高中數(shù)學聯(lián)賽歷年真題分類匯編解析(高分強基必刷)

高中數(shù)學聯(lián)賽之歷年真題分類匯編（1981-2020）TOC\o"1-1"\h\u27875專題01集合 210299專題02函數(shù)A輯 194875專題03函數(shù)B輯 39192專題04三角函數(shù)與解三角形 6224356專題05平面向量 9030618專題06數(shù)列A輯 10721700專題07數(shù)列B輯 12517750專題08數(shù)列C輯 14710339專題09不等式A輯 18314878專題10不等式B輯 2072231專題11平面解析幾何A輯 22213377專題12平面解析幾何B輯 25117299專題13立體幾何與空間向量 3026141專題14復數(shù) 34611024專題15函數(shù)、集合與復數(shù) 36214992專題16平面幾何A輯 4011239專題17平面幾何B輯 461732專題18初等數(shù)論 51223733專題19圖論與對策 547專題01集合1．【2008高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設A=[－2，4)，B={x|x2－ax－4≤0}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍為()A．[?1,2) B．[?2,2] C．[0,3] D．0,3【答案】D【解析】因為x2?ax?4=0有兩個實根故B?A等價于x1≥－2且x2<4，即a2?4+解之得0?a<3，故選D．

2．【2007高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】已知A與B是集合{1，2，3，…，100}的兩個子集，滿足：A與B的元素個數(shù)相同，且A∩B為空集.若n∈A時，總有2n+2∈B，則集合AUB的元素個數(shù)最多為()A．62 B．66 C．68 D．74【答案】B【解析】先證|A∪B|?66，只需證|A|?33，為此只需證若A是{1，2，…，49}的任一個34元子集，則必存在n∈A，使得2n+2∈A，證明如下：將{1，2，…，49}分成如下33個集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12個；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4個；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13個；{26}，{34}，{42}，{46}共4個由于A是{1，2，…，49}的34元子集，從而由抽屜原理可知上述33個集合中至少有一個2元集合中的數(shù)均屬于A，即存在n∈A，使得2n+2∈A，如取A={1,3,5,?,23,2,10,14,1825,27,29,?,49,26,34,42,46}，B={2n+2|n∈A}，則A，B滿足題設且|A∪B|=66.故選B.

3．【2006高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】已知集合A={x|5x－a≤0}，B={x|6x－b>0}，a，b∈N，且A∩B∩N={2，3，4}，則整數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A.20 B.25 C.30 D.42【答案】C【解析】由5x?a?0得x?a由6x?b>0得x>b要使A∩B∩N={2,3,4}，則1?b6所以數(shù)對(a，b)共有C6故選C.

4．【2005高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】記集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=a17+a27A．57+57C．17+17【答案】C【解析】用a1a2?akp表示k得M=aM'中的最大數(shù)為[6666]7在十進制數(shù)中，從2400起，從大到小順序排列的第2005個數(shù)是2400?2004=396，而[396]10將此數(shù)除以74，便得M中的數(shù)是17故選：C.

5．【2004高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】已知M=(x,y)|x2+2y2=3，N={(x，y)|y=mx+b}.若對所有m∈R，均有MA．?62,62C．?233,【答案】A【解析】由M∩N≠?相當于點(0，b)在橢圓x2+2所以2b23?1故選A.

6．【2002高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】知兩個實數(shù)集合A=a1,a2,?,a100與B=b1,A．C10050 B．C9948 C．C【答案】D【解析】不妨設b1<b2<?<b定義映射f：A→B，使第i組的元素在f之下的象都是bi(i=1，2，…，50).易知這樣的f滿足題設要求，每個這樣的分組都一一對應滿足條件的映射，于是滿足題設要求的映射的個數(shù)與A按號碼順序分為50組的分法數(shù)相等.而對A的分割等價于從A中前99個元素選擇49個元素依次作為前49組的最后元素得到的分割(這樣保證了每組非空且與前者一一對應)，故A的分法數(shù)為C9949，則這樣的映射共有故選D.

7．【2001高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】已知a為給定的實數(shù)，那么集合M={x|x2－3x－a2+2=0，x∈R}的子集的個數(shù)為()A．1 B．2 C．4 D．不確定【答案】C【解析】M表示方程x2?3x?由于Δ=1+4a2>0，所以M含有2個元素.故集合M有22=4個子集.

8．【2000高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設全集是實數(shù)，若A=x|x?2A．2 B．?1 C．x|x≤2 D．?【答案】D【解析】由x?2≤0得x注意到A中只有一個元素，于是將x=2代入B，方程成立，故A∩B(注：這樣思考，即使B更復雜一些，計算起來都很簡單)

9．【1998高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a－5}，B={x|3≤x≤22}，則能使A?A∩B成立的所有a的集合是()A．{a|1?a?9} B．{a|6?a?9} C．{a|a?9} D．?【答案】B【解析】由題意得A?B，所以2a+1?33a?5?22解得6?a?9.

10．【1993高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】集合A，B的并集A∪B=a1,a2,a3，當A≠B時，(A，B)與(A．8 B．9 C．26 D．27【答案】D【解析】已知A∪B=a1,a2,a(1)若A=a1,a2,a這時(A，B)有C33(2)若A為二元素的集合，則有C32種，其對應的B的23個C20+C2(3)若A為單元素的集合，則有C31種，其對應的B有2個，這時(A，B)有C(4)若A是空集，則有C30種，其對應的B有一個.這時(A，B)有C所以這樣的(A，B)共有C33?23+C32?22+C31?2+C30?20=33=27個，因此答案是D．.

11．【1991高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設S={(x，y)|A．s?T B．T?S C．S=T D．S∩T=?【答案】A【解析】當y2=x2+奇數(shù)時，易見sin2π故當(x,y)∈S時，它必屬于T，于是S?T，又滿足x=y的點(x,y)∈T但不屬于S.故S?T

12．【1990高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】點集(x,y)|lgA．0 B．1 C．2 D．多于2【答案】B【解析】由lgx3+由均值不等式x3當且僅當x3=19故點集中有唯一點為(319,313).

13．【1989高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】若A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】M中的點在曲線M:x=N中的點在曲線N:x=曲線M和N的普通方程是M:xy=1?(x≠0,1)，于是曲線M和N的交點在橫坐標滿足x2即x=±1，顯見M∩N=?.

14．【1989高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】集合M=u|u=12m+8n+4l,m,n,l∈Z，N=u|u=20p+16q+12r,p,q,r∈ZA．M=N B．M?N,N?M C．M?N D．M?N【答案】A【解析】對N中任一元素u，有u=20p+16q+12r=12r+8(2q)+4(5p)∈M.從而N?M.另一方面，對M中任一元素u，有u=12m+8n+4l=20n+16l+12(m?n?l)∈N.從而M?N.故M=N.

15．【1982高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】如果凸n邊形F(n≥4)的所有對角線都相等，那么()A．F∈{四邊形} B．F∈{五邊形}C．F∈{四邊形}∪{五邊形}D．F∈{邊相等的多邊形}{內角相等的多邊形}【答案】C【解析】由正五邊形所有的對角線都相等，可見選項A不正確.任作兩條等長的相交線段AC和BD，這樣所得的四邊形ABCD對角線相等，可見選項B．不正確.其實，選項A與選項B都是選項C的真子集，可不必考慮，因若選項A或選項B成立，則選項C必成立.顯然，聯(lián)結兩條等長且相交的線段端點所得的四邊形未必邊相等或內角相等，又得到選項D不正確

16．【1982高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設M={(x,y)||xy|=1,x>0}，N=x,yA．M∪N={(x,y)||xy|=1}B．M∪N=MC．M∪N=ND．M∪N=x,y【答案】B【解析】由arctanx+arccoty=π即arctanx=π?arccoty.因此x=?1y 如果式②成立，當x>0，y<0時，有arctanx∈可知式①成立；當x<0，y>0時，有arctanx∈可知式①不成立所以N={(x,y)|xy=?1,x>0}.而M=x,y所以N?M，因此M∪N=M.

17．【2020高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】設集合X={1,2,?,20},A是X的子集,A的元素個數(shù)至少是2,且A的所有元素可排成連續(xù)的正整數(shù),則這樣的集合A的個數(shù)為 .【答案】190【解析】每個滿足條件的集合A可由其最小元素a與最大元素b唯一確定,其中a,b∈X,a<b,這樣的(a,b)的取法共有C202=190種,所以這樣的集合A的個數(shù)為190.

18．【2019高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】若實數(shù)集合{1，2，3，x}的最大元素與最小元素之差等于該集合的所有元素之和，則x的值為 【答案】?【解析】假如x≥0，則最大、最小元素之差不超過max{3，x}，而所有元素之和大于max{3，x}，不符合條件.故x<0，即x為最小元素.于是3－x=6+x，解得x=?32.

19．【2019高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】已知實數(shù)集合{1，2，3，x}的最大元素等于該集合的所有元素之和，則x的值為 【答案】?3【解析】條件等價于1，2，3，x中除最大數(shù)以外的另外三個數(shù)之和為0.顯然x<0，從而1+2+x=0，得x=－3.

20．【2018高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】設集合A={1，2，3，…，99}，B={2x|x∈A},C={x|2x∈A}，則B∩C的元素個數(shù)為 .【答案】24【解析】由條件知，B∩C={2,4,6,?,198}∩1故B∩C的元素個數(shù)為24.

21．【2018高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】設集合A={2，0，1，8}，B={2a|a∈A}則A∪B的所有元素之和是 .【答案】31【解析】易知B={4，0，2，16}，故A∪B={0，1，2，4，8，16}.A∪B的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31.

22．【2014高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設集合3a+b|1?a?b?2中的最大元素與最小元素分別為M，m，則M?m的值為 【答案】5?2【解析】由1?a?b?2知3a當a=1，b=2時，得最大元素M=5，又3a當a=b=3時，得最小元素m=2因此M?m=5?23.

23．【2013高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設集合A={2，0，1，3}，集合B={x|－x∈A，2－x2∈A}.則集合B中所有元素的和為 【答案】?5【解析】易知B?{?2,0,?1,?3}，當x=－2，－3時，2－x2=－2，－7，有2?x而當x=0，－1時，2－x2=2，1，有2－x2∈A.因此，根據集合B的定義可知B={?2,?3}.所以，集合B中所有元素的和為－5.

24．【2011高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設集合A=a1,a2,a3,a4【答案】{－3，0，2，6}【解析】顯然，在A的所有三元子集中，每個元素均出現(xiàn)了三次，所以3a1+a于是集合A的四個元素分別為5?(?1)=6，5?3=2，5?5=0，5?8=?3.因此，集合A={－3，0，2，6}.

25．【2003高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】已知{A=x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}.若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是 .【答案】?4?a??1【解析】易得A=(1，3)，設f(x)=21?x+a要使A?B，只需f(x)，g(x)在(1，3)上的圖像均在x軸下方其充要條件是：同時有f(1)?0,f(3)?0,g(1)?0,g(3)?0.由此推出?4?a??1.

26．【1996高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】集合x|?1?log1x10<?1【答案】2【解析】首先考察該集合元素的個數(shù).對x∈N，有?1?log所以?2<lg1x??1，則1?于是集合大小是90，于是真子集個數(shù)是290?1.

27．【1995高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且滿足條件：當x∈A時，15x?A，則A中元素的個數(shù)最多是 【答案】1870【解析】用n(A)表示集合A所含元素的個數(shù).由題設，k與15k(k=9，10，…，133)這兩個數(shù)中至少有一個不屬于A，所以至少有125(125=133－9+1)個數(shù)不屬于A，即n(A)?1995?125=1870.另一方面，可取A={1,2?,8}∪{134,135?,1995}，A滿足題設條件，此時n(A)=1870.所以nA引申對于這種集合問題，一般的解決辦法就是作出若干個數(shù)對，每個數(shù)對里至多有一個數(shù)包含在集合里.比如，如果題目條件說集合里任兩個數(shù)之差不為a，則可將兩個差為a的數(shù)分成一組，則此組中至多有一個數(shù)在集合里；如果題目條件說集合里任兩個數(shù)之和不為a，則可將兩個和為a的數(shù)分成一組，則此組中至多有一個數(shù)在集合里；如果題目條件說集合里任兩個數(shù)之積不為a，則可將兩個積為a的數(shù)分成一組，則此組中至多有一個數(shù)在集合里.總之，掌握這種原則之后，將不難解決這種問題.

28．【1991高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】將正奇數(shù)集合{1，3，5，…}由小到大按第n組有2n－1個奇數(shù)進行分組：{1}(第一組)，{3，5，7}(第二組)，{9，11，13，15，17}(第三組)，…則1991位于第 組中.【答案】32【解析】因為1+3+5+?+(2n?1)=n故第n組最后一個數(shù)即第n2個奇數(shù)為2n2－1，可見有不等式2(n?1)由前一不等式(n?1)2?995，故需由后一不等式，需滿足2n2?1992故n=32.

29．【1991高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設集合M={1，2，…，1000}，現(xiàn)對M的任一非空子集X，令ax表示X中最大數(shù)與最小數(shù)之和，那么，所有這樣的ax的算術平均值為 .【答案】1001【解析】將M中非空子集進行配對，對每個非空集X?M，令X則當X1也是M的一非空子集，且X'≠X時，有X'于是所有非空子集分成兩類：(1)X'≠X；(2)X對于情形(2)中的X，必有ax=1001.對于情形(1)中的一對X與X'，有ax由此可見，所有ax的算術平均值為1001.

優(yōu)質模擬題強化訓練

1．已知M={(x,y)|y≥x2}?，?N={(x,y)|A．a≥54. B．a=54. C．a≥1.【答案】A【解析】由M∩N=N得N?M,所以圓x2所以a≥1+14=54，選A.

2．已知集合M={1,2,...,10}，A為M的子集，且子集A中各元素的和為8.則滿足條件的子集A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【解析】注意到，元素和為8的子集A有｛8}、｛1，7｝、｛2，6｝、｛3，5｝、｛1，2，5｝、｛1，3，4｝，共6個.選C.

3．已知a為給定的實數(shù)，那么，集合M={x|xA．1 B．2 C．4 D．不確定【答案】C【解析】由方程x2?3x?a2+2=0的根的判別式Δ=1+4a2>0，知方程有兩個不相等的實數(shù)根，則M有2個元素，得集合M有22=4個子集.選C.

4．集合A={2,0,1,3}，集合B={x|-x∈AA．?4 B．?5 C．?6 D．?7【答案】B【解析】由題意可得B={-2，-3}，則集合B中所有元素的和為-5.故選：B.

5．已知集合A={1,2,3,4,5}，B={2,3,4,5,6}則集合C={(a,b)|a∈A,b∈B，且關于x的方程x2+2ax+bA．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】由題意得Δ=4a2?4b2≥0∴a≥b∴元素個數(shù)為0+1+2+3+4=10,選D.

6A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【解析】log2x≤2，所以0<x≤4，因為x∈Z,所以A={1,2,3,4},所以集合A的真子集個數(shù)為故答案為：C

7．如果集合A={1,2,3,?,10}，B={1,2,3,4}，C是A的子集，且C∩B≠?，則這樣的子集C有（）個.A．256 B．959 C．960 D．961【答案】C【解析】滿足C∩B=?的子集C有26個，所以滿足C∩B≠?的子集C有210故答案為：C

8．設A=[?2,4),B={x|x2?ax?4≤0}，若B?A，則實數(shù)A．[?3,0) B．[?2,0) C．[0,2) D．[0,3)【答案】D【解析】因為f(x)=x2?ax?4故{f(?2)≥0,f(4)>0.解得故答案為D

9．設集合P={x|x∈R,|x+3|+|x+6|=3}，則集合CRA．{x|x?6,或x?3} B．{x|x?6,或x??3}C．{x|x??6,或x?3} D．{x|x??6,或x??3}【答案】D【解析】因為|x+3|+|x+6|=3,所以由絕對值的幾何意義得-6≤x≤-3.則P={x|?6≤x≤?3}.故CRP={x|x??6,或x??3}.選D.

10．已知集合M=A．M?N B．M=N C．N?M D．M∩N=?【答案】B【解析】易由周期性知M=N={±1,±1

11．在復平面上，任取方程z100?1=0的三個不同的根為頂點組成三角形，則不同的銳角三角形的數(shù)目為【答案】39200【解析】易知z100?1=0的根在單位圓上，且相鄰兩根之間弧長相等，都為2π100，即將單位圓均勻分成首先選取任意一點A為三角形的頂點，共有100種取法.按順時針方向依次取頂點B和頂點C，設AB弧有x段小弧，CB弧有y段小弧，AC弧有z段小弧，則△ABC為銳角三角形的等價條件為：{x+y+z=1001?x,y,z?49計算方程組①的整數(shù)解個數(shù)，記P1={x|x+y+z=97,x?49}，P3={z|x+y+z=97,z?49}，則|=C由于重復計算3次，所以所求銳角三角形個數(shù)為100×11763故答案為：39200．

12．已知集合A={k+1，k+2，…，k+n}，k、n為正整數(shù)，若集合A中所有元素之和為2019，則當n取最大值時，集合A=________.【答案】{334，335，336，337，338，339}【解析】由已知2k+n+12當n=2m時，得到(2k+2m+1)m=3×673?m=3,n=6,k=333；當n=2m+1時，得到(k+m+1)(2m+1)=3×673?m=1,n=3.所以n的最大值為6，此時集合A={334,335,336,337,338,339}.故答案為：{334,335,336,337,338,339}．

13．已知yz≠0，且集合{2x，3z，xy}也可以表示為{y，2x2，3xz}，則x=____________.【答案】1【解析】易知xyz≠0，由兩集合各元素之積得6x經驗證，x=1符合題意.故答案為：1．

14．已知實數(shù)a≥?2，且A={x|?2≤x≤a}，B={y|y=2x+3,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}.若C?B，則a【答案】[【解析】由題意知B=[?1,2a+3].要使C?B，只需集合C中的最大元素在集合B中.故{(?2)2≤2a+3,a2≤2a+3?12【答案】256【解析】全集{1，2，3，…，9}中含有5個奇數(shù)、4個偶數(shù).根據奇子集的定義知，奇子集中只能含有1個奇數(shù)、3個奇數(shù)、5個奇數(shù)，而偶數(shù)的個數(shù)為0、1、2、3、4都有可能.所以，奇子集共有：C=(C5故答案為：256．

16．已知集合U={1，2，3，4，5}，I={X|X?U}，從集合I中任取兩個不同的元素A?B，則A∩B中恰有3個元素的概率為____________.【答案】5【解析】當A∩B確定后，如A∩B={3，4，5}時，設A=A'∪{3，4，5}，B=B′∪{3，4，5}，A′∩B=?，那么{A'，B'}的情況有：{?，{1}}，{?，{2}}，{?，{1，2}}，{{1}，{2}}，共4種情形.所以所求的概率為C5故答案為：562．

17．已知f(x)=x2?2x，集合A={x|f(f(x)=0}，則集合【答案】4【解析】將方程f(f(x)=0化為f(x2-2x)=0，即(x所以(x解得x1所以A={0,2,1?3,1+3}故答案為：4．

18．將集合{1，2，……，19}中每兩個互異的數(shù)作乘積，所有這種乘積的和為_________.【答案】16815【解析】所求的和為12故答案為：16815．

19．已知A={x|log3(x2?2x)?1},?B=(?∞,a]∪(b,+∞)其中a<b，如果A∪B=【答案】?1【解析】由已知得A=[?1,0)∪(2,3]，故b－a≤1，于是a?b??1.故答案為：?1．

20．設A為三元集合(三個不同實數(shù)組成的集合)，集合B={x+y|x，y∈A，x≠y}，若B={log26,log2【答案】{1,【解析】設A={log2a,log2b,log2c}，其中0<a<b<c.解得a=2，b=3，c=5，從而A={1,log故答案為：{1,log專題02函數(shù)A輯1．【2008高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】函數(shù)f(x)=5?4x+A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】當x<2時2?x>0，因此f(x)=1+當且僅當12?x=2?x時取得等號.而此方程有解x=1因此f(x)在(－∞，2)上的最小值為2.故選C．

2．【2006高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設logx2x2A．12<x<1 B．x>12且x≠1 C．x>1【答案】B【解析】因為x>0,x≠12x2+x?1>0由logx2x2則0<x<12x3+x2解得x>1.所以x的取值范圍為x>12且故選B．

3．【2006高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設f(x)=x3+log2(x+x2+1)，則對任意實數(shù)A．充分必要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】顯然f(x)=x3于是，若a+b?0，則a??b，有f(a)?f(?b)，即f(a)??f(b)，從而有f(a)+f(b)?0.反之，若f(a)+f(b)?0，則f(a)??f(b)=f(?b)，推出a??b，即a+b?0.故選A．

4．【2002高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】函數(shù)f(x)=logA．(?∞,?1) B．(?∞,1) C．(1,+∞) D．(3,+∞)【答案】A【解析】由x2?2x?3=(x+1)(x?3)>0有x<－1或故函數(shù)log12x2?2x?3又因為u=x2?2x?3在(－∞，－1)內單調遞減，在(3，+∞)內單調遞增.而log故選A.

5．【2002高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】函數(shù)f(x)=xA．是偶函數(shù)但不是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)C．既是偶函數(shù)又是奇函數(shù) D．既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)【答案】A【解析】函數(shù)f(x)的定義域是(?∞,0)∪(0,+∞)，當x≠0時，因為f(?x)==x所以f(x)為偶函數(shù)，顯然f(x)不是奇函數(shù)，故選A.

6．【2000高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】給定正數(shù)p，q，a，b，c其中p≠q，若p，a，q是等比數(shù)列，p，b，c，q是等差數(shù)列，則一元二次方程bx2－2ax+c=0()A．無實根 B．有兩個相等實根C．有兩個同號相異實根 D．有兩個異號實根【答案】A【解析】解法一由各選擇支確定且互不相容，可以用特值檢驗法.取等比數(shù)列1，2，4，等差數(shù)列1，2，3，4，符合題設，則方程是?2x有Δ<0.故選：A.解法二依題意a2=pq，設等差數(shù)列p，b，c，q的公差為d≠0，由a2?bc=pq?(p+d)(q?d)=pd?qd+d故選：A.

7．【1999高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】若log2A．x?y?0 B．x+y?0 C．x?y≤0 D．x+y?0【答案】B【解析】記f(t)=log23t?log53t原不等式即f(x)?f(?y)，故x??y，即x+y?0.引申問題雖然簡單，但我們可以挖掘一些東西，這樣我們才會提高.該問題的解決得力于以下常被稱作“整數(shù)離散性”的常識：如果有兩個整數(shù)a，b，a<b，則a≤b－1.別小看這么簡單的性質，它的作用可不小.以下一道難題的解決就很需要它：設a，b，c，d是自然數(shù)，滿足a+c<n,ab+c值得一提的是，很多困難的數(shù)論和組合問題的解決利用的恰恰是一些很簡單的性質.

8．【1998高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】若a>1，b>1且1g(a+b)=lga+lgb，則1g(a－1)+1g(b－1)的值()A．等于lg2 B．等于1C．等于0 D．不是與a，b無關的常數(shù)【答案】C【解析】因為lg(a+b)=所以a+b=ab，即(a?1)(b?1)=1，因此lg(a?1)+lg(b?1)=0.

9．【1996高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】如果在區(qū)間[1，2]上，函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+1xA．4+113232C．1?1232【答案】B【解析】函數(shù)f(x)在?p2,等號取到當x2=1則有?p2=213由于213?1<2?213，那么即f(x)=f(2)=4?5×2?23+223.

10．【1995高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】已知方程A．k>0 B．0<k?12n+1C．12n+1<k?12n+1 【答案】B【解析】顯然k≥0，而k=0導出x=2n.原方程只有一根，故k>0.又由(x?2n)2=k2x知，拋物線y=(x?2n)2所以，當x=2n－1時，有(x?2n)2而當x=2n+1時，有(x?2n)2從而k2(2n+1)?1，即故選B.

11．【1993高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】已知f(x)=asinx+b3x+4(a，bA．?5 B．?3 C．3D．隨a，b取不同值而取不同值【答案】C【解析】因為f(x)－4是奇函數(shù)，故f(?x)?4=?(f(x)?4)，即f(?x)=?f(x)+8.而lglg3=?lglog310，所以f(lglg3)=f?lglog310=?flglog310+8=?5+8=3.

12．【1992高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關系：f(10+A．偶函數(shù)，又是周期函數(shù)B．偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C．奇函數(shù)，又是周期函數(shù)D．奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)【答案】C【解析】由所給第一式得f[10+(10?x)]=f[10?(10?x)]，所以f(x)=f(20?x) ①又由所給第二式得f(x)=?f(20+x) ②所以f(40+x)=f[20+(20+x)]=?f(20+x)=f(x).可見f(x)是周期函數(shù).由式①，②得f(?x)=f(20+x)=?f(x)，所以f(x)是奇函數(shù).

13．【1991高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設函數(shù)y=f(x)對一切實數(shù)x都滿足f(3+x)=f(3－x)，且方程f(x)=0恰有6個不同的實根，則這6個實根的和為()A．18 B．12 C．9 D．0【答案】A【解析】若3+a是f(x)=0的一個根，則由已知f(3?a)=f(3+a)=0，即3－a也是一個根.因此可設方程f(x)=0的六個根為3±a于是它們的和等于18.

14．【1990高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設f(x)是定義在實數(shù)集上的周期為2的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，已知當x∈[2，3]時，f(x)=x，則當x∈[－2，0]時，f(x)的解析式是()A．f(x)=x+4 B．f(x)=2?xC．f(x)=3?|x+1| D．f(x)=2+|x+1|【答案】C【解析】(1)由f(x)=x?(2?x?3)及周期為2，有(2)由于f(x)是偶數(shù)，得f(x)=?x+2?(?1?x?0).

15．【1989高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】對任意的函數(shù)y=f(x)，在同一個直角坐標系中，函數(shù)y=f(x－1)與函數(shù)y=f(－A．關于x軸對稱 B．關于直線x=1對稱C．關于直線x=－1對稱 D．關于y軸對稱【答案】B【解析】f(x)和f(－x)的圖像關于直線x=0對稱，f(x－1)與f(－x+1)的圖像關于直線x=1對稱.

16．【1988高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設有三個函數(shù)，第一個是y=φ(x)，它的反函數(shù)就是第二個函數(shù)，而第三個函數(shù)的圖像與第二個函數(shù)的圖像關于直線x+y=0對稱，那么第三個函數(shù)是()A．y=?φ(x) B．y=?φ(?x)C．y=?φ?1(x) 【答案】B【解析】第一個函數(shù)的圖像與第二個函數(shù)的圖像關于x?y=0對稱，第二個函數(shù)的圖像與第三個函數(shù)的圖像關于x+y=0對稱，所以第一個函數(shù)的圖像與第三個函數(shù)的圖像關于原點對稱.

17．【1985高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】假定有兩個命題：甲：a是大于0的實數(shù)；乙：a>b且a?1A．甲是乙的充分而不必要條件B．甲是乙的必要而不充分條件C．甲是乙的充分必要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】因為僅有“甲”是不能使得“乙”成立，因此可知“甲”不是“乙”的充分條件.接著看“乙”在什么情況下成立.很明顯，當且僅當a>0且b<0時，“乙”才能成立由此可知，“甲”是“乙”成立的不可缺少的條件，綜上所述，得“甲”是“乙”的必要而不充分條件

18．【1984高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】方程sinx=1gx的實根個數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．大于3【答案】C【解析】判斷方程sinx=lgx解的個數(shù)，就是確定正弦曲線sinx和對數(shù)函數(shù)lgx由lgx的定義知x>0，又因為sinx?1，所以lg從而得0<x?10.在直角坐標系中作出0<x≤10范圍內y=sinx和y=1gx的圖像.因為0=lg1<sin所以當x∈(1,π)時，sinx=lgx必有一解.同理可知，當x∈2π,2π+π2和x∈2π+π2,3π時，方程各有一解.

19．【1984高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】若a>0，a≠1，F(xiàn)(xA．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D．奇偶性與a的具體數(shù)值有關【答案】B【解析】因為G(x)=F(x)?a所以G(?x)=F(?x)?a即G(x)是偶函數(shù)

20．【1984高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】若F1?xA．F(?2?x)=?2?F(x) B．F(?x)=FC．Fx?1=F(x) 【答案】A【解析】先求出F(x)的表達式，作變換t=1?x1+x，得所以F(t)=1?t1+t，然后一一驗證，知F(?2?x)=?2?F(x).

21．【1983高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】A.(?2,?1) B.(1,2) C.(?3,?2) D.(2,3)【答案】D【解析】x=log1312+log1315=log13110=log310A．7?f(3)?26 B．?4?f(3)?15 C．?1?f(3)?20 D．?【答案】C【解析】由?4?f(1)??1得?4?a?c??1，所以1?c?a?4 ①由?1?f(2)?5得?1?4a?c?5 ②由①+②得0?3a?9，即0?a?3.所以0?5a?15.由②+③得?1?9a?c?20，即?1?f(3)?20.

23．【1982高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】如果log2A．z<x<y B．x<y<z C．y<z<x D．z<y<x【答案】A【解析】由條件可得x=212=8據冪函數(shù)的單調性可知z<x<y.

24．【1982高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】已知x1，x2是方程x2－(k－2)x+(k2+3k+5)=0(k為實數(shù))的兩個實數(shù)根，x1A．19 B．18 C．559 【答案】B【解析】實系數(shù)一元二次方程有實數(shù)根，所以Δ=[?(k?2)]可解得?4?k??4由韋達定理，經整理，得到x1所以當k=－4時，x12+x22取到最大值，這最大值為A．至多有三個實根 B．至少有一個實根C．僅當p2－4q≥0時才有實根 D．當p<0和q>0時，有三個實根【答案】CD【解析】由題意得f(x)=f(x)=由此可得p取不同值時，函數(shù)的大致圖像:其中q的變化，僅決定函數(shù)圖像在坐標平面上、下平移.從上面的圖像可見方程f(x)=0至多有三個實根，至少有一個實根.于是當且僅當p2－4q≥0時才有實根的結論不正確，所以選項C不成立.由p<0，q>0的圖像可見選項D也不成立

優(yōu)質模擬題強化訓練

1．方程組{y=e|x|A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】如圖，分別畫出y=e|x|?從中看出兩圖象有六個交點，故方程組解的組數(shù)有6組.故選：B.

2．已知abc<0，則在下圖的四個選項中，表示y=ax2+bx+c的圖像只可能是A． B． C． D．【答案】B【解析】A中，a?0,?bB中，a>0,?bC中，a>0,?bD中，a?0,?b所以選B.

3．若不等式ax2+bx+4>0的解集為x?2<x<1，則二次函數(shù)y=bx2A．0,?8 B．0,?4C．4,0 D．8,0【答案】A【解析】由題意知a<0且二次方程ax2+bx+4=0的兩個根分別為?2和1.則有?ba=?1，4a=?2.故a=?2，b=?2.所以，二次函數(shù)y=bx2+4x+a在區(qū)間0,3A．?1,0 B．0,12 C．12【答案】C【解析】代入知f?1=e?1?5<0，f0=?2<0故所求為x∈12,1.

5．設fx是定義在實數(shù)集上的周期為2的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).已知當x∈2,3時，fx=x；則當A．fx=x+4. B．C．fx=3?x+1. 【答案】C【解析】(1)由f(x)=x,2≤x≤3及周期為2，有fx(2)由于f(x)是偶數(shù)，得f(x)=-x+2,-1≤x≤0.綜合(1)和(2)得C選項符合題意.故選：C.

6．對一切實數(shù)x，不等式x4+(a?1)x2+1≥0恒成立.A．a≥?1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1【答案】A【解析】x=0時，x4+(a?1)x≠0時，原不等式等價于x2由x2+1x2的最小值是2，可得1?a≤2，即a≥?1.選A.

7．如圖，矩形ABCD的對角線BD經過坐標原點O，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數(shù)y=A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【解析】設C(a,b)∴B(?2,b),D(a,?2)∴∵y=3k+1x過C(a,b)∴b=3k+1a,4=3k+1,k=1,選B.

8．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x+3)+f(x)=0，且函數(shù)f(x?①函數(shù)f(x)的周期是6；

②函數(shù)f(x)的圖象關于點(?3③函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱.其中，真命題的個數(shù)是()A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】由f(x+3)=?f(x)，知f(x+6)=f(x).所以，①正確；將f(x?32)的圖像向左平移32個單位，即為由②知，f(?x)=?f(?3+x)=f(x)，則f(x)為偶函數(shù)，所以，③正確.

9．設函數(shù)f(x)滿足：對任何實數(shù)x≥0，有f(2x+1)=x。則這樣的函數(shù)f(x)（A．不存在 B．恰有一個 C．恰有兩個 D．有無數(shù)個【答案】D【解析】設M為集合{x|x<1}的任意一個非空子集，t(x)為定義在M上的任意一個函數(shù).則函數(shù)fM故答案為：D

10．設A=[?2,4),B={x|x2?ax?4≤0}，若B?A，則實數(shù)A．[?3,0) B．[?2,0) C．[0,2) D．[0,3)【答案】D【解析】因為f(x)=x2?ax?4故{f(?2)≥0,f(4)>0.解得故答案為D

11．已知f(x)=(2x+1)22x?x+1在[?2018,0)∪(0,2018]A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】f(x)的圖象關于（0，1）對稱，故M+N=f(x)故答案為：B

12．已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x?y)(x,y∈R)，則f(2019)=（A．12 B．-12 C．14 【答案】B【解析】取x=1，y=0，得f(0)=1取x=1，y=1，得4f2(1)=f(2)+f(0)取x=2，y=1，得4f(1)f(2)=f(3)+f(1)，故f(3)=?1取x=n，y=1，有f(n)=f(n+1)+f(n?1)同理，f(n+1)=f(n+2)+f(n).聯(lián)立得f(n+2)=?f(n?1)，故f(n+6)=f(n).所以周期為6，故f(2019)=f(336×6+3)=f(3)=?1故答案為：B

13．方程x2+x3+xA．85 B．?85 C．42 D．?42【答案】B【解析】設x=42p+q（p、q為整數(shù)，0≤q≤41）．將x代入原方程得p=q對于每個不同的q確定了唯一的有序數(shù)對p,q，從而，x也互不相同．要比較x的大小應先比較p的大小，若p相等，再比較q的大?。驗閜=q所以，p的最大值只有當q=0時取到，且最大值為0．因此，x的最大的解為0．又p=q所以，p≥?3．當且僅當q=41時，p=?3．因此，x的最小的解為?85．綜上所述，最大的解與最小的解之和為?85．

14．設函數(shù)y=fx滿足：對一切x∈R，fx≥0，且ffx=2A．1 B．274 C．5lg2【答案】D【解析】由已知得f2x+1=9?f2x,f2x+2=9?f2又1010?31＞12，則f1010?31=lg1010=32.代入式①得f1010?32=9?f21010?31=332.所以，f1000=33A．P、Q都真 B．P、Q都假 C．P真Q假 D．Q真P假【答案】A【解析】取f(x)=1?x2，g(x)=(則f(x)在區(qū)間(?∞,0)上是增函數(shù)，g(x)在區(qū)間(?∞,0)上也是增函數(shù).但f(g(x))=1?(12)2x在取f(x)=?x(x∈R)，g(x)=0(x∈R).則f(x)g(x)=0(x∈R)是偶函數(shù)，Q真.故答案為：A

16．定義在R上的偶函數(shù)f(x)，滿足f(x+1)=?f(x)，且在區(qū)間[?1,0]上遞增，則()．A．f(3)<f(3)<f(2) C．f(3)<f(2)<f(3) 【答案】A【解析】∵f(x+1)=?f(x)∴f(x+2)=f(x),T=2∴f(3)=f(?1),f(2)=f(0),f(∵?1<3?2<0,f(x)在區(qū)間∴f(?1)<f(3?2)<f(0)∴f(3)<f(3)<f(2)，選A.

17．函數(shù)fx的定義域為D，若滿足（1）fx在D內是單調函數(shù)；（2）存在a,b?D，使fx在a,b上的值域為a,b，則稱y=fx為“閉函數(shù)”A．?94,+∞C．?52,?【答案】D【解析】因為fx從而，x2?故2k+1解得k∈?故答案為：D

18．已知實系數(shù)二次方程x2+px+q=0的實數(shù)解α、β滿足α+A．?1,1 B．?1,2C．0,1 D．0,2【答案】B【解析】由韋達定理得α+β=?p，αβ=q。則m=α+β2+4αβ=2α+β2?α?β2，又α+β≤α+β≤1，α?β≤α+β≤1，故m≥?α?β2≥?1（1）對任意a、b∈N+，a≠b，都有（2）對任意n∈N+，都有ffn=3n.則fA．17 B．21 C．25 D．29【答案】D【解析】對任意的n=N+，由（1）得n+1f故fx在N對任意n∈N+，由（2）得顯然f1≠1.否則，若f1≥3，則所以，f1故f3=3f1由6=f3<f4<f5則f7=ff故f5故答案為：D

20．[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，設N為正整數(shù)．則方程x2?[x2]=(x?[x])A．N2+N+1 B．N2?N C．【答案】C【解析】顯然，x=N為方程的一個解．下設1≤x<N，m=[x]，p=x?m={x}．則x=m+p．原方程為(m+p)2?[(m+p)又0≤p<1，2mp為整數(shù)，則p=0,12m,因為m=1,2,?,N?1，所以，這類數(shù)共有2+4+6+?+2(N?1)=N故方程x2?[x2]=專題03函數(shù)B輯1．【2020高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】設a>0,函數(shù)f(x)=x+100x在區(qū)間(0,a]上的最小值為m1,在區(qū)間[a,+∞)上的最小值為m2.若m1m2【答案】1或100【解析】注意到f(x)在(0,10]上單調減,在[10,+∞)上單調增.當a∈(0,10]時,m當a∈[10,+∞)時,m因此總有f(a)f(10)=mm即a+100a=202020=101,解得a=1或a=100.

2．【2020高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】設a,b>0,滿足:關于x的方程|x|+|x+a|=b恰有三個不同的實數(shù)解x【答案】144【解析】令t=x+a2,則關于t的方程t?a由f(t)=|t?a2|+t+a當|t|?a2時,f(t)=當t>a2時,f(t)單調增,且當t=當t<?a2時,f(t)單調減,且當t=?從而方程f(t)=2a恰有三個實數(shù)解t由條件知b=x3=t3于是a+b=9a8=144.

3．【2020高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】若實數(shù)x滿足log2x=log【答案】128【解析】由條件知log2解得log2x=7,故x=128.

4．【2020高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】已知首項系數(shù)為1的五次多項式f(x)滿足:f(n)=8n,n=1,2,?,5,則f(x)的一次項系數(shù)為 【答案】282【解析】令g(x)=f(x)?8x,則g(x)也是一個首項系數(shù)為1的五次多項式,且g(n)=f(n)?8n=0,n=1,2,?,5,故g(x)有5個實數(shù)根1,2,?,5,所以g(x)=(x?1)(x?2)?(x?5),于是f(x)=(x?1)(x?2)?(x?5)+8x,所以f(x)的一次項系數(shù)等于(1+12+13+14+15)?5!+8=282.

【答案】9【解析】由條件知9a=a18，故3a=9a?a=a916，所以loga(3a)=916.

6．【2018高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】設f(x)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間[0，1]上嚴格遞減，且滿足f(【答案】[π?2,8?2π]【解析】由f(x)為偶函數(shù)及在[0，1]上嚴格遞減知，f(x)在[－1，0]上嚴格遞增，再結合f(x)以2為周期可知，[1，2]是f(x)的嚴格遞增區(qū)間注意到f(π?2)=f(π)=1,f(8?2π)=f(?2π)=f(2π)=2，所以1?f(x)?2?f(π?2)?f(x)?f(8?2π)，而1<π?2<8?2π<2，故原不等式組成立當且僅當x∈[π?2,8?2π].

7．【2018高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】設f(x)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間[1，2]上嚴格遞減，且滿足f(π)=1,f(2π)=0，則不等式組0?x?10?f(x)?1的解集為 【答案】[2π?6,4?π]【解析】由f(x)為偶函數(shù)及在[1，2]上嚴格遞減知，f(x)在[－2，－1]上嚴格遞增，再結合f(x)以2為周期可知，[0，1]是f(x)的嚴格遞增區(qū)間.注意到f(4?π)=f(π?4)=f(π)=1,f(2π?6)=f(2π)=0，所以0?f(x)?1?f(2π?6)?f(x)?f(4?π)，而0<2π?6<4?π<1，故原不等式組成立且當僅當x∈[2π?6,4?π].

8．【2017高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】設f(x)是定義在R上的函數(shù)，對任意實數(shù)x有f(x+3)?f(x?4)=?1.又當0≤x<7時，f(x)=log2(9?x)，則f(－100)的值為 【答案】?【解析】由條件知，f(x+14)=?1所以f(?100)=f(?100+14×7)=f(?2)=?1f(5)=?1log24=?12.

9．【2017高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】若實數(shù)x、【答案】[?1,【解析】由于x2=1?2cosy∈[?1,3]由cosy=1?x因此當x=－1時，x－cosy有最小值1(這時y可以取π2當x=3時，x－cosy有最大值3+1(這時y可以取由于12(x+1)2從而x－cosy的取值范圍是[?1,3+1].

10．【2017高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】設f(x)是定義在R上的函數(shù)，若f(x)+x2是奇函數(shù)，f(x)+2x是偶函數(shù)，則f(1)的值為 【答案】?【解析】由條件知，f(1)+1=?f(?1)+(?1)2兩式相加消去f(－1)，可得2f(1)+3=?12，即f(1)=?74.

11．【2016高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】正實數(shù)u,v,v均不等于1，若loguvw+log【答案】4【解析】令loguv=a,log條件化為a+ab+b=5,1a+1因此logwu=logwv?logvu=1ab=45.

12．【2015高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設a，b為不相等的實數(shù)，若二次函數(shù)f(x)=x2【答案】4【解析】由已知條件及二次函數(shù)圖像的軸對稱性，可得a+b2=?a2，即2a+b=0，所以f(2)=4+2a+b=4.

13．【2014高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】若正數(shù)a，b滿足2+1og2a=3+log3b=log6(a+b)，則1a【答案】108【解析】設2+log2a=3+log從而1a+1b=a+bab=6k2k?2【答案】?2,0【解析】在[1，+∞)上，f(x)=x2+ax－a單調遞增，等價于?a2?1在[0，1]上，f(x)=x2－ax+a單調遞增，等價于a2?0，即因此實數(shù)a的取值范圍是[－2，0].

15．【2012高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)=x2.若對任意的x∈[a，a+2]，不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 .【答案】2【解析】由題設知f(x)=x2(x?0)?因此原不等式等價于f(x+a)?f(2因為f(x)在R上是增函數(shù)，所以x+a?2x，即又x∈[a，a+2]，所以當x=a+2時，(2?1)x取得最大值為因此a?(2?1)(a+2)，解得故a的取值范圍是2,+∞.

16．【2011高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】函數(shù)f(x)=x2+1x?1【答案】?∞,?【解析】設x=tanθ,?π則f(x)=1設u=2sinθ?π4，所以f(x)=1u∈?∞,?22∪(1,+∞).

17．【2010高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】【答案】[?3,【解析】易知f(x)的定義域是[5，8]，且f(x)在[5，8]上是增函數(shù)，從而可知f(x)的值域為[?3,3].

18．【2010高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】函數(shù)f(x)=a2x+3ax?2(a>0,a≠1)【答案】?【解析】令ax=y，則原函數(shù)化為g(y)在?32當0<a<1時y∈a,a?1則a?1=2，因此所以g(y)當a>1時，y∈a?1,a則a=2，所以g(y)綜上f(x)在x∈[－1，1]上的最小值為?14.

19．【2009高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】若函數(shù)f(x)=x1+x2，且f【答案】1【解析】由題意知f(1)(x)=f(x)=x1+x2，故f(99)(1)=110.

20．【2009高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】使不等式1n+1+1n+2+?+【答案】2009【解析】設f(n)=1n+1+1n+2+?+則由f(n)的最大值f(1)<a?20071且a為正整數(shù)，可得a=2009.

21．【2009高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】若方程lgkx=2lg(x+1)僅有一個實根，那么k的取值范圍是 【答案】k<0或k=4【解析】由題意得kx>0x+1>0kx=kx>0 ①x+1>0 ②x2+(2?k)x+1=0 對式③，由求根公式得x1,x2Δ=k2?4k?0，所以k(1)當k<0時，由式③得x1+x2=k?2<0x1x又由式④知x1+1>0x2+1>0(2)當k=4時，原方程有一個解x=k(3)當k>4時，由式③得x1所以x1，x2同為正根，且x1≠綜上可得k<0或k=4即為所求.

22．【2008高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設f(x)=ax+b，其中a，b為實數(shù)，f1(x)=f(x)，fn+1(x)=ffn(x)，n=1，2，3，…，若f7(x)=128x+381，則a+b【答案】5【解析】由題意知fn由f7(x)=128x+381得a7因此a=2,b=3則a+b=5.

23．【2006高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】方程x2006+11+x2【答案】1【解析】由題意得x??x+?2006=x+1要使等號成立，必須x=1x,x但是當x≤0時，不滿足原方程.所以x=1是原方程的全部解.因此原方程的實數(shù)解個數(shù)為1.

24．【2005高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】已知f(x)是定義在(0，+∞)上的減函數(shù)，若f2a2+a+1<f3a【答案】0<a<13或1<【解析】因為f(x)在(0，+∞)上定義，由2a2+a+1=2a+142+因為f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，所以2a2+a+1>3a結合式①知0<a<13或1<a<5.

25．【2004高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設函數(shù)f：R→R，滿足f(0)=1，且對任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，則f(x)= 【答案】x+1【解析】因為對Vx，y∈R，有f(xy+1)=f(x)f(y)?f(y)?x+2，所以有f(xy+1)=f(y)f(x)?f(x)?y+2，所以f(x)f(y)?f(y)?x+2=f(y)f(x)?f(x)?y+2，即f(x)+y=f(y)+x，令y=0，得f(x)=x+1.

26．【2003高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】已知a，b，c，d均為正整數(shù)，且logab=32，logcd=54，若a－c=9，則【答案】93【解析】由已知可得a32=b,c54=d又由于a?c=9，故a=ba2?故得ba+d2c2=9ba?d2c2=1，所以ba=5d2c2=4，所以a=25b=125，c=16d=32，所以b?d=93.

27．【2002高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，【答案】1【解析】由g(x)=f(x)+1?x得f(x)=g(x)+x?1，所以g(x+5)+(x+5)?1?g(x)+(x?1)+5，g(x+1)+(x+1)?1?g(x)+(x?1)+1，即g(x+5)?g(x)，g(x+1)?g(x)，所以g(x)?g(x+5)?g(x+4)?g(x+3)?g(x+2)?g(x+1)?g(x)，所以g(x+1)=g(x)，即g(x)是周期為1的周期函數(shù)，又g(1)=1，故g(2002)=1.

28．【2001高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】函數(shù)y=x+x2?3x+2的值域為 【答案】1,【解析】先平方去掉根號.由題設得(y?x)2=x2由y?x得y?y解得1?y<32或由于x2?3x+2能達到下界0，所以函數(shù)的值域為1,32∪[2,+∞).

29．【1998高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】若f(x)(x∈R)是以2為周期的偶函數(shù)，當x∈0,1時，f(x)=x1【答案】f【解析】f101f9819=ff104又f(x)=x11998在[0，1]是嚴格遞增的，而117<1619<1415，所以f10117<f9819<f10415【答案】2【解析】原方程組化為(x?1)3因為f(t)=t用f(x?1)=f(1?y)，所以x?1=1?y，即x+y=2.

31．【1995高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】用[x]表示不大于實數(shù)x的最大整數(shù)，方程lg2x?[lgx]?2=0的實根個數(shù)是【答案】3【解析】由[lgx]?lgx得lg當?1?lgx<0時，有代入原方程得lgx=±1.但lgx=1不符，所以lgx=?1當0?lgx<1時，有代入原方程得lgx=±2，當1?lgx<2時，有[lgx]=1但lgx=?3不符，所以lgx=當lgx=2時，得x所以原方程共有3個實根.

32．【1990高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】在坐標平面上，橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，對任意自然數(shù)n，聯(lián)結原點O與點An(n，n+3)，用f(n)表示線段OAn上除端點外的整點個數(shù)，則f(1)+f(2)+…+f(1990)= .【答案】1326【解析】易見n與n+3的最大公約數(shù)(n,n+3)=3(3|n)當(n,n+3)=1時，OAn內無整點，否則，設(m，l)為OAn內部的整點，1≤m<n，1≤l<n+3，則由ml=nn+3，這與m<n矛盾.當(n,n+3)=3時，設n=3k.則OAn內有兩個整點(k，k+1)，(2k，2k+2)，所以i=11990其中[x]代表不超過實數(shù)x的最大整數(shù).

33．【1989高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】(1)若loga2<1，則a的取值范圍是 (2)已知直線l：2x+y=10，過點(－10，0)作直線l'⊥l，則l'與l的交點坐標為 .(3)設函數(shù)f0(x)=|x|，f1(x)=f0(x)?1，f2(x)=f1(x)?2，則函數(shù)y=f(4)一個正數(shù)，若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身構成等比數(shù)列，則該數(shù)為 .(5)如果從數(shù)1，2，…，14中，按由小到大的順序取出a1,a2,a3，使同時滿足a2(6)當s和t取遍所有實數(shù)時，則(s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2所能達到的最小值是 .【答案】答案見解析【解析】(1)0<a<1或a>2(2)由已知l'的斜率為12，則l'的方程是y=解方程組2x+ly=10x?2y=?10(3)依次作出函數(shù)y=f0(x),y=(4)設該數(shù)為x，則其整數(shù)部分為[x]，小數(shù)部分為x－[x]，由已知得x=(x?[x])=[x]其中[x]>0,0<x?[x]<1，解得x=1+由0<x?[x]<1知0<5?12即[x]=1,x=1+(5)設S={1,2,?,14}，S'T=a1,T'=aa1'=a1易證f是T和T'之間的一個一一對應，所以所求的取法種數(shù)，恰好等于從S′中任意取出三個不同數(shù)的所有不同的種數(shù)，共120種.引申這里用到的是化歸思想，即把問題轉化成我們熟知的，已經解決了的簡單問題.對于本問題，如果僅要求a1<a做替換b1=a1,b2=a化歸是一種很重要的數(shù)學思想方法.它的本質就是把不熟悉的問題轉化成已經熟悉，已經解決的問題.化歸就是化簡.(6)考慮直線x=s+5y=s和橢圓弧x=3|如圖所示，則原式表示直線上任意一點與橢圓弧上任意一點之間的距離的平方，顯然點A到直線的垂直距離最短，即點(3，0)到直線的距離的平方最小，為2.

34．【1987高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】已知集合M={x，xy，lg(xy)}及N={0，|x|，y}，并且M=N，那么x+1y+x2+1【答案】?2【解析】由集合相等知，兩個集合的元素相同.這樣，M中必有一個元素為0，又由對數(shù)的定義知xy≠0，故x，y不為零，所以lg(xy)=0,xy=1，M={x,1,0},N=再由集合相等知x=|x|1=1x但當x=1時，將與同一個集合中元素的相異性矛盾，故只有x=－1，從而y=－1.于是x2k+1+1故所求代數(shù)式的值為－2.引申利用的是集合相等的基本定義：M=N?M的元素可以和N建立一個一一相等的關系.這里我們是局部的看兩個集合相等.有時我們則利用集合相等考慮集合的整體性質.比如，如果a1,a則必有a1+a2+?+an=1+2+?+n，a1a2?an=1?2???n等關系.

35．【1985高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】對任意實數(shù)x，y，定義運算x*y為x*y=ax+by+cxy，其a，b，c為常數(shù)，等式右端中的運算是通常的實數(shù)加法、乘法運算.現(xiàn)已知1*2=3，2*3=4并且有一個非零實數(shù)d【答案】4【解析】因對任一實數(shù)x，有x?d=ax+bd+cdx=x?所以0?d=bd=0.因為d≠0，所以b=0，于是，由1?2=a+2b+2c=32?3=2a+3b+6c=4則a+2c=32a+6c=4，所以a=5又由1?d=a+bd+cd=1，所以得d=4.

優(yōu)質模擬題強化訓練

1．設f(x)=|x+1|+|x|?|x?2|，則f(f(x))+1=0有________個不同的解.【答案】3【解析】因為f(x)=|x+1|+|x|?|x?2|={由f(f(x))+1=0得到f(x)=?2，或f(x)=0.由f(x)=?2，得一個解x=?1；由f(x)=0得兩個解x=?3，x=13，共3個解.

2．設a、b為不相等的實數(shù).若二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b滿足f(a)=f(b)【答案】4【解析】由已知條件及二次函數(shù)圖像的軸對稱性得a+b?f(2)=4+2a+b=4.故答案為：4

3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，它的圖象關于直線x=2對稱．當0<x≤2時，f(x)=x+1，則f(?100)+f(?101)=______．【答案】2【解析】由f(x)為奇函數(shù)，且其圖象關于直線x=2對稱，知f(?x)=?f(x)，且f(2?x)=f(2+x)，所以f(x+4)=f(?x)=?f(x)，f(x+8)=?f(x+4)=f(x)．f(x)是以8為周期的周期函數(shù)．又f(3)=f(1)=2，f(4)=f(0)=0，所以f(?100)+f(?101)=f(4)+f(3)=0+2=2．

4．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(1)=2，當時x>0時，f(x)是增函數(shù)，且對任意的x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)．則函數(shù)f(x)在區(qū)間[?3,?2]上的最大值是______．【答案】?4【解析】因為f(x)是奇函數(shù)，且在(0,+∞)上是增函數(shù)，所以，f(x)在(?∞,0)上也是增函數(shù)．于是，f(?3)≤f(x)≤f(?2)．又f(2)=f(1)+f(1)=4，則f(?2)=?f(2)=?4．故函數(shù)f(x)在[?3,?2]上的最大值為?4．故答案為：?4

5．設函數(shù)f(x)=1?4x2x【答案】(2,3)【解析】因為f(?x)=1?4?xf(x)=1?4x2x所以函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，（減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)）.由f(1?x2)+f(5x?7)<0，得f(5x?7)<f(x2?1)，所以5x?7>故答案為：(2,3)

6．若x、y∈R，且2x=18【答案】0或2【解析】若x=0或y=0，則必有x=y=0.從而，x+y=0.若x≠0且y≠0，對2x=18則y=log故x+y=log綜上x+y=0或2.

7．若x∈(?∞,?1]，不等式(m?m2)4x【答案】?2＜m＜3【解析】由已知不等式，得m?m設t=(因為x∈(?∞,?1]，則t≥2.于是，有?2由m?m2＞?6，解得?2＜m＜3.

8．若定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=1對稱，且當0<x≤1時，xn=pn+q(p≠0)，則方程f(x)=?【答案】30【解析】由函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=1對稱，以及f(x)為奇函數(shù)知f(x+2)=f(?x)=?f(x).因此，f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，即f(x)是周期函數(shù)，4是它的一個周期.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)知f(0)=0.于是，方程f(x)=?13+f(0)結合圖像可知，f(x)=?13在(0,1)、(1,2)內各有一個實根，且這兩根之和為2；f(x)=?13在(4,5)、(5,6)內各有一個實根，且這兩根之和為10；f(x)=?13故原方程在區(qū)間(0,10)內有六個不同的實根，其和為30.

9．若關于x的方程2xx?ax=1有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a【答案】a<?2【解析】由已知得y=2x?a與y=1xx≠0的圖像恰有三個交點，考慮極端情形，y=2x?a與y=1?xx<0相切，知a<?22.

10【答案】10【解析】原方程變形為11+令1+log則1t+t于是，方程的兩根分別為19、1故a+b=1081.

11．設函數(shù)f：R→R，滿足f(0)=1，且對任意的x、y∈R都有f(xy+1)=f(x)f(y)?f(y)?x+2.則f(x)=【答案】x+1【解析】對于任意的x、y∈R有f(xy+1)=f(x)f(y)?f(y)?x+2?f(xy+1)=f(y)f(x)?f(x)?y+2.故f(x)f(y)?f(y)?x+2=f(y)f(x)?f(x)?y+2，即f(x)+y=f(y)+x.令y=0，得f(x)=x+1.

12．函數(shù)f(x)=(1+x+1?x?3)(1?x2+1)【答案】3?【解析】設t=1+x+1?x，則t≥0且tf(x)=(t?3)?t22令g'(t)=0得t=2，g(2)=2?3，g（2所以M=g(t)所以Mm故答案為：3?22．

13．設f(x)是定義在(0，+∞)上的單調函數(shù)，對任意x>0有f(x)>?4x,f(f(x)+【答案】7【解析】由題意知存在x0>0使f(x0)=3.又因f(x)是(0，+∞)上的單調函數(shù)，所以這樣的x0>0是唯一的，再由f(f(x0)+解得x0=4或x0=?1(舍).所以故答案為：72．

14．已知函數(shù)f(x)=-x2+x+m+2，若關于x的不等式f(x)≥|x|的解集中有且僅有1個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為____________【答案】[-2,-1)【解析】f(x)?|x|?2?|x|?x令g(x)=2?|x|，h(x)=x在同一直角坐標系內作出兩個函數(shù)的圖象，由圖象可知，整數(shù)解為x=0，故{f(0)?0?0?m解得-2≤m<-1.故答案為：[-2,-1)．

15．函數(shù)f(x)=2x?x2【答案】[0,【解析】解法一：f(x)=1?設x?1=sinα(?π由?π2?α?所以f(x)的值域為[0,2解法二：f'因為0<x<1+22時，f'(x)>0；1+22<x<2所以f(x)在區(qū)間[0,1+22]上為增函數(shù)，在區(qū)間所以f(x)的值域為[0,2故答案為：[0,2+1]．

16．已知f(x)=x3+ax2【答案】4【解析】解法一：由f(x)的圖象關于點(2，0)對稱，知f(x+2)=(x+2)3所以{a+6=04a+2b+10=0，解得所以f（1）=1+a+b+2=1-6+7+2=4解法二：由f(x)的圖象關于點(2，0)對稱，知對任意x∈R，f(2+x)+f(2?x)=0.于是，對任意x∈R，(2+x)3即(2a+12)x2所以{2a+12=08a+4b+20=0，解得所以f（1）=1+a+b+2=1-6+7+2=4解法三：依題意，有f(x)=(x-2)3+m(x-2).利用f(0)=-8-2m=2，得m=-5.于是，f(x)=(x-2)3-5(x-2)，f（1）=-1-(-5)=4.故答案為：4．

17．設函數(shù)y=(1+x+1?x+2)(1?【答案】2+【解析】令u=1+x則u'=11+x?11?x由u(x)單調遞減，求得u∈[2則y=u2所以當u=2時，原函數(shù)取得最小值2+故答案為：2+2.

18．已知(2x+4x【答案】2【解析】注意到，(2x+?2x+當x=1y時，而f(x)=2x+4x2從而，x+y≥y+1當x=y=1時，上式等號成立.

19．已知a為正實數(shù)，且f(x)=1a?1ax【答案】(?【解析】由f(x)為奇函數(shù)可知1a?1ax+1由此得f(x)的值域為(?12，12).

20．已知函數(shù)f(x)=a+x?bx的零點x0∈(n,n+1)(n∈Z)，其中常數(shù)【答案】?1【解析】因為2019α=2020，所以1<a<2，0<b<1，故函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).又f(0)=a?1>0,f(?1)=a?1?1故由零點定理可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1，0)上有唯一的零點，則n的值是?1.故答案為：?1．專題04三角函數(shù)與解三角形1．【2008高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設△ABC的內角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數(shù)列，則sinAA．(0,+∞) B．0,5+12 C．5?1【答案】C【解析】設a，b，c的公比為q，則b=aq,c=aq而sin=sin因此，只需求q的取值范圍，因為a，b，c成等比數(shù)列，最大邊只能是a或c，因此a，b，c要構成三角形的三邊，必須且只需a+b>c且b+c>a，即有不等式組a+aq>aq即q2?q?1<0q2從而5?1因此所求的取值范圍是5?1故選C．

2．【2007高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設函數(shù)f(x)=3sinx+2cosx+1.若實數(shù)a，b，c使得af(x)+bf(x－c)=1對任意實數(shù)x恒成立，則bcosA．?12 B．12 C．?1 【答案】C【解析】令c=π，則對任意的x∈R，都有f(x)+f(x?c)=2，于是取a=b=12,c=π，則對任意的x∈R由此得bcos故選C．更一般地，由題設可得f(x)=13sin(x+φ)+1其中0<φ<π2，且于是可化為13a即13a所以13(a+b由已知條件，上式對任意x∈R恒成立，故必有a+bcos若b=0，則由式①知a=0，顯然不滿足式③.故b≠0.所以，由式②知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπk∈Z.當c=2kπ時，cosC=1，則式①，③矛盾.故c=