2024屆北京市十五中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆北京市十五中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．的內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，則（）A． B． C． D．2．在區(qū)間內(nèi)任取一個實數(shù)，則此數(shù)大于2的概率為（）A． B． C． D．3．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．4．的內(nèi)角的對邊分別為，，，若的面積為，則A． B． C． D．5．已知函數(shù)，其中為整數(shù)，若在上有兩個不相等的零點，則的最大值為()A． B． C． D．6．設(shè)，是平面內(nèi)一組基底，若，，，則以下不正確的是（）A． B． C． D．7．設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，若，則使成立的最小正整數(shù)n為（）A．6 B．7 C．8 D．98．在區(qū)間上隨機選取一個數(shù)，則的概率為（）A． B． C． D．9．要得到函數(shù)y＝cos的圖象，只需將函數(shù)y＝cos2的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度10．已知函數(shù)，且的圖象向左平移個單位后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知角終邊經(jīng)過點，則__________.12．已知,且關(guān)于的方程有實數(shù)根，則與的夾角的取值范圍是______.13．如果，，則的值為________（用分?jǐn)?shù)形式表示）14．如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是_____.15．向量在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則以向量為鄰邊的平行四邊形的面積是_________.16．已知等比數(shù)列的前項和為，若，且，則_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，制圖工程師要用兩個同中心的邊長均為4的正方形合成一個八角形圖形，由對稱性，圖中8個三角形都是全等的三角形，設(shè).(1)試用表示的面積；(2)求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時的大小.18．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角；（2）若，，求的值.19．在中，角的對邊分別為，且角成等差數(shù)列.（1）求角的值；（2）若，求邊的長.20．在物理中，簡諧運動中單擺對平衡位置的位移與時間的關(guān)系，交流電與時間的關(guān)系都是形如的函數(shù).已知電流（單位：）隨時間（單位：）變化的函數(shù)關(guān)系是：，（1）求電流變化的周期、頻率、振幅及其初相；（2）當(dāng)，，，，（單位：）時，求電流.21．已知（且）是R上的奇函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)只有一個解，求m的取值集合；（3）設(shè)，記，是否存在正整數(shù)n，使不得式對一切均成立？若存在，求出所有n的值，若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由題意可得，化簡后利用正弦定理將“邊化為角“即可．【題目詳解】解：的面積為，，，故選：C．【題目點撥】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

根據(jù)幾何概型長度型直接求解即可.【題目詳解】根據(jù)幾何概型可知，所求概率為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查幾何概型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高上，記為O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面積，故選A.考點：球的體積和表面積4、C【解題分析】分析：利用面積公式和余弦定理進行計算可得。詳解：由題可知所以由余弦定理所以故選C.點睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理。5、A【解題分析】

利用一元二次方程根的分布的充要條件得到關(guān)于的不等式，再由為整數(shù)，可得當(dāng)取最小時，取最大，從而求得答案.【題目詳解】∵在上有兩個不相等的零點，∴∵，∴當(dāng)取最小時，取最大，∵兩個零點的乘積小于1，∴，∵為整數(shù)，令時，，滿足.故選：A.【題目點撥】本題考查一元二次函數(shù)的零點，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意為整數(shù)的應(yīng)用.6、D【解題分析】

由已知及平面向量基本定理可得：，問題得解.【題目詳解】因為，是平面內(nèi)一組基底，且，由平面向量基本定理可得：，所以，所以D不正確故選D【題目點撥】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，還考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于較易題．7、C【解題分析】

利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可確定，，，由此可確定最小正整數(shù).【題目詳解】且，使得成立的最小正整數(shù)故選：【題目點撥】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)化簡前項和公式.8、C【解題分析】

根據(jù)幾何概型概率公式直接求解可得結(jié)果.【題目詳解】由幾何概型概率公式可知，所求概率本題正確選項：【題目點撥】本題考查幾何概型中的長度型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】∵，∴要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像向左平移個單位．選B．10、C【解題分析】

由函數(shù)圖像的平移變換得的圖象向左平移個單位，得到，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)運算即可得解.【題目詳解】解：，將的圖象向左平移個單位，得到，因為平移后圖象關(guān)于對稱，所以，可得，，，，因為，所以的最小值為，故選C.【題目點撥】本題考查了函數(shù)圖像的平移變換及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解題分析】

根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可．【題目詳解】因為角終邊經(jīng)過點，所以，因此.故答案為：4【題目點撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．12、【解題分析】

先由得出，再根據(jù)即可求出與的夾角的取值范圍.【題目詳解】因為關(guān)于的方程有實數(shù)根，所以，即，設(shè)與的夾角為，所以，因為，所以，即與的夾角的取值范圍是【題目點撥】本題主要考查平面向量的夾角公式的應(yīng)用等，屬基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

先求出，可得，再代值計算即可.【題目詳解】.故答案為：【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的前項和公式、累乘相消法，考查了學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、10.【解題分析】

由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積.【題目詳解】因為長方體的體積為120，所以，因為為的中點，所以，由長方體的性質(zhì)知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.【題目點撥】本題蘊含“整體和局部”的對立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關(guān)系，靈活利用“割”與“補”的方法解題.15、3【解題分析】

將向量平移至相同的起點，寫出向量對應(yīng)的坐標(biāo)，計算向量的夾角，從而求得面積.【題目詳解】根據(jù)題意，將兩個向量平移至相同的起點，以起點為原點建立坐標(biāo)系如下所示：則，故.又兩向量的夾角為銳角，故，則該平行四邊形的面積為.故答案為：3.【題目點撥】本題考查用向量解決幾何問題的能力，涉及向量坐標(biāo)的求解，夾角的求解，屬基礎(chǔ)題.16、4或1024【解題分析】

當(dāng)時得到，當(dāng)時，代入公式計算得到，得到答案.【題目詳解】比數(shù)列的前項和為，當(dāng)時：易知，代入驗證，滿足，故當(dāng)時：故答案為：4或1024【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列，忽略掉的情況是容易發(fā)生的錯誤.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，.(2)時,達到最大此時八角形所覆蓋面積前最大值為.【解題分析】

（1）注意到，從而的周長為，故，所以，注意.（2）令，則，根據(jù)可求最大值.【題目詳解】(1)設(shè)為,，，，，(2)令,只需考慮取到最大值的情況,即為，當(dāng),即時,達到最大，此時八角形所覆蓋面積為16+4最大值為.【題目點撥】如果三角函數(shù)式中僅含有和，則可令后利用把三角函數(shù)式變成關(guān)于的函數(shù)，注意換元后的范圍.18、（1）（2），【解題分析】

（1）由正弦定理可得，求得，即可解得角；（2）由余弦定理，列出方程，即可求解.【題目詳解】（1）由題意知，由正弦定理可得，因為，則，所以，即，又由，所以.（2）由（1）知和，，由余弦定理，即，即，解得，所以.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形的正弦、余弦定理，準(zhǔn)確計算是解答的掛念，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）．（2）【解題分析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，與三角形三內(nèi)角和等于即可解出角C的值.（2）將已知數(shù)帶入角C的余弦公式，即可解出邊c.【題目詳解】解：（1）∵角，，成等差數(shù)列，且為三角形的內(nèi)角，∴，，∴．（2）由余弦定理，得【題目點撥】本題考查等差數(shù)列、余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）周期：，頻率：,振幅：，初相：；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.【解題分析】

（1）按照函數(shù)的周期、頻率、振幅和初相的求法求解即可；（2）將，，，，分別代入函數(shù)關(guān)系中計算即可.【題目詳解】（1）周期：，頻率：,振幅：，初相：；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.【題目點撥】本題考查函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用，考查對基礎(chǔ)知識的掌握，考查計算能力.21、（1）；（2）m的取值集合或}（3）存在，【解題分析】

（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于實數(shù)k的方程，解方程即可，注意驗證所得的結(jié)果；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性脫去f的符號即可；（3）可得，即可得：即可.【題目詳解】（1）由奇