2024屆珠海市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆珠海市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．等比數(shù)列的前n項和為，若，則等于()A．－3 B．5 C．33 D．－312．過點且與直線垂直的直線方程是（）A． B． C． D．3．空間中可以確定一個平面的條件是（）A．三個點 B．四個點 C．三角形 D．四邊形4．△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若c＝，b＝1，∠B＝，則△ABC的形狀為（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項和，則（）A． B． C． D．6．直線（，）過點(-1,-1),則的最小值為()A．9 B．1 C．4 D．107．函數(shù)f（x）=log3（2﹣x）的定義域是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]8．如圖，是圓的直徑，，假設(shè)你往圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（）A． B． C． D．9．已知點A（1，0），B（0，1），C（–2，–3），則△ABC的面積為A．3 B．2 C．1 D．10．在中，角的對邊分別為,，且邊，則面積的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若,則____________.12．已知，，，，則______．13．已知，是第三象限角，則.14．設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,,則______.15．函數(shù)的值域是______．16．已知點是所在平面內(nèi)的一點，若，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知集合，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且等比數(shù)列的前三項滿足.（1）求通項公式；（2）若是等比數(shù)列的前項和，記，試用等比數(shù)列求和公式化簡（用含的式子表示）18．已知四棱臺中，平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，，，，，E為DC中點．（1）求證：平面；（2）求證：；（3）求三棱錐的高．（注：棱臺的兩底面相似）19．如圖，四棱錐中，底面,分別為的中點,.(1)證明:平面平面(2)求三棱錐的體積.20．在等差數(shù)列中，已知,.（I）求數(shù)列的通項公式；（II）求.21．在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由等比數(shù)列的求和公式結(jié)合條件求出公比，再利用等比數(shù)列求和公式可求出.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（公比顯然不為1），則，得，因此，，故選C.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列基本量計算，利用等比數(shù)列求和公式求出其公比，是解本題的關(guān)鍵，一般在求解等比數(shù)列問題時，有如下兩種方法：（1）基本量法：利用首項和公比列方程組解出這兩個基本量，然后利用等比數(shù)列的通項公式或求和公式來進(jìn)行計算；（2）性質(zhì)法：利用等比數(shù)列下標(biāo)有關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，能起到簡化計算的作用．2、D【解題分析】

由已知直線方程求得直線的斜率，再根據(jù)兩直線垂直，得到所求直線的斜率，最后用點斜式寫出所求直線的方程.【題目詳解】已知直線的斜率為：因為兩直線垂直所以所求直線的斜率為又所求直線過點所以所求直線方程為：即：故選：D【題目點撥】本題主要考查了直線與直線的位置關(guān)系及直線方程的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

根據(jù)公理2即可得出答案．【題目詳解】在A中，不共線的三個點能確定一個平面，共線的三個點不能確定一個平面，故A錯誤；在B中，不共線的四個點最多能確定四個平面，故B錯誤；在C中，由于三角形的三個頂點不共線，因此三角形能確定一個平面，故C正確；在D中，四邊形有空間四邊形和平面四邊形，空間四邊形不能確定一個平面，故D錯誤.【題目點撥】本題對公理2進(jìn)行了考查，確定一個平面關(guān)鍵是對過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面的理解．4、D【解題分析】試題分析：在中，由正弦定理可得，因為，所以或，所以或，所以的形狀一定為等腰三角形或直角三角形，故選D．考點：正弦定理．5、D【解題分析】

由已知遞推關(guān)系式可以推出數(shù)列的特征，即數(shù)列和均是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列性質(zhì)求解即可．【題目詳解】解：由已知可得，當(dāng)時，由得，所以數(shù)列和均是公比為2的等比數(shù)列，首項分別為2和1，由等比數(shù)列知識可求得，,故選：D．【題目點撥】本題主要考查遞推關(guān)系式，及等比數(shù)列的相關(guān)知識，屬于中檔題．6、A【解題分析】

將點的坐標(biāo)代入直線方程：，再利用乘1法求最值【題目詳解】將點的坐標(biāo)代入直線方程：，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號【題目點撥】已知和為定值，求倒數(shù)和的最小值，利用乘1法求最值。7、C【解題分析】試題分析：利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．解：函數(shù)f（x）=log3（1﹣x）的定義域滿足：1﹣x＞0，解得x＜1．∴函數(shù)f（x）=log3（1﹣x）的定義域是（﹣∞，1）．故選C．考點：對數(shù)函數(shù)的定義域．8、B【解題分析】

先根據(jù)條件計算出陰影部分的面積，然后計算出整個圓的面積，利用幾何概型中的面積模型即可計算出對應(yīng)的概率.【題目詳解】設(shè)圓的半徑為，因為，所以，又因為，所以落到陰影部分的概率為.故選：B.【題目點撥】本題考查幾何概型中的面積模型的簡單應(yīng)用，難度較易.注意幾何概型的常見概率公式：.9、A【解題分析】

由兩點式求得直線的方程，利用點到直線距離公式求得三角形的高，由兩點間距離公式求得的長，從而根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)果.【題目詳解】∵點A（1，0），B（0，1），∴直線AB的方程為x+y–1=0，，又∵點C（–2，–3）到直線AB的距離為，∴△ABC的面積為S=．故選A．【題目點撥】本題主要考查兩點間的距離公式，點到直線的距離公式、三角形面積公式以及直線方程的應(yīng)用，意在考查綜合運用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.10、D【解題分析】

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可求解．【題目詳解】解：，可解得：，由余弦定理，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時成立．等號當(dāng)時成立．故選D．【題目點撥】本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】故答案為.12、【解題分析】

先求出的平方值，再開方得到所求結(jié)果．【題目詳解】【題目點撥】本題考查求解復(fù)合向量模長的問題，求解此類問題的關(guān)鍵是先求模長的平方，將其轉(zhuǎn)化為已知向量運算的問題．13、.【解題分析】試題分析：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知，，化簡整理得①，又因為②，聯(lián)立方程①②即可解得：，，又因為是第三象限角，所以，故.考點：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.14、10【解題分析】

將和用首項和公差表示，解方程組，求出首項和公式，利用公式求解.【題目詳解】設(shè)該數(shù)列的公差為，由題可知：，解得，故.故答案為：10.【題目點撥】本題考查由基本量計算等差數(shù)列的通項公式以及前項和，屬基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

將函數(shù)化為的形式，再計算值域?！绢}目詳解】因為所以【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題。16、【解題分析】

設(shè)為的中點，為的中點，為的中點，由得到，再進(jìn)一步分析即得解.【題目詳解】如圖，設(shè)為的中點，為的中點，為的中點，因為，所以可得，整理得.又，所以，所以，又，所以．故答案為【題目點撥】本題主要考查向量的運算法則和共線向量，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，解答本題的關(guān)鍵是作輔助線，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）觀察式子特點可知，只有2,4,8三項符合等比數(shù)列特征，再根據(jù)題設(shè)條件求解即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列通項公式表示出，再采用分組求和法化簡的表達(dá)式即可【題目詳解】（1）由題可知，只有2,4,8三項符合等比數(shù)列特征，又，故，故，；（2），，所以【題目點撥】本題考查等比數(shù)列通項公式的求法，等比數(shù)列前項和公式的用法，分組求和法的應(yīng)用，屬于中檔題18、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解題分析】

（1）連結(jié)，可證四邊形為平行四邊形，故可證平面；（2）連結(jié)BD，在中運用余弦定理可得：，利用勾股定理和線面垂直的性質(zhì)，可得平面，因此可證；（3）根據(jù)題意，不難求，再利用即可求三棱錐的高．【題目詳解】（1）證明：連結(jié)，因為為四棱臺，所以，又因為四邊形ABCD為平行四邊形，，，所以，又，且，∴四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．（2）證明：連結(jié)BD，在中運用余弦定理可得：，∴由勾股定理逆定理得，即．又平面ABCD，，平面，所以．（3）在中，，，，所以，故．由（1）知，由（2）知，，所以．在中，由勾股定理得，在中，由，可得，設(shè)O為DB的中點，連結(jié)，則，且，又，所以，由勾股定理得，在中，因為，，，所以，即，故，設(shè)所求棱錐的高為h，則，所以．【題目點撥】本題考查線面平行、線線垂直的證明，棱錐的高，考查了三棱錐體積計算公式，利用體積轉(zhuǎn)化法求高，屬于中等題.19、（1）見證明；（2）【解題分析】

(1)先證明面，再證明平面平面；（2）由求解.【題目詳解】（1）證明：由已知為的中點，且，所以，因為，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為面，所以平面.在△中，因為,分別為,的中點，所以,因為，，所以面，因為，所以平面平面（2）由已知為中點，又因為，所以，因為，，，所以.【題目點撥】本題主要考查空間幾何元素平行關(guān)系的證明，考查幾何體體積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（I）將已知條件轉(zhuǎn)為關(guān)于首項和公差的方程組，解方程組求出，進(jìn)而可求通項公式；（II）由已知可得構(gòu)成首項為,公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項和公式計算即可.【題目詳解】（I）因為是等差數(shù)列，,所以解得.則,.（II）構(gòu)成首項為,公差為的等差數(shù)列.則【題目點撥】本題考查等差數(shù)列通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21、(1)證明見解析；(2)【解題分析】

(1)取中點,連接,可得四邊形為平行四邊形.再證明平面得到,進(jìn)而得到即可.(2)利用等體積法,求出三棱錐的體積,進(jìn)