2024屆天津市河?xùn)|區(qū)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆天津市河?xùn)|區(qū)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且，則（）A． B． C． D．2．設(shè)，是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于A，B兩點，若最大值為5，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．3．圓x-12+y-3A．1 B．2 C．2 D．34．在區(qū)間上隨機選取一個實數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率是（）A． B． C． D．5．三角形的一個角為60°，夾這個角的兩邊之比為，則這個三角形的最大角的正弦值為（）A． B． C． D．6．在邊長為2的菱形中，，是的中點，則A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，，且，則A．4 B．5 C．6 D．88．在區(qū)間上任取兩個實數(shù)，則滿足的概率為()A． B． C． D．9．如圖，向量，，，則向量可以表示為（）A．B．C．D．10．“”是“、、”成等比數(shù)列的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等差數(shù)列中，，，則公差______.12．已知等比數(shù)列的公比為，關(guān)于的不等式有下列說法：①當(dāng)吋，不等式的解集②當(dāng)吋，不等式的解集為③當(dāng)>0吋，存在公比，使得不等式解集為④存在公比，使得不等式解集為R.上述說法正確的序號是_______.13．把數(shù)列的各項排成如圖所示三角形狀，記表示第m行、第n個數(shù)的位置，則在圖中的位置可記為____________．14．某中學(xué)初中部共有名老師，高中部共有名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為__________．15．求值：_____．16．平面⊥平面,,，，直線，則直線與的位置關(guān)系是___．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，對任意，它的前項和滿足，并且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求.18．設(shè)等比數(shù)列的前n項和為.已知，，求和.19．已知圓心為的圓過點，且與直線相切于點。（1）求圓的方程；（2）已知點，且對于圓上任一點，線段上存在異于點的一點，使得（為常數(shù)），試判斷使的面積等于4的點有幾個，并說明理由。20．東莞市公交公司為了方便廣大市民出行，科學(xué)規(guī)劃公交車輛的投放，計劃在某個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站，為了研究車輛發(fā)車的間隔時間與乘客等候人數(shù)之間的關(guān)系，選取一天中的六個不同的時段進(jìn)行抽樣調(diào)查，經(jīng)過統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：間隔時間（分鐘）81012141618等候人數(shù)（人）161923262933調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取其中的4組數(shù)據(jù)求得線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗，檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實際等候人數(shù)的差，若兩組差值的絕對值均不超過1，則稱所求的回歸方程是“理想回歸方程”.參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式：，（1）若選取的是前4組數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）判斷（1）中的方程是否是“理想回歸方程”：（3）為了使等候的乘客不超過38人，試用（1）中方程估計間隔時間最多可以設(shè)置為多少分鐘？21．如圖，在正方體，中，，，，，分別是棱，，，，的中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面將正方體分成的兩部分體積之比.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由，，聯(lián)立方程組，求出等比數(shù)列的首項和公比，然后求．【題目詳解】解：若，則，顯然不成立，所以．由，，得，，所以，所以公比．所以．或者利用，所以．故選：C．【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用，要求熟練掌握，特別要注意對公比是否等于1要進(jìn)行討論，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

，故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)軸時，最小，此時，計算得到答案.【題目詳解】，最大值為5，故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)軸時，最小，此時，即又因為，可得，故.故選：.【題目點撥】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.3、C【解題分析】

先計算圓心到y(tǒng)軸的距離，再利用勾股定理得到弦長.【題目詳解】x-12+y-32=2圓心到y(tǒng)軸的距離d=1弦長l=2r故答案選C【題目點撥】本題考查了圓的弦長公式，意在考查學(xué)生的計算能力.4、B【解題分析】

根據(jù)求出的范圍，再由區(qū)間長度比即可得出結(jié)果.【題目詳解】區(qū)間的長度為；由，解得，即，區(qū)間長度為，事件“”發(fā)生的概率是.故選B.【題目點撥】本題主要考查與長度有關(guān)的幾何概型，熟記概率計算公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.5、B【解題分析】

由余弦定理，可得第三邊的長度，再由大角對大邊可得最大角，然后由正弦定理可得最大角的正弦值．【題目詳解】解：三角形的一個角為，夾這個角的兩邊之比為，設(shè)夾這個角的兩邊分別為和，則由余弦定理，可得第三邊的長度為，三角形的最大邊為，對應(yīng)的角最大，記為，則由正弦定理可得，故選：B．【題目點撥】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

選取向量為基底，用基底表示，然后計算．【題目詳解】由題意，，．故選D．【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積，平面向量的線性運算，解題關(guān)鍵是選取基底，把向量用基底表示．7、B【解題分析】

利用，，依次求，觀察歸納出通項公式，從而求出的值.【題目詳解】∵數(shù)列滿足，，，∴，∴，∴，，∴，∴，……，∵，，，，…….，由此歸納猜想，∴．故選B．【題目點撥】本題考查了一個教復(fù)雜的遞推關(guān)系，本題的難點在于數(shù)列的項位于指數(shù)位置，不易化簡和轉(zhuǎn)化，一般的求通項方法無法解決，當(dāng)遇見這種情況時一般我們就可以用“歸納”的方法處理，即通過求幾項，然后觀察規(guī)律進(jìn)而得到結(jié)論．8、B【解題分析】試題分析：因為，在區(qū)間上任取兩個實數(shù)，所以區(qū)域的面積為4，其中滿足的平面區(qū)域面積為，故滿足的概率為，選B．考點：本題主要考查幾何概型概率計算．點評：簡單題，幾何概型概率的計算，關(guān)鍵是認(rèn)清兩個“幾何度量”．9、C【解題分析】

利用平面向量加法和減法的運算，求得的線性表示.【題目詳解】依題意，即，故選C.【題目點撥】本小題主要考查平面向量加法和減法的運算，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

利用充分必要條件直接推理即可【題目詳解】若“、、”成等比數(shù)列，則；成立反之，若“”，如果a=b=G=0則、、”不成等比數(shù)列，故選B．【題目點撥】本題考查充分必要條件的判定，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列公差性質(zhì)列式得結(jié)果.【題目詳解】因為，，所以.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列公差，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12、③【解題分析】

利用等比數(shù)列的通項公式，解不等式后可得結(jié)論．【題目詳解】由題意，不等式變?yōu)?，即，若，則，當(dāng)或時解為，當(dāng)或時，解為，時，解為；若，則，當(dāng)或時解為，當(dāng)或時，解為，時，不等式無解．對照A、B、C、D，只有C正確．故選C．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查解一元二次不等式，難點是解一元二次不等式，注意分類討論，本題中需對二次項系數(shù)分正負(fù)，然后以要對兩根分大小，另外還有一個是相應(yīng)的一元二次方程是否有實數(shù)解分類（本題已經(jīng)有兩解，不需要這個分類）．13、【解題分析】

利用第m行共有個數(shù)，前m行共有個數(shù)，得的位置即可求解【題目詳解】因為第m行共有個數(shù)，前m行共有個數(shù)，所以應(yīng)該在第11行倒數(shù)第二個數(shù)，所以的位置為.故答案為：【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項和求和公式，發(fā)現(xiàn)每行個數(shù)成等差是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題14、【解題分析】

由初中部、高中部男女比例的餅圖，初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，分別算出女老師人數(shù)，再相加.【題目詳解】初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，該校女教師的人數(shù)為.【題目點撥】考查統(tǒng)計中讀圖能力，從圖中提取基本信息的基本能力.15、【解題分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：，以及反三角函數(shù)即可解決?！绢}目詳解】由題意．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，同角角三角函數(shù)基本關(guān)系主要有:,.屬于基礎(chǔ)題。16、【解題分析】

利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，又直線，利用線面垂直性質(zhì)定理得.【題目詳解】在長方體中，設(shè)平面為平面，平面為平面，直線為直線，由于，，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，因為，由線面垂直的性質(zhì)定理，可得.【題目點撥】空間中點、線、面的位置關(guān)系問題，一般是利用線面平行或垂直的判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解題分析】

（1）根據(jù)與的關(guān)系，利用臨差法得到，知公差為3；再由代入遞推關(guān)系求；（2）觀察數(shù)列的通項公式，相鄰兩項的和有規(guī)律，故采用并項求和法，求其前項和.【題目詳解】（1）對任意，有，①當(dāng)時，有，解得或.當(dāng)時，有.②①-②并整理得.而數(shù)列的各項均為正數(shù)，.當(dāng)時，，此時成立；當(dāng)時，，此時，不成立，舍去.，.（2）.【題目點撥】已知與的遞推關(guān)系，利用臨差法求時，要注意對下標(biāo)與分兩種情況，即；數(shù)列求和時要先觀察通項特點，再決定采用什么方法.18、或.【解題分析】

試題解析：（1）解得或即或（2）當(dāng)時，當(dāng)時，考點：本題考查求通項及求和點評：解決本題的關(guān)鍵是利用基本量法解題19、（1）（2）使的面積等于4的點有2個【解題分析】

（1）利用條件設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓過點求t，確定圓方程.（2）設(shè)，由確定阿波羅尼斯圓方程，與圓C為同一圓，可得，求出N點的坐標(biāo)，建立ON方程，,再利用面積求點P到直線的距離，判斷與ON平行且距離為的兩條直線與圓C的位置關(guān)系可得結(jié)論.【題目詳解】（1）依題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則半徑為，圓的方程可寫成，因為圓過點，∴，∴，則圓的方程為。（2）由題知，直線的方程為，設(shè)滿足題意，設(shè)，則，所以，則，因為上式對任意恒成立，所以，且，解得或（舍去，與重合）。所以點，則，直線方程為，點到直線的距離，若存在點使的面積等于4，則，∴。①當(dāng)點在直線的上方時，點到直線的距離的取值范圍為，∵，∴當(dāng)點在直線的上方時，使的面積等于4的點有2個；②當(dāng)點在直線的下方時，點到直線的距離的取值范圍為，∵，∴當(dāng)點在直線的下方時，使的面積等于4的點有0個，綜上可知，使的面積等于4的點有2個。【題目點撥】本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，圓的第二定義，考查運算能力，分析問題解決問題的能力，屬于難題.20、（1）（2）是“理想回歸方程”（3）估計間隔時間最多可以設(shè)置為21分鐘【解題分析】

（1）根據(jù)所給公式計算可得回歸方程；（2）由理想回歸方程的定義驗證；（3）直接解不等式即可．【題目詳解】（1），（2）當(dāng)時，當(dāng)時，，所以判斷（1）中的方程是“理想回歸方程”（3）由，得估計間隔時間最多可以設(shè)置為21分鐘【題目點撥】本題考查回歸直線方程，解題時直接根據(jù)所給公式計算，考查了學(xué)生的運算求解能力．21、（1）見解析（2）【解題分析】

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