初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)《17.1.1勾股定理》教學(xué)課件

第十七章勾股定理17.1勾股定理第1課時(shí)勾股定理1課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升勾股定理勾股定理與面積的關(guān)系

如圖是2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)(ICM—2002)的會(huì)標(biāo).它的設(shè)計(jì)思路可追溯到3世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所使用的弦圖.用弦圖證明勾股定理在數(shù)學(xué)史上有著重要的地位.1知識(shí)點(diǎn)勾股定理問(wèn)題1

圖中三個(gè)正方形的面積有什么關(guān)系？等腰直角三角形的三邊之間有什么關(guān)系？知1－導(dǎo)歸納知1－導(dǎo)

可以發(fā)現(xiàn)，以等腰直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的大正方形的面積.即等腰直角三角形的三邊之間有一種特殊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

等腰直角三角形有上述性質(zhì)，其他的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？圖中，每個(gè)小方格的面積均為1，請(qǐng)分別算出圖中正方形A，B，C，A'，

B'，

C'的面積，看看能得出什么結(jié)論.（提示：以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，等于某個(gè)正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積.）知1－導(dǎo)問(wèn)題2歸納知1－導(dǎo)

命題1如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.

趙爽利用弦圖證明命題1的基本思路如下：如圖(1)，把邊長(zhǎng)為a，b的兩個(gè)正方形連在一起，它的面積是a2+b2;另一方面，這個(gè)圖形可分割成四個(gè)全等的直角三角形(紅色)和一個(gè)正方形(黃色).把圖(1)中左、右兩個(gè)三角形移到圖(2)中所示的位置，就會(huì)形成一個(gè)以c為邊長(zhǎng)的正方形(圖(3)).因?yàn)閳D(1)與圖(3)都由四個(gè)全等的直角三角形(紅色)和一個(gè)正方形(黃色)組成，所以它們的面積相等.因此，a2

+b2=c2.知1－講總結(jié)知1－講勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的

平方；數(shù)學(xué)表達(dá)式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，

BC＝a，則a2＋b2＝c2.要點(diǎn)精析：(1)勾股定理適用于任何一個(gè)直角三角形；(2)勾股定理的內(nèi)容描述的是直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)

系，已知其中任意兩邊可以求出第三邊；(3)勾股定理的變形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2；(4)運(yùn)用勾股定理時(shí)，要分清斜邊、直角邊．分清斜邊和直角邊．因?yàn)樵赗t△ABC中，a，b，c是三邊，所以可以用勾股定理解決問(wèn)題．例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

對(duì)邊分別是a，b，c.(1)已知a＝b＝6，求c；

(2)已知c＝3，b＝2，求a；

(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.知1－講導(dǎo)引：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.

又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，

解得b＝知1－講解：總結(jié)知1－講

利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)的方法：一般都要經(jīng)過(guò)“一分二代三化簡(jiǎn)”這“三步曲”，即一分：分清哪條邊是斜邊，哪些是直角邊；二代：將已知邊長(zhǎng)及兩邊之間的關(guān)系式代入a2＋b2＝c2（假設(shè)c是斜邊）；三化簡(jiǎn)．1設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊

長(zhǎng)為c.(1)已知a=6，c=10，求b；

(2)已知a=5，b=12，求c；

(3)已知c=25，b=15，求a.知1－練2(2016·株洲)如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為

邊或直徑，分別向外作等邊三角形，半圓，等腰直

角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足

S1＋S2＝S3的圖形個(gè)數(shù)是(

)A．1B．2C．3D．4知1－練3若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，

斜邊長(zhǎng)為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正

確的是(

)A．b2＝c2－a2B．a(chǎn)2＝c2－b2C．b2＝a2－c2D．c2＝a2＋b2知1－練錯(cuò)解：第三邊的長(zhǎng)為錯(cuò)解分析：由于習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說(shuō)法，故將題意理

解為兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，于是斜邊長(zhǎng)為5.但這一理解

的前提是3，4為直角邊長(zhǎng)，而題中并未加以任何說(shuō)明，因

而所求的第三邊可能為斜邊，也可能為直角邊．所以需要

分情況求解．正確解法：(1)當(dāng)兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4時(shí)，

第三邊的長(zhǎng)為

(2)當(dāng)斜邊長(zhǎng)為4，一直角邊長(zhǎng)為3時(shí)，

第三邊的長(zhǎng)為例2已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3，4，求第三邊的長(zhǎng)．知1－講總結(jié)知1－講

運(yùn)用勾股定理求第三邊的長(zhǎng)時(shí)，一般要經(jīng)過(guò)“一分二代三化簡(jiǎn)”這三步曲；若由題目中的條件找不到斜邊，則需要運(yùn)用分類(lèi)討論思想求解．1(1)已知一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為8，15，

則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)___________；

(2)已知一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和4，則第

三邊長(zhǎng)的平方為_(kāi)_________．知1－練2(2015·黔西南)一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為

3和4，則第三邊長(zhǎng)為(

)A．5B.C.D．5或知1－練2知識(shí)點(diǎn)勾股定理與面積的關(guān)系知2－導(dǎo)

在一張紙上畫(huà)4個(gè)與圖所示的全等的直角三邊形，并把它們剪下來(lái)．如圖所示，用這四個(gè)直角三角形進(jìn)行拼擺，將得到一個(gè)以a+b為邊長(zhǎng)的大正方形和以直角形斜邊c為邊長(zhǎng)的小正方形．歸納知2－導(dǎo)

觀察圖形，容易得到大正方形的邊長(zhǎng)為

a+b，所以大正方形的面積是(a+b)2．又因?yàn)榇笳叫问怯?個(gè)全等的直角三角形和中間的正方形拼成的，所以大正方形的面積又可表示成

ab×4+c2．因此有(a+b)2=ab×4+c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c為邊的直角三角形滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．知2－講例3觀察如圖所示的圖形，回答問(wèn)題：

(1)如圖①，△DEF為直角三角形，正方形

P的面積

為9，正方形Q的面積為

15，則正方形M的面積

為_(kāi)_______；

(2)如圖②，分別以直角

三角形ABC的三邊長(zhǎng)為直徑向三角形外作三個(gè)半圓，

則這三個(gè)半圓形的面積之間的關(guān)系式是________；

(用圖中字母表示)(3)如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為3和

4，分別以直角三角形的三邊長(zhǎng)為直徑作半圓，請(qǐng)你

利用(2)中得出的結(jié)論求陰影部分的面積．知2－講(1)根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理可得

DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面積＝9＋15＝24；(2)

另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；(3)陰影部分的面積＝兩個(gè)小半圓形的面積和＋直角三角

形的面積－大半圓形的面積，由(2)可知兩個(gè)小半圓形

的面積和＝大半圓形的面積，所以陰影部分的面積＝

直角三角形的面積．導(dǎo)引：知2－講(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)設(shè)兩個(gè)小半圓形的面積分別為S1，S2，大半圓

形的面積為S3，三角形的面積為S△，

則S陰影＝S1＋S2＋S△－S3

＝S△＝

×3×4＝6.解：總結(jié)知2－講

與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結(jié)論：兩直角邊上圖形面積的和等于斜邊上的圖形面積．本例考查了勾股定理及正方形的面積公式，半圓形面積的求法，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察所給圖形，面積與邊長(zhǎng)、直徑有平方關(guān)系，就很容易聯(lián)想到勾股定理．1如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊

形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分

別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.知2－練知2－練2如圖，字母B所代表的正方形的面積是(

)A．12B．13C．144D．194

知2－練3如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面

積分別為3和4，則b的面積為(

)A．3B．4C．5D．71．運(yùn)用勾股定理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)遇到求線段長(zhǎng)度的問(wèn)題時(shí)，能想到用勾股定理.(2)必須把要求的線段歸結(jié)到直角三角形中去(沒(méi)有直角三角形，可以通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形)，切忌亂用勾股定理.(3)分清組成直角三角形的線段中哪條是直角邊，哪條是斜邊