-140=40,故AC=BD，∠AMB=40；（2）①AC=BD；∵∠AOB=∠COD=90，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，∴∠BOD=∠AOC，在△BOD與△AOC中，，∴△BOD≌△AOC(SAS),∴BD=AC.②∵△BOD≌△AOC,∴∠OBD=∠OAC，又∵∠OAB+∠OBA=90，∠ABO=∠ABM+∠OBD，∠MAB=∠MAO+∠OAB，∴∠MAB+∠MBA=90，又在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM=180，∴∠AMB=180-（∠ABM+∠BAM）=180-90=90.12.（浦東四署2020期末26）閱讀下面的材料，然后解答問題：我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形.（1）理解并填空：①根據(jù)奇異三角形的定義，請你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？（填“是”或“不是”）②若某三角形的三邊長分別為1、、2，則該三角形（填“是”或“不是”）奇異三角形.（2）探究：在，兩邊長分別是a、c，且，則這個三角形是否是奇異三角形？請說明理由.【答案與解析】解：（1）①是；設等邊三角形的邊長為a，則，顯然成立；②是；因為，故是奇異三角形.（2）當c為斜邊時，則，由于，故不是奇異三角形；當b為斜邊時，，則有，所以是奇異三角形.答：當c為斜邊時，不是奇異三角形；當b為斜邊時，是奇異三角形.13.（川中南2020期末25）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關系為;（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】結論：（1）60；（2）AD=BE；應用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；【解析】解：探究：（1）在△CDA≌△CEB中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△CDA≌△CEB，∴∠CEB=∠CDA=120°，又∠CED=60°，∴∠AEB=120°－60°=60°；（2）∵△CDA≌△CEB，∴AD=BE；應用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°．∴∠AEB=∠BEC－∠CED=135°－45°=90°．在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM．∴AE=DE+AD=2CM+BE．14.（西南模2019期中28）如圖，等邊，點D為射線AE上一點，延長BE至點C，使得EC=AD，聯(lián)結CD并延長交射線AB于點F.（1）當點D在邊AE上時，如圖1，若ED=AD，則；（2）當點D在邊AE上時，如圖2，若，則（1）的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，寫出與的數(shù)量關系并證明；（3）當點D在邊AE的延長線上時，則（1）的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，寫出與的數(shù)量關系并證明.【答案】（1）60；（2）∠CFA-∠CBD=60；(3)不成立，∠CFA+∠DBC=60；【解析】解：(1)∵△ABE是等邊三角形，ED=AD，∴BD⊥AE，∠DBE=∠DBA=30，AB=AE；∵EC=AD，∠BEA=60，∴∠ECF=30，∴∠CFA=∠ABC+∠ECD=90，∴∠CFA-∠DBC=60；（2）如圖2，過點C作CH//AB交AE的延長線于H，∵CH//AB,∴∠H=∠EAB=60,∠HCE=∠EBA=60,∴△CEH是等邊三角形，∴CH=CE=HE，∵EC=AD，∴HE=CH=AD，∴HE+DE=AD+DE即HD=AE=AB，∵H