勾股定理的應(yīng)用1

1.3勾股定理的應(yīng)用第一章勾股定理導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)

在A點(diǎn)的小狗，為了盡快吃到B點(diǎn)的香腸，它選擇AB路線，而不選擇A

CB路線，難道小狗也懂?dāng)?shù)學(xué)？CBAAC+CB>AB（兩點(diǎn)之間線段最短）情境引入思考：在立體圖形中，怎么尋找最短線路呢？講授新課立體圖形中兩點(diǎn)之間的最短距離一BA問(wèn)題：在一個(gè)圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？圓柱爬行路徑：（1）（2）（3）（4）ABABABAB如圖所示，有一個(gè)圓柱，它的高是12cm,底面上圓的周長(zhǎng)等于18cm，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行到B點(diǎn)，求其爬行的最短路程是多少？C解：由題意得展開圖，知AB即為最短路徑，其中AC=12,BC=故,最短路徑是15cm。轉(zhuǎn)化BA數(shù)學(xué)思想：立體圖形平面圖形轉(zhuǎn)化展開討論：1、螞蟻怎樣沿正方體表面從A點(diǎn)爬行到G點(diǎn)？2、有最短路徑嗎？若有，那條最短？你是怎么確定呢？ABCDEFGH

以小組為單位,研究螞蟻在正方體的A點(diǎn)沿表面爬行到G點(diǎn)的問(wèn)題.表面正方體爬行路徑ABFEHGABCDEFGH前（后）上（下）ABCDEFGHBCGFEHABCDEFGH右（左）上（下）前（后）右（左）BCAEFG

（1）如把正方體變成如左圖的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體底面長(zhǎng)為2,寬為1,高為4,螞蟻從A點(diǎn)沿長(zhǎng)方體表面爬到E點(diǎn)有多少種爬行可能？那種爬行路徑的距離最短？是多少？BB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296AB22=82+（10+6）2=320AB32=62+（10+8）2=360解：長(zhǎng)方體側(cè)面展開圖一共有三種情況，如上圖，其距離分別是：第一種：第二種：第三種：例題變式：DAGHFE241左（右）上（下）（1）BAGFHE241前（后）上（下）（2）ABCFGE412

前（后）右（左）（3）總結(jié)：四棱柱給出的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)數(shù)據(jù)，把較小的兩個(gè)數(shù)據(jù)的和作為一條直角邊的長(zhǎng)，最大的數(shù)據(jù)作為另一條直角邊的長(zhǎng)，這時(shí)斜邊的長(zhǎng)即為最短距離。勾股定理的實(shí)際應(yīng)用二問(wèn)題：李叔叔想要檢測(cè)雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺.（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？解:連接對(duì)角線AC，只要分別量出AB、BC、AC的長(zhǎng)度即可.AB2+BC2=AC2△ABC為直角三角形（2）量得AD長(zhǎng)是30cm，AB長(zhǎng)是40cm，BD長(zhǎng)是50cm.AD邊垂直于AB邊嗎？解:AD2+AB2=302+402=502=BD2得∠DAB=90°，AD邊垂直于AB邊.（3）若隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為20cm的刻度尺，能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？解:在AD上取點(diǎn)M,使AM=9,在AB上取點(diǎn)N使AN=12,測(cè)量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.例2

如圖是一個(gè)滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長(zhǎng).已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長(zhǎng).故滑道AC的長(zhǎng)度為5m.解：設(shè)滑道AC的長(zhǎng)度為xm，則AB的長(zhǎng)也為xm，AE的長(zhǎng)度為（x-1）m.在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即（x-1）2+32=x2，解得x=5.數(shù)學(xué)思想：實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化建模例3

如圖，在一次夏令營(yíng)中，小明從營(yíng)地A出發(fā)，沿北偏東53°方向走了400m到達(dá)點(diǎn)B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到達(dá)目的地C.求A、C兩點(diǎn)之間的距離．解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC＝500m，即A、C兩點(diǎn)間的距離為500m.E方法總結(jié)

此類問(wèn)題解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；在數(shù)學(xué)模型(直角三角形)中，應(yīng)用勾股定理或勾股定理的逆定理解題．當(dāng)堂練習(xí)1．如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為（）A.4cmB.5cmC.6cmD.10cmB2．有一個(gè)高為1.5m，半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5m，問(wèn)這根鐵棒有多長(zhǎng)？解:設(shè)伸入油桶中的長(zhǎng)度為xm,則最長(zhǎng)時(shí):最短時(shí),x=1.5所以最長(zhǎng)是2.5+0.5=3(m).答:這根鐵棒的長(zhǎng)應(yīng)在2～3m之間.所以最短是1.5+0.5=2(m).解得：x=2.5梯子的頂端沿墻下滑4m,梯子底端外移8m.解：在Rt△AOB中，在Rt△COD中，3.一個(gè)25m長(zhǎng)的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時(shí)AO的距離為24m,如果梯子的頂端A沿墻下滑4m,那么梯子底端B也外移4m嗎?4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？DABC解：設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長(zhǎng)AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得，BC2+AC2=AB2即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13.答：水池的水深12尺，這根蘆葦長(zhǎng)13尺.5.為籌備迎接新生晚會(huì)，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖①.已知圓筒的高為108cm，其橫截面周長(zhǎng)為36cm，如果在表面均勻纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長(zhǎng)的油紙？解：如圖②，在Rt△ABC中，因?yàn)锳C＝36cm，BC＝108÷4