2024屆福建省福州市福州師范大學附屬中學高一數學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆福建省福州市福州師范大學附屬中學高一數學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若函數，又，，且的最小值為，則正數的值是（）A． B． C． D．2．將函數的圖象向右平移個單位長度得到圖像，則下列判斷錯誤的是（）A．函數的最小正周期是 B．圖像關于直線對稱C．函數在區(qū)間上單調遞減 D．圖像關于點對稱3．下列函數中，最小正周期為的是（）A． B． C． D．4．在數列an中，a1=1，an=2A．211 B．25．下圖是500名學生某次數學測試成績（單位：分）的頻率分布直方圖，則這500名學生中測試成績在區(qū)間[90，100）中的學生人數是A．60 B．55 C．45 D．506．根據如下樣本數據x

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可得到的回歸方程為,則（）A． B． C． D．7．已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1=pan＋q，且a2＝3，a4＝15，則p，q的值為()A． B． C．或 D．以上都不對8．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為3，線段B1D1上有兩個動點E，F且EF＝1，則當E，F移動時，下列結論中錯誤的是（）A．AE∥平面C1BDB．四面體ACEF的體積不為定值C．三棱錐A﹣BEF的體積為定值D．四面體ACDF的體積為定值9．已知三棱錐P－ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°.則球O的體積為（）A． B． C． D．10．已知向量，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓的圓心在直線上，半徑為，若圓上存在點，它到定點的距離與到原點的距離之比為，則圓心的縱坐標的取值范圍是__________．12．點與點關于直線對稱，則直線的方程為______．13．函數的單調增區(qū)間為_________.14．經過點且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的直線方程是________.15．設當時，函數取得最大值，則______.16．已知：，則的取值范圍是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知某公司生產某款手機的年固定成本為400萬元，每生產1萬部還需另投入160萬元.設公司一年內共生產該款手機x(x≥40)萬部且并全部銷售完，每萬部的收入為R(x)萬元，且R(x)=74000(1)寫出年利潤W(萬元)關于年產量x（萬部）的函數關系式；(2)當年產量為多少萬部時，公司在該款手機的生產中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．18．已知三棱柱中,三個側面均為矩形,底面為等腰直角三角形,,點為棱的中點,點在棱上運動.（1）求證；（2）當點運動到某一位置時，恰好使二面角的平面角的余弦值為，求點到平面的距離；（3）在（2）的條件下，試確定線段上是否存在一點，使得平面？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由.19．計算：（1）（2）（3）20．已知向量，，且（1）求·及；（2）若，求的最小值21．設等差數列的前項和為，且（是常數，），.（1）求的值及數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和為.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】，由，得，，由，得，則，當時，取得最小值，則，解得，故選D.2、C【解題分析】

根據三角函數的圖象平移關系求出的解析式，結合函數的單調性，對稱性分別進行判斷即可．【題目詳解】由題意，將函數的圖象向右平移個單位長度，可得，對于,函數的最小正周期為，所以該選項是正確的；對于，令，則為最大值，函數圖象關于直線，對稱是正確的；對于中，，則，，則函數在區(qū)間上先減后增，不正確；對于中，令，則，圖象關于點對稱是正確的，故選．【題目點撥】本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數的單調性，對稱性，求出解析式是解決本題的關鍵．3、D【解題分析】

由函數的最小正周期為，逐個選項運算即可得解.【題目詳解】解:對于選項A,的最小正周期為,對于選項B,的最小正周期為,對于選項C,的最小正周期為,對于選項D,的最小正周期為,故選D.【題目點撥】本題考查了三角函數的最小正周期，屬基礎題.4、D【解題分析】

將a1=1代入遞推公式可得a2，同理可得出a【題目詳解】∵a1=1，an=22an-1-1（【題目點撥】本題用將a15、D【解題分析】分析：根據頻率分布直方圖可得測試成績落在中的頻率，從而可得結果.詳解：由頻率分布直方圖可得測試成績落在中的頻率為，所以測試成績落在中的人數為，，故選D.點睛：本題主要考查頻率分布直方圖的應用，屬于中檔題.直觀圖的主要性質有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為；（2）組距與直方圖縱坐標的乘積為該組數據的頻率.6、A【解題分析】試題分析：依據樣本數據描點連線可知圖像為遞減且在軸上的截距大于0，所以．考點：1．散點圖；2．線性回歸方程；7、C【解題分析】

根據數列的遞推公式得、建立方程組求得.【題目詳解】由已知得：所以解得：或.故選C.【題目點撥】本題考查數列的遞推公式，屬于基礎題.8、B【解題分析】

根據面面平行的性質定理，判斷A選項是否正確，根據錐體體積計算公式，判斷BCD選項是否正確.【題目詳解】對于A選項，易得平面與平面平行，所以平面成立，A選項結論正確.對于B選項，由于長度一定，所以三角形面積為定值.到平面的距離，也即到平面的距離一定，所以四面體體積為定值，故B選項結論錯誤.對于C選項，由于長度一定，所以三角形面積為定值.到平面的距離，也即到平面的距離一定，所以三棱錐體積為定值，故C選項結論正確.對于D選項，由于三角形面積為定值，到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值.綜上所述，錯誤的結論為B選項.故選：B【題目點撥】本小題主要考查利用面面平行證明線面平行，考查三棱錐（四面體）體積的計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎題.9、D【解題分析】

計算可知三棱錐P－ABC的三條側棱互相垂直，可得球O是以PA為棱的正方體的外接球，球的直徑，即可求出球O的體積.【題目詳解】在△PAC中，設，，，，因為點E，F分別是PA，AB的中點，所以，在△PAC中，，在△EAC中，，整理得，因為△ABC是邊長為的正三角形，所以，又因為∠CEF=90°，所以，所以，所以.又因為△ABC是邊長為的正三角形，所以PA,PB,PC兩兩垂直，則球O是以PA為棱的正方體的外接球，則球的直徑，所以外接球O的體積為.故選D.【題目點撥】本題考查了三棱錐的外接球，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.10、D【解題分析】

根據平面向量的數量積,計算模長即可.【題目詳解】因為向量,,則,,故選:D.【題目點撥】本題考查了平面向量的數量積與模長公式的應用問題,是基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】因為圓心在直線上，設圓心，則圓的方程為，設點，因為，所以，化簡得，即，所以點在以為圓心，為半徑的圓上，則，即，整理得，由，得，由，得，所以圓心的縱坐標的取值范圍是.點睛：本題主要考查了圓的方程，動點的軌跡方程、兩圓的位置關系、解不等式等知識的綜合運用，著重考查了轉化與化歸思想和學生的運算求解能力，解答中根據題設條件得到動點的軌跡方程，利用兩圓的位置關系，列出不等式上解答的關鍵.對于直線與圓的位置關系問題，要熟記有關圓的性質，同時注意數形結合思想的靈活運用.12、【解題分析】

根據和關于直線對稱可得直線和直線垂直且中點在直線上，從而可求得直線的斜率，利用點斜式可得直線方程.【題目詳解】由，得：且中點坐標為和關于直線對稱且在上的方程為：，即：本題正確結果：【題目點撥】本題考查根據兩點關于直線對稱求解直線方程的問題，關鍵是明確兩點關于直線對稱則連線與對稱軸垂直，且中點必在對稱軸上，屬于?？碱}型.13、【解題分析】

先求出函數的定義域，再根據二次函數的單調性和的單調性，結合復合函數的單調性的判斷可得出選項.【題目詳解】因為，所以或，即函數定義域為，設，所以在上單調遞減，在上單調遞增，而在單調遞增，由復合函數的單調性可知，函數的單調增區(qū)間為.故填：．【題目點撥】本題考查復合函數的單調性，注意在考慮函數的單調性的同時需考慮函數的定義域，屬于基礎題.14、或【解題分析】

當直線不過原點時，設直線的方程為，把點代入求得的值，即可求得直線方程，當直線過原點時，直線的方程為，綜合可得答案.【題目詳解】當直線不過原點時，設直線的方程為，把點代入可得：，即此時直線的方程為：當直線過原點時，直線的方程為，即綜上可得：滿足條件的直線方程為：或故答案為：或【題目點撥】過原點的直線橫縱截距都為0，在解題的時候容易漏掉.15、；【解題分析】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，當x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時，函數f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時，函數f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.16、【解題分析】

由已知條件將兩個角的三角函數轉化為一個角的三角函數，再運用三角函數的值域求解.【題目詳解】由已知得，所以，又因為，所以，解得，所以，故填.【題目點撥】本題考查三角函數的值域，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）W=73600-400000x-160x，(x≥40);（2）當x=50【解題分析】

(1)根據題意，即可求解利潤關于產量的關系式為W=(2)由（1）的關系式，利用基本不等式求得最大值，即可求解最大利潤．【題目詳解】（1）由題意，可得利潤W關于年產量x的函數關系式為W=xRx=74000-400000x-160x-400=73600-2由1可得W=73600-=73600-16000=57600，當且僅當400000x=160，即x=50時取等號，所以當x=50時，【題目點撥】本題主要考查了函數的實際應用問題，以及利用基本不等式求最值，其中解答中認真審題，得出利潤W關于年產量x的函數關系式，再利用基本不等式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．18、（1）見解析；（2）；（3）存在，為中點.【解題分析】

（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點建立坐標系，設E（m，0，2），要證A1C⊥AE，可證,只需證明，利用向量的數量積運算即可證明；（2）分別求出平面EA1D、平面A1DB的一個法向量，由兩法向量夾角余弦值的絕對值等于，解得m值，由此可得答案；（3）在（2）的條件下，設F（x，y，0），可知與平面A1DB的一個法向量平行，由此可求出點F坐標，進而求出||，即得答案.【題目詳解】（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點建立坐標系，設E（m，0，2），C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），＝（0，﹣2，﹣2），＝（m，﹣2，2），因為＝0+（﹣2）×（﹣2）﹣2×2＝0，所以⊥，即A1C⊥AE；（2）＝（m，0，1），＝（0，2，1），設＝（x，y，z）為平面EA1D的一個法向量，則即，取＝（2，m，﹣2m），＝（2，0，﹣1），設＝（x，y，z）為平面A1DB的一個法向量，則，即，?。剑?，﹣1，2），由二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值為，得||＝，解得m＝1，平面A1DB的一個法向量＝（1，﹣1，2），根據點E到面的距離為：.（3）由（2）知E（1，0，2），且＝（1，﹣1，2）為平面A1DB的一個法向量，設F（x，y，0），則＝（x﹣1，y，﹣2），且，所以x﹣1＝﹣1，y＝1，解得x＝0，y＝1，所以＝（﹣1，1，﹣2），＝＝，故EF的長度為，此時點F（0，1，0）．存在F點為AC中點.【題目點撥】本題考查重點考查直線與平面垂直的性質、二面角的平面角及其求法、空間點、線、面間距離計算，考查學生空間想象能力、推理論證能力．19、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

利用誘導公式，對每一道題目進行化簡求值.【題目詳解】（1）原式.（2）原式.（3）原式.【題目點撥】在使用誘導公式時，注意“奇變偶不變，符號看象限”法則的應用，即輔助角為的奇數倍，函數名要改變；若為的偶數倍，函數名不改變.20、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）運用向量數量積的坐標表示，求出·；運用平面向量的坐標運算公式求出，然后求出模．（2）根據上（1）求出函數的解析式，配方，利用二次函數的性質求出最小值．【題目詳解】（1）∵∴∴（2）∵∴∴【題目點撥】本題考查了平面向量數量積的坐標表示，以及平