利用相似三角形測(cè)高

第四章圖形的相似4.6利用相似三角形測(cè)高1.通過測(cè)量旗桿的高度的活動(dòng)，復(fù)習(xí)鞏固相似三角形有關(guān)知識(shí).（重點(diǎn)）2.靈活運(yùn)用三角形相似的知識(shí)解決實(shí)際問題.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)世界上最高的樹——紅杉新課引入樂山大佛新課引入

臺(tái)北101大樓新課引入怎樣測(cè)量這些非常高大物體的高度？新課引入

胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被譽(yù)為“世界古代八大奇跡之一”，古希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理測(cè)量金字塔的高度，你能根據(jù)圖示說出他測(cè)量金字塔的原理嗎？新課講解運(yùn)用相似三角形解決高度（長(zhǎng)度）測(cè)量問題

如圖，如果木桿EF長(zhǎng)2m，它的影長(zhǎng)FD為3m，測(cè)得OA為201m，求金字塔的高度BO.

我們來試著用學(xué)過的知識(shí)解決前面提出的問題．新課講解例1

解：∵BF∥ED，∴∠BAO=∠EDF.又∵∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF，∴=，∴=，

∴BO=134.即金字塔高134m.

新課講解物1高：物2高=影1長(zhǎng)：影2長(zhǎng)測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，可以用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例”的原理解決.新課講解測(cè)高方法一：

如圖，小明為了測(cè)量一棵樹CD的高度，他在距樹24m處立了一根高為2m的標(biāo)桿EF，然后小明前后調(diào)整自己的位置，當(dāng)他與樹相距27m的時(shí)候，他的眼睛、標(biāo)桿的頂端和樹的頂端在同一條直線上.已知小明的眼高1.6m，求樹的高度.AECDFBN新課講解例2AECDFBN解：過點(diǎn)A作AN∥BD交CD于點(diǎn)N，交EF于的M.∵人、標(biāo)桿、樹都垂直于地面，∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,∴AB∥EF∥CD,∴∠EMA=∠CNA.∵∠EAM=∠CAN,∴△AEM∽△ACN,∴ .∵AB=1.6m,

EF=2m,

BD=27m,

FD=24m,∴ ,∴CN=3.6（m），∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.故樹的高度為5.2m.M新課講解測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用標(biāo)桿測(cè)量高度”的原理解決.新課講解測(cè)高方法二：

如圖，為了測(cè)量一棵大樹的高度，某同學(xué)利用手邊的工具（鏡子、皮尺）設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：①在距離樹AB底部15m的E處放下鏡子；②該同學(xué)站在距離鏡子1.2m的C處，目高CD為1.5m；③觀察鏡面，恰好看到樹的頂端.你能幫助他計(jì)算出大樹的大約高度嗎？解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,∴△DCE∽△BAE.

解得BA=18.75m.即樹高約為18.75m.DBACE21新課講解例3測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測(cè)量高度”的原理解決.新課講解測(cè)高方法三：45m90m60m解：∵QR∥ST，∴△PQR∽△PST，解得PQ=90m.新課講解

如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R．如果測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度PQ.即河的寬度PQ為90m.例4（1）根據(jù)題意畫出___________;（2）將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的

_____________________;（3）利用相似三角形建立線段之間的關(guān)系，求出__________;（4）寫出___________.示意圖已知線段、已知角未知量答案★利用三角形相似解決實(shí)際問題的一般步驟：歸納總結(jié)★利用三角形相似測(cè)高的模型：新課講解1.鐵道口的欄桿短臂長(zhǎng)1m,長(zhǎng)臂長(zhǎng)16m,當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5m時(shí),長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高_(dá)_____m.8OBDCA┏┛1m16m0.5m？2.某一時(shí)刻樹的影長(zhǎng)為8米,同一時(shí)刻身高為1.5米的人的影長(zhǎng)為3米,則樹高為______.4米隨堂即練∴EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，解得CD=10.5m.解：∵EB⊥AC,CD⊥AC，1.2m12.4m1.6m隨堂即練3.如圖，利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度.如果標(biāo)桿BE高1.2m，測(cè)得AB=1.6m，BC=12.4m，樓高CD是多少？即樓高CD為10.5m.4.如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹底部的距離BD=5m，一個(gè)人估計(jì)自己的眼睛距地面1.6m．她沿著正對(duì)這兩棵樹的一條水平直路l

從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就不能看到右邊較高的樹的頂點(diǎn)C了？隨堂即練解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E

時(shí)，她的眼睛的位置點(diǎn)E與兩棵樹的頂端A、C恰在一條直線上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD，∴△AEH∽△CEK，∴=，即

=

=．

解得EH=8m．由此可知如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)她與左邊的樹距離小于8m時(shí)，由于這棵樹的遮擋，她看不到右邊樹的頂端C．隨堂即練解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABD=∠ECD=90゜，即河的寬度AB約為96.7米.∴⊿ABD∽⊿ECD（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似），ADCEB隨堂即練5.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選定點(diǎn)B和點(diǎn)C，使AB⊥BC，然后，再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D，此時(shí)如果測(cè)得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的寬度AB.（精確到0.1米）6.某同學(xué)想利用樹影測(cè)量樹高.他在某一時(shí)刻測(cè)得小樹高為1.5米時(shí)，其影長(zhǎng)為1.2米，當(dāng)他測(cè)量教學(xué)樓旁的一棵大樹影長(zhǎng)時(shí)，因大樹靠近教學(xué)樓，有一部分影子在墻上.經(jīng)測(cè)量，地面部分影長(zhǎng)為6.4米，墻上影長(zhǎng)為1.