第5講 數(shù)列與不等式（2022年高考真題）（解析版）

第5講數(shù)列與不等式

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相

鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中

力R,CG，叫,AA是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

*=05盤(pán)=匕，票=&，普=&.已知匕，右，刈成公差為0」的等差數(shù)列，且直線的

斜率為0.725,則匕=（）

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)OD、=DCX=C四=BA=1,則可得關(guān)于k3的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

設(shè)0〃=DCt=CB\=BA=l,貝l]CC|=k1,BB[=k2,AA}=心,

￡)￡)]+CC[+BB]+AA]

依題意，有&3-02=勺,勺-01=%，且=0.725,

OD.+DC,+CB1+

口.“0.5+3右一0.3…u/

所以-----------=0.725,故匕=0n9n,

故選：D

2.（2022?全國(guó)?高考真題（理））嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為

我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用

向=1+------j-

到數(shù)列也｝：偽=1+｝，叱匕+_1

?.+——r，…，依此類(lèi)推，其中

1

3%C（2-I------

%GN，(%=1,2,…).則()

A.bt<b5B.b3<bgC.4c仇D.b4<by

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)4eN*(左=1,2,…),再利用數(shù)列｛"｝與%的關(guān)系判斷｛1｝中各項(xiàng)的大小,即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)閍”N*(4=1,2,…)，

I11

1>-------

所以/<生+—,a1,得到4>打，

a.+—

2

a2

11

CL,H>6Z.4-----：—..

同理‘%%+L，可得a<4，偽>4

11

屋〉I-

又因?yàn)?%+——p

%+一

%

故H<々，%>a；

以此類(lèi)推，可得么…，…故A錯(cuò)誤；

”>b]>瓦,故B錯(cuò)誤；

11

1

2

?2+-------r，得&<2,故c錯(cuò)誤；

a3+…——

11

,+------j—>/+---------j-

%+-----1%+…-----「，得b4Vb7,故D正確.

%+—4+—

%a7

故選：D.

3.(2022?全國(guó)?高考真題(文))已知等比數(shù)列｛%｝的前3項(xiàng)和為168,q-火=42,則4=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9MX0,易得夕#1,根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列

的通項(xiàng)即可得解.

【詳解】

解：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9MH0,

若4=1,則的-%=0，與題意矛盾，

所以"1,

q(1-0q=96

4+4+a3=~~--------=168

l-q解得

q=

2

a2-a5=%q-=42

所以〃6=40、=3.

故選：D.

二、填空題

4.（2022?全國(guó)?高考真題（文））記S,,為等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和.若2s3=3邑+6,則公差

d=.

【答案】2

【解析】

【分析】

轉(zhuǎn)化條件為2（4+2J）=2?I+d+6,即可得解.

【詳解】

由2$3=352+6可得2（0+4+43）=3（4+生）+6,化簡(jiǎn)得2%=a,+a2+6,

即2（4+2J）=2q+d+6,解得d=2.

故答案為：2.

三、解答題

5.（2022?全國(guó)?高考真題）己知｛4｝為等差數(shù)列，｛〃｝是公比為2的等比數(shù)列，且

%_%=a3-b3=h4-a4.

⑴證明:%=瓦;

⑵求集合招仇=冊(cè)+4，1V加4500｝中元素個(gè)數(shù).

【答案】①證明見(jiàn)解析；

⑵9.

【解析】

【分析】

（1）設(shè)數(shù)列｛q｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出;

（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得m=2皿，即可解出.

⑴

,、a.+d-2b.=a,+2d-4b.d

設(shè)數(shù)列｛叫的公差為d,所以,|工一2Q幽-(4+3;),即可解得,i=3,所以

原命題得證.

⑵

由(1)知，4=q=g,所以4=%+4o〃*2"T=4+(加一l)d+4,即2i=2m,亦即

加=2"2目1,500],解得2MZ410,所以滿足等式的解々=2,3,4,…,10,故集合

代也=4+4,14^4500｝中的元素個(gè)數(shù)為10-2+1=9.

fC11

6.(2022?全國(guó)?高考真題)記S“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知q=1,｛、是公差為;的等差

數(shù)列.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

111c

⑵證明：一+—+…+—<2.

6%an

【答案】⑴％

⑵見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得2=1+；("-1)=手，得到$“=(〃+2”",利用和與

a?333

=

項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)〃N2時(shí)，4=S“_S“i=(〃+2""_("+1”一，進(jìn)而得:—利用

33%"T

累乘法求得見(jiàn)=當(dāng)辿，檢驗(yàn)對(duì)于”=1也成立，得到｛4｝的通項(xiàng)公式為=嗎少；

(2)山(1)的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到,+,+…+,=2(1進(jìn)而證得.

4。2an\"十11

⑴

團(tuán)4=1,團(tuán)5]=4=1,回”=1,

又回Jq是公差為之1的等差數(shù)列，

3

*=1+*-1)=甲,監(jiān)=筆區(qū),

回當(dāng)〃N2時(shí)，S“?=("+1”叫|,

3

回4,=S“一S"T=

整理得：(〃T)q,=(〃+l)a,i，

%a%a

回。〃=4x=x-x3...x—jtl-

4。2an-2%

,34n〃+1〃(〃+l)

=1X—X—X...X------X------=-----------

23n-2n-\2

顯然對(duì)于〃=1也成立，

回｛《,｝的通項(xiàng)公式為=當(dāng)辿；

⑵

7.(2022?全國(guó)?高考真題(理))記S”為數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和.已知，t+〃=2q,+l.

n

(1)證明：｛%｝是等差數(shù)列;

⑵若如,外,%成等比數(shù)列，求5“的最小值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)-78.

【解析】

【分析】

[51,A?=1

(1)依題意可得25“+〃2=2〃氏+”，根據(jù)為=；作差即可得到4-4i=l，

從而得證；

(2)由(1)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出劣,即可得到｛可｝的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和，再根據(jù)二次

函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

(1)

29

解：因?yàn)椤?+/?=2a+1,即2S〃=2〃?！?〃①，

ntl

2

當(dāng)〃22時(shí)，2S?_1+(n-l)=2(n-l