第三章、矩陣的初等變換(文經(jīng))課件

第三章 矩陣的初等變換與線性方程組本章先引進(jìn)矩陣的初等變換，然后利用矩陣的初等變換討論矩陣的一個(gè)重要性質(zhì)—矩陣的秩，再利用矩陣的秩討論線性方程組解的情況，最后介紹用矩陣的初等變換解方程組的方法。矩陣的初等變換矩陣的秩線性方程組的解1定義1對(duì)矩陣的行施行下列三種變換稱為矩陣的初等行變換互換兩行的位置

(

記作ri

?

rj

);以不為0的數(shù)k乘某一行的所有元素(記作k×ri

);

將某一行的元素乘以數(shù)k后加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去(記作ri

+krj

)。相應(yīng)地，對(duì)矩陣的列可以定義矩陣的初等列變換記號(hào)只需將r換成c即可。矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱初等變換§1

矩陣的初等變換2定義2

若矩陣經(jīng)過(guò)若干次初等行變換得到矩陣則稱矩陣 與矩陣行等價(jià)

記做：例如：類似的可以定義列等價(jià)記做：若矩陣 經(jīng)過(guò)若干次初等變換得到矩陣則稱矩陣 與矩陣

等價(jià)記做：3矩陣的等價(jià)關(guān)系滿足下列三個(gè)性質(zhì)：自反性對(duì)稱性傳遞性說(shuō)明

：矩陣的初等行變換和初等列變換是兩種不同的變換方式，一般情況下總是分開用的。4定義3滿足下列特點(diǎn)的矩陣稱為行階梯形矩陣矩陣中可畫出一條階梯線，階梯線下方元素全為零每個(gè)階梯只有一行，且階梯線的豎線后面第一個(gè) 元素非零其中，元素全部為零的行稱為零行，否則稱為非零行。定理：任何矩陣都可以通過(guò)單純的初等行變換化成行階梯形矩陣。例如：就是一個(gè)行階梯形矩陣5可知，任何矩陣都可以通過(guò)單純的初等行變換化成行最簡(jiǎn)形矩陣。7下面看另一種形狀更簡(jiǎn)單的矩陣：對(duì)下面的行最簡(jiǎn)形矩陣,繼續(xù)進(jìn)行初等列變換結(jié)論:任意一個(gè)m×n矩陣都可以經(jīng)過(guò)若干次初等行變換和若干次初等列變換化為標(biāo)準(zhǔn)形8證明：思考：原理：方法：1011利用初等變換求逆矩陣（求逆矩陣的常用方法）１．利用矩陣的初等行變換求逆矩陣：12練習(xí):利用矩陣的初等行變換求下列矩陣的逆矩陣14２．利用矩陣的初等列變換求逆矩陣15方法1：方法2:17§2

矩陣的秩基本概念定義1

在矩陣A=(aij)

m×n中任選k行和k列，位于這些選定的行和列的交叉點(diǎn)上的k2個(gè)元素按原來(lái)的順序構(gòu)成的k階行列式，稱為矩陣A的一個(gè)k階子式。注:顯然，k

≤min{m

,n}。k階子式是一個(gè)行列式（3）18例:寫出下列矩陣的所有三階、二階和一階子式，并計(jì)算出所有三階子式的值19定義2

如果非零矩陣A有一個(gè)r

階子式dr≠0，而所有

r+1階子式（如果存在）全為零,則稱dr是A的一個(gè)最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A)=r規(guī)定：零矩陣的秩為0(秩為0的矩陣一定是零矩陣嗎？)。思考：若所有r+1階子式全為零，那么高于r+1階的子式（若存在的話）應(yīng)為多少？簡(jiǎn)單地說(shuō)，矩陣的秩就是矩陣最高階非零子式的階數(shù)20易知下列結(jié)論：(1)中至少有一個(gè)r

階子式不為零中所有大于r階的子式都為零(2)

設(shè)(3)

設(shè)稱A為滿秩矩陣，也是可逆矩陣

稱A為降秩矩陣，也是不可逆矩陣（4）任意矩陣有21例：利用矩陣的秩的定義求下列矩陣的秩（1）（2）（3）22思考：通過(guò)第三題的計(jì)算你有什么想法？要實(shí)現(xiàn)這一想法還需證明什么問(wèn)題？求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換化成行階梯形矩陣，則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是原來(lái)矩陣的秩。例1:求A的秩并寫出矩陣A的一個(gè)最高階非零子式。24252728§3

線性方程組的解（1）線性方程組的表示形式29這稱為線性方程組的一般表示形式滿足方程組的未知數(shù)的值稱為方程組的解其中A稱為方程組的系數(shù)矩陣，若記方程組又可記為上式可以稱為向量方程此時(shí)線性方程組的解可以用向量表示，稱為解向量。以后線性方程組的解與解向量將不加區(qū)分。30（1）若則稱方程組稱為齊次線性方程組。齊次線性方程組的一般形式為2.線性方程組的分類：31▲齊次線性方程組一定有零解(未知量都取零)?？芍懻擙R次線性方程組的解，關(guān)鍵是要討論是否有非零解，非零解有幾個(gè)的問(wèn)題。定理132作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩解：對(duì)系數(shù)矩陣陣，有3334對(duì)于