提優(yōu)專題07 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（解析版）

專題7二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（解析版）類型一圖形面積問題1．（2022秋?上杭縣期中）如圖，在足夠大的空地上有一段長為40m的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100m木欄．（1）若AD＜20m，所圍成的矩形菜園的面積為450m2，求所利用舊墻AD的長；（2）求矩形菜園ABCD面積的最大值．思路引領(lǐng)：（1）設(shè)AB＝bm，則BC＝（100﹣2b）m，由b（100﹣2b）＝450求解．（2）設(shè)AD＝xm，矩形菜園ABCD的面積為Sm2，通過配方法求解．解：（1）設(shè)AB＝bm，則BC＝（100﹣2b）m．根據(jù)題意得b（100﹣2b）＝450，解得b1＝5，b2＝45．當(dāng)b＝5時(shí)，100﹣2b＝90＞20，不合題意，舍去；當(dāng)b＝45時(shí)，100﹣2b＝10．答：AD的長為10m．（2）解：設(shè)AD＝xm，矩形菜園ABCD的面積為Sm2，則S=12x（100﹣x）=-12（x﹣50）2+1250．（0＜∵-12∴圖像開口向下，當(dāng)x＜50時(shí)，S隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝40時(shí)，S有最大值，為1200m2．總結(jié)提升：本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出等式，掌握配方法求最值．2．（2021秋?澧縣期末）如圖，某農(nóng)戶準(zhǔn)備建一個(gè)長方形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻，若墻長為18m，墻對(duì)面有一個(gè)2m寬的門，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長33m，圍成長方形的養(yǎng)雞場除門之外四周不能有空隙．（1）要圍成養(yǎng)雞場的面積為150m2，則養(yǎng)雞場的長和寬各為多少？（2）圍成養(yǎng)雞場的面積能否達(dá)到200m2？請(qǐng)說明理由．思路引領(lǐng)：（1）先設(shè)養(yǎng)雞場的寬為xm，得出長方形的長，再根據(jù)面積公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合題意；（2）先設(shè)養(yǎng)雞場的寬為xm，得出長方形的長，再根據(jù)面積公式列出方程，判斷出△的值，即可得出答案．解：（1）設(shè)養(yǎng)雞場的寬為xm，根據(jù)題意得：x（33﹣2x+2）＝150，解得：x1＝10，x2＝7.5，當(dāng)x1＝10時(shí)，33﹣2x+2＝15＜18，當(dāng)x2＝7.5時(shí)33﹣2x+2＝20＞18，（舍去），則養(yǎng)雞場的寬是10m，長為15m．（2）設(shè)養(yǎng)雞場的寬為xm，根據(jù)題意得：x（33﹣2x+2）＝200，整理得：2x2﹣35x+200＝0，Δ＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因?yàn)榉匠虥]有實(shí)數(shù)根，所以圍成養(yǎng)雞場的面積不能達(dá)到200m2．總結(jié)提升：此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵，注意寬的取值范圍．類型二商品利潤問題3．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）某商場銷售一批名牌襯衫，每件進(jìn)價(jià)為100元，若每件售價(jià)為160元，則平均每個(gè)月可售出100件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價(jià)2元，商場平均每月可多售出10件，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，設(shè)每件襯衫降價(jià)x元．（1）用含x的代數(shù)式表示每月可售出的襯衫件數(shù)為；（2）若商場每月要盈利7875元，請(qǐng)你幫助商場算一算，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題意可以用含x的代數(shù)式表示每天可售出的襯衫；（2）以利潤為等量關(guān)系列出方程解答即可；解：（1）每件襯衫每降價(jià)2元，商場平均每月可多售出10件，∴每件襯衫降價(jià)x元，每月可售出襯衫件數(shù)為（100+5x）件．故答案為：（100+5x）件；（2）每件襯衫降價(jià)x元，由題意得，（160﹣x﹣100）（100+5x）＝7875解得x1＝25，x2＝15∵要盡快減少庫存∴x＝25答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)25元總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2020?宿遷）某超市經(jīng)銷一種商品，每千克成本為50元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該種商品的每天銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其每天銷售單價(jià)，銷售量的四組對(duì)應(yīng)值如下表所示：銷售單價(jià)x（元/千克）55606570銷售量y（千克）70605040（1）求y（千克）與x（元/千克）之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）為保證某天獲得600元的銷售利潤，則該天的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？（3）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，才能使當(dāng)天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？思路引領(lǐng)：（1）利用待定系數(shù)法來求一次函數(shù)的解析式即可；（2）依題意可列出關(guān)于銷售單價(jià)x的方程，然后解一元二次方程組即可；（3）利用每件的利潤乘以銷售量可得總利潤，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算即可．解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），將表中數(shù)據(jù)（55，70）、（60，60）代入得：55k+b=7060k+b=60解得：k=-2b=180∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣2x+180．（2）由題意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，整理得：x2﹣140x+4800＝0，解得x1＝60，x2＝80．答：為保證某天獲得600元的銷售利潤，則該天的銷售單價(jià)應(yīng)定為60元/千克或80元/千克．（3）設(shè)當(dāng)天的銷售利潤為w元，則：w＝（x﹣50）（﹣2x+180）＝﹣2（x﹣70）2+800，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝70時(shí)，w最大值＝800．答：當(dāng)銷售單價(jià)定為70元/千克時(shí)，才能使當(dāng)天的銷售利潤最大，最大利潤是800元．總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一元二次方程和二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．類型三二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用5．（2021秋?炎陵縣期末）攀枝花得天獨(dú)厚，氣候宜人，農(nóng)產(chǎn)品資源極為豐富，其中晚熟芒果遠(yuǎn)銷北上廣等大城市．某水果店購進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)晚熟芒果，進(jìn)價(jià)為10元/千克，售價(jià)不低于15元/千克，且不超過40元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該芒果在一天內(nèi)的銷售量y（千克）與該天的售價(jià)x（元/千克）之間的數(shù)量滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系．售價(jià)x（元/千克）…27.52524.522…銷售量y（千克）…32.53535.538…（1）某天這種芒果售價(jià)為28元/千克．求當(dāng)天該芒果銷售量（2）設(shè)某天銷售這種芒果獲利m元，寫出m與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式．如果水果店該天獲利400元，那么這天芒果的售價(jià)為多少元？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出該芒果在一天內(nèi)的銷售量y（千克）與該天的售價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，然后將x＝28代入求出相應(yīng)的y的值即可；（2）根據(jù)題意和（1）中的函數(shù)解析式，可以寫出獲利m與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后將m＝400代入求出相應(yīng)的x的值即可，注意x的取值范圍．解：（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b，25k+b=3522k+b=38解得k=-1b=60即一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+60（15≤x≤40），當(dāng)x＝28時(shí)，y＝﹣28+60＝32，答：芒果售價(jià)為28元/千克時(shí)，當(dāng)天該芒果的銷售量為32千克；（2）由題意可得：m＝y(tǒng)（x﹣10）＝（﹣x+60）（x﹣10）＝﹣x2+70x﹣600，當(dāng)m＝400時(shí)，﹣x2+70x﹣600＝400，解得x1＝20，x2＝50，∵15≤x≤40，∴x＝20，答：獲利m與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式是m＝﹣x2+70x﹣600，如果水果店該天獲利400元，那么這天芒果的售價(jià)為20元．總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，列出相應(yīng)的方程．6．（2022?賽罕區(qū)校級(jí)一模）某公司的商品進(jìn)價(jià)每件60元，售價(jià)每件130元，為了支持“抗新冠肺炎”，每銷售一件捐款4元．且未來30天，該商品將開展每天降價(jià)1元”的促銷活動(dòng)，即從第一天起每天的單價(jià)均比前一天降1元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，設(shè)第x天（1≤x≤30且x為整數(shù)）的銷量為y件，y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，其對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表：x（天）……1357……y（件）……35455565……（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）在這30天內(nèi)，哪一天去掉捐款后的利潤是6235元？（3）設(shè)第x天去掉捐款后的利潤為W元，試求出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪一天的利潤最大，最大利潤是多少元？思路引領(lǐng)：（1）設(shè)y與x滿足的一次函數(shù)數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意得關(guān)于x的一元二次方程：（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝6235，求得方程的解并根據(jù)問題的實(shí)際意義作出取舍即可；（3）由題意得W關(guān)于x的二次函數(shù)，將其寫成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．解：（1）設(shè)y與x滿足的一次函數(shù)數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），將（1.35），（3，45）分別代入得：35=k+b45=3k+b解得：k=5b=30∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝5x+30；（2）根據(jù)題意得：（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝6235，整理得：x2﹣60x+851＝0，解得：x＝23或x＝37（舍），∴在這30天內(nèi)，第23天去掉捐款后的利潤是6235元；（3）由題意得：W＝（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30＝﹣5x2+300x+1980＝﹣5（x﹣30）2+6480，∵a＝﹣5＜0，∴當(dāng)x＝30時(shí)，W有最大值，最大值為6480元．∴W與x之間的函數(shù)關(guān)系式是W＝﹣5（x﹣30）2+6480，第30天的利潤最大，最大利潤是6480元．總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?珠海期中）某公司研發(fā)了一款成本為50元的新型玩具，投放市場進(jìn)行試銷售．按照物價(jià)部門規(guī)定，銷售單價(jià)不低于成本且不高于85元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)在一段時(shí)間內(nèi)，每天的銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系如圖：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？思路引領(lǐng)：（1）由待定系數(shù)法可得函數(shù)的解析式；（2）設(shè)每天獲得的利潤為w元，由題意得二次函數(shù)，寫成頂點(diǎn)式，可求得答案．解：（1）設(shè)y＝kx+b（k≠0），將點(diǎn)（50，160），（80，100）代入得：160=50k+b100=80k+b解得：k=-2b=260∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣2x+260；（2）設(shè)每天獲得的利潤為w元，由題意得w＝（x﹣50）（﹣2x+260）＝﹣2x2+360x﹣13000＝﹣2（x﹣90）2+3200，∵按照物價(jià)部門規(guī)定，銷售單價(jià)不低于成本且不高于85元，∴50≤x≤85，∵a＝﹣2＜0，拋物線開口向下，∴當(dāng)50≤x≤85時(shí)，w隨著x的增大而增大，∴w有最大值，當(dāng)x＝85時(shí)，w最大值＝3150，∴銷售單價(jià)為85元時(shí)，每天獲得的利潤最大，最大利潤是3150元．總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．8．（2020?葫蘆島三模）2020年春節(jié)期間，新型冠狀病毒肆虐，突如其來的疫情讓大多數(shù)人不能外出，網(wǎng)絡(luò)銷售成為這個(gè)時(shí)期最重要的一種銷售方式．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)貿(mào)易公司因此開設(shè)了一家網(wǎng)店，銷售當(dāng)?shù)啬撤N農(nóng)產(chǎn)品．已知該農(nóng)產(chǎn)品成本為每千克10元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（kg）與銷售單價(jià)x（元）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系（其中10＜x≤30）．（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍．（2）當(dāng)銷售單價(jià)x為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？思路引領(lǐng)：（1）由圖象知，當(dāng)10＜x≤14時(shí)，y＝640；當(dāng)14＜x≤30時(shí)，設(shè)y＝kx+b，將（14，640），（30，320）解方程組即可得到結(jié)論；（2）求得函數(shù)解析式為W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：（1）由圖象知，當(dāng)10＜x≤14時(shí)，y＝640；當(dāng)14＜x≤30時(shí)，設(shè)y＝kx+b，將（14，640），（30，320）代入得14k+b=64030k+b=320解得k=-20b=920∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣20x+920；綜上所述，y=640(10（2）當(dāng)10＜x≤14時(shí)W＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400，∵k＝640＞0，∴W隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x＝14時(shí)，W＝4×640＝2560元；當(dāng)14＜x≤30時(shí)，W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，∵﹣20＜0，14＜x≤30，∵2560＜6480，∴當(dāng)x＝28時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是6480元．總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，得到每天的銷售利潤的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵；利用配方法或公式法求得二次函數(shù)的最值問題是常用的解題方法類型四橋梁隧道問題9．（2021秋?九臺(tái)區(qū)期末）如圖，隧道的截面由拋物線和矩形構(gòu)成，矩形的長為12m，寬為4m，按照如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線可以表示為y=-16（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并計(jì)算出拱頂E到地面BC的距離；（2）一輛貨運(yùn)汽車載一長方體集裝箱后，高6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車道，那么這輛貨車能否安全通過？（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題意確定點(diǎn)A坐標(biāo)，再把點(diǎn)A坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出c即可；（2）令y＝6，解方程求出x的值與4比較即可；（3）由于拋物線開口向下，可知函數(shù)值越大，對(duì)稱點(diǎn)之間的距離越小，于是計(jì)算函數(shù)值為8時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量的值，即可得到兩排燈的水平距離最小值．解：（1）根據(jù)題意得A（﹣6，4），B（﹣4，0），C（4，0），把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=-16x2+c得，解得c＝10，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-16x2∵c＝10，∴E（0，10），∴OE＝10m，∴拱頂E到地面BC的距離為10m；（2）當(dāng)y＝6時(shí)，-16x2+10＝解得x＝±26，∵26＞4∴這輛貨車能安全通過；（3）令y＝8，則-16x2+10＝解得x1＝﹣23x2＝23，于是有x1﹣x2＝43即兩排燈的水平距離最小是43m．總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得出函數(shù)的表達(dá)式．10．（2022秋?大興區(qū)期末）拋物線形拱橋具有取材方便，造型美觀的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用到橋梁建筑中，如圖是某公園拋物線形拱橋的截面圖．以水面AB所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離AE＝x（單位：m），點(diǎn)E到橋拱頂面的豎直距離EF＝y(tǒng)（單位：m）．x，y近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx（a＜0）．通過取點(diǎn)，測量，得到x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，如下表：x（m）01234y（m）01.2522.252（1）橋拱頂面離水面AB的最大高度為m；（2）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出滿足的函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx和水面寬度AB的長．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以橋拱頂面離水面AB的最大高度；（2）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可，再令y＝0，解方程求出A，B坐標(biāo)即可求出AB．解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知拋物線的頂點(diǎn)為（3，2.25），∴橋拱頂面離水面AB的最大高度為2.25m，故答案為：2.25；（2）把（2，2），（3，2.25）代入y＝ax2+bx得：4a+2b=29a+3b=2.25解得a=-0.25b=1.5∴拋物線解析式為y＝﹣0.25x2+1.5x；令y＝0，則﹣0.25x2+1.5x＝0，解得x＝0或x＝6，∴A（0，0），B（6，0），∴AB＝6．總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．類型五球類運(yùn)動(dòng)問題11．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）在籃球比賽中，東東投出的球在點(diǎn)A處反彈，反彈后球運(yùn)動(dòng)的路線為拋物線的一部分（如圖所示建立直角坐標(biāo)系），拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)被東東搶到，CD⊥x軸于點(diǎn)D，CD＝2.6m．求OD的長．思路引領(lǐng)：（1）設(shè)y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），將A（0，3）代入求解即可得出答案；（2）把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，解方程求出x，即可得出OD＝1m．解：（1）設(shè)y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），把x＝0，y＝3代入上式得，3＝a（0﹣0.4）2+3.32，解得a＝﹣2，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為