龍華科技大學機械系

動力學

(Dynamics.原著:J.L.Meriam)龍華科技大學機械系李瑞貞老師上課講義1課程目錄

第1章序論

1.1歷史與當代應用

1.2根本概念

1.3牛頓定律

1.4單位

1.6因次

1.5重力

1.7動力學問題求解2第2章質點運動學

2.1簡介

2.2直線運動

2.3平面曲線運動

2.4直角座標

2.5法線與切線座標

2.6極座標

2.7空間曲線運動

2.8相對運動(平移軸)

2.9連接質點的約束運動3第3章質點運動力學

3.1簡介

3.2牛頓第二定律

3.3運動方程式與問題求解

3.4直線運動

3.5曲線運動

3.6功與動能

3.7位能

3.8簡介

3.9線衝量與線動量

3.10角衝量與角動量

3.11簡介

3.12衝擊4第4章質點系統(tǒng)運動力學

4.1簡介

4.2廣義牛頓第二定律

4.3功-能

4.4衝量-動量

4.5能量與動量守恆

5

第5章剛體的平面運動學

5.1簡介

5.2旋轉

5.3絕對運動

5.4相對速度

5.5零速度瞬心

5.6相對加速度

5.7相對於旋轉座標軸的運動

6

第一章序論

§1.1基本概念

力學

1.力學:是物理學的一個分支，係研討物體受力作用

後，堅持靜止或運動的情形。

2.靜力學:探討物體受力後，堅持靜止不動或維持等

速運動的平衡狀態(tài)。

3.動力學:探討物體受力後產生加速運動得情況。剛體力學變形體力學流體力學靜力學動力學7§1.2基本理論

1.剛體力學的四個物理量為:

①.長度:描畫一質點在空間中的位置，以及描畫

物體的大小。

②.時間:表示事件發(fā)生的先後次序與長短。(靜力

學與時間無關)

③.質量:事物的一種特性，用來表示不同物體受

力後的不同反應。

④.力:a.包含三個要素:大小、方向、施力點。

b.可視為一物體作用於另一物體上推或拉

力量。

82.定義:

①.質點:一個只具有質量而無實體大小的物體。

②.剛體:由一大群質點組合而成的物質，質點彼

此間的距離不因外力作用而改變。

③.集中力:一負載集中作用於物體上的某一點。

9

＊質點:與旋轉無關，可做直線運動與曲線運動，故

可探討其位移、速度以及加速度。

＊剛體:當物體發(fā)生旋轉運動時，則該物體不可以視

為質點，而必須以剛體視之，故可做直線運

動與曲線運動以及旋轉運動，可探討其移、

角位移、速度、角速度、加速度以及角加速

度。

103.牛頓的三個運動定律:

①.第一定律:假設作用於一質點上的合力為零時，

則此質點將堅持靜止不動(假設最初

為靜止)，或沿不斷線作等速度運

動(假設最初在運動)。

②.第二定律:假設作用於一質點上的合力不為零

時，則此質點將在合力的作用方向

上產生加速度，且此加速度得大小

與合力得大小成正比，與質量的大

小成反比，即

11

③.第三定律:兩質點的作用力與反作用力，其大

小相等，方向相反，且作用在同一

直線上。

124.定理:牛頓的萬有引力定律

假設兩質點的質量為m1、m2，兩質點間的距離為

r，則此兩質點間的吸引力為，

G=66.73X10-12m3/kg．s2

(萬有引力常數(shù))

5.分量:假設某質量為m1=m，假設地球的

質量為m2，地心與質點的距離為r

，則由萬有引力定律

13其中，我們稱g為動所呵斥的加速

度，普通我們將緯度45°的海面上所測得的g值

視為標準值，即

g=9.80665≈9.81m/s2

=32.1740≈32ft/s2

14§1.3測量單位

1.測量單位

①.國際單位系統(tǒng)又稱為絕對單位系統(tǒng)。

②.英制系統(tǒng)又稱為美國習慣單位系統(tǒng)，或稱為萬

有引力系統(tǒng)。國際單位系統(tǒng)(SI系統(tǒng))英文系統(tǒng)(USCS系統(tǒng))152.SI系統(tǒng)與USCS系統(tǒng)的比較:SI系統(tǒng)USCS系統(tǒng)時間t秒(sec或s)秒(sec或s)長度L公尺公寸公分呎(ft)吋(in)面積A平方公尺m2平方公分cm2(呎)2ft2(吋)2in2面積立方公尺m3立方公分cm3(呎)3ft3(吋)3in316SI系統(tǒng)USCS系統(tǒng)質量m公斤(kg)磅slug=lbm=lb重量W牛頓(NT或N)磅重(lbf)力F牛頓1N=1kg．m/s2磅重(lbf)17＊1呎=12吋=30公分，1呎即又稱為1英呎

1吋=2.54公分

1磅重=4.4482牛頓

1sulg(斯格拉)=14.594kg=32.1740(磅)

＊一牛頓(N或NT):使1kg的質量產生1

m/s2的加速度時，所需

要的作用力。

一磅重(lbf):使32.1740磅(即1slug)

的質量產生1ft/s2的加速

度時，所需求的作用力。

183.SI單位(國際單位系統(tǒng))的倍數(shù)因子字首SI符號指數(shù)形式terraT1012gigaG109megaM106kilok103millim10-3microu10-6nanon10-9picop10-1219第二章質點運動學

§2.1動力學概論

1.定義:動力學=運動學+運動力學

①.運動學:研討物體運動位移、速度、加速度及

時間德關係，而不考慮影響或產生運

動的方式或緣由。

20②.運動力學:研討作用於物體上之力量與物體運

動之位移、速度、加速度及時間的

關係，即研討知力量所呵斥之運

動，或決定產生某一運動所需之力

量。運動力學包含力的分析，亦包

含如何求出因施力而產生的運動。

212.定義:質點

①.不表示所研討之物體的尺寸甚小。

②.具有質量與位置但體積為零的物體。

③.在動力學中，對一有限大小之物體，假設只

需考慮其質量中心之運動，而忽略其本身

支運動時，則該物體便可是為一質點。

④.即使汽車、火箭或飛機、大型物體，假設分

析其運動，有時亦可將其視為一質點。223.定義:剛體

①.物體上各點之距離不因任何要素有所伸長或縮短

的物體，亦即，不變形的物體。

②.假設物體發(fā)生旋轉，則該物體不可以視為質點，而

必須以剛體視之。

③.剛體運動可視為此剛體內一切各質點運動之組合

。

＊質點:關心其位移、速度及加速度。

剛體:關心其位置、速度及加速度之外，尚須關

心其角位移、角速度及角加速度。23位移速度加速度角位移角速度角加速度244.如何描畫物體運動:

運動是個相對的名詞，大凡兩個物體之相對位置

發(fā)生變化，則在其中一個物體上之觀察者必將認

為另一物體在運動。已『風動樹搖』為例，終究

是風在動還是樹在搖?那要看他是乘在風上看

樹，還是爬在樹上看風，所以，我們可說:“

運動為觀測者居於某一指定物體上觀測其他物體

之位置變化〞。所以，在不同物體上觀測某一

物體之運動必然不同，爲了將運動數(shù)學化，我們

必須在觀測者所在的物體上建立座標，此觀測者

所在的物體稱之為參考體。255.定義:參考座標與絕對運動

①.分析物體之運動時，以一參考座標作為描畫物

體在空間之位置的基準，在牛頓力學中索取的

參考座標為參考天文座標，或稱為主慣性座標

系統(tǒng)，亦即為，空間中固定不動之假想直角座

標系統(tǒng)。

②.在參考體上所建立得座標稱為參考座標，而恆

星被公認為不動的參考體稱為慣性參考體，在

慣性參考體上之座標稱之為慣性參考座標。

26③.只需運動速度甚小於光速，則牛頓力學在參考座

標系統(tǒng)中可以正確地被應用，以此參考座標所描

述的運動，稱為絕對運動。

④.在工程上以地球外表為參考座標所分析的運動可

視為絕對運動。確定採用的參考體在參考體上建立參考座標描畫被觀測物體之位置變化＊描畫物體運動的步驟:27在我們所探討的運動學中，我們將只考慮在一個平面中運動的物體。此運動方式將為下面三種之一:①.直線或平移運動:質點或物體在不斷線上運動，但不對其質心旋轉，圖1.中活塞中的銷c部為直線運動。2829②圓周運動:物體沿一圓軌跡運動，圖1.中活塞中的臂AB之端點銷B為圓周運動。30③.普通平面運動:即物體運動不是沿直線運動就是圓周運動，亦或是同時具有直線及圓周運動。圖1.中連桿BC同時具有直線及圓周運動，因其由左而右運動時具部分旋轉。31＊半滿的油車不可視為質點，因油車內液體隨時改

變位置，所以其質心亦跟著改變。當物體對其質

心旋轉時，其他部位的物體不會有一樣的運動，

則此物體不可視為質點。所謂質點，可為一小物

體，亦可為較大物體，假設為很大物體，只需其任

何部位的運動皆與質心一樣即可視為質點。

32§2.2直線運動

1.定義:當質點沿不斷線路徑運動時，稱為該質點

作直線運動。

2.定義:質點的位置

描畫一質點的位置可以採用其座標值或位置向量

表示。例如質點P的座標值為(X,Y,Z)，

其位置向量為

33343.定義:質點的位移①.距離與位移是有所差別的。②.距離為純量，位移為向量。③.由A移動到B，三種路線任選其一皆可，每一路線包含不同的距離，但其位移接一樣，即向右10M3536④.位移僅與起始位置及終點位置有關。

⑤.質點在經過之間所發(fā)生的位置變化量

(位置向量)，以稱為位移表示，則有

其分量為

3738△S:位移(距離)S′:S+△SS:P點位置座標S′:P′點位置座標394.定義:質點的速度

①.質點於某瞬間之位置向量變化量，稱為質點

在該瞬間的速度

其分量為

其中表示()對時間

的微分。

40質點的平均速度:

質點在P點的瞬時速度:

41

②.速率與速度亦有所差別。速率為純量，速

度為向量。速率為距離對時間的變化量，

單位為

m/s、km/h、ft/min、ft/sec

，速率單位皆無考慮到方向。速度同時包

含速率及方向，速度為位移對時間的變化

量，與速率具同樣單位即

m/s、km/h、ft/min、ft/sec425.定義:質點之加速度

①.質點於某瞬間之速度變化率，稱為該質點在該瞬

間的加速度

其分量為，，

43質點平均加速度:

質點在P點的瞬時加速度:

②.加速度為速度對時間的變化量，由於速度包含大

小及方向，因此，只需其中之一改變，則有加速

度產生，加速度的方向與速度變化方向一樣，其

單位為44

mm/s2，m/s，in/sec2，ft/sec2

＊1ft=12in=0.3048m=30.48cm

1in=2.54cm456.定義:等加速度直線運動

①.包含自在落體運動與鉛直上拋運動。

②.地表重力加速度g=9.81m/s2

=32.2ft/sec2

③.假設為自在落體運動，則a=g=9.81m/s2

假設為鉛直上拋運動，則a=-g=-9.81m/s2

46④.(I)假設加速度為常數(shù)，則

4748(ii)加速度為時間之函數(shù)，即a=f(t)

49(iii)加速度為位置之函數(shù)(即速度為位置之函

數(shù))令a=f(s)，v=g(s)

-50(iv)加速度為速度之函數(shù):a=f(v)

51⑤.自在落體運動:地表附近之質點，假設不計空氣阻力，則會有一向下之加速度g稱為重利加速度。當物體自由落下時，則有5253⑥.鉛直上拋運動:54557.定義:拋物體運動

①在地表附近之質點以斜向拋出，假設無空氣阻力，

則其軌跡必呈現(xiàn)拋物線形狀，稱之為拋物體運動

。

5657方向加速度速度位移最大位移量水平(x)ax=0V0Xv0xt鉛直(y)ay=-gv0y-gt＊當時有最大射程＊58§2.3質點之曲線運動

1.定義:曲線運動

①.假設質點之運動為一曲線時，稱此質點作曲線運

動。

②.曲線運動之質點均以向量分析描畫其運動情形

。

③.向量分析所得的結果與所選用之特定座標系統(tǒng)

無關，故可按照運動之特性選用適當?shù)淖鶚朔?/p>

析之。

592.定義:質點的位移與距離

①.考慮一沿平面曲線運動的質點，倘假設此質點由

點P，向量位置為，經過時間而移動

而移動至點，向量位置為，則此質點

位置的變化稱為此質點的位移

為一具大小與方向的向量，其大小為P與

點的直線長度且方向由P指向點。6061②.質點由P點運動至點所移動路徑之總長度△S稱為此質量移動的距離，為一純量。623.定義:質點的速度與速率

①.質點由P點移動至點的平均速度為，其方向與一樣。②.質點在P點的瞬時速度為6364＊當時，則，此時的方向為質點移動路徑在P點得切線方向，因此，瞬時速度的方向桓與質點之運動路徑相切。65③.質點瞬時速度的大小即稱為瞬時速率，即

表示質點沿其路徑運動時長度S對時間t的

變化率，即單位時間質點所移動的路徑長。

66

4.定義:質點的加速度

①.設質點在位置P的速度為，經△t之時

間移動至位置時的速度為，如左圖所

示。今在同一原點劃出向量與

，則可得質點在△t時間內速度的變化量

，其方向由指向，如右圖所示。

質點在此時間△t內的平均加速度為

，其方向與一樣。6768②.質點在P點的瞬時加速度為

＊加速度為速度的瞬時變化率，其中包含著速度大

小的變化率及方向的變化率。速度大小之變化率

亦即為速率的變化率稱之為加速率。然而加速率

並不等於加速度之大小

69§2.4質點之曲線運動不斷角座標系

①.曲線運動之直角座標系表示法，是將質點之曲線

運動分解為沿著X與Y兩個方向之直線

運動，在將兩個方向之運動聯(lián)立相加而得到質點

的運動情形。質點在平面上的位置向量為

70∵速度與加速度的分量為

∴速度與加速度之大小及方向可由其分

量求得，即

＊圖在下頁7172

②.在斜向拋射運動中，假設空氣之阻力忽略不計，則

則拋物體在運動過程所受之加速度在x,y兩

方向之分量為

即程度方向(X方向)拋物體作等速度運動，

而垂直方向(Y方向)拋物體作等加速度鉛直

上拋運動。

程度方向:

73垂直方向:

其中

與為拋物體之初位置與拋出之初速度。因此拋物

體在拋出t秒後之位置與速度分別為

7475§2.5質點之曲線運動一切線與法線向量

1.一知質點作曲線運動時，其速度必與質點之運

動路徑相切，但是加速度則通常不與路徑相切。

2.運用切線與法線分量描畫質點的速度與加速度，

設表示質點切線方向的單位向量，其方向與

質點之運動方向一樣，而且為質點法線方向

之單位向量。由於質點之加速度沿其切線方向，

故速度，其中為質點在恣意

一位置之瞬時速率。

767778且當時，

與垂直而指向

且

(即平行，)

79又

(即)，ρ為路徑的曲率半徑80

∴質點的加速度為

81

即質點之加速度在切線方向與法線方向的分量為

＊切線加速度反應質點運動速率的改變

法線加速度反應質點運動方向的改變切線加速度法線加速度(速度大小變化率)(速度方向變化率)828384§2.6質點的曲線運動一極座標

1.當質點與同一固定點之聯(lián)線傾角變化率為知或

聯(lián)線長度為知時，我們可以曲極座標R與

定義此質點的位置。8586

且質點的位置向量為(r為質點與o聯(lián)線之長度)(為質點與o聯(lián)線之長度)878889且當時，則與

垂直而且指向(即平行)

且

又且當時，則

與垂直而且指向

()平行90且(即平行)，

∴質點的速度為

亦即質點之速度在徑向分量與橫向分量為

9192＊徑向分量Vr表示徑向長度r之變化率，而橫向分量Vθ係由於之旋轉所產生者。933.同理，質點的加速度為

亦即質點之加速度在徑向分量與橫向分量為

9495§2.7空間曲線運動

1.直角座標(X–Y–Z)

假設一質點的位置向量、速度、加速度分別以

表示，則有

962.圓柱座標

假設一質點的位置向量、速度、加速度分別以

表示，則有

其中

留意97

其中留意:983.球座標

當質點位置以指定一弳向距離與兩個角度描畫時

，例如雷達量測，則需求運用球座標

表示。假設此質點的位置向量、速度、加速度分別

以表示，則有

99100§2.8相對運動(平移座標軸)

1.本節(jié)只討論平移而非旋轉的座標系統(tǒng)，因此所

討論的相對運動分析只限於平面問題。有關旋

轉座標系統(tǒng)中的運動，將於5.7節(jié)剛體運動

學時再予討論。

2.移動座標的運動是根據(jù)固定座標系統(tǒng)所決定，

嚴格上說，牛頓力學上所假設固定不動系統(tǒng)是

假設在空間不動的慣性座標系統(tǒng)，稱為絕對運

動。

1013.大部份地表附近的工程問題，選擇固定在地球上

的座標為固定座標已足夠精確，在此選擇方式上

，我們即是忽略因地球運動所呵斥得影響。

4.對繞著地球運動的衛(wèi)星而言，可將非旋轉座標系

統(tǒng)的原點選擇在地球上的旋轉軸上;星際游覽問

題，則可非旋轉的座標系統(tǒng)選擇在太陽上。由此

可知，座標系統(tǒng)的選擇與牽涉的問題有關。1025.假設A.B兩質點在同一平面或兩平行平面上分別

進行曲線運動，假設B質點位於平移座標軸X

-Y的原點上觀察A質點的運動，而且B質

點得絕對位置是由固定座標X–Y的位置向量

所定義，但是A質點相對於座標軸X–Y

的位置向量為(A/B唸為

A相對於B)，因此質點A的絕對位置向量、

速度向量、加速度向量分別為103104105106§2.9兩質點之相依運動

1.定義:假設一質點之運動係依賴另一質點運動來決

定，則稱此二質點具相依運動，此種相依

性通常是由於二質點以不可伸長之繩索或

桿件相連結，此時速度與加速度的正負值

代表繩長或桿件長得增減情況。107例:108常數(shù)109例:110當物件B以VB之速度上升時，求物體A之速度VA=?常數(shù)＊不計滑輪分量111例:一滑輪組懸有A，B，C三物件，今知此瞬間

A物件之速度向上，加速度

向下;C物件之速度為向上，加

速度為向下，試求該瞬間B物件

之速度與加速度。(不計滑輪分量)

112sol:113常數(shù)常數(shù)114第三章質點運動學

§3.1簡介

1.根據(jù)牛頓第二定律，當質點接受不平衡力作用時

，將會產生加速度運動，運動力學係研討不平衡

力所導致運動變化間的關係。

2.解決運動力學問題有以下三方式:

(1)牛頓第二定律的直接應用，即

(2)應用功與能量原理。

(3)衡量與動量法。115§3.2牛頓之運動定律

1.牛頓為英國數(shù)學家、物理學家，他的終身享有三

大成就一微積分、光得本質、萬有引力理論，被

稱為“微積分之父〞。1162.牛頓之運動定律:1687年由牛頓發(fā)表質點運動的

三的根本定律時，力與動運的

關係才被確定。

①.第一定律:(又稱慣性定律)，質點受一平

衡力系作用力時，將不改變其原

先靜止或沿直線作等速運動的狀

態(tài)，即，靜者恆靜，動者恆做等

速直線運動。117②.第二定律:(又稱為運動定律)，假設作用於一質

點的合力不為零時，則此質點將沿

合力方向產生一加速運動，此加速

速之大小與該合力之大小成正比，

即

③.第三定律:(又稱為反作用定律)，對作用於質

點之任何外力，質點必產生與外力

大小相等、方向相反，並在同一作

用線上之反作用力。

1183.牛頓第二定律可以表示，其中加速度

之軸系統(tǒng)，其慣性座標被定於第求得軸上。

4.牛頓萬有引力定律:

F=二點間之相互吸引力G=萬有引力常數(shù)，其值為M1、M2=二質點之質量r=二質點之距離1195.物體間亦存有相互作用之吸引力，將r改為二物

體“質心〞間的距離，則亦滿足公式

當一物體位於或接近地球外表時，其所考慮的唯

一吸引力為地球的重力，此力稱為該物體之分量

1206.質量與分量

①.質量:物體的質量為一絕對量，在任何位置所

量測的質量均一樣(對同一物體而言)

②.分量:物體的分量不是一個絕對量，因在重力

場量測，因此物體分量的大小與其量測

所在位置有關。

7.SI單位系統(tǒng)與美國慣用系統(tǒng)(USCS)

(國際單位系統(tǒng))

121①.SI單位系統(tǒng)(國際單位系統(tǒng))F=ma1N=(1kg)(1m/s2)W=mg9.81N=(1kg)(9.81m/s2)名稱力量質量長度時間加速度符號FmLtA單位牛頓(N)公斤(KG)公尺(M)秒(sec)m/sec21221牛頓:使1kg的質量產生1m/sec2的加速

度時，所需求的作用力(1N=1kg·

m/s2)

＊質量為m=1kg的物體於位重力加速度a=g

=9.81m/s2的位置，則分量為

W=mg=(1kg)·(9.81m/s2)=9.81N

其中g在北緯45°之海平面測量質為9.81

m/s2

m=1kgW=9.81Na=g=9.81m/s2123＊SI單位的倍數(shù)因子指數(shù)形式字首SI符號倍數(shù)1000000000109gigaG1000000106megaM1000103kiloK約數(shù)0.00110-3millim0.00000110-6microμ0.00000000110-9nanoN124②.美國慣用系統(tǒng)(USCS)F=ma1lbf=(1slug)·(1ft/s2)W=mg32.2lb=(1slug)·(32.2ft/s2)名稱力量質量長度時間加速度符號FmLta單位(lbf)(slug)呎(ft)秒(sec)呎/秒2(ft/sec2)125留意:質量單位(slug)由力的單位(lbf)

除以加速度的單位(ft/sec2)而導出，

即

＊假設一分量為W(lbf)之物體，位於重力加速

度為g(ft/s2)的位置，則其質量為

其中g在北緯45°之海平面測量質為32.2

ft/sec2，故在該地點，凡分量為32.2lb的物

體，其質量為1slug。126＊m=1slug=32.2lbm

m=1lbm(即slug)

W=1lbfa=g=32.2ft/sec2

m=1slug(即32.2lbm)

W=32.2lbfa=g=32.2ft/sec2127§3.3質點的運動方程式

1.根本概念:

當質量m的質點P同時遭到····的

作用時，其合力為各力的向量和(sum)，

即

128由牛頓第二定律得知，此質點的運動方程式為

其中質點加速度的方向必與合力的方向

一樣，其自在體圖如下所示:129130

2.D′alembert原理:

其中稱為質點的慣性力或稱為反有效能

131＊質點的慣性力方向必與質點加速運動的方向相反132§3.4直線運動:直角座標系

1.當質點在X.Y.Z三方向的直角座標系中運動

，則作用在質點的合力為

假設加速度為

則由牛頓第二定律，此質點運動的方程式為

1331341352.摩擦分為兩種:

①.流體摩擦:指接觸面間有流體的薄模存在(

例如氣體或液體)。

②.乾摩擦:亦稱為庫倫摩擦，係由庫倫於1781

年推演而得，指接觸面間沒有潤滑

流體存在。

＊圖在下頁1363.乾摩擦原理:

①.假設，則物體不會傾倒

②.假設，則物體〞即將“傾倒

③.假設靜摩擦力F<極限靜摩擦力

，則物體不會產生滑動，其中稱為摩

擦係數(shù)。137138④.摩擦分為三部分:物體再平衡時產生靜摩擦

力F，當F達到平衡

的最大值FS時稱為極限

靜摩擦力，開始滑動後F

稱為動摩擦力

，其中稱為動摩擦係

數(shù)。

留意:0.03<<1.70139§3.5曲線運動

1.直角座標系:

當質點的運動軌跡以X與Y座標的方式表示

時，則作用在質點上的外力及質點運動的加

速度可以直角座標系X–Y表示之，即

140其中為X方向的加速度

為Y方向的加速度1411422.切線與法線座標系:

當質點在一知曲線路徑上運動時，則作用在質

點上得外力及質點運動的加速度均可以

切線與法線座標系表示之，即

143其中為切線加速度

為法線加速度1441453.極座標系

假設質點P在r、二方向的極座標系中運動，

則作用在此質點的外力以及質點運動的加速度可

以表示為

由牛頓第二定律得知，此質點的運動方程式為

146147在此極座標系的加速度為

∴我們有

148§3.6功與能

1.功的定義

①.一力作用於一質點上使其移動一微小位移

時，則此力對質點作一微小之功即

其中為與的夾角。

149150151152當當當或作用在固定點上，即153②.功的單位:

(1)英制重力單位:ft·lb或in·lb

(2)公制工程單位:kg·m

(3)SI單位:1J=1N·m

1焦耳=一牛頓之作用力沿

其方向移動一米所

作之功

③.假設一質點受一力作用，沿運動路徑從S1到

S2移動，則作用力所作的功為

154④.重力所作的功:

彈簧力所作的功:功(1)重力所作的功:155156∵由高度為Y1之位置A1移動至高度為Y2之

位置A2，且W=mg

∴重力所作的功為

∴當物體向上移動時，，則為負功

當物體向下移動時，，則為正功157(2)彈簧力所作的功:

A.假設彈簧一端固定，另一端在x=0位置時

彈簧無變形。

B.當彈簧一端受外力FS作用而產生位移X(

拉伸或壓縮)時，由實驗得知:在平衡時

所需之外力FS與其位移X成正比，即

FS=kx，其中k為彈簧係數(shù)。

C.∵作用於物體之彈簧力則與FS大小相等但

方向相反。

∴彈簧力使物體由X1移至X2所作的功

為負功，即158159160⑤.重力與彈簧力均為保守力，均為位置之函數(shù)，其

大小與所經過路徑無關。

⑥.功與能原理:或

(1)當一質點自A1位置運動至A2位置時，所

有外力F(包含重力及彈簧力)所作的功

等於質點動能的變化量。

(2)質點在A2位置的動能等於其在A1位置的

動能加上一切外力F在質點由A1運動到

A2期間施加於質點所作的功。

161Pf:一質點質量為m，受一力系之合力作用力而

沿不斷線或曲線路徑運動，則其切線方向的運

動方程式為:

∵當質點沿其運動路徑移動之位移時，則合

力所作之功為

162∴質點由A1位置移動至A2位置時，施加於質

點上之力所作之功為

1631642.功率

①.定義:單位時間內所作的功量稱為功率

②.單位:(1)SI單位:瓦特=焦耳/秒

(2)USCS單位:馬力(HP)

(W)(J)(Sec)165(3)∵1ft·lb=1.356J

∴1ft·lb=1.356J=1.356W

1hp=(550)(1.356)W=746W

(4)功制單位:1PS=75kgs·m/sec

∵1kgf=9.81N

∴1PS=(75)(9.81)N·m/sec

=735.8W

1000W=1.359PS

(公制工程馬力)166

③.

機械效率em==<1

輸出功率輸入功率輸出能量輸入能量167§3.7保守力與位能以及機械能不滅定理

1.定義:保守力

①.假設作用在質點的力僅與質點所在之位置有關

，而與質點的速度與加速度無關，則此力所作

的功與質點自一點移動至另一點所依循的路徑

無關時，此力稱為保守力。

②.質點所受的重力與彈簧力均為保守力。

摩擦力非保守力。1682.定義:位能

①.當一保守力作用在一質點時，此力就具有作功

的才干，此才干可藉一個僅與位置有關的函數(shù)

來量測，此函數(shù)稱為力的位能，以V表示。

②.位能

重力位能Vg彈力位能Ve169170(1)重力位能:當物體之位置升高時，其重力

位能添加(此時重力作負功)

;相反地，物體之位置降低時

，其重力位能減少(此時重力

作正功)，即

(2)彈力位能:系統(tǒng)中對物體而言，彈力位能

減少時，彈簧力作正功，而彈

力位能添加時，彈簧力作負功

。

1711723.機械能不滅定理:

或

或

常數(shù)=總機械能＊機械能不滅定理僅當質點在保守力作用下發(fā)生，故為普通能量不滅定律之特例。173§3.9線衝量與線動量

1.線衝量:力與時間的乘積為線衝量，以表

示之，即

在直角座標系中，則有

174對於以及

而言

單位:SI:Nt·sec

英制重力單位:lb·sec1752.線動量:考慮一質量為m之質點遭到一力系作

用，此質點的運動方程式為

其中稱為質點的線動量，

即假設m為常數(shù)，則線動量對時間的變

化率在直角座標系中，假設

176則有

單位:SI:Nt·sec

英制重力單位:lb·sec或slug·ft/sec1773.線衝量與線動量的關係:

178線衝量與線動量的:

質點的末動量等於出動量與此

一時間內作用於質點之線衝量總合依向量相

加求得，即

179§3.10角衝量與角動量

1.角動量:一質點對一固定點之角動量定義為其

線動量對此點的一次矩。180181182一質點為m之質點沿著空間中一曲線運動，假設

質點相對於原點O的位置向量為，則質點

對原點O的角動量為

為線動量

其中為與的夾角且183角動量的純量分量由下式獲得:

184

＊角動量的單位:

SI單位:kg·m/sec·m

=(kg·m/sec2)(m·sec)

=Nt·m·sec

USCS單位:lb·ft·sec1852.角衝量:力矩與時間的乘積定義為角衝量，

以表示之，即

在直角座標系中，則有

186

對於

以及而言

SI單位:kg·m/sec·m

=(kg·m/sec2)(m·sec)

=Nt·m·ec

＊角衝量與角動量的單位完全一樣1873.質點的角動量原理:

作用於質點之外力對O點之力矩等於質點對

O點之角動量對時間的變化率，即

188PF:

又其中1894.角衝量與角動量原理:角衝量與角動量的關係

190(4).線動量不滅定律:

假設在一時間內無任何外力作用在質點上或外力

的合力為零，則或

(5).角動量不滅定律:

假設在一時間內作用在質點之力系對固定點O

之合力力矩為零，則或

191§3.12碰撞(衝擊)

1.定義:二物體在極短之時間內相撞，而在此期

間內彼此產生很大的作用力，稱為衝擊

或碰撞。

碰撞偏心碰撞:斜碰撞中心碰撞:正碰撞彈性碰撞塑性碰撞非彈性碰撞192193194①.在碰撞期間垂直於接觸面之公法線稱為碰撞線

。

②.假設兩碰撞物體的質量中心均在碰撞線上，此種

碰撞稱為諄新碰撞。

③.假設碰撞時兩物體之質量中心有一個不在碰撞線

上，則此種碰撞稱為偏心碰撞。

④.中心碰撞時，假設碰撞前後兩物體之運動速度均

沿碰撞線方向，稱為正碰撞。反之，假設有一物

體之速度不在碰撞線上，稱為斜碰撞。1952.正碰撞:假設VA>VB196197198定義:回復係數(shù)

回復期之衝量變形期之衝量199＊正碰撞

①.彈性碰撞:e=1

(碰撞前後動量守恆)

彈性碰撞:e=1塑性碰撞:e=0非彈性碰撞:0<e<1(a)又200由(a)(b)得證

(碰撞前後總動能守恆)(b)201②.塑性碰撞:e=0

③.非彈性碰撞:0<e<1

大部份的碰撞均為此類型，非彈性碰撞會有部

份動能損失。(兩質點以一樣速度運動)＊塑性碰撞之動能損失最大2023.斜碰撞:203204假設碰撞前速度分別VA及VB，與n軸夾角分

別為及。

假設碰撞前速度分別及，與n軸夾角分

別為及。

則回復係數(shù)

205第四章質點系統(tǒng)運動力學

§4.1簡介

1.質點系統(tǒng)的運動分為以下兩種：

(1)剛體系統(tǒng)的運動。

(2)非剛體系統(tǒng)的運動。

2.體是質體的一種狀態(tài)，其中質體之間的距離

是堅持不變的，例如機械、陸地與空中交通工

具、火箭與太空船及許多移動的結構

2063.非剛體的例子為在特定流速下所定義的流體或

氣體的質量，例如流經飛機引擎渦輪機的空氣

與燃料，以及經由火箭發(fā)動機的噴嘴流出點燃

的氣體、或是流經旋轉幫浦的水???等。

207

§4.2廣義牛頓第二定律

1.定義：質點系統(tǒng)

假設空間中之一獨立系統(tǒng)含有ｎ個質點，ｎ≧

2，則此系統(tǒng)稱為一職點系統(tǒng)，並且

(1)假設為此質點系統(tǒng)質心G之位置向量根

據(jù)質心之定義

其中＝1，2，???，ｎ為任一質點ｉ

之質量。而且為此質點系統(tǒng)之

總質量。

2082.作用在質點係(統(tǒng))外力之總合力

，等於質點系統(tǒng)之總質量ｍ與質點系統(tǒng)質

心加速度之乘積，，亦即

將質點系統(tǒng)之總質量視為集中在質心一點

，可由質點所受對外力之總合力求得

質心之加速度。作用在恣意一點ｉ之外

力包括質點所受之重力、電場力、磁

力、以及系統(tǒng)外之物體或質點對此質點之

作用力。

209

210

＊在ｘ，ｙ，ｚ座標系統(tǒng)中，假設

則有

其中分別為質點系統(tǒng)之質心在

軸方向的加速度。211§4.3質點系統(tǒng)的功能與能原理

1.公與能原理可應用於質點系統(tǒng)中的恣意質點

ｉ，寫成

其中表示內力以及外力合力

對點ｉ所作的功，分別為質點

在位置1位置2的動能。

2122.將系統(tǒng)中各個質點的功與能方程式相加，即

此式表示質點系統(tǒng)在位置2的動能等於其在

位置1之動能加上一切作用於質點系統(tǒng)上的

力所作的功。

3.假設作用於質點系統(tǒng)的一切力均為保守力，

則有，則此時將得到此質點系統(tǒng)的

能量不減原理：

2134.質點系統(tǒng)的動能T定義為此系統(tǒng)各質點動能

的總和，即

由相對運動原理得知，系統(tǒng)中任一質點的

速度可寫成

其中為質量中心G〔即質心G〕的速度，

為質點相對於隨質量中心移動之參考座標

係的速度，214

215

因此，我們可以將質點系統(tǒng)的動能表示為

216其中表示質點系統(tǒng)的總質量，﹝∵

為質量中心G相對於座標係的速度

﹞，因此得到

此式表示質點系統(tǒng)的總動能等於質量中心G的

動能加上一切質點相對於質量中心運動的動量。

217§4.4質點系統(tǒng)的衡量與動量原理

1.假設將表示為系統(tǒng)內任一質量為之職點

的線動量，其中質點的速度為，則系統(tǒng)

的線動量為

由相對速度的關係以及

???，則得到

218此成表示質點系統(tǒng)的線運動為期總值量與質量

中心之速度的乘積。此式表示作用於質點系統(tǒng)對外力的合力等於質點系統(tǒng)之線動量對時間的變化量。

2192.

此式表示質點系統(tǒng)的末動量等於質點系統(tǒng)之初

動量與再任一時間內外力作用於質點系統(tǒng)之線

衡量的向量和。

220

此稱為質點系統(tǒng)的線衡量與線運動原理。

2213.質點系統(tǒng)對固定點０的角運動量定義為系

統(tǒng)中一切質點的線運動量對０點之力矩的向量

和，即

此式表示作用於質點系統(tǒng)之外力對一固定點０

的合力矩等於質點系統(tǒng)對０點之角運動量對時

間的變化率。222假設將固定點０視為點系統(tǒng)的質量中心Ｇ，則

得到

此式表示作用於質點系統(tǒng)外力對其質量中心Ｇ

的合力矩於質點系統(tǒng)對Ｇ點之角運動量對時間

的變化量。

2234.

此式稱為質點系統(tǒng)之角衡量與角動量原理。224§4.5質點系統(tǒng)的運動量守恆

1.由質點系統(tǒng)之線衡量與線動量原理：

當外力作用於一質點系統(tǒng)之總衡量為零

時，即時，

則得到

225即，質點系統(tǒng)之總線動量和恆堅持不變，或質點系統(tǒng)之質心的速度恆為定值，此稱為質點系統(tǒng)之線動量不滅定律﹝線動量守恆理﹞。

2262.由質點系統(tǒng)之角恆量與角運動原理：

假設作用在質點系統(tǒng)之外力對固定點O或對質量

中心Ｇ之合力矩為零，即

，則得到

227此關係稱為質點系統(tǒng)的角動量不滅定律﹝角動

量守恆定理﹞。即，質點系統(tǒng)外力對固定點或

對質量中心之角恆量為零時，質點系統(tǒng)的角動

量恆堅持不變。228§4.7質點系統(tǒng)的可變質量Variablemass

1.添加質量系統(tǒng)：

229考慮一在某瞬間質量為m且以速度m向前運

動的物體，以及質量為及速度為的一末

質點，假設此物體將與此一末質點聚合，而且

不變的影響而維持不變，

因此，在極短時間內，物體將會添加量

，並且一切作用於系統(tǒng)運動方向之外力的合力

所產生之恆量將使得物體的速度添加

利用系統(tǒng)之衡量與動量原理，可以得到

230

令為物體對流入質點之相對速度，則有

令為物體添加質量所產生之運動反

力，得到

此式稱為可變質量物體之運動方程式，符合

原理。2312.減少質量系統(tǒng)：

232

考慮再某瞬間時質量為且速度為的物

體，此時物體排開之質量為且質量流率維

持不變，假設在時間內，物體的速度由

添加到，而且其排出質量，

表示作用在系統(tǒng)運動方向之一切外力之合力，

則由系統(tǒng)之衡量與動量原理，可以得到

233

令惟物體對排出質量之相對速度，則有

234

3.火箭噴射推進之應用：考慮一向上發(fā)射的箭，

其分量為Ｗ，所遷受的大氣阻力為，考

慮此系統(tǒng)包含火箭之質量及噴出氣體之量

，則可得到

其中ｕ為火箭相對於噴出氣體之速度，而且

火箭的推力為因此火箭之運動方

程式為

235第五章剛體的平面運動學

1.定義：剛體﹝rigidbody﹞

假設一物體﹝body﹞，其上各質點的距離恆堅持

一定，不因受力，受熱或其他要素而有所改變

，則此理想化之物體稱為剛體。簡言之，剛體

為不會變形之理想物體。

2.定義：剛體平面運動

討論剛體在平面上運動所產生的位移，速度，

加速度及時間相互之間的關係，與力﹝force﹞

無關

2363.剛體的平面運動三種：

平移

旋轉

普通平面運動

①

(I)在物體平面運動時，假設物體內任一條線

始終維持與原來狀態(tài)平行而沒有旋轉，

則此運動稱為平移。

(ii)在平移運動中，剛體內任一質點在一樣

的時間內均有一樣的速度與加速度。237

238

②旋轉(I)物體再平面上繞億垂直平面之旋轉動稱為旋轉。此軸可位於物體內，亦可在物體外(ii)物體旋轉時，物體上一切質點都在以旋轉軸為中心的圓形軌跡上運動，此時物體上一切的線在一樣的時間繞過一樣的角度3.普通平面運動：物體在平面上運動時，同

時有平移與旋轉的現(xiàn)象。239240

§5.2平移

平移物體在xy平面上作平移運動時，假設Ａ，Ｂ為剛體紹兩質點﹝此時ＡＢ間之距離大小永遠不變﹞，則由圖可知

物體在平面上做平移運動時，剛體上每一質

點的速度及相速度均一樣。

241

242

243§5.3旋轉

剛體繞固定軸做平旋轉，如圖所示，O為旋

轉中心，Ａ為任一質點，為OＡ之角位置座

標，則物體的角度Ｗ及角加速度α分別為

2442452462.當物體繞○點之軸做平面旋轉則，則物體上

各點除了旋轉軸上之點外，其餘各點均繞此軸

做圓周運動，如圖所示，由於點Ａ的角速度

Ｗ與角加速α均與剛體﹝物體﹞一樣，因

此，Ａ點的線運動方程式為

247248

3.向量的瞬間微分

考慮一大小不變的向量，假設其方

向以之角速度旋轉改變，則其對時間的微

分為

其中向量為各種向量，例如位置、速度、

角速度、動量、角動量……等。

的起點為點O

2492502514.假設物體以角速度Ｗ繞O點之軸做平面旋

轉，則質點Ａ在半徑為的圓上運動，

而且

252留意:①.物體繞固定軸旋轉時，僅大小改

變，方向不變，因此與方向

一樣，又因為，因此與

方向一樣。

②.假設物體非繞固定軸旋轉，而做三為運

動，則方向會改變，即此時

與方向不一樣

2532545.角運動

1.所謂角運動:

乃指物體的旋轉運動，如圖桿ＡＢ對Ａ點

旋轉的角運動，可以角移、角速度及塞加速

度的方式表示。

2552562.桿ＡＢ的移動量可由其旋轉的角度量得，角

位移的單位為弳，弳為一無因次單位。角位移

單位為rad，以符號表示。

3.速度為角位移對時間的變化率，以Ｗ表

示，此Ｗ亦為平均之角速度，定義為

，單位為ｒａｄ／ｓ及ｒｅｖ／ｍｉｎ(ｒ

ｐｍ)，即Ｗ=。

2572584.角加速度為角速度對時間的變化率，以

表示，此亦為平均之角加速度，定義

為，單位為ｒａｄ/ｓ２，

即。

5.等加速度之角運動:

直線運動角運動2596.直線運動〔ｓ，ｖ，ａ〕與角運動間

關係考慮一吊垂圓輪以繩索拉住一物體、如圖

所示，假設圓輪以逆時針方向旋轉1ｒａｄ，

此時圓輪上繩索將往上移動一個半徑長，物體

往上移動距離Ｓ等於半徑。假設圓輪以逆時針

方向旋轉２ｒａｄ，圓輪上繩索將移動２

ｒ，物體往上移動距離Ｓ＝２ｒ，距離Ｓ

與圓輪半徑及旋轉角度關係可表示為，

其中Ｓ與ｒ為同單位。

260

261

262

7.法線加速度及切線加速度

如上6.所述，位於半徑ｒ處，且角加速為

之點的切線加速度為ｒ，其方向與圓弧切，

即垂直於半徑，如圖所示。

263264

我們以ａｔ表示切線加速度〔ｔａｎｇｅｎｔｉａｌａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ〕，另以ａｎ表示法線加速度〔ｎｏｒｍａｌａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏ〕

※切線加速度乃因速度大小的改變，即w值改變。

法線加速度之w值不變，而是由於方向改變而生。

265266267∵法線加速度=因方向改變而產生的速度改變量

∴1.2代入上式，得到

268※ａｎ稱為線加速度，其方向指向圓心且與切

線相垂直。

※因為角運動同時具有切線加速度及法線加速

萬，因此合加速度必須以向量方式求得。

269§5.4普通平面運動

物體在平面上運動除掉平移和旋轉外，另一

種就是二者同時產生的運動，通常稱為普通

平面運動〔GeneralPlaneMotion〕。以下

幾個圖形即可說明此種情形。由圖可視得一

般平面運動可以視為由平移加旋轉而成。

270圖:1271圖1.中為一滾動體在平面上滾動，此時滾動體

之運動並非單純平移，變非單純的繞某固定點

旋轉。而是二者運動之組合。

另一個平面運動的