電氣工程學(xué)院面試資料-現(xiàn)代控制理論試題（含答案 ）

現(xiàn)代控制理論

1.經(jīng)典-現(xiàn)代控制區(qū)別：

經(jīng)典控制理論中,對一個線性定常系統(tǒng)，可用常微分方程或傳遞函數(shù)加以描述，可將某個單變量作為輸出，直接和輸入聯(lián)系

起來;現(xiàn)代控制理論用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)，系統(tǒng)的動態(tài)特性用狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組描述,不再局限于輸入量,

輸出量，誤差量,為提高系統(tǒng)性能提供了有力的工具.可以應(yīng)用于非線性，時變系統(tǒng)，多輸入-多輸出系統(tǒng)以及隨機過程.

2.實現(xiàn)-描述

由描述系統(tǒng)輸入-輸出動態(tài)關(guān)系的運動方程式或傳遞函數(shù)，建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式,這樣問題叫實現(xiàn)問題.實現(xiàn)是非唯

一的.

3.對偶原理

系統(tǒng)=21(A1,B1,C1)和=￡2(A2,B2,C2)是互為對偶的兩個系統(tǒng)廁Z1的能控性等價于￡2的能觀性，￡1的能觀性等價于

X2的能控性.或者說，若21是狀態(tài)完全能控的(完全能觀的)，則22是狀態(tài)完全能觀的(完全能控的).對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

矩陣互為轉(zhuǎn)置

4.對線性定常系統(tǒng)20=(A,B,C),狀態(tài)觀測器存在的充要條件是的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定

第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式

1.狀態(tài)方程:由系統(tǒng)狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組

2.輸出方程:在指定系統(tǒng)輸出的情況下,該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式

3.狀態(tài)空間表達式:狀態(tài)方程和輸出方程總合，構(gòu)成對一個系統(tǒng)完整動態(tài)描述

4.友矩陣:主對角線上方元素均為1:最后一行元素可取任意值;其余元素均為0

5.非奇異變換:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T為任意非奇異陣(變換矩陣)，空間表達式非唯一

6.同一系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換后,特征值不變;特征多項式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解

1.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:eAt,記作①(t)

2.線性定常非齊次方程的解:x(t)=O)⑴x(O)+JtO①(t-T)Bu(T)dT

第三章線性控制系統(tǒng)的能控能觀性

1.能控:使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)x(tO),轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf),稱此狀態(tài)是能控的.若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的,

稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控

2.系統(tǒng)的能控性,取決于狀態(tài)方程中系統(tǒng)矩陣A和控制矩陣b

3.一般系統(tǒng)能控性充要條件:(1)在T-1B中對應(yīng)于相同特征值的部分，它與每個約旦塊最后一行相對應(yīng)的一行元素沒有全

為O.(2)T-1B中對于互異特征值部分，它的各行元素沒有全為0的

4.在系統(tǒng)矩陣為約旦標(biāo)準(zhǔn)型的情況下，系統(tǒng)能觀的充要條件是C中對應(yīng)每個約旦塊開頭的一列的元素不全為0

5.約旦標(biāo)準(zhǔn)型對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算，可控可觀性分析方便;狀態(tài)反饋則化為能控標(biāo)準(zhǔn)型;狀態(tài)觀測器則化為能觀標(biāo)準(zhǔn)

型

6.最小實現(xiàn)問題:根據(jù)給定傳遞函數(shù)陣求對應(yīng)的狀態(tài)空間表達式，其解無窮多，但其中維數(shù)最小的那個狀態(tài)空間表達式是

最常用的.

第五章線性定常系統(tǒng)綜合

1.狀態(tài)反饋:將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系

統(tǒng)的控制輸入.K為r*n維狀態(tài)反饋系數(shù)陣或狀態(tài)反饋增益陣

2.輸出反饋:采用輸出矢量y構(gòu)成線性反饋律H為輸出反饋增益陣

3.從輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)x的反饋:A+GC

4.線性反饋:不增加新狀態(tài)變量,系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)同維，反饋增益陣都是常矩陣

動態(tài)補償器:引入一個動態(tài)子系統(tǒng)來改善系統(tǒng)性能

5.(1)狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性

(2)輸出反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性和能觀性

6.極點配置問題:通過選擇反饋增益陣，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所希望的動態(tài)性能

(1)采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng)任意配置極點的充要條件是20完全能控

(2)對完全能控的單輸入-單輸出系統(tǒng)，通過帶動態(tài)補償器的輸出反饋實現(xiàn)極點任意配置的充要條件［1R0完全能控⑵動

態(tài)補償器的階數(shù)為n-1

(3)對系統(tǒng)用從輸出到x線性反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點任意配置充要條件是完全能觀

7.傳遞函數(shù)沒有零極點對消現(xiàn)象，能控能觀

8.對完全能控的單輸入-單輸出系統(tǒng),不能采用輸出線性反饋來實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點的任意配置

9.系統(tǒng)鎮(zhèn)定:保證穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的必要前提，對受控系統(tǒng)通過反饋使其極點均具有負(fù)實部，保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定

(1)對系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是其不能控子系統(tǒng)漸近穩(wěn)定

（2）對系統(tǒng)通過輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是其結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀子系統(tǒng)是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸

近穩(wěn)定的

（3）對系統(tǒng)采用輸出到x反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定充要條件是其不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定

10.解耦問題:尋求適當(dāng)?shù)目刂埔?guī)律，使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)的實現(xiàn)每個輸出僅受相應(yīng)的一個輸入所控制，每個

輸入也僅能控制相應(yīng)的一個輸出

11.系統(tǒng)解耦方法:前饋補償器解耦和狀態(tài)反饋解耦

12.全維觀測器:維數(shù)和受控系統(tǒng)維數(shù)相同的觀測器

現(xiàn)代控制理論試題

1①已知系統(tǒng)2y+2y=iZ+〃+2?，試求其狀態(tài)空間最小實現(xiàn)。（5分）

②設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程及輸出方程為X=y=[00l]x試判定系統(tǒng)的能控性。（5分）

2已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為

ro0、0T

x=x+u;y=[lo]x;x(0)=

11

試求當(dāng)〃=/;拈0時，系統(tǒng)的輸出y（f）。（10分）

3給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為

31000

2-11

x=00-1X+10X

021

0I-101

試確定該系統(tǒng)能否狀態(tài)反饋解耦，若能，則將其解耦（10分）

4給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為

-1-202

x=0-11x+0y=[100]x

10-11

設(shè)計一個具有特征值為-I,-1,-1的全維狀態(tài)觀測器（10分）

%1=-%]+X

5①已知非線性系統(tǒng)《2

x2--2sinX]-atx2

試求系統(tǒng)的平衡點，并確定出可以保證系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定的4的范圍。（5分）

A,--x,+x在原點的穩(wěn)定性。（5分）

②判定系統(tǒng)《2

x2——2x1—3X2

11

6已知系統(tǒng)i=x+u試將其化為能控標(biāo)準(zhǔn)型。（10分）

001

7已知子系統(tǒng)

1-21

4x天+%,K=[1。]占

t01

0

4，%=[01]*2

X

Z20-11

求出串聯(lián)后系統(tǒng)

%

現(xiàn)代控制理論試題

1①取拉氏變換知(2,y3+2)y(s)=($,+s+2)M(.V)

1

g(/s)、=s+-1----11=-z--I----+-（3分）

2(d+1)252-5+l2

01021

其狀態(tài)空間最小實現(xiàn)為北X+u;y0x+-（2分）

1122

o12

，秩為2,系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。

②uc=[_BAB7rI可111

10

0、t

2解①(/,%)=x(r)=①(t,0)x(0)+J①(r,T)6(r)dr/=1

O.5r2-O.5r2

oo

0o0

3解qB=[2-11]11]o=[21]所以4=4=o，

C2B=[021]1

001

耳-111

E=又因為E非奇異，所以能用實現(xiàn)解耦控制。（2分）

2321

E2

630

（1分）

01

求出u=—kx+Lv

-2'區(qū)、

代入系統(tǒng)得卜/一（4一七C）|二-0-1E(100)

12

JI0①3/

0

2

—E25+1—1=s'+3s2+3s+1+E}s+2石1s+g+2—ZE、—2E2s—2E2

-1+石30s+1

=s'+(3+g)$2+(6+2g—3石3)5+石[一石2-3萬34-3

理想特征多項式為f(x)=(s—I)3=s3+3s2+3s+l列方程，比較系數(shù)求得E

-1-2

全維狀態(tài)觀測器為戈=[4一石C]q+4〃+切=0-1

00

5解①顯然原點為一個平衡點，根據(jù)克拉索夫斯基方法，可知

一11-1-2cosXj—21—2cosX|

F=

—2cosX]41—a}l-2cosXj-2。]

1.—21-2cosx.

因為—2<O;所以，當(dāng)1=4a,-（1-2COSX,）o2>0

l-2cosx,一2。1

時，該系統(tǒng)在原點大范圍漸近穩(wěn)定。解上述不等式知，“>'9時，不等式恒成立。

9

即4>/時，系統(tǒng)在原點大范圍漸近穩(wěn)定。

4

4+1-1

②解皿_川=儲+44+5,兩個特征根均具有負(fù)實部，系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。（2分）

2A+3

12,01,-.01

6解/=10，/=?1_±月=[°r+n4=[r01]i=[2-2]

「U」[_25」2.

「Ji111?「11L.,「。1]「0"

p=pA=[-1—jl=舊rjlP=；,P=能控標(biāo)準(zhǔn)型為±=尤+u

產(chǎn)2/】xL22」00L22」11-11011

_I——J_J_

7解組合系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為

一1-2001

0-100：〃，J=[o00l]x(5分)

x=

00-11

100-10

組合系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

G（S）=G2（5）G|（S）（2分）

1s+3s+3

----x-----------二----------------------------（3分）

5+1（5-1）（S+1）（5—1）（5+1）2

現(xiàn)代控制理論題庫及答案

一、1系統(tǒng)戶:'X+：”=[0小能控的狀態(tài)變量個數(shù)是—，能

觀測的狀態(tài)變量個數(shù)是—o

2試從高階微分方程y+3y+8y=5〃求得系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方

程（4分/個）

解1.能控的狀態(tài)變量個數(shù)是2,能觀測的狀態(tài)變量個數(shù)是I。狀

態(tài)變量個數(shù)是2?！?.（4分）

2.選取狀態(tài)變量玉=丁，x2-y,x3=y,可得....（1

....(1分)

x3=-8X|-3七+

>=玉

010

00....(1分)

-80

y=[l00]x....(1分)

二、1給出線性定常系統(tǒng)x(A+l)=Ar(Q+8〃(A),y(Q=Cr(A)能控的定乂。

(3分)

'210'

2已知系統(tǒng)*=020x,y=[01\]x,判定該系統(tǒng)是否完

00-3

全能觀？（5分）

解1.答：若存在控制向量序列歐,“（出+”1）,時系統(tǒng)從第

々步的狀態(tài)以公開始，在第N步達到零狀態(tài)，即x（N）=O,其中N是大于

0的有限數(shù)，那么就稱此系統(tǒng)在第k步上是能控的。若對每一個3系

統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，就稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱能

控。....（3分）

2.

210

C4=[011]020=[02-3]

00-3

（1分）

210

C42=[02-3]020=[049].（1分）

00-3_

c1To11'

Uo=CA=02-3.........（1分）

CA2049

rankt/o=2<n,所以該系統(tǒng)不完全能觀...........（2

分）

三、已知系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)分別為

,、5'—1/、5+1

g2（S）=■.,一

s+3s+2s—3s+2

求兩系統(tǒng)串聯(lián)后系統(tǒng)的最小實現(xiàn)。（8分）

解

(、/、/\(s-l)(s+l)s+ls+l

g(s)=g.(s)g,(s)=----------------------=———

11(5+1)(5+2)(5-1)(5-2)S2-4

（5分）

最小實現(xiàn)為

010ri

x=X+]〃，y=JOjx???..???.....

40

（3分）

四、將下列狀態(tài)方程上』1-2[尤+[1]〃化為能控標(biāo)準(zhǔn)形。記分）

34JL1

解A/?]=；；.....,...........（1

分

71-

---

88分

11

1-

0-8

0-

一11-

41分

-一￡

8-8-

一-

一13-

分

打-?

4-4-

一-

11_

---

P88

--1L3

-

-4-I4

一

31-

---

K48分\

11??7

-

8-4-8-

一-

-_01-

分

一II

4---X

o5

-_

_-

一i-_1

1P一11

一---_

1

88I分X

%4J

-R-4=XZ

>1-31I

--

4一4_--

工_

一

....（1分）

五、利用李亞普諾夫第一方法判定系統(tǒng)x=T2X的穩(wěn)定性。（8

-1-1

分）

解

憶./一川二尸1-21=%+22+3

L1x+L

…......（3分）

特征根2=—1±0》.....…...（3分）

均具有負(fù)實部，系統(tǒng)在原點附近一致漸近穩(wěn)定……….…….（2

分）

六、利用李雅普諾夫第二方法判斷系統(tǒng)“X是否為大范圍

_2-3

漸近穩(wěn)定：（8分）

解

_P\2P12_

ArP+PA=-I.....................…...............（1分）

_2Pli+4〃]2=-1

<_4P[2+2〃22=°.................一...?....?（1分）

、2〃|2-6〃22=T

Pu=%

<P22=%.........?.?.......................????..........?..............（1分）

Pl2=%

n」Pu四2L%%.............................................................Z1

P|2P22

分）

7

P.,=—>0detPuP\2=det」>0...(1分)

"4P\202264

P正定，因此系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的.（1分）

2s+1_1

(5-1)(5+2)s

七、已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣為G(s)試

25-13

s(s+l)(s-2)52+l

判斷該系統(tǒng)能否用狀態(tài)反饋和輸入變換實現(xiàn)解耦控制。（6分）

解:4=0d9=0（2分）

4=口0],6=[01](2

分）

10

E=非奇異，可實現(xiàn)解耦控制。(2

01

分）

P=PwPxi

PnP22

八給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為

-1-2-31

x=0-1k+Qy=],設(shè)計一個具有特征值為T,

0-11

1,-1的全維狀態(tài)觀測器。（8分）

解：方法1

2+12+E,3

\A-I-A+EC\^04+1+E?-11分

-1E3A+l

232

=(2+22+l)E2+2+32+32+l+32+3+3￡：7+2+El+￡13/l+E3

35

=A+(E2+3)A+(2E,2+￡3+6)/l+6+￡：3+4￡12+E]

-2分

又因為/(2)=23+322+32+11分

列方程

6++4E,+&=1

2E[+E、+6=32分

%+3=3

&=一2,k2=0,E3=—31分

觀測器為

-10-31-2

x=0-11￡+0u+0y1分

10-11-3

方法2

2+123

|2-7-A|02+1-1=23+322+62+6

-102+1

一1分

/(2)=23+3/l2+32+l

2分

E、——5,E9=—3,E3=0

1分

1

a2q

Q=[C，ATCr(Ar)2Cr]410

100

2分

1分

觀測器為

-10一”「2-

￡=0-1￡+04+0y1分

10_1J[-3_

fl00y、

,MfzA0}

九解A=010=|,A=1,A,=

(0Aj

(012)、

（1分）

(1

分）

0

5-1

(5/-A)-1=.（1分）

-11

5-2J

(e'0].........../1zk\

=L位/-甸產(chǎn)?V1777

(e2t—cte2tJ

7oo、

*=廣(s/—A)T]=0-0..............rozk\

\0e21-e'e2'/

x(t)=e5(0)

500、T7、

0et00—0

1°2e2,*

e'-e'JkJ

（2分）

《現(xiàn)代控制理論》復(fù)習(xí)題1

一、(10分，每小題2分)試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確

的，則在其左邊的括號里打反之打X。

(V)1.由一個狀態(tài)空間模型可以確定惟一一個傳遞函數(shù)。

(X)2.若一個對象的連續(xù)時間狀態(tài)空間模型是能控的，則其離

散化狀態(tài)空間模型也一定是能控的。

(X)3.對一個給定的狀態(tài)空間模型，若它是狀態(tài)能控的，則也

一定是輸出能控的。

(J)4.對系統(tǒng)W=其Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性和矩陣4

的特征值都具有負(fù)實部是一致的。

(J)5.根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制問題設(shè)計的最優(yōu)控制系統(tǒng)一定

是漸近穩(wěn)定的。

二、(15分)考慮由下式確定的系統(tǒng)：G(s)=—+3試求

S2+3S+2

其狀態(tài)空間實現(xiàn)的能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型和對角線標(biāo)準(zhǔn)型，并畫出

能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖。

解：能控標(biāo)準(zhǔn)形為

01x-0-

}+U

*2-2-3%21

y=[3i]~

_x2

能觀測標(biāo)準(zhǔn)形為

一3一

+u

-3x21

y=[。

對角標(biāo)準(zhǔn)形為

用］「一10［「苞］「1

=+U

三、（10分）在線性控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中，系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

起著很重要的作用。對系統(tǒng)

求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

解：解法1。

容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣Z的兩個特征值是4=-1,4=-2,它們是不相

同的，故系統(tǒng)的矩陣N可以對角化。矩陣4對應(yīng)于特征值4=-1,4=-2

的特征向量是

■11「1一

匕二［』"［一2_

"711r11

取變換矩陣T=U匕『=,則L=

1-1J|_-1-2

因此，D=TAT'=［-1°

0-2_

從而，

解法2。拉普拉斯方法

由于

(s/—A)T=----------adj(s/—A)=--------------

2s+3」det(5/-A)s(s+3)+2[-2s

-s+31-2111

(5+1)(5+2)(5+1)(5+2)

=s+1s+2s+1s+2

-2s-22-12

(5+1)(5+2)(s+l)(s+2)__s+15+2s+1s+2_

故①⑺=eJLT[(S/_A)T]=

解法3。凱萊-哈密爾頓方法

將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫成eA,=4⑺/+q⑺A

系統(tǒng)矩陣的特征值是-1和-2故

2

e~'=-a^t)e~'=a0(r)-2czl(r)

解以上線性方程組，可得/⑺=2e~'-e~2'q⑺=e~'-e~2'

2

Al2e-'-e-'

因此,①⑺=e-a0(Z)/+q(，)A=

-2e~'+2e~2'

四、（15分）已知對象的狀態(tài)空間模型尢=Ax+&,y=&,是完全能

觀的，請畫出觀測器設(shè)計的框圖，并據(jù)此給出觀測器方程，觀測器設(shè)

計方法。

解觀測器設(shè)計的框圖:

觀測器方程:

x=Ax+Bu-\-L(y-Cx)

=(A-LC)x+Bu+Ly

其中：工是觀測器的維狀態(tài)，￡是一個〃義夕維的待定觀測器增益矩陣。

觀測器設(shè)計方法：

由于det[2/-(A-LC)]=det[2/-(A-LC)T]=det[4/-(Ar-CTIT)J

因此，可以利用極點配置的方法來確定矩陣￡,使得AT-C，r'具有給定

的觀測器極點。具體的方法有：直接法、變換法、愛克曼公式。

五、(15分)對于一個連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，試敘述Lyapunov穩(wěn)定

性定理，并舉一個二階系統(tǒng)例子說明該定理的應(yīng)用。

解連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理：

線性時不變系統(tǒng)比=Ax在平衡點兒=0處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是:

對任意給定的對稱正定矩陣Q,李雅普諾夫矩陣方程A%+PA=-Q有

惟一的對稱正定解凡

在具體問題分析中，可以選取0=I。

考慮二階線性時不變系統(tǒng)：?='

上」L-1-吐當(dāng)」

原點是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫矩陣方程

A'P+PA^-I

其中的未知對稱矩陣P=&&

_P\2P12_

將矩陣2和曲表示式代入李雅普諾夫方程中，可得

0-11A.Pl2+AlP1201—10

.1“22」|_P12P22-1—10—1

進一步可得聯(lián)立方程組

-2%=T

Pl「Pl2-P22=°

2〃]2_2P22=T

從上式解出P”、l和〃22，從而可得矩陣

p_PwP\i_3/21/2

_P\2〃22_J/21

根據(jù)塞爾維斯特方法，可得A,=->0A,=detP=->0

24

故矩陣尸是正定的。因此，系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)

定的。

六、（10分）已知被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是

10

G(s)

(S+1)(5+2)

試設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-1±jo

解系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是

■011「0一

x=x+u

-2-3」L1.

y-[100]x

將控制器u=-[k0k,]x代入到所考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)

系統(tǒng)狀態(tài)方程

01

—2—kq—3—k、

該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程是dct(A/—A,,)={+(3+占)A+(2+后0)

期望的閉環(huán)特征方程是(A4-1—y)(A+1+/)=矛+24+2

通過+(3+k、)A+(2+&o)={+24+2

可得3+K=22+Z()=2

從上式可解出匕=—12o+0

因此，要設(shè)計的極點配置狀態(tài)反饋控制器是M=[0]*

七、（10分）證明：等價的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。

證明對狀態(tài)空間模型

x=AxBu

y=Cx+Du

它的等價狀態(tài)空間模型具有形式

x=Ax+Bu

y-Cx+Du

其中：

A=TAT-'后=TBC=CT-'15=D

7是任意的非奇異變換矩陣。利用以上的關(guān)系式，等價狀態(tài)空間模型

的能控性矩陣是

n

rt,[A,B]=[BAB…A-'B]

=[TBTAT-'TB...（TAr'）'-'TB]

=T[BAB...An-'B]

-TTC[A,B]

由于矩陣7是非奇異的，故矩陣匚[瓦團，和具有相同的秩，從

而等價的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。

八、（15分）在極點配置是控制系統(tǒng)設(shè)計中的一種有效方法，請問這

種方法能改善控制系統(tǒng)的哪些性能？對系統(tǒng)性能是否也可能產(chǎn)生不

利影響？如何解決？

解：極點配置可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，如調(diào)節(jié)時間、峰值時間、

振蕩幅度。

極點配置也有一些負(fù)面的影響，特別的，可能使得一個開環(huán)無靜差的

系統(tǒng)通過極點配置后，其閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，從而使得系統(tǒng)的穩(wěn)

態(tài)性能變差。

改善的方法：針對階躍輸入的系統(tǒng)，通過引進一個積分器來消除跟蹤

誤差，其結(jié)構(gòu)圖是

構(gòu)建增廣系統(tǒng)，通過極點配置方法來設(shè)計增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器,

從而使得閉環(huán)系統(tǒng)不僅保持期望的動態(tài)性能，而且避免了穩(wěn)態(tài)誤差的

出現(xiàn)。

《現(xiàn)代控制理論》復(fù)習(xí)題2

一、(10分，每小題2分)試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確

的，則在其左邊的括號里打反之打X。

(X)1,對一個系統(tǒng)，只能選取一組狀態(tài)變量；

(V)2.由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以決定系統(tǒng)狀態(tài)方程的狀態(tài)矩陣，進

而決定系統(tǒng)的動態(tài)特性；

(X)3.若傳遞函數(shù)G(S)=C(S/-A)TB存在零極相消，則對應(yīng)的

狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)是不能控不能觀的；

(X)4,若一個系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)在任

意平衡狀態(tài)處都是穩(wěn)定的；

(7)5.狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。

二、(20分)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

2s+5

G(s)=

(5+3)(5+5)

(1)采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀

態(tài)變量圖;

(2)采用并聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀

態(tài)變量圖。

答：(1)將G(s)寫成以下形式:

12s+5

G(s)

s+3s+5

這相當(dāng)于兩個環(huán)節(jié)」一和一串連,它們的狀態(tài)空間模型分別為:

s+3s+5

芯=-3%+〃和,x2=-5X2+u]

7i=xiy=-5X2+%

由于%=%,故可得給定傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)是:

Aj=-3.XJ+U

,2=*-5%

y=2xj-5X2

將其寫成矩陣向量的形式，可得：

對應(yīng)的狀態(tài)變量圖為:

串連分解所得狀態(tài)空間實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖

(2)將G(s)寫成以下形式:

它可以看成是兩個環(huán)節(jié)-4和q的并聯(lián),每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空

5+35+5

間模型分別為：

fxj=-3Xj-Q.5n

%=再

和

fx,=-5X2+2.5〃

ly2=x2

由此可得原傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)：

Xj=-3Xj-O.5u

<

x2=-5X2+2.5〃

進一步寫成狀態(tài)向量的形式，可得：

.Xj—30Xj—05一

*=+.U

x20-5Jx22J

"HI

x2

對應(yīng)的狀態(tài)變量圖為：

-HQ-5—

〃—13

(p->

―?--2.-5—>八0-_^>J

并連分解所得狀態(tài)空間實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖

三、(20分)試介紹求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法，并以一

種方法和一個數(shù)值例子為例，求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；

答：求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法有：

方法一直按計算法：

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義

①(f)=e"'=I+AtH—A't'+--?—…

2!n\

來直接計算，只適合一些特殊矩陣人

方法二通過線性變換計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，設(shè)法通過線性變換，將矩

陣力變換成對角矩陣或約當(dāng)矩陣，進而利用方法得到要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)

移矩陣。

方法三拉普拉斯變換法：=r1[(57-A)-']o

方法四凱萊-哈密爾頓方法

根據(jù)凱萊-哈密爾頓定理和，可導(dǎo)出/具有以下形式：

/'=%⑺/+%⑴4+%+…+()4"T

其中的4?)，%?)，???區(qū)一⑴均是時間t的標(biāo)量函數(shù)。根據(jù)矩陣/有

〃個不同特征值和有重特征值的情況，可以分別確定這些系數(shù)。

舉例：利用拉普拉斯變換法計算由狀態(tài)矩陣

所確定的自治系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。由于

5+10

3-N)--------------adj{sl-A)

05+1det(^7-A)

5+1

(S+l>0

①⑺=e"=zT[(s/_/)T]

'e"0一

-0e_,

四、（10分）解釋狀態(tài)能觀性的含義，給出能觀性的判別條件，并

舉例說明之。

答：狀態(tài)能觀性的含義：狀態(tài)能觀性反映了通過系統(tǒng)的輸出對系統(tǒng)

狀態(tài)的識別能力，對一個零輸入的系統(tǒng)，若它是能觀的，則可以通

過一段時間內(nèi)的測量輸出來估計之前某個時刻的系統(tǒng)狀態(tài)。

狀態(tài)能觀的判別方法：

對于〃階系統(tǒng)

1.若其能觀性矩陣「°=°列滿秩，則系統(tǒng)完全能觀

_CA"~\

2.若系統(tǒng)的能觀格拉姆矩陣

非奇異，則系統(tǒng)完全能觀。

舉例：

對于系統(tǒng)

"1o]Fol

x=x+〃

LU