第三章 重點突破訓練：圖形平移與旋轉(zhuǎn)類型題舉例-簡單數(shù)學之2020-2021學年八年級下冊同步講練（解析版）（北師大）

第三章重點突破訓練：圖形平移與旋轉(zhuǎn)類型題舉例

典例體系（本專題41題47頁）

考點1：利用圖形的平移解決問題

典例：（2020?浙江杭州市?七年級其他模擬）如圖，已知在每個小正方形的網(wǎng)格圖形中，口A5c的頂點都在

（1）先將口46。先向左平移2個單位，再向上平移3個單位，請在圖中畫出平移后口。石廠，（點A，B,

C所對應的頂點分別是。，E，F(xiàn)）

（2）求出口。石廠的面積；

（3）連結4）,BE,直接說出AD與班的關系（不需要理由）.

【答案】（1）見解析：（2）8；（3）AD=BE且AD〃BE

【詳解】

解：⑴如圖，ADEF即為所作;

（3）如圖，由平移可知:

方法或規(guī)律點撥

本題考查了作圖-平移變換：確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離.作圖時要先找到圖

形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移

后的圖形.

鞏固練習

1.（2021?浙江溫州市?七年級期末）將圖1中周長為32的長方形紙片剪成1號、2號、3號、4號正方形和

5號長方形，并將它們按圖2的方式放入周長為48的長方形中，則沒有覆蓋的陰影部分的周長為（）

（圖1）（圖2）

A.16B.24C.30D.40

【答案】D

【詳解】

設1號正方形的邊長為x,2號正方形的邊長為y,則3號正方形的邊長為x+y,4號正方形的邊長為2x+y,

5號長方形的長為3x+y,寬為y-x,

由圖1中長方形的周長為32,可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16,

解得：x+y=4,

如圖，

?.?圖2中長方形的周長為48,

AB+2(x+y)+2x+y+y-x=24,

，AB=24-3x-4y,

根據(jù)平移得：沒有覆蓋的陰影部分的周長為四邊形ABCD的周長，

：.2(AB+AD)=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2(24-x-y)=48-2(x+y)=48-8=40,

故選：D.

2.(2020?浙江杭州市?七年級其他模擬)如圖，將DABC沿AC方向平移1cm得到口。所，若口45。的

周長為l()cm,則四邊形A8EF的周長為()

C.12cmD.10cm

【答案】C

【詳解】

解：根據(jù)題意，將周長為10cm的AABC沿AC向右平移1cm得到^DEF,

BE=lcm,AF=AC+CF=AC+lcm,EF=BC；

又：AB+AC+BC=10cm,

二四邊形ABEF的周長=BE+AB+AF+EF=l+AB+AC+l+BC=l2cm.

故選：C.

3.(2021.山東煙臺市.八年級期末)如圖，將AABC向右平移8個單位長度得到ADEF,且點B,E,C,F

【答案】B

【詳解】

解：；4DEF是由AABC向右平移8個單位長度得到，

，BC=EF,CF=8,

BC=EF=EC+CF=4+8=12.

故選：B.

4.（2021.上海寶山區(qū).七年級期末）如圖，口A6c經(jīng)過平移后得到口。石尸，下列說法:

①AB/1DE

②AD=BE

③ZACB=ZDFE

④口A6c和口。瓦'的面積相等

⑤四邊形4CED和四邊形BCFE的面枳相等，其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】A

【詳解】

解：UABC經(jīng)過平移后得到口DEF，

AAB//DE,故①正確；

AD=BE，故②正確；

ZACB=NDFE，故③正確；

□A5c和口￡）防的面積相等，故④正確；

四邊形ACFD和四邊形BC咫都是平行四邊形，且AD=B=3E,即兩個平行四邊形的底相等，但高

不一定相等，

四邊形ACFD和四邊形BCFE的面枳不一定相等，故⑤不正確；

綜上：正確的有4個

故選A.

5.（2020?上海松江區(qū)?七年級期末）如圖，PIABC沿射線方向平移到口。石尸（點E在線段3c上），

如果BC=8cm,EC=5cm,那么平移距離為（）

A.3cmB.5cmC.8cmD.13cm

【答案】A

【詳解】

解：根據(jù)平移的性質(zhì)，

易得平移的距離=8￡=8-5=3＜：01,

故選：A.

6.（2020?山東泰安市?泰山外國語學校八年級月考）如圖，將周長為8的口抽。沿BC方向平移1個單位

得到口。即，則四邊形A8FD的周長是（）

【答案】B

【詳解】

解：：將周長為8的口相。沿BC方向平移1個單位得到口。石廠，

AAD=CF=1,AC=DF,AB+BC+AC=8,

二四邊形ABFD的周長=AD+AB+BC+CF+DF=AB+BC+AC+2AD=8+2=10.

故選：B.

7.（2020?河南洛陽市?七年級期末）如圖所示，口A3C沿8c平移后得到VA*C',則口A6c移動的距離

A.線段8C的長B.線段的長C.線段的長D.線段C8'的長

【答案】C

【詳解】?/AABC沿BC平移后得到△ABC一

」.△ABC移動的距離是BB，.

故選：C.

8.（2020?東營市實驗中學七年級月考）如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將口ABC沿AB方向平移2cm

得到口。所，CH=2cm,EF=4cm,下列結論：①BH/1EF；?AD=BE-,③BD=CH：④

NC=NBHD；⑤陰影部分的面積為6cm2.其中正確的是（）

A.①②③④B.②③④⑤C.①②③⑤D.①②④⑤

【答案】D

【詳解】解：因為將口抽。沿48方向平移2cm得到口。所，

所以BH//EF,AD=BE，DF〃AC,故①②正確；

所以NC=NBHD,故④正確；

而BD與CH不一定相等，故③不正確；

因為S=2cm,所=BC=4cm,

所以BH=2cm,

又因為BE=2cm,

所以陰影部分的面積=SAABC-SADBH=SADEF-SADBH=S松彩BEFH=-^x（2+4）x2=6cm2.故⑤正確；

綜上，正確的結論是①②④⑤.

故選：D.

9.（2020?浙江杭州市?七年級其他模擬）一塊長為a（cm）,寬為仇cm）的長方形地板中間有一條裂縫（如

圖甲）.若把裂縫右邊的一塊向右平移xcm（如圖乙），則產(chǎn)生的裂縫的面積可列式為（cm2）.

甲乙

【答案】bx

【詳解】解：如圖乙，

產(chǎn)生的裂縫的面積=SM?,ABCD-ab=（a+x）b-ab=bx（cm2）.

故答案為：bx.

4B

D乙C

10.（2021?上海浦東新區(qū)?七年級期末）如圖，已知直角三角形ABC,ZA=90°,AB=4厘米，AC=3

厘米，3c=5厘米，將DABC沿AC方向平移1.5厘米，線段在平移過程中所形成圖形的面積為

平方厘米，

B

【答案】6

【詳解】

解：如圖：線段6c在平移過程中所形成圖形為平行四邊形且底CE=1.5cm,高DF=AB=4cm,

所以線段8c在平移過程中所形成圖形的面積為CE-DF=1.5x4=6cm2.

故答案為6.

BD

k

AFCE

12.（2020?上海寶山區(qū)?七年級期末）如圖，已知口鉆。中，45=4、AC=5、BC=6,將DABC沿

直線BC向右平移得到VA'B'C',點A、8、C的對應點分別是A'、B'、C',連接A4'.如果四邊形AA'C'B

的周長為19,那么四邊形AA'C'5的面積與口48。的面積的比值是.

【詳解】

解：過點A作BC上的高/?

，四邊形AA'C'B為梯形

?.?四邊形AAC'B的周長為19,

/.AY+AC'+BC+AB=19

/.A4'+5+6+CC'+4=19

.-.2AA'=4

???A4'=2

CC'=2

：.BC'=BC+CC'=8

,（封+BC）2+85

，四邊形AAC'B的面積與□ABC的面積的比為2~；------------===彳

-hBC63

2

故答案為：—.

3

13.（2019?四川德陽市?八年級期末）如圖，在AABC中，AB=4,BC=6,ZB=60°,將AABC沿射線BC

的方向平移2個單位后，得到VA'3'C',連接AC,則VA'B'C的周長為.

AA

L

BRCC，

【答案】12

【詳解】

?.?□ABC平移兩個單位得到的口4'8。'，

:.BB=2,

QAB=4,BC=6,

..A?=AB=4，BC=BC—BB=6-2=4,

..AB'=B'C=4,

又???4=60。，

.?.NA&C=60。，

.,□A8c是等邊三角形，

的周長為4x3=12.

故答案為：12.

14.（2020?濮陽市第一中學九年級月考）如圖，將R2ABC沿CB的方向平移BE距離后得到RSDEF,已

知AG=2,BE=4,DE=8,則陰影部分的面積是.

【答案】28

【詳解】

RtAABC沿CB的方向平移BE距離后得到RtADEF,

SABC=SDEF'BE=CF~4,DE=AB=8,

._(BG+DE)BE_(8-2+8)x4_

一影一?梯形BMG―2—2—

故答案為：28.

15.(2020?浙江杭州市?七年級其他模擬)如圖，要為一段高為5米，水平長為13米的樓梯鋪上紅地毯，則

紅地毯至少要米.

【答案】18.

【詳解】

解：根據(jù)平移不改變線段的長度，可得地毯的長=臺階的長+臺階的高，則紅地毯至少要13+5=18米.

故答案為：18.

16.(2019?甘肅慶陽市?七年級期中)如圖，把直角梯形ABCD沿方向平移到梯形EFG”，HG=28a〃,

MG=5cm,MC^4cm,則陰影部分的面積是—

【答案】130cm2.

【詳解】

解：???直角梯形EFGH是由直角梯形ABCD平移得到的，

二梯形EFGHg梯形ABCD,

；.GH=CD,BC=FG,

?.?梯形EFMD是兩個梯形的公共部分，

??S制UfsABCD-S樣"，EFMD=S機修EFGH-S松心EFMD,

,S瞰=SMMGHD=3(DM+GH)?GM=^-(28-4+28)x5=130(cm2).

故答案是130cm2.

17.(2020?山西大同市?七年級月考)如圖，長方形ABCO的周長為30,則圖中虛線部分總長為

【詳解】

解：根據(jù)題意，

虛線部分的總長為：A8+8C=』x30=15.

2

故答案為：15.

18.(2020.重慶市萬州第三中學八年級期中)如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角

形沿著點B到C的方向平移到aDEF的位置，AB=10,DO=4,平移距離為6,則陰影部分面積為一

【詳解】解:由平移的性質(zhì)知，BE=6,DE=AB=10,

，OE=DE-DO=10-4=6,

SHia)MODFC=SSBKABEO——(AB+OE)*BE——x(10+6)x6=48.

22

故答案為48.

考點2：三角形的旋轉(zhuǎn)問題

典例：(2020?深圳市龍崗區(qū)龍崗街道新梓學校初一期中)已知R5OAB和RM0CD的直角頂點0重合，Z

AOB=/COD=90。，且OA=OB,OC=OD.

(1)如圖1,當C、D分別在OA、0B上時，AC與BD的數(shù)量關系是ACBD(填“>”，或“=”)

AC與BD的位置關系是ACBD(填“〃”或U")；

(2)將RtAOCD繞點0順時針旋轉(zhuǎn)，使點D在OA上，如圖2,連接AC,BD,求證：AC=BD；

(3)現(xiàn)將RMOCD繞點O順時針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，如圖3,連接AC,BD,猜想AC與BD的數(shù)量關系和位置關

系，并給出證明.

【答案】(1)=;_L(2)見解析(3)AC=BD且ACJ_BD；證明見解析

【解析】解：⑴VOA=OB,OC=OD

AOA-OC=OB-OD,

AAC=BD.

VZAOB=ZCOD=90°,

AAO±BO,

VC>D分別在OA、OB±,

AAC1BD；

(2)在ZkOCA和ZiODB中，

OC=OD

<ZCOA=BOD=90°,

AO=BO

AAOCA^AODB,

AAC=BD；

(3)AC=BD,AC±BD.

理由：

丁ZAOB=ZCOD=90°,

ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD,

AZAOC=ZBOD,

在ZiOCA和aODB中，

OC=OD

<ZCOA=BOD,

AO=BO

.".△OCA^AODB,

AAC=BD,ZBDO=ZACO,

VZACO+ZCFO=90°,ZCFO=ZDFE,

.*.ZBDO+ZDFE=90°,

...NDEF=I8O°-9O°=9O°,

.\AC±BD.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握全等三角形的判

定方法（即SSS、SAS、ASA,AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應邊相等、對應角相

等）是解題的關鍵.

鞏固練習

1.（2020?洪澤外國語中學初一月考）一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45。的三角尺ADE固定不動，

將含30。的三角尺4BC繞頂點A順時針轉(zhuǎn)動，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行.如圖2：當NC4E=15。

時，BC//DE.則/CAE（0。＜/。后＜180。）其它所有可能符合條件的度數(shù)為.

【答案】60?；?05?；?35°

【解析】

解：對△ABC沿A點進行旋轉(zhuǎn)，分情況進行討論

（1）當BC//EA.ZBAE=90°＞ZBAC=30°，即NC4E=60°：

(2)當BC〃ZM,NC=60°，所以NZMC=60°，ZDAE=45°.即NC4E=105°;

c

(3)當C4//QE,N￡>=NZMC=90°，NZME=45°，即NCAE=135°

綜上所述，NC4E=60°或105°或135°；

故答案為：60°.105%1350-

2.（2020?揭陽產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)移工業(yè)園月城中學初二月考）如圖，已知^BAD和ABCE均為等腰直角三角形，ZBAD=

NBCE=90。，點M為DE的中點.過點E與AD平行的直線交射線AM于點N.

⑴當A,B,C三點在同一直線上時（如圖1）,求證：M為AN的中點.

（2）將圖1中ABCE繞點B旋轉(zhuǎn)，當A,B,E三點在同一直線上時（如圖2）,求證：aCAN為等腰直角三角

形.

⑶在（2）條件下，已知AD=1,CE=V2＞求AN的長.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）AN=ViO

【解析】解：（1）:點M為DE的中點，

，DM=ME.

VAD/7EN,

NADM=/NEM,

又?.,/DMA=NEMN,

.,.△DMA?△EMN,

/.AM=MN,即M為AN的中點.

(2)由(1)中△DMAgZ\EMN可知DA=EN,

又：DA=AB,

，AB=NE,

,.,ZABC=ZNEC=135°,BC=CE,

/.△ABC^ANEC,

；.AC=CN,NACB=NNCE,

，:/BCE=NBCN+NNCE=90。，

/.ZBCN+ZACB=90o,

:.ZACN=90°,

/.△CAN為等腰直角三角形.

(3)由(2)知，NE=AD=I,

在等腰直角三角形BAD中，AD=1,

，AB=AD=1,

在等腰直角三角形BCE中,CE=0,

，BE=2,

；.AE=AB+BE=3

由(2)知,NAEN=90。，

在RtAAEN中,AE=3,NE=1,根據(jù)勾月殳定理得,AN=W.

(圖1)02)

3.(2020?北京初二期中)如圖1,z\ABC是等邊三角形，點D,E分別是BC,AB上的點，且BD=AE,AD

與CE交于點F.

(1)求NDFC的度數(shù)；

(2)將CE繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得到CP,連接AP,交BC于點Q.

①補全圖形(圖2中完成)；

②用等式表示線段BE與CQ的數(shù)量關系，并證明.

A

【解析】

(1)?..△ABC是等邊三角形，

.\AB=AC=BC,

ZBAC=ZB=ZACB=60°,

在AABD和zkCAE中

AB=AC

<ZB=ABAC

BD=AE

AAABD^ACAE(SAS),

NBAD=NACE,

ZBAD+ZDAC=60°,

二ZDFC=ZACE+ZDAC=60°；

(2)補圖

VCE繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得到CP,

，CE=CP,NECP=120°,

又NDFC=60°,

；.AD〃CP,

r.ZADC=ZDCP,

VAABD^ACAE,

；.CE=AD,

，AD=CP,

在ZiADQ和aPCQ中

ZADC^ZDCP

<ZAQD=NPQC

AD^CP

.,.△ADQ^APCQ(AAS),

.?.CQ=DQ=gc￡>,

VAB=BC,BD=AE,

，BE=CD,

/.CQ=-B￡.

2

4.(2020?湖北省初三月考)在AABC與ZkCOE中，NACB=NCDE=90。,AC=BC,CD=ED,連接AE,

BE,F為AE的中點，連接QF,ZkCCE繞著點C旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,當點。落在AC上時，DF與BE的數(shù)量關系是：；

(2)如圖2,當ACDE旋轉(zhuǎn)到該位置時，。尸與8E是否仍具有(1)中的數(shù)量關系，如果具有，請給予證明；如

果沒有，請說明理由；

(3)如圖3,當點E落在線段CB延長線上時，若CD=AC=2,求OF的長.

圖1圖2圖3

【答案】⑴8'=g8E；（2）見解析；（3）04；

【解析】（1）VZACB=ZCDE=90°,AC=BC,CD=ED,

.\ZACE=ZBCE=45°,

.1△ACE四△BCE,

AE=BE,因為DF是直角ZkADE的中線，

1

.*.DF=-AE

2

1

.；DF=-BE

2

(2)如圖，將△C￡)E沿著CO翻折，得到ADCM也△￡><?￡,連接AM,

由ACCE為等腰直角三角形易知ACME為等腰直角三角形,

在AACM和ABCE中，

AC=BC,NACM=NBCE,CM=CE,

：.l\kCMqXBCE,

：.AM=BE

?.?尸為AE的中點，。為ME的中點

...O廣為ZkAA/E的中位線，

1…

.,.DF=-AM,

2

：.DF=—BE.

2

（3）將AEOC沿DC翻折得到AOCW

CD=DE^2,由勾股定理可知CE=2&

BE=CE—CB=2y[2-2

由前面的結論可知：DF=—BE

2

:.DF=O-1.

5.（2019?山東省初三期末）（1）如圖1,O是等邊4ABC內(nèi)一點，連接OA、OB、OC,且OA=3,OB=4,

OC=5,將ABAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到回CD,連接OD.求：

①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);線段0D的長為.

②求NBDC的度數(shù)；

(2)如圖2所示，0是等腰直角AABC(/ABC=90。)內(nèi)一點，連接OA、OB、0C,將ABAO繞點B順

時針旋轉(zhuǎn)后得到ABCD,連接0D.當OA、OB、0C滿足什么條件時，NODC=90。？請給出證明.

222

【答案】（I）①60°,4;②150°；（2）<9A+2OB=（9C.證明見解析.

【解析】解：（1）①'.?△ABC為等邊三角形，

，BA=BC,ZABC=60°,

VABAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到ABCD,

二ZOBD=ZABC=60°,

二旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60。；

?/旋轉(zhuǎn)至ABCD,

:.BO=BD=4,NOBD=NABC=60°，CD=AO=3,

：.AB。。為等邊三角形

???ZBDO=60°.OD=OB=4,

故答案為：60°；4

②在AOCO中，CD=3,OD=4,OC=5,

32+42=52

：-CD2+OD2=OC2

：.\OCD為直角三角形，ZODC=90°，

/?ZBDC=NBDO+ZODC=600+90°=150°

（2）32+2052時，NQDC=90°，

理由如下：

A5AO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到ABCD,

ZOBD^ZABC=90°>BO=BD,CD=AO,

...△O8D為等腰直角三角形，

OD=近OB

當CZ^+OD?=。。2時，△OCD為直角三角形，ZODC=90°-

，OA2+（aOB）2=OC2，即+2OB2=OC2

當OA,OB,OC滿足32+2o§2=oci時，々DC=90°.

6.（2020?河南省初三二模）已知AABC是等邊三角形，A。，8c于點。，點E是直線AO上的動點，將破

繞點3順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到8尸，連接E/LCF,AF.

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，當點E在線段A。上時，且N4FC=35。，則NE4C的度數(shù)是；

圖1

（2）結論證明：如圖2,當點E在線段AT＞的延長線上時，請判斷NA尸C和NE4C的數(shù)量關系，并證明

你的結論；

（3）拓展延伸：若點E在直線AO上運動，若存在一個位置，使得AACE是等腰直角三角形，請直接寫

出此時NEBC的度數(shù).

【答案】（1）55。；（2）ZAFC+ZFAC=90°.見解析；（3）15?；?5°

【解析】（D55°,理由:

???AABC是等邊三角形，

AB=AC=BC，ZABC=NBAC=ZACB=60°，

VAB^ACrADIBC,

：.ZBAD=30°,

,/將BE繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到BF，

:?BE=BF，NEB尸=60°,

NEBF=ZABC,

在AADC和ABDA中,

AB=BC

<NABE=ZFBC,

BE=BF

：.MBE^ACBF(SAS),

NBAE=NBCF=30°,

/.NAC尸=90。，

ZAFC+ZFAC=90°；

---ZAFC=35°,

NE4c=55。；

(2)結論：NAFC+NE4c=90°,理由如下：

,/A4BC是等邊三角形，

，AB=AC=BC，ZABC=ZBAC^ZACB=60°,

VAB=AC,ADJLBC，

：.ZBAD=30°,

,將班;繞點3順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到BF，

:?BE=BF，Z￡B尸=60°,

/EBF=ZABC,

^△ADC和ABDA中，

AB=BC

<NABE=NFBC,

BE=BF

：.MBE^CBF(SAS),

：.NBAE=/BCF=30。，

NACF=90。，

/.ZAFC+ZFAC^90°；

(3)N￡BC=15°或75。分兩種情況：

①點E在點A的下方時，如圖：

VAACF是等腰直角三角形,

二AC^CF,

由（2）得AABE咨ACBF,

J.CF^AE,

AC=AE=AB-

180°—30°

ZABE==75°

2

，ZEBC=ZABE-ZABC=75°-60。=15。：

②點E在和點A的上方時，如圖：

同理可得ZEBC=ZABE+ZABC=75°.

7.（2020?陜西省初二期末）問題提出：

（1）如圖1,在口45。中，=點D和點A在直線8C的同側，BD=BC,ZBAC=90°,

ZDBC=30°,連接A￡>,將△AB。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到口AC。，連接BD'（如圖2）,可求出

NAD8的度數(shù)為.

問題探究：

（2）如圖3,在（1）的條件下，若NB4C=a,NDBC=。,且e+〃=120°,ADBC<ZABC,

①求NAD8的度數(shù).

②過點A作直線AE_L8￡）,交直線BO于點E,BC=7,AD=2.請求出線段的長.

【答案】(1)30°；(2)①30°;②7-百

【解析】解：(1)根據(jù)題意，???AB=ACHBC,ZBAC=90°,

...AABC是等腰直角三角形，

:.NA6C=NACB=45。，

NDBC=30°,

：.ZABD=15°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則AABD也A4C。'，

/.ZADB=ZAD'C,ZABD=ZACD=15°,BC=CD'.

:.Z.BCD=60°，

/.^BCD'是等邊三角形，

二ZBZ)'C=60。，BD'=CD'

?：AB=AC,A￡X=AEX，

/.MBD'名MCD'.

/.ZAD'B=ZAD'C=30°,

NAD8=NAO'C=30。；

(2)①?；NDBC<ZABC,

/.60°<a<\20°.

如圖1,將八45。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B與點C重合，得到△ACD',連接BD'.

??.ZABC=ZACB,

ABAC=a，

ZABC=1(180°-tz)=90°-^?,

ZABD=NABC-ZDBC^9()--a-S,

2

ZDCB=ZACD+ZACB=90°—ga—4+90°—ga=180°—(a+〃).

?：a+/3=120,

NO'CB=60°.

BD=BC,BD=CD,

BC-CD,

：^DBC為等邊三角形，

DB=DC<

.UAD'B^ADC，

：.ZADB=ZADC，

ZAPB=-ZBDC=30°,

2

：.ZADB=30°.

②如圖2,由①知，ZADB=30°,

在RrAADE中，ZADB=30\AD=2,

:.DE=^.

?.?□BCD'是等邊三角形，

..5。=8C=7，

:.BD=BD=7，

：.BE=BD-DE=7-y/3.

考點3：平面直角坐標系中圖形旋轉(zhuǎn)

典例：(2020?黑龍江省初一期末)如圖，在平面直角坐標系中，點。為原點，A(0,a),B(b,0),已知

4+8=6

、〃滿足方程組《

。-30=30

（1）求A、B兩點的坐標;

（2）點C從。出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿），軸正半軸的方向運動，設點C的運動時間為f秒，連

接BC,AABC的面積為S,用含，的式子S表示（并直接寫出f的取值范圍）；

（3）如圖3,在（2）的條件下，當C點在0A上，S=30時，點E在CB的延長線上，連接AE,將線段

AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至線段4。，點D恰好在x軸的正半軸上，將線段BA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至線

段胸，當點F在直線BC上時，求？值和點。的坐標.

-6/+36(0<r<6)

【答案】(1)A(0,12),B(-6,0)；(2)S=《；(3)r=l,D(14,0).

6f-36(/>6)

a+b=6

【解析】（1）[a-3b=30

a=12

h--6

(0,12),8(-6,0)；

(2)當點C在線段04上時，即03<6,CA=12-2t,

\'BO±OA,

:.S=—CA?OB=—(12-2/)x6=-6/+36；

22

當點C在。A的延長線上時，r>6,C4=2r-6,

VBO1OA,

.*.5=—CA'OB=—(2/-12)x6=6f-36,

22

[-6z+36(0,,/<6)

即5=《；

6-36(r〉6)

(3)如圖，?.?點C在線段OA上，5=30,

-61+36=30,

：.C(0,2),

過點廣作QGJ_y軸于G,過點E作軸于從

???NAG/=90。，

，ZAFG+ZMG=90°,

由旋轉(zhuǎn)知，NBAF=90。,

：.ZFAG+ZOAB=90°,

：.ZOAB=ZGFA9

由旋轉(zhuǎn)知，AB=AF9ZAOB=ZFGA,

???△A60g△陽G(AAS),

:?FG=AO,AO=BO=6,

,:ZAHE=90°9

???NHE4+NE4H=90。，

由旋轉(zhuǎn)知，AE=AD,ZEAD=90%

???NE4"+NOAO=90。，

：.ZHEA=ZDAO,

'/NAOD=NEHA,

：./^AEH^/\DAO(MS),

:,EH=AO=12,AH=DO,

：.EH=FG=AO=\2,

ZFGC=ZEHC=9Q09ZECH=ZGCF,

:.XGCF9XHCE(A4S),

:?GC=CH,

\'GC=OA-OC-AG=12-2-6=4,

:?CH=CG=4,

：.OO=A〃=10+4=14,

：.D(14,0).

方法或規(guī)律點撥

此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解方程組的方法，三角形的面積公式，全等三角形的判

定和性質(zhì)，構造出全等三角形是解本題的關鍵.

鞏固練習

1.（2020?黑龍江省朝鮮族學校中考真題）如圖，在菱形OABC中，點B在x軸上，點A的坐標為（2,2百）,

將菱形繞點。旋轉(zhuǎn)，當點A落在x軸上時，點C的對應點的坐標為（）

ty.A

O\/BX

C

A.（-2,-2百）或（26,-2）B.（2,2百）

C.（一2,26）D.（一2,-26）或（2,2百）

【答案】D

【解析】解：如圖所示，過點A作AELx軸于點E,

則tanNA0E=3叵=6，OA=

2

，ZAOE=60°,

???四邊形ABCD是菱形，

.,.△AOB是等邊三角形，

當A落在x軸正半軸時，點C落在點C位置,

此時旋轉(zhuǎn)角為60。，

VZBOC=60°,NCOF=30°,

二ZC,OF=60°-30°=30°,

?；OC'=OA=4,

二OF=C'OcosZC'OF=2AA，

CT=C'OsmZC'OF=2,

：.C(-2,-25/3).

當A落在x軸負半軸時，點C落在點C”位置,

TZAOC=ZAOC+ZBOC=120°,

.,.ZA,,OC=120°,/GOC'=30°

又；OA=OC",

此時C”點A重:合，CC”（2,2百），

綜上，點C的對應點的坐標為（-2,-2月）或（2,2百），

故答案為：D.

4-

2.（2020?河南省初三一模）如圖，直線y=-§x+4與％軸，>軸分別交于A，3把AAO3繞點A順時針

旋轉(zhuǎn)90°后得到反。，則點。的坐標是（）

C.(7,4)D.(7,3)

【答案】D

4

【解析】當x=0時,>=一一x+4=4,則B點坐標為（0,4）；

3

4

當y=0時，-§x+4=0,解得x=3,則A點坐標為（3,0）,

則OA=3,OB=4,

AAOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到MCD，

；.NOAC=90°,NACD=/AOB=90°,AC=AO=3,CD=OB=4,

即AC_Lx軸，CD〃x軸,

...點D坐標為(7,3).

3.（2020?遼寧省初二期中）如圖，等邊AOAB的頂點0為坐標原點，AB〃x軸，0A=2,將等邊ZkOAB繞

原點O順時針旋轉(zhuǎn)105。至AOCD的位置，則點D的坐標為（）

A.（2,-2）B.（g,一百）C.（V2.V2）D.(5/2，—>/2)

【答案】D

【解析】解：如圖，過點D向x軸作垂線，垂足為E,

,/△OAB是等邊三角形，旋轉(zhuǎn)角是105°,

.../AOB=/B=/COD=60°,ZAOC-I050,

二ZBOC=ZAOC-ZAOB=105°-60°=45°,

又：AB〃x軸，

.../BOE=/B=60。（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

:.ZCOE=ZBOE-ZBOC=60°-45°=15°,

/.ZEOD=ZDOC-ZCOE=60°-15°=45°,

/.△EOD是等腰直角三角形，

二EO=ED

VOD=OA=2,

AOD2=4=EO2+ED2（勾股定理），

EO=ED=42

?；D點在第四象限，

??.D點的坐標為：（0,-72）

故選D：

4.（2020?天津初三二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=經(jīng)過點4,作ABLx軸于點8,

將AABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△C8D,若點B的坐標為（4,0）,則點C的坐標為.

【答案】（-2,273）

【解析】作軸于H點，如圖，

當44時，產(chǎn)百x=4百，則A（4,4下））,

：.AB=4y/j.

/\ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△C8D,

：.BC=BA=4y/j，NABC=60。，

，NCBH=30°,

在RiaCB“中，CH=；8C=2G，BH=YJBC2-CH2

OH=BH-OB=6-4=2,

.?.C點坐標為（-2,273）

考點4：旋轉(zhuǎn)中的最值問題

典例：（2020?射陽縣實驗初級中學初三其他）已知△A8C是等邊三角形，點。在8C邊上，點E在4B的延

長線上，將。E繞。點順時針旋轉(zhuǎn)120。得到QF,設處=t.

CD

A

E

（1）如圖1,若點尸恰好落在4c邊上，求證：t=l；

（2）如圖2,在（1）的條件下，若NDFC=45。,連接AQ,求證：BE+CF=AD；

（3）如圖3,若BE=CD,連CR當CF取最小值時，直接寫出t的值.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）3

【解析】解：（1）證明：如圖1中，作。于M,DNLAC于N.

:△ABC是等邊三角形，

???ZA=ZDBM=ZC=60°,

,:NAMD=NAND=90。,

:.^MDN=360°-ZAMD-ZAND-ZA=120°,

??,將DE繞。點順時針旋轉(zhuǎn)120。得至ljDF,

.\Z￡DF=120°,DE=DF,

???ZMDN=/EDF=120°,

:?/EDM=/FDN,

?：NDME=NDNF=90。,DE=DF,

：./\DME^ADNF(AAS\

1?DM=DN,

?.,NO8M=NC=60°,/DMB=/DNC=90°,

:?△DMBQADNC(A4S),

：.DB=DCf

\t=1.

（2）證明：如圖2中，作于M,DNtAC于N.

AL

圖2

Y4DMBqADNC,

:,CN=BM,

：.EM=FNf

：.BE+CF=BE+CN+FN=BE+BM+EM=2EM=2FN,

?：4DFN=45°,NON尸=90。，

:?DN=FN,

?：BD=CD,AB=AC,NBAC=60。,

：.ZDAN=-ZBAC=30°,

2

:.AD=2DN=2FN=BE+CF.

(3)解：如圖3中，連接AT,AD,延長CB到M,使得BM=BE,作AN_LBC于M

???△BEM是等邊三角形，

???ZM=ZACD=60°,EM=BE=CD,

：.DM=BC=AC,

??.△MOEg△CAD(SAS),

:.DE=DA=DF9

：.ZDAE=ZDEAfZDAF=ZDFAf

VZ￡DF=120°,

???2ZDAE+2ZDAF=240°,

：.ZDAE+ZDAF=120°9

???N8AC=60。，

AZ￡4C=ZACB=60°,

：.AF//BC,

根據(jù)垂線段最短可知，當CVLAF時，C/的值最小,

VANLBC,CFLBC,

:?AN=CF,BN=CN,

'：DA=DF,ZAND=ZFCD=W0,

ARtAX^D^AFCD(HL),

:?DN=DC,

:?BD=3CD,

方法或規(guī)律點撥

本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解題

的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題.

鞏固練習

1.（2020?江蘇省初三二模）如圖，VABCVCDE是兩個直角三角板，其中

ZECD=ZACB=90°,ZCED=45°,ZC4B=30°,若AB=DE=2,將直角三角板C0E繞點。旋轉(zhuǎn)

一周，貝（J|AO—B目的最大值為.

【答案】V3-1

【解析】解：如圖，在CA取一點J,使得CJ=CB,連接DJ.

在RtAACB中，AB=2,ZCAB=30°,ZACB=90°,

，CB=CJ=JAB=I,AC=V5BC=G

VZECD=ZBCJ=90°(

/.ZDCJ=ZECB,

VCD=CE,CJ=CB,

/.△DCJ^AECB(SAS),

:.DJ=BE,

.,.|AD-BE|=|AD-DJ|,

V|AD-DJ|<AJ,

.*.|AD-BE|<V3-1.

.??IAD-BEI的最大值為0-1.

故答案為：V3-1,

2.(2020?內(nèi)蒙古自治區(qū)初三三模)如圖，在Rtz^ABC中，ZACB=90°,將AABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到

△A'B'C,M是BC的中點，尸是A'B'的中點，連接尸M.若8c=4,NBAC=30。，則線段PM的最大值是—.

【解析】如圖，連接尸C,

在RtziABC中，VZA=30°,BC=4,

；.48=8,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，A/B'=AB=8,

：.A'P=PB',

PC=-A'B'=4,

2

'：CM=BM^2,

又?；PMSPC+CM,即PMW6,

尸M的最大值為6(此時P、C、M共線).

3.(2020?江蘇省初三其他)如圖1,等邊AABC與等邊ABOE的頂點8重合，D、E分別在AB、BC上，AB=

2夜，加=2.現(xiàn)將等邊ABDE從圖1位置開始繞點8順時針旋轉(zhuǎn)，直線A。、CE相交于點P.

(1)在等邊ABOE旋轉(zhuǎn)的過程中，試判斷線段A。與CE的數(shù)量關系，并說明理由；

(2)在等邊ABOE順時針旋轉(zhuǎn)180。的過程中，當點B到直線AO的距離最大時，求PC的長；

(3)在等邊ABDE旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當A、D、E三點共線時，求CE的長.

2

【答案】(1)AD=CE,理由詳見解析；(2)2-yV3；(3)布+1或布-1

【解析】解：(1)AD=CE,

理由：:△ABC與ABDE都是等邊三角形，

；.AB=BC,BD=BE,NABC=/DBE=60。，

.,.ZABD=ZCBE,

/.△ABD^ACBE,

.?.AD=CE；

(2)如圖2,

過點B作BHJ_AD于H,在RtABHD中，BD>BH,

A

5xtxc

E

圖2

???當點D,H重合時，BD=BH,

，BH<BD,

???當BDJ_AD時，點B到直線AD的距離最大,

JNEDP=90。-ZBDE=30°,

同（1）的方法得，△ABDg/XCBE,

AZBEC=ZBDA=90°,EC=AD,

在Rt/kABD中，BD=2,AB=20,

根據(jù)勾股定理得，AD=JAB?-BD?=2,

???CE=2,

VZBEC=90°,ZBED=60°,

???NDEP=90。-60°=30°=ZEDP,

.??DP=EP,

如圖2-1,過點P作PQ_LDE于Q,

在RMEQP中，ZPEQ=30°,

3EQ_1「亞,

cosZDEPcos303

?,.PC=2一——；

3

(3)①當點D在AE上時，如圖3,

.?.ZADB=1800-ZBDE=120°,

/BDE=60。，

過點B作BF±AE于F,

在RtABDF中，NDBF=30。，BD=2,

，DF=1,BF=G

在RtAABF中，根據(jù)勾股定理得，AF=NAB2-BF?=亞，

AD=AF-DF=V^-1,

.*.CE=AD=75-1：

.,.AD=AF+DF=V5+1>

ACE=AD=75+1)

即滿足條件的CE的長為6+1和、6-I.

4.(2020?山東省中考真題)如圖1,在RABC中，/4=9O°,AB=AC=0+1,點D,E分別在邊AB,AC

上，且AD=AE=1,連接。E.現(xiàn)將U4)石繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0<a<360"),如

圖2,連接CE,BD,C￡>.

（2）如圖3,當a=90°時，延長CE交8。于點尸，求證：C/垂直平分BD；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，求口BCD的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）口BCD的面積的最大值為3近+5,旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為

2

135°

【解析】⑴根據(jù)題意：AB=AC,AD=AE,ZCAB=ZEAD=90°,

ZCAE+ZBAE=ZBAD+ZBAE=90°,

.?.NCAE=/BAD,

AC=AB

在ZkACE和aABD中，=

AE=AD

/.△ACE=AABD（SAS）,

.\CE=BD；

（2）根據(jù)題意：AB=AC,AD=AE,ZCAB=ZEAD=90°,

AC=AB

在AACE和ZkABD中，＜ZCAE=ZBADf

AE=AD

??.△ACE=AABD（SAS）,

AZACE=ZABD,

VZACE+ZAEC=90°,且NAEONFEB,

?